山西省孝义市2018届高三数学下学期一模考试试题文(含解析)

山西省孝义市2018届高三数学下学期模拟试题（一）文一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,3A =，{}3B =，则()()U U C A C B 等于( )A.{}1,2B.{}1,4C.{}2,3D.{}2,42.若复数()()122z i i =-+(其中i 为虚数单位)在复平面中对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若双曲线()222:106x y C a a -=>的焦距为a 为( )A.2B.44.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A.134石B.169石C.338石D.1365石5.已知()1f x x =，()2sin f x x =，()3cos f x x =，()(4lg f x x =+，从以上四个函数中任意取两个相乘得到新函数，那么所得新函数为奇函数的概率为( ) A.14B.13C.12D.236.若1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos2α等于( )A.35B.12C.13D.3-7.某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为( )A.13B.12C.23D.568.2017年国庆期间，全国接待国内游客7.05亿人次，其中某30个景区日均实际接待人数与最大接待人数比值依次记为()1,2,...,30i a i =，若该比值超过1，则称该景区“爆满”，否则称为“不爆满”，则如图所示的程序框图的功能是( )A.求30个景区的爆满率B.求30个景区的不爆满率C.求30个景区的爆满数D.求30个景区的不爆满数9.已知函数()()2cos 332f x x πϕϕ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，若,612x ππ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，()f x 的图象恒在直线3y =的上方，则ϕ的取值范围是( ) A.,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭10.有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜驿，则猜对者是( ) A.甲B.乙C.丙D.丁11.设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 点的直线交抛物线C 于A ，B 两点，过点A 作l 的垂线，垂足为E ，若75AFE =∠°，则AE 等于( )A.4+B.C.D.812.已知函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，则实数a 的取值范围是( ) A.(]1,3B.1111ln 2,ln34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.11ln 21,ln3123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D.11,1e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()3,2a m =-，()1,2b m =-，()2,1c =-，若()a cb -⊥，则实数m =______________.14.已知变量x ，y 满足约束条件10101x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则21z x y =++的最大值为______________.15.在边长为2的菱形ABCD中，BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC对折，使BD =则所得三棱锥A BCD -的内切球的半径为______________.16.定义平面中没有角度大于180°的四边形为凸四边形，在平面凸四边形ABCD 中，45A =∠°，120B =∠°，AB =2AD =，设CD t =，则t 的取值范围是______________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列{}n a 的前()*n n N ∈项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若2,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .18.某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下统计表：(1) 根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+.(2) 已知购买原材料的费用C (元)与数量t (袋)的关系为40020,036,380,36,t t t NC t t t N -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据(1)中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？(注：利润L =销售收入-原材料费用).参考公式：()()()1122211nniii ii i nniii i x x yyx y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.参考数据：511343i i i x y ==∑，521558ii x ==∑，5213237i i y ==∑.19.已知正方形ABCD 的边长为2，分别以AB ，BC 为一边在空间中作正三角形PAB ，PBC ，延长CD 到点E ，使2CE CD =，连接AE ，PE .(1)证明：AE ⊥平面PAC ； (2)求点B 到平面PAE 的距离.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且点1F 到椭圆C 上任意一点的最大距离为3，椭圆C 的离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为1-的直线l 与以线段12F F 为直径的圆相交于A 、B 两点，与椭圆相交于C 、D ，且CD AB=l 的方程；若不存在，说明理由.21.已知函数()sin cos x f x e x x =-，()cos x g x x x =-，其中e 是自然常数.(1)判断函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内零点的个数，并说明理由；(2)10,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，20,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式()()12f x g x m +≥成立，试求实数m 的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:40C x y y +-=，直线:40l x y +-=.(1)以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 和直线l 的交点的极坐标； (2)若点D 为圆C 和直线l 交点的中点，且直线CD 的参数方程为12x at y t b =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，求a ，b 的值.23.设函数()32f x x a =--，若不等式()0f x <的解集为M ，且12M ∈，12M -∉. (1)求实数a 的最大值；(2)当*a N ∈时，若不等式3x a x b --->有解，求实数b 的取值范围.参考答案一、选择题1-5:DDABC 6-10:ACBCC 11、12：DB 二、填空题16.12⎫⎪⎪⎣⎭三、解答题17.解：(1)设等差数列{}n a的公差为d，等比数列{}n b的公比为q，∵13a=，11b=，2210b S+=，5232a b a-=，∴331034232q dd q d+++=⎧⎨+-=+⎩，∴2d=，2q=，∴21na n=+，12nnb-=.(2)由(1)知，()()32122nn nS n n++==+，∴111,22,nnnc n nn-⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数，∴()13521111111...222 (2)3352121nnTn n-⎛⎫=-+-++-+++++⎪-+⎝⎭21121321nn++=-+.18.解：(1)由所给数据可得：1398101210.45x++++==，3223182428255y++++==，515222151343510.4252.5558510.45i iiiix y x ybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，25 2.510.41a y bx=-=-⨯=-，则y关于x的线性回归方程为 2.51y x=-.(2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x=时，36.5y=，即预计需要原材料36.5袋，因为40020,036,380,36,t t t NCt t t N-<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t<时，利润()7004002030020L t t t=--=+，当35t=时，max300352010480L=⨯-=；当36t≥时，利润70036.5380L t=⨯+，当36t=时，max70036.53803611870L=⨯-⨯=. 综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11870元. 19.解：(1)连接BD交AC于点O，并连接OP，则OA OB OC==，又∵PC PA=，∴PO AC⊥，又∵POB POC△≌△，∴90POB POC==∠∠°，∴PO BD⊥，∵OB OC O =，∴PO ⊥平面ABCD ，∵AE ⊂平面ABCD ，∴PO AE ⊥， ∵AD CD ⊥，AD DE CD ==，∴45EAD CAD ==∠∠°，∴90EAC =∠°， 即AE AC ⊥，∵POAC O =，∴AE ⊥平面PAC.(2)由题知，AB DE ∥，且AB DE =，可得四边形ABDE 为平行四边形，∴BD AE ∥， 又∵BD ⊄平面PAE ，∴BD ∥平面PAE ，∵点O BD ∈，∴点B 到平面PAE 的距离等于O 点到平面PAE 的距离，取AP 的中点为F ，连接OF ，则由(1)可得OF AE ⊥. 在Rt ABC △中，PO ===PO AO =，∴OF PA ⊥，∴OF ⊥平面PAE ，即OF 为点O 到平面PAE 的距离.在Rt POA △中，112OF PA ==，得点B 到平面PAE 的距离为1.20.解：(1)设1F ，2F 的坐标分别为(),0c -，(),0c ，根据椭圆的几何性质可得312a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2a =，1c =，则2223b a c =-=，故椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)假设存在斜率为1-的直线l ，那么可设为y x m =-+，则由(1)知1F ，2F 的坐标分别为()1,0-，()1,0，可得以线段12F F 为直径的圆为221x y +=，圆心()0,0到直线l的距离1d =<，得m <，AB ===联立22143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22784120x mx m -+-=，设()11,C x y ，()22,D x y ， 则()()()2222847412336484870m m m m ∆=-⨯-=-=->，得27m <，1287mx x +=，2124127m x x -=，12CD x -==解得2123m =<，得m =.即存在符合条件的直线:l y x =-±21.解：(1)函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的零点的个数为1，理由如下：因为()sin cos x f x e x x =-，所以()'sin cos sin x x f x e x e x x =++， 因为02x π<<，所以()'0f x >，所以函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 因为()010f =-<，202f e ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，根据函数零点存在性定理得函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在1个零点.(2)因为不等式()()12f x g x m +≥等价于()()12f x m g x ≥-，所以10,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，20,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式()()12f x g x m +≥成立，等价于()()()12min min f x m g x ≥-，即()()12min max f x m g x ≥-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()'sin cos sin 0x x f x e x e x x =++>，故()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当0x =时，()f x 取得最小值1-，又()'cos sin x g x x x x =-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0cos 1x ≤≤，sin 0x x ≥x ≥所以()'0g x <，故函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此，当0x =时，()g x取得最大值(1m -≥-，所以1m ≤， 所以实数m的取值范围为(,1-∞-.22.解：(1)由题可知，圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=，由4sin cos sin 4ρθρθρθ=⎧⎨+=⎩，可得42ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩或4ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得圆C 和直线l 的交点的极坐标为4,2π⎛⎫⎪⎝⎭和点4π⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)由(1)知圆C 和直线l 的交点在平面直角坐标系中的坐标为()0,4和()2,2,，那么点D 的坐标为()1,3，又点C 的坐标为()0,2，所以直线CD 的普通方程为20x y -+=，把12x at y t b =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)代入20x y -+=，可得()230a t b -+-=，则2030a b -=⎧⎨-=⎩，即2a =，3b =.23.解：(1)由题可知，102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，102f ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，可得不等式组1020a a -<⎧⎨-≥⎩，解得12a <≤，故实数a 的最大值为2.(2)由(1)得12a <≤，那么当*a N ∈时，2a =可得不等式3x a x b --->为23x x b --->，根据绝对值不等式的性质可知23x x ---的最大值为，因此，若不等式3x a x b --->有解，则1b <，故实数b 的取值范围为(),1-∞.。

