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第3章力矩与平面力偶系

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工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系

工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系

D
x
§3-2 关于力偶的概念

力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。

力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。

F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念

Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算

合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC

第三章 力偶与平面力偶理论)

第三章 力偶与平面力偶理论)

M 0 F F h
力对点之矩（力矩）是一个代数量，它的绝 对值等于力的大小与力臂的乘积；
它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。 常用单位为 N· m 或 kN· m。 注意：力矩在下列几种情况下等于零 （1）力的大小等于零；
（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零；
（3） 互成平衡的二力对同一点之矩为零。
78.93N m
按合力矩定理 M O F M O Ft M O Fr



F cos θ r 78.93N m
例3-2 已知：q,l； 求： 合力及合力作用线位置. 解： 取微元如图
x q q l l x 1 P q dx ql 0 l 2
M Mi Mi
i 1 n
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi
0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力 偶矩的代数和等于零。
例3-1
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
求: M O F .
解:直接按定义
MO

F F h F r cos θ
M1 F1 d M2 F2 d
M1 F1d
M 2 F2d
Mn Fn d
M n Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn
F1 F2 Fn FR
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M 2 M n
定理：同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶 彼此等效。 推论： 任一力偶可在它的作用面内任意转移，而不改变它对刚体 的作用。因此力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无 关。 只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与 力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.

第三章-力矩和平面力偶系-第四章-平面任意力系

第三章-力矩和平面力偶系-第四章-平面任意力系

例3－1 试计算力对A点之矩。
解 本题有两种解法。 方法一： 按力矩的定义计算 由图中几何关系有：
d=ADsinα =(AB-DB)sinα =(AB- BCctgα)sinα =(a- bctgα)sinα =asinα-bcosα
所以
mA(F)=F•d =F(asinα-bcosα)
方法二：
解：
图（a）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN · m
MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
▪ 一、力偶 力偶矩
▪
在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，
但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
2．力偶矩：
▪ 作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，
用m或m( F ,F′)表示。在平面问题中，将力偶中
的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，如图：
即m(F)＝F•d=±2ΔABC
通常规定：力偶使物体逆时针方 向转动时，力偶矩为正，反之为 负。
在国际单位制中，力矩的单位 是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米 （kN•m）。
▪
在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的
力偶矩的代数值相等，则这两个力偶相等。这
就是平面力偶的等效条件。
▪ 根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：
▪ 推论1 力偶可在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对物体的效应。
▪ 推论2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力 偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它 对物体的作用效应。
主矩： Mo=m1+m2+···+mn

力矩与平面力偶系

力矩与平面力偶系
变化规律
在非平衡状态下，平面力偶中的两个力将不再保持大小相等、方向相反的关系。它们的大小和方向将发生变化， 以适应物体转动的需要。同时，随着物体转动的进行，作用于物体的力矩也将发生变化，以满足物体转动加速度 的要求。
04
实际应用案例分析
工程领域应用举例
桥梁设计
在桥梁设计中，力矩与平面力偶系的概念对于确定桥梁结构的稳定性和安全性至关重要。 通过计算和分析桥梁各部分的受力情况，工程师可以确保桥梁能够承受各种荷载和外部环 境因素的影响。
当平面力偶系处于平衡状态时，若受到微小扰动而偏离平衡位置，若系统能自动 恢复到原平衡状态，则称该系统是稳定的；若不能自动恢复，则称该系统是不稳 定的。稳定性与系统的结构、刚度、阻尼等因素有关。
03
力矩与平面力偶系关系探讨
相互作用原理阐述
力矩与平面力偶相互作用
力矩是力对物体产生的转动效应，而平面力偶是一对大小相等、方向相反且作用线平行的力，它们共 同作用在物体上，使物体产生转动。
力矩方向判断步骤
首先确定力的作用点和方向，然后确定转动轴的位置，最后根据右手螺旋定则 判断力矩的方向。
02
平面力偶系简介
定义及性质
定义
平面力偶系是由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力 组成的力系。
性质
力偶系中的两个力不产生合力，只产生转动效应，即力偶矩 。力偶矩的大小与两力的大小和两力之间的距离有关，而与 力的作用点位置无关。
力矩与平面力偶系
汇报人：XX
contents
目录
• 力矩基本概念 • 平面力偶系简介 • 力矩与平面力偶系关系探讨 • 实际应用案例分析 • 实验设计与操作演示 • 知识拓展与前沿动态
01
力矩基本概念

