高中数学必修5精品教案

§2.2 不等式及其基本性质

预备知识

数与式的基本运算

数轴

重点

比较两个实数的大小

不等式的解集

难点

不等式的基本性质

比较式的大小

学习要求

了解不等式的概念，

熟练应用不等式的基本性质解题

1. 不等式及其基本性质

我们先用天平来做两个实验．

实验1：

在天平的一端放一个实物(如一只玻璃杯)，另一端逐一加1g的砝码，观察天平平衡的情况．

当天平处在平衡状态，说明两端的

重量是相等的；当天平处在不平衡状态，

则两端的重量不等．在实验中你可以观

察到：

(1)天平平衡是可能的；

(2)天平不平衡状态是经常发生的，

所谓平衡，往往也只能是近似地处于平衡

状态．这说明实际生活中，除了等量关系外，更多的是不等量关系．

在数学上，等量关系用等号“=”表示，不等量关系用符号“”或“<()”、“>()”表示，依次读作不等于、小于(不大于或小于等于)、大于(不小于或大于等于)．不等于关系不能反映大小关系，因此，我们更有兴趣的，是研究以“<()”、“>()”表示的不等量关系．用符号“<()”、“>()”表示量之间不等关系的式子，称为不等式．

用x表示天平右边实物的重量，图2-11(1)的表示x>1，读作x大于1；图2-11(2)表示x<2，读作x小于2．

课内练习1

1.请你用“>()”、“<()”表示你在实验中出现的不等量关系．

2.字母a,b,c,d,e,f所表示的数如图所示．用“>()” 、“<()”连接任意两

个字母．

实验2：

选图2-11中天平一种不平衡态．

(1)在天平两端增加或减少相等数量的砝码，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质1：不等式两边加上(或减去)同一个数或同一个式，不等号方向不变．例如

 7+3>5+3(即10>8)；

 7+(33-3)>5+(33-3)(即13>11)；

《秦九韶－海伦公式》教案

【教学内容】人教版数学必修五《秦九韶－海伦公式》

【教学对象】高一学生

【教材分析】

本节内容是高中数学必修五的第一章，是阅读与思考部分中的内容，本节课的主要意在引领学生运用所学知识对“秦九韶－海伦公式”进行证明，并进行有效的应用，让同学们从中体会到数学之美。

【知识背景】

海伦公式与秦九韶公式

古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式“如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记那么三角形的面积为：..这一公式称为海伦公式；海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式。

中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。我国南宋时期数学家秦九韶也曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：.其实这两个公式实质是一致的，聪明的你能够推导出来吗？

对比这两个公式，我们发现海伦公式形式漂亮，便于记忆，但是如果一个三角形的三边长是无理数的时候，还是秦九韶公式处理比较方便，现在请您选择适当的公式解决一些问题吧。

【学情分析】

数学必修五《1.2 应用举例（二）》教案

教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.

教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.

教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.

教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？

2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？

二、讲授新课：

1. 教学高度的测量：

① 出示例1：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.

分析：测量方法→ 计算方法

师生一起用符号表示计算过程与结论.

AC=sinsin()a，AB= AE+h=ACsin+h=sinsinsin()a+h.

② 练习：如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=5440，在塔底C处测得A处的俯角=501. 已知铁塔BC部分的高为27.3

m,求出山高CD(精确到1 m)

③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.

分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？ 分别选用什么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答.

解答:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理,sinBCA = sinABC ,

BC =sinsinABAC=5sin15sin10≈7.4524(km)，CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m).

2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.

高中必修5数学题讲解教案

教学目标：

1. 理解数列的概念，能够准确描述数列的特点；

2. 掌握数列的通项公式，能够根据数列的规律求解问题；

3. 熟练运用数学归纳法证明数学命题。

教学重点：

1. 数列的概念及特点；

2. 数列的通项公式；

3. 数学归纳法的应用。

教学难点：

1. 运用数学归纳法证明数学命题；

2. 深入理解数列的特征和规律。

教学准备：

1. 讲义、习题册、教学课件；

2. 多媒体教学设备；

3. 相关实例和练习题。

教学过程：

一. 引入（5分钟）

1. 展示一个数列，让学生描述这个数列的规律；

2. 引导学生思考数列的概念和特点。

二. 学习数列的概念（10分钟）

1. 讲解数列的概念和通用符号表示；

2. 示范不同种类的数列，如等差数列、等比数列等。

三. 数列的通项公式（15分钟）

1. 讲解求解数列通项公式的方法； 2. 演示如何根据数列规律求解通项公式。

四. 数学归纳法（15分钟）

1. 介绍数学归纳法的基本原理；

2. 范例演练数学归纳法证明定理或公式。

五. 练习与应用（15分钟）

1. 分发练习题，让学生独立完成；

2. 讲解练习题解法，帮助学生提高解题能力。

六. 巩固与扩展（10分钟）

1. 总结本节课的重点知识，强调数列的应用；

2. 布置作业并提醒学生复习。

七. 课堂小结（5分钟）

1. 总结本节课的教学内容；

2. 鼓励学生积极参与，提出问题。

教学反思：

本节课通过引入、概念讲解、实例演示和练习应用等环节，帮助学生掌握数列和数学归纳法知识，并启发学生独立思考和解决问题的能力。在后续教学中，可加强实际应用领域的数列问题，让学生提高数学运用能力和创新思维。