2018年山西省吕梁市孝义市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应点的坐标是（）A．（3，3）B．（﹣1，3）C．（3，﹣1）D．（﹣1，﹣3）3．（5分）一次考试中，某班学生的数学成绩X近似服从正态分布N（100，100），则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到90分为及格）（参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.68）（）A．60%B．68%C．76%D．84%4．（5分）若函数为奇函数，则f（g（2））＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．25．（5分）已知点P是直线x+y﹣b＝0上的动点，由点P向圆O：x2+y2＝1引切线，切点分别为M，N，且∠MPN＝90°，若满足以上条件的点P有且只有一个，则b＝（）A．2B．±2C．D．6．（5分）已知不等式组表示的平面区域为D，若函数y＝|x﹣1|+m 的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是（）A．[0，]B．[﹣2，]C．[﹣1，]D．[﹣2，1]7．（5分）某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．（5分）设，若a1+a4＝70，则a5＝（）A．﹣32B．64C．﹣128D．2569．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A．B．0C．D．10．（5分）设P为双曲线上的点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且PF2⊥F1F2，PF1与y轴交于点Q，O为坐标原点，若四边形OF2PQ有内切圆，则C的离心率为（）A．B．C．2D．311．（5分）在四面体ABCD中，，BC＝6，AD⊥底面ABC，G为△DBC的重心，且直线DG与平面ABC所成的角是30°，若该四面体ABCD 的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是（）A．24πB．32πC．46πD．49π12．（5分）设等差数列{a n}的公差为，前8项和为6π，记，则数列{tan a n tan a n+1}的前7项和是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》，该问题的答案是．14．（5分）已知向量与的夹角是，且||＝|+|，则向量与+的夹角是．15．（5分）已知函数的周期为，当时，函数g（x）＝f（x）+m恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是．16．（5分）当x＞1时，不等式（x﹣1）e x+1＞ax2恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c cos B+b cos C ＝2a cos A．（1）求A；（2）若a＝2，sin B sin C＝sin2A，D为BC边上一点，且，求AD的长．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC1⊥平面A1BC．（1）证明：BC⊥AA1；（2）若BC＝AC，A1A＝A1C，求二面角B1﹣A1B﹣C的余弦值．19．（12分）某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表：由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等．用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过800元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次．抽奖规则为：从装有大小材质完全相同的5个红球和5个黑球的不透明口袋中，随机摸出4个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值X，当X＝4，2，0时，消费者可分别获得价值500元、200元和100元的购物券．求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望．20．（12分）已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，P（a，0）为x轴上的点．（1）当a≠0时，过点P作直线l与E相切，求切线l的方程；（2）存在过点P且倾斜角互补的两条直线l1，l2，若l1，l2与E分别交于A，B 和C，D四点，且△F AB与△FCD的面积相等，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝mlnx．（1）讨论函数的单调性；（2）定义：“对于在区域D上有定义的函数y＝f（x）和y＝g（x），若满足f（x）≤g（x）恒成立，则称曲线y＝g（x）为曲线y＝f（x）在区域D上的紧邻曲线”．试问曲线y＝f（x+1）与曲线是否存在相同的紧邻直线，若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为，P为曲线C 上的动点，C与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．（1）求线段OP中点Q的轨迹的参数方程；（2）若M是（1）中点Q的轨迹上的动点，求△MAB面积的最大值．23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣2|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）若关于x的不等式f（x）＞ax只有一个正整数解，求实数a的取值范围．2018年山西省吕梁市孝义市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【解答】解：B＝{x|﹣2＜x＜1}，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B＝{﹣1，0}．故选：A．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应点的坐标是（）A．（3，3）B．（﹣1，3）C．（3，﹣1）D．（﹣1，﹣3）【解答】解：∵复数＝＝（1+2i）（1+i）＝﹣1+3i，则z的共轭复数＝﹣1﹣3i在复平面内对应点的坐标是（﹣1，﹣3）．故选：D．3．（5分）一次考试中，某班学生的数学成绩X近似服从正态分布N（100，100），则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到90分为及格）（参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.68）（）A．60%B．68%C．76%D．84%【解答】解：∵X服从正态分布N（100，100），∴P（90≤X＜100）＝P（90≤X≤110）＝＝0.34，P（X≥100）＝0.5，∴P（X≥90）＝0.34+0.5＝0.84．故选：D．4．（5分）若函数为奇函数，则f（g（2））＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，故f（﹣x）＝2x﹣2＝﹣f（x），故x＞0时，f（x）＝2﹣2x，由g（2）＝f（2）＝2﹣4＝﹣2，故f（g（2））＝f（﹣2）＝﹣f（2）＝2，故选：D．5．（5分）已知点P是直线x+y﹣b＝0上的动点，由点P向圆O：x2+y2＝1引切线，切点分别为M，N，且∠MPN＝90°，若满足以上条件的点P有且只有一个，则b＝（）A．2B．±2C．D．【解答】解：过原点O作x+y﹣b＝0的垂线y＝x，垂足为A，由对称性可知当P在A处时，∠MPN＝90°，∵OA平分∠MPN，∴∠OAM＝∠OAN＝45°，∴过A的水平线与竖直线为圆的两条切线，故A（1，1）或A（﹣1，﹣1），代入x+y﹣b＝0可得b＝2或﹣2．故选：B．6．（5分）已知不等式组表示的平面区域为D，若函数y＝|x﹣1|+m 的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是（）A．[0，]B．[﹣2，]C．[﹣1，]D．[﹣2，1]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：作出函数y＝|x﹣1|的图象如图：则函数的图象关于x＝1对称，沿着对称轴x＝1平移y＝|x﹣1|图象，由图象可知当图象经过点B时函数m取得最小值，当图象经过点D时，m取得最大值，由，解得，即B（2，﹣1）．此时﹣1＝|2﹣1|+m，即m＝﹣2，由，解得，即D（1，1），此时1＝m，即m＝1，则实数m的取值范围﹣2≤m≤1，故选：D．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：几何体是上面是半圆锥，下部是半个圆柱，底面半径是2，圆柱的高为4，圆锥的高为2，几何体的体积为：＝．故选：A．8．（5分）设，若a1+a4＝70，则a5＝（）A．﹣32B．64C．﹣128D．256【解答】解：二项式（1﹣2x）n的展开式的通项．由a1+a4＝70，得，即n＝5．∴．故选：A．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A．B．0C．D．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝sin+sin+…+的值，∵2018＝336×6+2，∴S＝sin+sin+…+＝336×（sin+sin+…+sin）+sin+sin＝336×0++＝．故选：D．10．（5分）设P为双曲线上的点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且PF2⊥F1F2，PF1与y轴交于点Q，O为坐标原点，若四边形OF2PQ有内切圆，则C的离心率为（）A．B．C．2D．3【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），P（c，），直线PF1的方程为y＝x+，即b2x﹣2acy+b2c＝0，四边形OF2PQ的内切圆的圆心为M（，），半径为，∴M到直线PF1的距离d＝＝，化简得：2b4﹣3ab2c＝0，令b＝1可得ac＝，又c2﹣a2＝1，∴a＝，c＝．∴e＝＝2．故选：C．11．（5分）在四面体ABCD中，，BC＝6，AD⊥底面ABC，G为△DBC的重心，且直线DG与平面ABC所成的角是30°，若该四面体ABCD 的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是（）A．24πB．32πC．46πD．49π【解答】解：∵，BC＝6，∴cos∠BAC＝＝﹣，即∠BAC＝120°，延长DG交BC于M，则M为BC的中点，连结AM，∵DA⊥平面ABC，∴∠DMA为直线DG与平面ABC所成的角，即∠DMA＝30°，∵AM＝AB＝，∴AD＝1，设N为△ABC的外心，则ON⊥平面ABC，∵OA＝OD，∴O在AD的中垂线上，故而ON＝DA＝，由正弦定理可知2NC＝＝4，∴NC＝2，∴外接球的半径OC＝＝，∴球O的表面积S＝4π•＝49π．