第三章_力对点的矩_平面力偶系

第三章_力对点的矩_平面力偶系

4
平面力偶系的合成和平衡条件
平面力偶系的合成
平面力偶系：作用在同一平面内的一群力偶。 平面力偶系：作用在同一平面内的一群力偶。
=
FR = F1 + F2 + Fn
=
=
′ FR = F1′ + F2′ + Fn′
平面力偶系合成的结果是一个合力偶， 平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和 中各力偶矩的代数和。 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。
力对点的矩
F
h
O
M 0 ( F ) = ± Fh
力对点的矩是一个代数量，它的绝对值 绝对值等于力的大小 力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定， 正负可按下法确定 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定，力使物体绕 矩心逆时针转向时为正，反之为负。 矩心逆时针转向时为正，反之为负。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 量度
A α M1
OBBiblioteka M2DB 解： 因为杆AB为二力杆，故其反力F 和F 只 因为杆AB为二力杆 故其反力FAB 为二力杆， BA A
α
M1 M2
D
能沿A 能沿A，B的连线方向。 的连线方向。 分别取杆OA和DB为研究对象 分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能 为研究对象。 与力偶平衡，所以支座O 与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只 的约束力F ∴ 能分别平行于F 能分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反。 且与其方向相反。 B 写出杆OA和DB的平衡方程 写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0 的平衡方程：
力对点的矩

工程力学第三章力矩与平面力偶系_图文

工程力学第三章力矩与平面力偶系_图文
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ）与 之平衡。
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解

工程力学03-力矩 平面力偶系

工程力学03-力矩 平面力偶系

力偶只能与力偶平衡！
例 题 1
FA
M1 M3 M2
M1=M2=10 N.m， M3=20 N.m；固定螺柱 A 和 B 的距离 l=200 mm 。求两个光滑螺 柱所受的水平力。
A
解：选工件为研究对象，因为力偶只能与
力偶平衡，所以，力FA与FB构成一力 偶，故FA= FB 。列写平衡方程 FB
B
由∑M = 0， F l M M M 0 A 1 2 3
A FA M B
FB
例 题 2
A l D
M B A
FA
M B
45
FB
列平衡方程：
M 0,
M FA l cos 45 0
M 2M 解得： FA FB l cos 45 l
例 题 3 如图所示的铰接四连杆机构，杆重不计，已知
OA=r，DB=2r，α=30°，试求平衡时力偶M1和M2 关系。
§3-2 力偶与力偶矩
2. 平面力偶的性质 性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基 本力学量。
力和力偶是静力学的两个基本要素
性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶
矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体 的效应用力偶矩度量。
力偶矩的三个要素： 力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用平面
A F
M Mi
平衡条件：
d
B
Mi 0
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系的合成
的代数和。
M Mi
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
平面力偶系的平衡条件
于零。
Mi 0

理论力学第三章力矩与平面力偶理论（H）

理论力学第三章力矩与平面力偶理论（H）

理论⼒学第三章⼒矩与平⾯⼒偶理论（H）第3章⼒矩与平⾯⼒偶理论※平⾯⼒对点之矩的概念及计算※⼒偶及其性质※平⾯⼒偶系的合成与平衡※结论与讨论§3-1 平⾯⼒对点之矩的概念及计算1.⼒对点之矩AFBhhF M O ?±=)(F h ——⼒臂O ——矩⼼OABM O Δ±=2)(F M O (F ) ——代数量（标量）“＋”——使物体逆时针转时⼒矩为正；“－”——使物体顺时针转时⼒矩为负。

2. 合⼒之矩定理平⾯汇交⼒系合⼒对于平⾯内⼀点之矩等于所有各分⼒对于该点之矩的代数和。

3. ⼒矩与合⼒矩的解析表达式xA FF xF yOαyx yx y y O x O O yF xF M M M ?=+=)()()(F F F )()()()()(21i O n O O O R O M M M M M F F F F F ∑=+++=")()(ix i iy i R O F y F x M ?∑=FF nαOrF rF 已知：F n ，α，r求：⼒F n 块对轮⼼O 的⼒矩。

h解：（1）直接计算αcos )(r F h F M n n n O ==F （2）利⽤合⼒之矩定理计算αcos )()()()(r F M M M M n O O r O n O ==+=F F F F 例题1§3-2 ⼒偶及其性质1.⼒偶与⼒偶矩⼒偶——两个⼤⼩相等、⽅向相反且不共线的平⾏⼒组成的⼒系。

