学案3：1.1.2集合间的基本关系

1．1.2 集合间的基本关系

教学目标:

1．知识与技能

(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

(2)理解子集.真子集的概念.

(3)了解 Venn图表达集合间的关系.

(4)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

2. 过程与方法

让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.

3.情感.态度与价值观

(1)树立数形结合的思想 ．

(2)体会类比对发现新结论的作用.

学习流程

1．Venn图

在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．

比如，中国的直辖市组成的集合为A，用Venn图表示如图所示．

【例1】试用Venn图表示集合A＝{x|x2－16＝0}．

解：集合A是方程x2－16＝0的解集，解方程x2－16＝0，得x1＝4，x2＝－4，所以A＝{－4,4}，用Venn图表示如图所示．

谈重点 对Venn图的理解 Venn图表示集合直观、明确，封闭曲线可以是矩形、椭圆或圆等等，没有限制．

2．子集

定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集．

记法

与读法 记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．

图示

或

示例 具有北京市东城区户口的人组成集合M，具有北京市户口的人组成集合P，由于任意一个具有北京市东城区户口的人都具有北京市户口，所以有MP．

结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即AA．

(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC．

释疑点 对子集的理解 (1)“AB”的含义：若xA就能推出xB．

(2)集合A是集合B的子集不能．．理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．

(3)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A．此时记作AB或BA．

(4)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N．

【例2】已知集合M＝{0,1}，集合N＝{0,2,1－m}，若MN，则实数m＝__________．

解析：由题意知MN，又集合M＝{0,1}，因此1N，即1－m＝1．故m＝0．

答案：0

【例3】已知集合M＝{xZ|－1≤x＜3}，N＝{x|x＝|y|，yM}，试判断集合M，N的关系．

解：∵xZ，且－1≤x＜3，

∴x的可能取值为－1,0,1,2．

∴M＝{－1,0,1,2}．

又∵yM，

∴|y|分别是0,1,2．

∴N＝{0,1,2}．

∴NM．

3．集合相等

如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．用Venn图表示如图所示．

谈重点 对集合相等的理解 (1)A＝BAB，且BA，这是证明两个集合相等的重要依据；

(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等；

(3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；

(4)集合中的关系与实数中的结论类比

实数 集合

a≤b包含两层含义：a＝b，或a＜b AB包含两层含义：A＝B，或AB

若a≥b，且a≤b，则a＝b 若AB，且AB，则A＝B

若a≥b，b≥c，则a≥c 若AB，BC，则AC

【例4】下列集合中，P＝Q的是( )

A．P＝{1,4,7}，Q＝{1,4,6}

B．P＝{x|2x＋2＝0}，Q＝{－1}

C．3P,3Q

D．PQ

解析：对于A项，7P，而7Q，故P≠Q；对于B项，P＝{x|2x＋2＝0}＝{－1}＝Q；对于C项，由3P,3Q，不能确定PQ，QP是否同时成立；对于D项，仅由PQ无法确定P与Q是否相等．

答案：B

【例5】设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y的值．

解：由集合相等的定义，得20,xyx或2,0,xxy

(1)由20,xyx得x＝0，y＝0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；

(2)由2,0,xxy得x＝0，y＝0或x＝1，y＝0，由(1)知x＝0，y＝0应舍去，x＝1，y＝0符合集合中元素的互异性．

综上，可得x＝1，y＝0．

4．真子集 定义 如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集．

记法 记作AB(或BA)．

图示

结论 (1)AB且BC，则AC；

(2)AB且A≠B，则AB．

谈重点 对真子集的理解 (1)若集合A是集合B的子集，则集合A中所有元素都属于集合B，并且集合B中至少有一个．．．．．元素不属于集合A；

(2)子集包括集合相等与真子集两种情况，真子集是以子集为前提的．若集合A不是集合B的子集，则集合A一定不是集合B的真子集；

(3)与任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集．

【例6】已知集合P＝{2 012,2 013}，Q＝{2 011,2 012，2 013，2 014}，则有( )

A．P＝Q

B．QP

C．PQ D．QP

解析：很明显，集合P中的元素都属于集合Q，则PQ，但是2 014Q,2 014P，所以PQ．

答案：C

5．空集

定义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集．

记法 规定 空集是任何集合的子集，即A

特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，

(2)是任何非空集合的真子集，即若A≠，则A

释疑点 {0}与的区别

{0}与

的区别 {0}是含有一个元素的集合

是不含任何元素的集合，因此{0}，注意不能写成＝{0}，{0}

【例7】下列集合为空集的是( )

A．{0} B．{1}

C．{x|x＜0} D．{x|1＋x2＝0}

解析：很明显{0}和{1}都不是空集；因为{x|x＜0}是全体负数组成的集合，所以{x|x＜0}也不是空集；集合{x|1＋x2＝0}是一元二次方程1＋x2＝0的解集，但是方程1＋x2＝0无实数解，所以{x|1＋x2＝0}＝．

答案：D

【例8】有下列命题：①空集没有子集；②任一集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，则A≠．其中正确的有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

解析：对于①，空集是任何集合的子集，故，①错；对于②，只有一个子集，是其自身，②错；对于③，空集不是空集的真子集，③错；空集是任何非空集合的真子集，④正确．

答案：B

6．集合间的关系判断

(1)集合A，B间的关系

 包含：A⊆B(或B⊆A) A＝B，AB(或BA).互不包含：AB，且BA.

(2)判断两集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言(列举法和描述法)、图形语言(Venn图)来表示集合．

(3)判断集合间的关系，其方法主要有三种：

①一一列举观察；

②集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．

一般地，设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p(x)推出q(x)，则AB；若q(x)推出p(x)，则BA；若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．

③数形结合法：利用数轴或Venn图．

(4)当MN和MN均成立时，MN比MN更准确地反映了集合M和N的关系．当MN和M＝N均成立时，M＝N比MN更准确地反映了集合M和N的关系．

例如，集合M＝{1}，集合N＝{1,2}，这时MN和MN均成立，MN比MN更准确地反映了集合M＝{1}和集合N＝{1,2}的关系．又例如，集合M＝{3}，集合N＝{3}，这时MN，NM，M＝N均成立，M＝N比MN更准确地反映了集合M＝{3}和集合N＝{3}的关系．

【例9】指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；

(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；

(4)M＝{x|x＝2n－1，nN*}，N＝{x|x＝2n＋1，nN*}．

分析：先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系．

解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．

(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB．

(3)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB．

(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故NM．

点技巧 怎样用数轴表示集合 对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．

【例10】已知集合1|,6MxxmmZ，1|,23nNxxnZ，则集合M，N的关系是( )

A．MN B．MN

C．NM D．NM

解析：设n＝2m或2m＋1，mZ，

则有21211|,,2323mmNxxxmZ或

11|,,36xxmxmmZ或．

又∵1|,6MxxmmZ，

∴MN．

答案：B

7．求已知集合的子集(或真子集)

(1)在写出某个集合的子集时，可以按照集合中元素的个数从无到有、从少到多的顺序依次写出，要做到不重不漏．一定要考虑这一特殊的集合，因为是任何集合的子集；若是要求写出某个集合的真子集，则不能将集合自身计算在内，因为任何一个集合都是它自身的子集，但不是它自身的真子集．