故选：D．12．（5分）设等差数列{a n}的公差为，前8项和为6π，记，则数列{tan a n tan a n+1}的前7项和是（）A．B．C．D．【解答】解：等差数列{a n}的公差d为，前8项和为6π，可得8a1+×8×7×＝6π，解得a1＝，tan a n tan a n+1＝﹣1＝﹣1，则数列{tan a n tan a n+1}的前7项和为（tan a8﹣tan a7+tan a7﹣tan a6+…+tan a2﹣tan a1）﹣7＝（tan a8﹣tan a7）﹣7＝（tan﹣tan）﹣7＝（tan﹣tan）﹣7＝（tan（﹣）﹣tan（+））﹣7＝（﹣）﹣7＝．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》，该问题的答案是90尺．【解答】解：由题意女子织布数目构成一个等差数列，首项为a1＝5，a30＝1，则S30＝＝90，故答案为：90尺14．（5分）已知向量与的夹角是，且||＝|+|，则向量与+的夹角是120°．【解答】解：向量与的夹角是，且||＝|+|，∴＝+2•+，∴2•+＝0，即2||×||×cos+＝0，化简得||＝||，∴cosθ＝＝＝＝﹣，∴向量与+的夹角是120°．故答案为：120°．15．（5分）已知函数的周期为，当时，函数g（x）＝f（x）+m恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（﹣3，﹣2]．【解答】解：函数可得f（x）＝sinωx+cosωx+1＝2sin（）+1．∵f（x）的周期为，∴，可得：ω＝3．那么f（x）＝2sin（3x+）+1．当时，则3x+∈[，]f（x）图象与函数y＝﹣m只有两个交点问题，根据正弦函数图象可得：﹣m＜2×1+1．即2≤﹣m＜3，∴实数m的取值范围是（﹣3，﹣2]．故答案为：（﹣3，﹣2]．16．（5分）当x＞1时，不等式（x﹣1）e x+1＞ax2恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1]．【解答】解：∵x＞1时，不等式（x﹣1）e x+1＞ax2恒成立∴（x﹣1）e x﹣ax2+1＞0恒成立，∴a，在（1，+∞）恒成立，设f（x）＝，f′（x）＝∵x2e x﹣2（x﹣1）e x+2＝e x（x2﹣2x+2）+2＝e x[（x﹣1）2+1]+2＞0恒成立，∴f′（x）＞0，在（1，+∞）恒成立，∴f（x）在（1，+∞）单调递增，∴f（x）min＞f（1）＝1，∴a≤1，故答案为（﹣∞，1]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c cos B+b cos C ＝2a cos A．（1）求A；（2）若a＝2，sin B sin C＝sin2A，D为BC边上一点，且，求AD的长．【解答】解：（1）∵c cos B+b cos C＝2a cos A，∴sin C cos B+sin B cos C＝2sin A cos A．∴sin（B+C）＝2sin A cos A，∴sin A＝2sin A cos A．∵A∈（0，π），∴sin A≠0，∴，∴．（2）∵a＝2，sin B sin C＝sin2A，∴bc＝a2＝4．由a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得4＝b2+c2﹣4，∴b2+c2＝8，又bc＝4，∴b＝c＝2．则△ABC为等边三角形，且边长为2，∴．在△ABC中，AB＝2，，，由余弦定理可得：BD2＝AB2+AD2﹣2•AB•AD cos B，整理得：，解得：．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC1⊥平面A1BC．（1）证明：BC⊥AA1；（2）若BC＝AC，A1A＝A1C，求二面角B1﹣A1B﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）∵AC1⊥平面A1BC，∴AC1⊥BC．∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥AA1．解：（2）∵AC1⊥平面A1BC，∴AC1⊥A1C，∴四边形ACC1A1为菱形，∴AA1＝AC．又A1A＝A1C，∴△A1AC与△A1CC1均为正三角形．取A1C1的中点D1，连接CD1，则CD1⊥AC．由（1）知CD1⊥BC，则可建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．设BC＝AC＝2，则A（2，0，0），，B（0，2，0），，．∴，，．设平面B1A1B的法向量为＝（x，y，z），则，取z＝1，则＝（，1）为平面B1A1B的一个法向量．又为平面A1BC的一个法向量，∴cos＜，＞＝＝＝﹣．又二面角B1﹣A1B﹣C的平面角为钝角，所以其余弦值为．19．（12分）某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表：由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等．用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过800元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次．抽奖规则为：从装有大小材质完全相同的5个红球和5个黑球的不透明口袋中，随机摸出4个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值X，当X＝4，2，0时，消费者可分别获得价值500元、200元和100元的购物券．求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望．【解答】解：（1）因消费额在区间（0，400]的频率为0.5，故中位数估计值为400．设所求概率为p，而消费额在（0，600]的概率为0.8．故消费额在区间（600，800]内的概率为0.2﹣p．因此消费额的平均值可估计为100×0.25+300×0.25+500×0.3+700×（0.2﹣p）+900×p．令其与中位数400相等，解得p＝0.05．（2）根据题意X的可能取值为4，2，0，，，．设抽奖顾客获得的购物券价值为Y，则Y的分布列为故（元）．20．（12分）已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，P（a，0）为x轴上的点．（1）当a≠0时，过点P作直线l与E相切，求切线l的方程；（2）存在过点P且倾斜角互补的两条直线l1，l2，若l1，l2与E分别交于A，B 和C，D四点，且△F AB与△FCD的面积相等，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，过点P作直线l与E相切，设切点为，直线l的斜率为k，又由x2＝4y，即y＝，则y′＝，则k＝y′＝，∴Q点处的切线方程为．∵l过点P，∴，解得x0＝2a或x0＝0．当a≠0时，切线l的方程为y＝0或ax﹣y﹣a2＝0．（2）设直线l1的方程为y＝k（x﹣a），代入x2＝4y得x2﹣4kx+4ka＝0，①△＝16k2﹣16ka＞0，得k（k﹣a）＞0，②由题意得，直线l2的方程为y＝﹣k（x﹣a），同理可得﹣k（﹣k﹣a）＞0，即k（k+a）＞0，③②×③得k2（k2﹣a2）＞0，∴a2＜k2．④设A（x1，y1），B（x2，y2），则x2+x2＝4k，x2x2＝4ka．∴．点F到AB的距离为，∴△F AB的面积为．同理△FCD的面积为．由已知得，化简得（2﹣a2）k2＝1，⑤欲使⑤有解：则a2＜2，∴．又，得k2≠1，∴a2≠1．综上，a的取值范围为或﹣1＜a＜1或．21．（12分）已知函数f（x）＝mlnx．（1）讨论函数的单调性；（2）定义：“对于在区域D上有定义的函数y＝f（x）和y＝g（x），若满足f（x）≤g（x）恒成立，则称曲线y＝g（x）为曲线y＝f（x）在区域D上的紧邻曲线”．试问曲线y＝f（x+1）与曲线是否存在相同的紧邻直线，若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）．当m≤0时，F′（x）＜0，函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；当m＞0时，令F′（x）＜0，得，函数F（x）在上单调递减；令F′（x）＞0，得，函数F（x）在上单调递增．综上所述，当m≤0时，F（x）在（0，+∞）上单调递减；当m＞0时，F（x）在上单调递减，在上单调递增．（2）原命题等价于曲线y＝f（x+1）与曲线是否有相同的外公切线．函数f（x+1）＝mln（x+1）在点（x1，mln（x1+1））处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即．曲线y＝f（x+1）与的图象有且仅有一条外公切线，所以有唯一一对（x1，x2）满足这个方程组，且m＞0，由（1）得代入（2）消去x1，整理得，关于x2（x2＞﹣1）的方程有唯一解．令，∴．当m＞0时，g（x）在上单调递减，在上单调递增；所以．因为x→+∞，g（x）→+∞；x→﹣1，g（x）→+∞，只需m﹣mlnm﹣1＝0．令h（m）＝m﹣mlnm﹣1，h′（m）＝﹣lnm在m＞0为单减函数，且m＝1时，h′（m）＝0，即h（m）max＝h（1）＝0，所以m＝1时，关于x2的方程有唯一解，此时x1＝x2＝0，外公切线的方程为y＝x．∴这两条曲线存在相同的紧邻直线，此时m＝1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为，P为曲线C 上的动点，C与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．（1）求线段OP中点Q的轨迹的参数方程；（2）若M是（1）中点Q的轨迹上的动点，求△MAB面积的最大值．【解答】解：（1）由C的方程可得ρ2+3ρ2sin2θ＝16，又ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ，∴C的直角坐标方程为x2+4y2＝16，即．设P（4cosθ，2sinθ），则Q（2cosθ，sinθ），∴点Q的轨迹的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）知点Q的轨迹的普通方程为，A（4，0），B（0，2），，所以直线AB的方程为x+2y﹣4＝0．设M（2cosθ，sinθ），则点M到AB的距离为，∴△MAB面积的最大值为．23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣2|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）若关于x的不等式f（x）＞ax只有一个正整数解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当x≤﹣2时，x﹣4≤1，解得x≤5，∴x≤﹣2；当﹣2＜x≤1时，3x≤1，解得，∴；当x＞1时，﹣x+4≤1，解得x≥3，∴x≥3．综上，不等式的解集为．（2）作出函数y＝f（x）与y＝ax的图象，由图象可知当1≤a＜3时，不等式只有一个正整数解x＝1，∴1≤a＜3．。