⼒偶臂——⼒偶的两⼒之间的垂直⼒偶的作⽤⾯——⼒偶所在的平⾯。

（1）⼒偶不能合成为⼀个⼒，也不能⽤⼀个⼒来平衡。

⼒和⼒偶是静⼒学的两个基本要素。

（2）⼒偶矩是度量⼒偶对刚体的转动效果；它有两个要素：⼒偶矩的⼤⼩和⼒偶矩的转向。

F′FABOdx FdFxxdFMMMOOO=+′=′+=′)()()(),(FFFF⼒偶矩±=FdM2.平⾯⼒偶的等效定理1F ′F ′2F ′0F ′F 00F ′F 0ABDCdF F 1F 2★在同平⾯内的两个⼒偶，如果⼒偶矩相等，则两⼒偶彼此等效。

第三章力矩和平面力偶系第四章平面任意力系

第三章力矩和平面力偶系第四章平面任意力系

解：
图（a）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN · m
MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
▪ 一、力偶 力偶矩
▪
在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，
但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
第三节 平面力偶系的合成与平衡
一、平面力偶系的合成
作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。
m1＝F1•d1，m2＝F2•d2， m3＝－F3•d3，
P1•d=F 1•d1 ，P2•d＝F2•d2 ， －P3•d ＝－F3•d3
FR＝P1＋P2－p3
FR′＝P1′＋P2′－P3′
M＝FR d＝（P1＋P2－P3）d
二、力偶的性质
▪ 力和力偶是静力学中两个基本要素。力 偶与力具有不同的性质：
▪ （1）力偶不能简化为一个力，即力偶不 能用一个力等效替代。因此力偶不能与 一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。
▪ （2）无合力，故不能与一个力等效；
▪ （3）力偶对其作在平面内任一点的矩恒 等于力偶矩，与矩心位置无关。
结论：
第三章 力矩与力偶
第一节 力对点之矩
一、 力矩的概念
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。
B
F
A d
O
L
力F对O点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号， 以符号mo(F) 表示，记为 :Mo(F)＝±Fd
通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。
▪ 力 F 对O 点之矩的大小，

力矩和平面力偶系

力矩和平面力偶系
（力偶三要素：力偶矩旳大小；力偶旳转向和力 偶旳作用面。）
所以两个力偶等效，必须是该两个力偶旳力偶矩 大小相同，转向相同，作用面相同。（对刚体， 可作用面平行。）
例题：
F
1.习题3-2
a
b
Fx F cosa
a
Fy f sin a
M A (F ) -Fx b Fy 0 -Fb cosa
M B (F ) -Fx b Fy a F (a sin a - b cosa )
2．习题3-7
正三角形ABC
B F2
F1 F2 F3 F
X F1 cos 60 F2 cos 60 - F3 0
F1
Y F1 sin 60 - F2 sin 60 0
A
即合力FR=0
F1x
F
cos 60
第三章: 力矩与平面力偶系
本章研究力矩和力偶旳概念、力偶旳 性质、平面力偶系旳合成与平衡。本 章与第二章旳理论是研究平面一般力 系旳基础。
§3-1 力矩旳概念和计算
一般情况下，力对物体作用时能够产 生移动和转动两种外效应。力旳移动 效应取决于力旳大小和方向。为了度 量力旳转动效应，需要引入力矩旳概 念。
设物体上作用有一 力偶臂为d旳力偶 （Ｆ，Ｆ‘）
该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：
Ｏ x
F
F’ d
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
力偶对作用面内任一点旳矩之大小恒等于力偶中 一力旳大小和力偶臂旳乘积，而与矩心旳位置无关。
力偶对物体旳转动效应可用力与力偶臂旳乘积Fd 及转向来度量，该物理量称为力偶矩。
互成平衡旳二力对同一点旳力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点旳 作用引出。实际上，作用于物体上旳力 能够对任意点取矩，即矩心可是空间中 旳任意点。

