课时作业3：1.2 集合间的基本关系
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1．2 集合间的基本关系
1．已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是( )
A．0∈A B．{1}∈A
C．∅⊆A D．{0,1}⊆A
答案 B
解析 ∵{1}⊆A，∴{1}∈A错误，其余均正确．
2．集合{1,2}的子集有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
答案 A
解析 集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}共4个．
3．下列表述正确的有( )
①空集没有子集；
②任何集合都有至少两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若∅A，则A≠∅.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 B
解析 ∅⊆∅，故①错；∅只有一个子集，即它本身．所以②错；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以③错；而④正确，故选B.
4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0 A．1 B．2 C．3 D．4 答案 D 解析 由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 5．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于( ) A．0 B．1 C．2 D．－1 答案 C 解析 由A＝B，得x＝0或y＝0. 当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1. 由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1， 经验证，符合题意，则2x＋y＝2. 6．集合∅和{0}的关系表示正确的有________．(把正确的序号都填上) ①{0}＝∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅{0}． 答案 ④ 解析 ∅没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然∅≠{0}，又∅是任何非空集合的真子集，故有∅{0}，所以④正确，①②③不正确． 7．集合A＝{x|1 答案 {a|a≥6} 解析 ∵A＝{x|1 8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________． 答案 {0,1，－1} 解析 因为集合A有且仅有2个子集，所以A中仅有一个元素， 当a＝0时，方程化为2x＝0， 方程只有一个根x＝0，符合题意． 当a≠0时，方程ax2＋2x＋a＝0有两个相等的实数根，Δ＝22－4·a·a＝0， 即a2＝1，∴a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．∴a＝0或a＝±1. 9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集． 解 因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}．所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． 所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． 10．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，求a的取值范围； (2)若B⊆A，求a的取值范围． 解 (1)若AB，由图可知，a>2. 故实数a的取值范围为{a|a>2}． (2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2. 故实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}． 11．若集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，则A，B，C的关系是( ) A．CA＝B B．A⊆C⊆B C．A＝BC D．B⊆A⊆C 答案 A 解析 ∵A＝{x|x＝2(k＋1)－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝2·2k－1，k∈Z}，∴CA＝B，故选A. 12．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________． 答案 M＝P 解析 因为xy>0，所以x，y同号，又x＋y<0，所以x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P表示第三象限内的点，故M＝P. 13．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，那么实数a的值是________． 答案 0，±1 解析 由题意得P＝{－1,1}， 又因为Q⊆P， 若Q＝∅，则a＝0，此时满足Q⊆P， 若Q≠∅，则Q＝x x＝1a，由题意知，1a＝1或1a＝－1，解得a＝±1.综上可知，实数a的值是0，±1. 14．已知集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}，则集合A＝______.若集合B满足{0}B⊆A，则集合B＝________. 答案 {－1,0} {－1,0} 解析 ∵解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0, ∴集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}＝{－1,0}, ∵集合B满足{0}B⊆A, ∴集合B＝{－1,0}． 15．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠∅，B⊆A，则a等于( ) A．－1 B．0 C．1 D．±1 答案 D 解析 当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两相等的实根－1，即a＝－1； 当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两相等的实根1，即a＝1； 当B＝{－1,1}时，不成立． 故a＝±1. 16．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}． (1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由； (2)若A⊆B成立，求出对应的实数对(a，b)． 解 (1)对于任意实数b都有A⊆B，当且仅当集合A中的元素为1,2. ∵A＝{a－4，a＋4}， ∴ a－4＝1，a＋4＝2，或 a－4＝2，a＋4＝1， 解方程组可知无解． ∴不存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B. (2)由(1)易知，若A⊆B， 则 a－4＝1，a＋4＝b或 a－4＝2，a＋4＝b 或 a－4＝b，a＋4＝1或 a－4＝b，a＋4＝2， 解得 a＝5，b＝9或 a＝6，b＝10 或 a＝－3，b＝－7或 a＝－2，b＝－6. 则所求实数对为(5,9)或(6,10)或(－3，－7)或(－2，－6)．