名校最新高考模拟示范卷•数学卷(文)（三）―、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A = {2＜＜log |2x k Z x ∈} ,若集合A 中至少有3个元素， 则实数k 的取值范围为A.(1,2)B. (0,1)C.(0,21） D.（21,1) 2.已知复数21,z z ，在复平面内对应的点分别为（1，-1)，（3,1),则12z z 等于 A. 1—2i B.l+2i C.i 5251- D. i 2123- 3. “m=2”是“函数)(|cos |R m mx y ∈=的最小正周期为2π的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某市教育主管部门为了全面了解2017届髙三学生的学习情况，决定对该市参加2017年高三第一次全国大联考(后称统考）的32所学校进行抽样调查,将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32, 现用系统抽样法，抽取8所学校进行调査，若抽到的最大编号为31， 则最小编号是 A. 3B. 1C. 4D. 25.已知双曲线14222=-b y x (b>0)的离心率等于则该双曲线的焦距为 A. 52 B. 62C. 6D. 86.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用 凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”，某“榫头”的三视图及其部分尺寸如图所示，则该“榫头”的体积等于 A.12B.13C. 14D.157. 已知定义域为R 的奇函数)(x f 满足0)()3(=+-x f x f ,且当)0,33(-∈x 时,)72(log )(2+=x x f ，则 )2017(f 等于A. -2B. 3log 2C. 3D.438. 已知实数y x ,满足条件⎩⎨⎧≥--≤-+-011)2()3(22y x y x ，则2-=x yz 的最小值为A. 23+B. 22+C. 34D.439.阅读右边的程序框图，若41=a ，23log 9=b ，3log 8=c ，则输出的结果是A.aB.bC. cD. 都有可能10.已知函数),2＜||,0＞()cos()(||R a e a x x f x∈⋅+=πϕωϕω 在区间[―3,3]上的图象如图所示，则43可取 A. π4 B. π2 C.2πD.π 11.过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，若|AF|=5,则△AOB 的面积为A. 5B.25 C. 23 D.817 12.已知函数)0＞()1(1)(2a a x a x xa e e x f x ++-+⋅=，其中 e 为自然对数的底数。