静力学 力矩 平面力偶系

静力学 力矩 平面力偶系

解得
FA
FB
M1 M2 l
M3
200N
感谢观看
静力学 力矩 平面力 偶系
§3-1 力对点之矩
一、平面力对点之矩
力矩作用面
两个要素： 1.大小：力F与力臂的乘积 2.方向：转动方向
M0 F F h
二、汇交力系的合力矩定理
FR Fi F1 F2 Fn
平面汇交力系
M0 FR M0 Fi
例3-1
已知: F =1400N, θ 20 , r 60mm
力偶的性质: ①.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零。
②.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
力偶对任意点的矩恒等于力偶矩，与矩心无关。 力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零。
M F A F MF 二力大由力力 力§由§力大二 大力二由§力力力力§力只二力、偶小两偶偶偶3两3偶小、小偶、两3偶偶偶偶3偶要、偶----3442汇 在 ： 个 对 对两 个 在 ： 汇： 两 汇 个 中 对 矩 矩 (保 汇 两co平平交任力等任任 力等任力交 力力交等两任((持交力力平ummp面面力意F值意意 之值意F力 F之力值力意力力之偶面looe与与与力力mm)系坐、点点 间、坐系 间系、所点偶系间的力?力力力ee偶偶的标反的的 的反标的 的的反在的矩的的等偶nn臂臂臂tt系系合轴向矩矩 垂向轴合 垂合向平矩不合垂效与oo的的的ff的的力上、恒恒 直、上力 直力、面恒变力直力aa乘乘乘合合cc矩的不等等 距不的矩 距矩不称等，矩距偶oo积 积 积成成uu定投共于于离共投定离定共为于力定离矩pp与与ll理影线力力 称线影理 称理线力力偶理称eeA ))平平恒的偶偶 为的恒为的偶偶可为衡衡等（矩矩 力（等力（作矩在力于平，， 偶平于偶平用，其偶零行与与 臂行零臂行面与作臂。）矩矩 。）。。）。矩用。心心 心面无无 无内关关 关任。。 。意移转，且可以同时改变力偶中力及力偶臂的大小，对刚体的作用效果不变。 M F §3-1 力对点之矩

03--第三章 力矩与平面力偶系(修订)

03--第三章 力矩与平面力偶系(修订)

例3-5 ：
已知 M 2kN m,OA r 0.5m,θ 30; 1
求：平衡时的 M 2及铰链O，B处的约束力.
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.
M 0 M1 FA r sin 0
解得 FO FA 8kN
取杆BC，画受力图.
M 0
FA'
r
sin
M2
0
解得 M2 8kNm
F 'd Fd
力矩的符号 M F 力偶矩的符号 M O
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不变.
=
=
=
ABC ABD
ABC？ABD
M FR，Fi R FRd1 2ABD
M
F,
Fi
Fd
2ABC
=
=
=
=
l
q dx x
0
l
0
x2 l
q dx
得 h 2l 3
例3-4
已知：M1 M 2 10N m, M3 20N m, l 200mm;
求： 光滑螺柱AB所受水平力.
解：由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
M 0
FAl M1 M2 M3 0
解得
FA
FB
M1 M2 l
M3
200N
力偶矩 M F d 2 1 F d 2ABC
2
二. 力偶与力偶矩的性质 1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变.
M F d
MO1 F
F,
d
F
x1
MO1 F M