【题文】如图所示，已知正方形ABCD 的边长为AC BD O =，分别以AB ，BC 为一边在空间中作等边△P AB 与等边△PBC ，延长CD 到点E ，使2CE CD =，连接AE ，PE .(1)证明：AE ⊥平面P AC ；(2)若点F 是线段BD 上一动点，记PF 与平面P AE 所成的角为θ，求sin θ的取值范围.【答案】【解析】(1)连接OP ，则OA OB OC ==，又∵PC PA =，∴PO AC ⊥，又∵POB POC △≌△，∴90POB POD ==∠∠°，∴PO BD ⊥，∵BD AC O =，∴PO ⊥平面ABCD ，∵AE ⊂平面ABCD ，∴PO AE ⊥，∵AD CD ⊥，AD DE CD ==，∴45EAD CAD ==∠∠°， ∴90EAC =∠°，即AE AC ⊥，∵PO AC O =，∴AE ⊥平面PAC .(2)由(1)可知，PO 、OC 、OD 两两垂直，故以O 为原点，OD 、OC 、OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知2OD OC PO ===，则()0,2,0A -，()2,0,0B -，()0,2,0C ，()0,0,2P ，()4,2,0E -，∵点F 是线段BD 上一动点，∴可设(),0,0F a ()22a -≤≤，则()4,0,0AE =，()0,2,2AP =，(),0,2PF a =-，设平面PAE 的一个法向量为(),,m x y z =，由04002200m A E x x y z y z m AP ⎧⋅===⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==-⋅=⎩⎩⎪⎩，令1y =，得1z =-.∴()0,1,1m =-.∵cos ,sin 2m PFm PF m PF θ⋅<>===⋅，22a -≤≤，∴2≤sin θ的取值范围是12⎡⎢⎣⎦. 【标题】山西省孝义市2018届高三下学期名校最新高考模拟卷（一）数学（理）试题【结束】。

2018届山西省孝义市高三下学期名校最新高考模拟卷（一）数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，若，，则等于( )A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意得到，=，故得到=.故答案为：D.2. 若复数(其中为虚数单位)在复平面中对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】复数,对应的点为，在第四象限.故答案为：D.3. 若双曲线的焦距为，则实数为( )A. 2B. 4C.D.【答案】A【解析】双曲线的焦距为故答案为：A.4. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石【答案】B【解析】试题分析：设夹谷石，则，所以，所以这批米内夹谷约为石，故选B.考点：用样本的数据特征估计总体.函数，那么所得新函数为奇函数的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】两个奇函数相乘为奇函数，两个偶函数相乘为偶函数，一个奇函数一个偶函数相乘得到奇函数.，，，为奇函数，为偶函数，任意两个相乘得到的函数个数有6种，得到奇函数的个数为3个，故概率为故答案为：C.6. 若，则等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，解得将正切值代入得到.故答案为：A.7. 某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意得到原图是半个圆锥和半个圆柱构成的图形，圆锥的地面半径为2，圆柱底面半径为2，故得到圆锥的体积为，半个圆柱的体积为该几何体上部分与下部分的体积之比为.故答案为：C.8. 2017年国庆期间，全国接待国内游客亿人次，其中某30个景区日均实际接待人数与最大接待人数比值依次记为，若该比值超过1，则称该景区“爆满”，否则称为“不爆满”，则如图所示的程序框图的功能是( )A. 求30个景区的爆满率B. 求30个景区的不爆满率C. 求30个景区的爆满数D. 求30个景区的不爆满数【答案】B【解析】根据题意得到，程序框图中只有当时，才计数一次，并且入循环，进入下一次判断，而这一条件就是不爆满的意思，故程序框图的功能是求30 个景区的不爆满率.故答案为：B.9. 已知函数，若，的图象恒在直线的上方，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的图象恒在直线的上方,即恒成立，当k=0时，的取值范围是.故答案为：C.10. 有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜驿，则猜对者是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C【解析】若甲猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对，则乙也猜对，故也不满足条件.而如果丙猜对，其他老师都不会对.11. 设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点，过点作的垂线，垂足为，若，则等于( )A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意得到，AE=AF，角AFE和角AEF相等，三角形AEF为等腰三角形，角EAF为30度，AF和x轴所成角为三十度，根据焦半径公式得到AE=故答案为：D.点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义和结论。