建筑力学 第三章 力矩与平衡力偶系

建筑力学 第三章 力矩与平衡力偶系
• 在力学上把F● d加上正负号作为力F使物体绕O点 转动效应的度量，这个度量称为F对O点的矩， 简称为力矩。
• 以公式记为：Mo(F)=±Fd • O点称为力矩中心，简称为矩心。 • 矩心O到力作用线的垂直距离d称为力臂。 • 在平面力系中，其正负号表示力使刚体绕矩心转动 的方向。通常规定，力使刚体逆时针方向转动时力矩 为正，反之为负。力矩的单位是：牛顿· 米（N· m）
意移动，而不影响它对刚体
的作用效应。 力偶表示：
§1.3 平面力偶系的合成和平衡
唯一决定平面内 力偶效应的特征 量是力偶矩
=
=
=
=
§1.3 平面力偶系的合成和平衡
平面力偶系的合成
推广到由任意多个力偶组成的平面力偶系,合力偶矩为 M = M1 + M3 + · · ·+Mn M i
§1.3 平面力偶系的合成和平衡
M O ( F ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) xFy yFx
Fx
x
x
M O ( FR ) ( xi Fiy y i Fix )
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
已知：Fn，，r
例 题 1 求：力 Fn 块对轮心O的力矩。 F
O
解：（1）直接计算
r Fr h
D
ND M2
M 1 BDN D sin
M2
A
M 2 AD N D
M1
BD M 2 sin AD
A
牛顿米nm11力矩的基本性质1力f对o点之矩不仅取决于力的大小方向同时还与矩心有关2力矩不会因该力的作用点沿其作用线移动而改变3力的大小为零或力的作用线通过矩心时力臂为零力矩等于零4相互平衡的二力对同一点之矩的代数和等11力对点之矩力矩的概念

工程力学第三章力矩力偶系

工程力学第三章力矩力偶系

M ( F ) r F sin O
定理：如果力系存在合力,则合力对某一点的矩等于力 系中各分力对同一点的矩的矢量和。
即：若作用在刚体上 { F , F , , F } { F } 1 2 n R
则：
M ( F ) M ( F O R O i)
i 1
n
例 水平梁 AB 受按三角形分布的载荷作用。载荷的最 大值为 q ，梁长为 l 。试求合力作用线的位置。
0
将 Q 和 q(x) 的数值代入可得
xC
2 l 3
§3-2 力偶理论
一.力偶和力偶矩
1、力偶 · 力偶的作用 效果 ·力偶的第一性质
力偶的定义：由大小相等，方 向相反且不共线的两个平行力 所组成的力系，称为力偶。记 之为： ( F, F ' )
F
hபைடு நூலகம்
F
'
h——力偶臂
力与力偶的作用效果比较：
FA
第三章 力矩 力偶系理论
§3-1 力对点之矩（力矩） 力对刚体的移动效应用力矢量来度量 力对刚体的转动效应用力矩来度量 一、力对点之矩
B F O
定义：
r
h
A
M r F oF

矢量积形式
M r F oF
二、 合力矩定理

大小： r F F h 2 OAB 方向： 由右手定则判定
25 N 0.4 m
M=10 Nm
25 N
§3-3 力偶系的合成与平衡
力偶系合成的结果为一合力偶
{ M , M , , M } { M } 1 2 n R
n
即：
M R Mi
i 1
力偶平衡的充分必要条件:

力矩与平面力偶系

力矩与平面力偶系

力矩与平面力偶系2.2.1 力对点之矩(简称为力矩)1.力对点之矩的概念为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。

（F）来表示，即力对点之矩用MOMo(F) = ± Fd一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。

Mo(F) = ± 2△OAB力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。

矩心不同，力矩不同。

规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。

力矩的单位是Nmm。

由力矩的定义可知：（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。

（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。

力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。

2.合力矩定理设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。

计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则---由上图可以看出，合力F对O点的矩为据合力投影定理，有F y=F1y+F2y+---+F ny两边同乘以l，得F y l=F1y l+F2y l+---+F ny l即M o(F)=M o(F1)+M o(F2)+---+M o(F n)合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。