2018年山西省吕梁市孝义市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7}，B＝{x∈N|2＜x≤6}，全集U＝A∪B，则∁U B＝（）A．{1，2，7}B．{1，7}C．{2，3，7}D．{2，7}2．（5分）已知平面向量，，则向量的模是（）A．B．C．D．53．（5分）“x≠0”是“x＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》，该问题的答案是（）A．90尺B．93尺C．95尺D．97尺5．（5分）若函数为奇函数，则f（g（2））＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．26．（5分）从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知p为直线x+y﹣2＝0上的点，过点p作圆O：x2+y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点p有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个8．（5分）某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数的周期为π，当时，方程f（x）＝m恰有两个不同的实数解x1，x2，则f（x1+x2）＝（）A．2B．1C．﹣1D．﹣210．（5分）中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x＝5，y＝2，输出的n为4，则程序框图中的中应填（）A．y＜x B．y≤x C．x≤y D．x＝y11．（5分）已知函数f（x）＝e﹣x﹣2x﹣a，若曲线y＝x3+x+1（x∈[﹣1，1]）上存在点（x0，y0）使得f（y0）＝y0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e﹣3﹣9]∪[e+3，+∞）B．[e﹣3﹣9，e+3]C．（e﹣3﹣9，e2+6）D．（﹣∞，e﹣3﹣9）∪（e+3，+∞）12．（5分）在四面体ABCD中，，BC＝6，AD⊥底面ABC，△DBC 的面积是6，若该四面体的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是（）A．24πB．32πC．46πD．49π二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）复数z满足（1﹣2i）z＝7+i，则复数z的共轭复数＝．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件则的最大值等于．15．（5分）是P为双曲线上的点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且PF2⊥F1F2，PF1与y轴交于Q点，O为坐标原点，若四边形OF2PQ有内切圆，则C的离心率为．16．（5分）数列{a n}满足若a1＝34，则数列{a n}的前100项的和是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c cos B+b cos C ＝2a cos A．（1）求A；（2）若a＝2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC1⊥平面A1BC．（1）证明：平面ABC⊥平面ACC1A1；（2）若BC＝AC＝2，A1A＝A1C，求点B1到平面A1BC的距离．19．（12分）某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表：由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等．用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过800元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值500元、200元、100元的奖品．已知中奖率为100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为．若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长5%，式预测商场今年国庆期间采办奖品的开销．20．（12分）已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，P（a，0）为x轴上的点．（1）过点P作直线l与E相切，求切线l的方程；（2）如果存在过点F的直线l′与抛物线交于A，B两点，且直线P A与PB的倾斜角互补，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣a+lnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x∈（1，+∞）时，曲线y＝f（x）总在曲线y＝a（x2﹣1）的下方，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为，P为曲线C 上的动点，C与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．（1）求线段OP中点Q的轨迹的参数方程；（2）若M是（1）中点Q的轨迹上的动点，求△MAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣2|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）若关于x的不等式f（x）＞ax只有一个正整数解，求实数a的取值范围．2018年山西省吕梁市孝义市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7}，B＝{x∈N|2＜x≤6}，全集U＝A∪B，则∁U B＝（）A．{1，2，7}B．{1，7}C．{2，3，7}D．{2，7}【解答】解：集合A＝{1，2，3，5，7}，B＝{x∈N|2＜x≤6}＝{3，4，5，6}，全集U＝A∪B＝{1，2，3，4，5，6，7}，则∁U B＝{1，2，7}．故选：A．2．（5分）已知平面向量，，则向量的模是（）A．B．C．D．5【解答】解：向量，，∴向量＝﹣＝（﹣2，﹣2），∴||＝＝2．故选：C．3．（5分）“x≠0”是“x＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x＝﹣1时，满足x≠0，当x＞0不成立，即充分性不成立，若x＞0，则x≠0一定成立，即必要性成立，即“x≠0”是“x＞0”的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》，该问题的答案是（）A．90尺B．93尺C．95尺D．97尺【解答】解：女子织布成等差数列，首项为a1，由题意可得a1＝5，a n＝1，n＝30，则S30＝×30×（5+1）＝90，故选：A．5．（5分）若函数为奇函数，则f（g（2））＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，故f（﹣x）＝2x﹣2＝﹣f（x），故x＞0时，f（x）＝2﹣2x，由g（2）＝f（2）＝2﹣4＝﹣2，故f（g（2））＝f（﹣2）＝﹣f（2）＝2，故选：D．6．（5分）从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，基本事件总数n＝＝15，两个小球同色包含的基本事件个数m＝＝6，∴两个小球同色的概率是p＝＝＝．故选：C．7．（5分）已知p为直线x+y﹣2＝0上的点，过点p作圆O：x2+y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点p有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个【解答】解：圆O：x2+y2＝1圆的半径为1，圆的圆心（0，0）到直线x+y﹣2＝0的距离为：＝，垂足就是P，满足p为直线x+y﹣2＝0上的点，过点p作圆O：x2+y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，所以P只有一个．故选：B．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：几何体是上面是半圆锥，下部是半个圆柱，底面半径是2，圆柱的高为4，圆锥的高为2，几何体的体积为：＝．故选：A．9．（5分）已知函数的周期为π，当时，方程f（x）＝m恰有两个不同的实数解x1，x2，则f（x1+x2）＝（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【解答】解：f（x）＝＝＝2sin（）．由T＝，得ω＝2．∴f（x）＝2sin（2x+）．作出函数f（x）在上的图象如图：由图可知，x1+x2＝，∴f（x1+x2）＝2sin（）＝2×＝1．故选：B．10．（5分）中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x＝5，y＝2，输出的n为4，则程序框图中的中应填（）A．y＜x B．y≤x C．x≤y D．x＝y【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝5，y＝2，n＝1x＝，y＝4不满足条件，执行循环体，n＝2，x＝，y＝8，此时，x＞y，不满足条件，执行循环体，n＝3，x＝，y＝16，此时，x＞y，不满足条件，执行循环体，n＝4，x＝，y＝32，此时，x＜y，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为4．可得程序框图中的中应填x≤y？故选：C．11．（5分）已知函数f（x）＝e﹣x﹣2x﹣a，若曲线y＝x3+x+1（x∈[﹣1，1]）上存在点（x0，y0）使得f（y0）＝y0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e﹣3﹣9]∪[e+3，+∞）B．[e﹣3﹣9，e+3]C．（e﹣3﹣9，e2+6）D．（﹣∞，e﹣3﹣9）∪（e+3，+∞）【解答】解：∵y＝x3+x+1在[﹣1，1]上是增函数，∴﹣1≤y0≤3．由f（y0）＝y0可得a＝e﹣3y0，令g（x）＝e﹣x﹣3x（﹣1≤x≤3），显然g（x）为减函数，∴g（x）的最小值为g（3）＝e﹣3﹣9，最大值为g（﹣1）＝e+3．∴a的范围是[e﹣3﹣9，e+3]．故选：B．12．（5分）在四面体ABCD中，，BC＝6，AD⊥底面ABC，△DBC 的面积是6，若该四面体的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是（）A．24πB．32πC．46πD．49π【解答】解：取CD的中点E，连结AE，DE，∵在四面体ABCD中，AD⊥平面BCA，，AE⊥BC，∴DE⊥BC，∵△DBC的面积是6，BC＝6，∴DE＝2，∴AE＝∴AD＝1∴AH＝AD＝设底面ABC的外接圆的圆心为G，可得外接圆半径r＝2．作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，半径为R＝OA．可得：OA2＝AH2+AG2，即R2＝四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2＝49π．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）复数z满足（1﹣2i）z＝7+i，则复数z的共轭复数＝1﹣3i．【解答】解：∵（1﹣2i）z＝7+i，∴z＝＝＝＝1+3i．共轭复数＝1﹣3i．故答案为：1﹣3i14．（5分）已知实数x，y满足约束条件则的最大值等于8．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，验证知在点A（﹣2，1）时，z1＝x+y﹣2取得最小值﹣3，∴z最大是8，故答案为：8．15．（5分）是P为双曲线上的点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且PF2⊥F1F2，PF1与y轴交于Q点，O为坐标原点，若四边形OF2PQ有内切圆，则C的离心率为2．【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），P（c，），直线PF1的方程为y＝x+，即b2x﹣2acy+b2c＝0，四边形OF2PQ的内切圆的圆心为M（，），半径为，∴M到直线PF1的距离d＝＝，化简得：9b2﹣12abc﹣b4＝0，令b＝1可得ac＝，又c2﹣a2＝1，∴a＝，c＝．∴e＝＝2．故答案为：2．16．（5分）数列{a n}满足若a1＝34，则数列{a n}的前100项的和是450．【解答】解：∵数列{a n}满足，∵a1＝34，∴a2＝＝17，a3＝3a2+1＝3×17+1＝52，a4＝＝26，a5＝＝13，a6＝3a5+1＝40，a7＝＝20，a8＝＝10，a9＝＝5，a10＝3a9+1＝16，a11＝＝8，a12＝＝4，a13＝＝2，a14＝＝1，同理可得：a15＝4，a16＝2，a17＝1，……．可得此数列从第12项开始为周期数列，周期为3．则数列{a n}的前100项的和＝（a1+a2+……+a11）+a12+a13+29（a14+a15+a16）＝（34+17+52+26+13+40+20+10+5+16+8）+4+2+29×（1+4+2）＝450．故答案为：450．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c cos B+b cos C ＝2a cos A．（1）求A；（2）若a＝2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵c cos B+b cos C＝2a cos A，∴sin C cos B+sin B cos C＝2sin A cos A．∴sin（B+C）＝2sin A cos A，∴sin A＝2sin A cos A．∵A∈（0，π），∴sin A≠0，∴，∴．（2）∵△ABC的面积为，∴，∴bc＝4．由a＝2，及a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得4＝b2+c2﹣4，∴b2+c2＝8．又bc＝4，∴b＝c＝2．故其周长为6．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC1⊥平面A1BC．（1）证明：平面ABC⊥平面ACC1A1；（2）若BC＝AC＝2，A1A＝A1C，求点B1到平面A1BC的距离．【解答】（1）证明：∵AC1⊥平面A1BC，∴AC1⊥BC．∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1．又BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACC1A1．（2）解：取AC的中点D，连接A1D．∵A1A＝A1C，∴A1D⊥AC．又平面ABC⊥平面ACC1A1，且交线为AC，则A1D⊥平面ABC．∵AC1⊥平面A1BC，∴AC1⊥A1C，∴四边形ACC1A1为菱形，∴AA1＝AC．又A 1A＝A1C，∴△A1AC是边长为2正三角形，∴．∴．设点B1到平面A1BC的距离为h．则．又，∴．所以点B1到平面A1BC的距离为．19．（12分）某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表：由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等．用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过800元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值500元、200元、100元的奖品．已知中奖率为100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为．若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长5%，式预测商场今年国庆期间采办奖品的开销．【解答】解：（1）因消费在区间（0，400]的频率为0.5，故中位数估计值即为400．设所求概率为p，而消费在（0，600]的概率为0.8．故消费在区间（600，800]内的概率为0.2﹣p．因此消费额的平均值可估计为100×0.25+300×0.25+500×0.3+700×（0.2﹣p）+900×p．令其与中位数400相等，解得p＝0.05．故单笔消费额超过800元的概率为0.05．（2）设等比数列公比为q（q＞0），根据题意，即q2+q﹣20＝0，解得q＝4．故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为，，．今年的购物单总数约为20000×1.05＝21000．其中具有抽奖资格的单数为21000×（0.15+0.05）＝4200，故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为200，800，3200．于是，采购奖品的开销可估计为200×500+800×200+3200×100＝580000（元）．20．（12分）已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，P（a，0）为x轴上的点．（1）过点P作直线l与E相切，求切线l的方程；（2）如果存在过点F的直线l′与抛物线交于A，B两点，且直线P A与PB的倾斜角互补，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设切点为，则．∴Q点处的切线方程为．∵l过点P，∴，解得x0＝2a或x0＝0．当a＝0时，切线l的方程为y＝0，当a≠0时，切线l的方程为ax﹣y﹣a2＝0．（2）设直线l′的方程为y＝kx+1，代入x2＝4y得x2﹣4kx﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4．由已知得，即，∴2kx1x2+（1﹣ka）（x1+x2）﹣2a＝0．把①代入②得2ak2+2k+a＝0，③当a＝0时，显然成立，当a≠0时，方程③有解，∴△＝4﹣8a2≥0，解得，且a≠0．综上，．21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣a+lnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x∈（1，+∞）时，曲线y＝f（x）总在曲线y＝a（x2﹣1）的下方，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＝ax﹣a+lnx可得f（x）的定义域为（0，+∞），且，若a≥0，则f′（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a＜0，则当时，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增，当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减．综上，当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．（2）解法一：原命题等价于不等式a（x2﹣1）＞ax﹣a+lnx在x∈（1，+∞）上恒成立，即证lnx+ax﹣ax2＜0在x∈（1，+∞）上恒成立，令F（x）＝lnx+ax﹣ax2，则F（1）＝0，，设，（i）当a≤0时，g（x）在（1，+∞）上单调递增，又∵g（1）＝1﹣a＞0，∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0恒成立，即F′（x）＞0恒成立．∴F（x）＞0，与题意不符，舍去．（ii）当a＞0时，若F（x）＜0在x∈（1，+∞）上恒成立，只需F（x）在（1，+∞）上单调递减，即g（x）＜0在（1，+∞）上恒成立．又∵g（x）在上单调递减，∴g（1）＝1﹣a≤0，即a≥1．解法二：原命题等价于不等式a（x2﹣1）＞ax﹣a+lnx在x∈（1，+∞）上恒成立，即∀x∈（1，+∞），不等式a（x2﹣x）＞lnx恒成立．∵当x＞1时，x2﹣x＞0，∴，即证当x＞1时，a大于的最大值．又∵当x＞1时，0＜lnx＜x﹣1＜x（x﹣1），∴，综上所述，a≥1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为，P为曲线C 上的动点，C与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．（1）求线段OP中点Q的轨迹的参数方程；（2）若M是（1）中点Q的轨迹上的动点，求△MAB面积的最大值．【解答】解：（1）由C的方程可得ρ2+3ρ2sin2θ＝16，又ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ，∴C的直角坐标方程为x2+4y2＝16，即．设P（4cosθ，2sinθ），则Q（2cosθ，sinθ），∴点Q的轨迹的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）知点Q的轨迹的普通方程为，A（4，0），B（0，2），，所以直线AB的方程为x+2y﹣4＝0．设M（2cosθ，sinθ），则点M到AB的距离为，∴△MAB面积的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣2|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）若关于x的不等式f（x）＞ax只有一个正整数解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当x≤﹣2时，x﹣4≤1，解得x≤5，∴x≤﹣2；当﹣2＜x≤1时，3x≤1，解得，∴；当x＞1时，﹣x+4≤1，解得x≥3，∴x≥3．综上，不等式的解集为．（2）作出函数y＝f（x）与y＝ax的图象，由图象可知当1≤a＜3时，不等式只有一个正整数解x＝1，∴1≤a＜3．第21页（共21页）。

山西省孝义市2018届高三下学期一模考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合，，全集，则（）A。

B. C。

D.【答案】A【解析】因为集合，,则，故选A.2. 已知平面向量，，则向量的模是（）A. B。

C. D.【答案】C【解析】因为向量，，，，故选C。

3。

“”是“”的（）A。

充分不必要条件 B。

必要不充分条件 C. 充要条件 D。

既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，满足,但不成立,当时，一定成立，所以是的必要不充分条件，故选B．。

...。

..。

.。

.。

.4. 问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减,初日织五尺，末一日织一尺,计织三十日,问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》,该问题的答案是（）A. 尺 B。

尺 C。

尺 D。

尺【答案】A【解析】由已知可得该女子三十日每日织布数组成一个等差数列，设为,且，则，故选A.5。

若函数为奇函数,则（ )A。

B。

C. D.【答案】D【解析】函数为奇函数，所以可得，，故选D。

6. 从装有大小材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中,随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记个红球分别为，个黑球分别为,则随机取出两个小球共有种可能:，其中两个小球同色共有种可能,,根据古典概型概率公式可得所求概率为，故选C.【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键,基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出：先，…。

，再，…。

依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生。

7。

已知为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，，若，则这样的点有（）A. 个 B。

【题文】 已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，且点F 1到椭圆C 上任意一点的最大距离为3，椭圆C 的离心率为12
. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)是否存在斜率为－1的直线l 与以线段F 1F 2为直径的圆相交于A 、B 两点，与椭圆相交于
C 、D
，且
CD AB =l 的方程；若不存在，说明理由. 【答案】
【解析】
(1)设1F ，2F 的坐标分别为(),0c -，(),0c ，根据椭圆的几何性质可得312a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2a =，1c =，则222
3b a c =-=，故椭圆C 的方程为22
143x y +=. (2)假设存在斜率为1-的直线l ，那么可设为y x m =-+，则由(1)知1F ，2F 的坐标分别为
()1,0-，()1,0，可得以线段12F F 为直径的圆为221x y +=，圆心()0,0到直线l
的距离
1d =<
，得m <，
AB ==， 联立22
143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩
得22784120x mx m -+-=，设()11,C x y ，()22,D x y ， 则()()()
2222847412336484870m m m m ∆=-⨯-=-=->， 得2
7m <，1287m x x +=，2124127m x x -=
，12CD x =-==解得2123m =<
，得m =.
即存在符合条件的直线:l y x
=-.
【标题】山西省孝义市2018届高三下学期名校最新高考模拟卷（一）数学（理）试题【结束】。