3.力对点之矩的求法(力矩的求法)（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。

注意：力臂d 是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。

例2-3 如图所示，构件OBC 的O 端为铰链支座约束，力F 作用于C 点，其方向角为α，又知OB=l，BC=h ，求力F 对O 点的力矩。

解 （1）利用力矩的定义进行求解如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段o a。

同济版_理论力学_王斌耀(同济理力最好老师)_第3章 力矩理论与 力偶理论

同济版_理论力学_王斌耀(同济理力最好老师)_第3章 力矩理论与 力偶理论

z
Fz B β
y=180mm
F Fy
A
Fx α Fxy
y
z=200mm
0 x x=0, =0, y=180mm, =180mm, z=200mm. =200mm.
§3-2力偶的概念
一、力偶与力偶矩
大小相等、方向相反、作用线相互平行的两个力所 大小相等、方向相反、 组成的力系称为力偶。 组成的力系称为力偶。
M O ( FR ) = M O ( F1 ) + M O( F2 ) = ∑ M O ( Fi )
合力对点(或轴) 合力对点(或轴)之矩等于各分力对 同点(或同轴)之矩的矢量和(代数和) 同点(或同轴)之矩的矢量和(代数和)。
z A
F1 F2
y
FR
r × FR = ∑ r × Fi
i =1
O
n
r
x
1、平面力偶
F
F’
1、平面力偶
F’ F
F’ F
F
A
d
rBA
B
F′
+ _
M=±Fd (Nm) ±
力偶作用平面
d：力偶臂
2、空间力偶 力偶的矢量表示
M A = rBA × F = M B = rAB × F
'
M
右手法 则为正
B
F
rBA
A
F’
力偶矩矢量垂直于力偶所在平面,其大小和方向与取矩点无关 力偶矩矢量垂直于力偶所在平面 其大小和方向与取矩点无关. 其大小和方向与取矩点无关
P力作用点的矢径 力作用点的矢径
r = xi + yj + zk ,
x = 5cm, y = 6cm, z = 0

理论力学 第三章 平面力偶系

理论力学 第三章 平面力偶系

M O2 F , F F d x2 F x2 F 'd Fd
力矩的符号 M O F
力偶矩的符号 M
13
性质3：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等， 转向相同，则该两个力偶彼此等效。 [证] 设物体的某一平面 FR F’R
B
A
m2 m1 FA
m3
B FB
解：1 以梁为研究对象，受力如图。
（力偶只能与力偶平衡）
m 0 : FAl m1 m2 m3 0
解之得：
m1 m2 m3 FA FB l
20
[例2] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
动的效果或效应，就称为
力对点的矩，简称力矩。 矩心：在力矩作用面，O称为矩心。 力臂：O到力的作用线的垂直距离h
1.大小：力F与力臂的乘积 两个要素： 2.方向：转动方向
3
大小和转向：
M O ( F ) F d
+
-
说明： ① M O ( F )是代数量。
② M O ( F )是影响转动的独立因素。 ③单位Nm，工程单位kgfm。 ④ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。 力矩的性质： 1）力矩取决于力F的大小，也取决于矩心的位置。 2）力矩不因力沿其作用线移动改变。 3）力矩的力F=0或力F过矩心时，力矩为零。
FR
由上述证明可得下列两个推论： ②只要保持力偶矩大小和转向 ①力偶可以在其作用面内任 意移动，而不影响它对刚体 的作用效应。
不变，可以任意改变力偶中力
的大小和相应力偶臂的长短， 而不改变它对刚体的作用效应。
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第三章 力矩与平面力偶系
§3- 1 关于力矩的概念与计算 §3- 2 关于力偶的概念 §3- 3 平面力偶系的合成与平衡
本章研究关于 力矩和力偶的概念, 力偶的性 质, 平面力偶系的合成与平衡
它们是研究平面一般力系的基础.
§3-1 关于力矩的概念与计算
一、力对点之矩的概念
l A
d F
O 点：矩心 垂直距离 d :力臂
M O(F) x F y y F x M O(F) x F y y F x
汇交力系的合力
F Rx F x, F Ry F y
M
O
(F
ห้องสมุดไป่ตู้
R)

x
F
Ry

y
F
Rx

x
F
y

y
F
x
y
Fn
F1
FR
xA
y
F2
x o
M
O
(
F
R)


M
O(
F
)
平面汇交力系 的合力矩投影定理: 平面汇交力系 的合力对平面上任 一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。
例题, 悬臂梁 AB 的自由端 B , 作用一个在 xOy 平面内, 与 x方向夹 角 300 的力 F = 2kN. AB梁的跨度 l = 4m . 求力 F 对 A点的矩 .
A l
F
300
B
F
Fy
A
300
B Fx
l
用合力矩定理
M A(F) M A(F x) M A(F y) 0 (F sin 300 4) 4kN.m
x A
r
y
o


d
Fx x

M O (F) Fd Fr sin( ) Fr(sin cos sin cos)
F sin F y , F cos F x r cos x, r sin y
MO(F) x F y y Fx
MO(F) x F y y Fx
二, 同一平面内力偶的等效定理 同一平面内两个力偶等效的必要与充分条件：两个力偶矩相等。
推论1：力偶矩矢保持不变，力偶可以在其作用面内任意转移，而 不会改变它对刚体的转动效应。
F1 d
F'1
F'1
=
d
F1
推论2：在保持力偶矩大小不变的条件下，可以同时相应的改变力 偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对刚体的转动效应。
M O (F) Fd
(3) 互相平衡的二力对同一点之的代数和为零

F

F F
d
O

F


M O (F) M O (F) Fd Fd 0
(4) 同一力对不同点的矩一般不同，因此必须指明矩心。
例题, 悬臂梁 AB 的自由端 B , 作用一个在 xOy 平面内, 与 x方向夹 角 300 的力 F = 2kN. AB 梁的跨度 l = 4m . 求力 F 对 A 点的矩 .
l A
d F
用力 F 的大小与 O 点到力 F 作用线的垂直距离 d 的乘积，再冠以 适当的正负号，表示 F 对O 点的矩。
用以作为力 F 使物体绕 O 点转动效应的度量。
l A
+
F
d
O
F
-
d
M O (F) Fd
平面力矩为代数量
大小：F·d
符号规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动为正，顺时针转动为负
如果作用在 A 点上的是一个汇交力系 ( F1, F2, , Fn ) , 则由上式求 出每一个力对矩心 O 的矩 , 加在一起可得
y
Fn
F1
xA
y
F2
x
o
M O(F) xF y yF x x F y y F x
y
F Ry
Fn
F1
FR
xA
y
F Rx
F2
x
o


力矩的单位: N.m , kN.m
F
o.
A
d
M O (F) Fd M O (F) Fd 2AOAB
AOAB 为三角形OAB的面积
F
o.
A
d
M O (F) Fd
F
(1) 当力沿其作用线滑移时，并不改变力对点之矩。
(2) 力作用线通过矩心时, 则力矩为零。反之, 如果一个力其大小 不为零, 而它对某点之矩等于零, 则此力的作用线必通过该点
例3-2 用合力矩定理计算力 F 对 O点之矩
y
x
A
Fx
600
Fy
F=200N



M O(F) M O(F x) M O(F y)
F x F cos 600, F y F sin 600 M O (F ) 0 F y l F sin 600 0.4 69.3N.m


F
d
F

n
(-)
(+)
力偶没有合力，因此力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平 衡。力偶只能与力偶等效，也只能与力偶平衡。
（2）力偶中两力对力偶作用面内任一点的矩恒等于力偶矩 ，而与 所选矩心的位置无关。
F O
F' d
x



M O M O (F) M O (F) Fx F(x d) Fd M (F, F)
F1
d1
F'1
F2
d2
F'2
F1d1 F2d2
§3-3 平面力偶系的合成与平衡
一，合成 (1) 两个力偶的合成
F1′
d1
F1
M1 F1d1
F2′ d2
M2 F2d2
F2
F1
F1′
d1
F2′ d2
F22′
F2 F11
d
F22 F11′
练习题：已知 F，a，b， 。用合力矩定理求力 F 对 O 点之矩。
F
Fy
b A

B
Fx
a
O
M
O
(F
)

M
O
(
F
x)

M
O
(
F
y)

F
cos


a

F
sin


b
§3-2 关于力偶的概念
一，力偶 1，力偶：大小相等 ，方向相反而不共线的一对平行力称为力偶。
F B
A F´
(F, F)
力偶对物体产生纯转动效应.
F
(-)
B
A
d
F´
力偶作用面
d 称为力偶臂
2，力偶三要素
（1）力偶的大小称为力偶矩
M (F, F) Fd
符号的规定：使物体逆时针转动为正号，反之负为号。
（2）力偶作用面的方位. （3）在力偶作用面内，力偶的转向
3，力偶的性质
（1）力偶中的两个力在任一轴上投影的代数和等于零。
A
d l
F
300
B
解: 用定义
M O (F) Fd
M A(F) Fd 2 4sin 300 4kN.m
例题：已知 F，a, 。求 F 力对 O 点之矩。
F

A
a d
解：由定义式：
O
M O (F) Fd Fasin
二，合力矩定理
y
Fy
F