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4.1 目标规划的数学模型

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目标规划模型

目标规划模型

目标规划模型 Prepared on 22 November 2020§ 目标规划模型1. 目标规划模型概述1)引例目标规划模型是有别于线性规划模型的一类多目标决策问题模型，通过下面的例子，我们可看出这两者的区别。

例1 某工厂的日生产能力为每天500小时，该厂生产A 、B 两种产品，每生产一件A 产品或B 产品均需一小时，由于市场需求有限，每天只有300件A 产品或400件B 产品可卖出去，每出售一件A 产品可获利10元，每出售一件B 产品可获利5元，厂长按重要性大小的顺序列出了下列目标，并要求按这样的目标进行相应的生产。

（1）尽量避免生产能力闲置；（2）尽可能多地卖出产品，但对于能否多卖出A 产品更感兴趣； （3）尽量减少加班时间。

显然，这样的多目标决策问题，是单目标决策的线性规划模型所难胜任的，对这类问题，须采用新的方法和手段来建立对应的模型。

2）相关的几个概念（1）正、负偏差变量+d 、-d 正偏差变量+d 表示决策值),,2,1(n i x i =超过目标值的部分；负偏差变量-d 表示决策值),,2,1(n i x i =未达到目标值的部分；一般而言，正负偏差变量+d 、-d 的相互关系如下：当决策值),,2,1(n i x i =超过规定的目标值时，0 ,0=>-+d d ；当决策值),,2,1(n i x i =未超过规定的目标值时，0 ,0>=-+d d ；当决策值),,2,1(n i x i =正好等于规定的目标值时，0 ,0==-+d d 。

（2）绝对约束和目标约束绝对约束是必须严格满足的等式约束或不等式约束，前述线性规划中的约束条件一般都是绝对约束；而目标约束是目标规划所特有的，在约束条件中允许目标值发生一定的正偏差或负偏差的一类约束，它通过在约束条件中引入正、负偏差变量+d 、-d 来实现。

（3）优先因子（优先级）与权系数目标规划问题常要求许多目标，在这些诸多目标中，凡决策者要求第一位达到的目标赋予优先因子1P ，要求第二位达到的目标赋予优先因子2P ，……，并规定1+>>k k P P ，即1+k P 级目标的讨论是在kP 级目标得以实现后才进行的（这里n k ,,2,1 =）。

目标规划的图解法

目标规划的图解法

O
50
E 500/11;500/11 ; d1 d1 d2 d2 0 D 360/7;360/7 ; d1 d1 d2 0,d2 92/7
C 100 l2
150
d
2
d
2
l4
x1 l1
小结
第一节 目标规划的基本概念与数学模型 一 问题的提出 二 目标规划的基本概念
1 决策变量与偏差变量 ２ 目标约束与绝对约束 ３ 目标规划的目标函数达成函数 ４ 优先因子与权系数
x1
2 x2
d3d3 6
x1,x2
0,di,di
0,(i
1,2,3) x2
l2
(l1)
(l2)
考虑P2 级目标，由于直线 交，所以在R1 内无法使
dl22与(Rl031不)因相此
在不退化P1 级目标时，不可能使P2 级
目标完全满足．这样R2 就缩为一点，
因为在R1中，使 达到d 最小的为A点，
所以：x* = (10 ,0),
关于最优解：线性规划是在可行解域内寻找某一点;
使单个目标达到最优值最大值或最小值 而目标规划是在
可行域内;首先寻找到一个使P1级目标均满足的区域R1; 然后再在R1中寻找一个使P2级目标均满足或尽最大可能 满足的区域R2R1;再在R2中寻找一个满足P3的各目标的 区 域 R3R2R1;…; 如 此 下 去 ; 直 到 寻 找 到 一 个 区 域 RkRk1…R1;满足Pk级的各目标;这个Rk即为所求的解 域;如果某一个Ri 1 i k已退化为一点;则计算终止;这一 点即为满意解;它只能满足P1;…;Pi 级目标;而无法进一步 改进;当然;此时或许有低于Pi级目标被满足;这纯属巧合
2x1 1.5x2 180

运筹学习题答案(第四章)

运筹学习题答案(第四章)

售价（ /kg） 售价（元/kg） 5.5 5.0 4.8
解： x11 = 1125 , x12 = 300 , x13 = 75 , x 21 = 1125 , x 22 = 200 , x 23 = 675 , x 31 = 0 , x 32 = 1000 , x 33 = 0 , d 1− = 225 , d 3− = 50 , d 5− = 375 , d 7+ = 250 满足所有目标
} } }
(2) max 不正确
{d {d {d
−
−d+ −d+
}
−
(4) min
−
} }
d + = 0时正确
+
(6) min
+
−d−
d + = 0时正确
d − = 0时正确
page 2 24 September 2011
School of Management
运筹学教程
第四章习题解答
4.2 用图解法解下列目标规划问题： 用图解法解下列目标规划问题：
page 13 24 September 2011
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运筹学教程
第四章习题解答
表4-15 项 目 维生素A mg） 维生素A（mg） 维生素B mg） 维生素B（mg） 维生素C mg） 维生素C（mg） 胆固醇（单位） 胆固醇（单位） 费用（ 费用（元） 牛奶 牛肉 鸡蛋 500g） 500g） 500g） （500g） （500g） （500g） 1 100 10 70 1.5 1 10 100 50 8 10 10 10 120 4 每日最少 需要量 1 30 10
page 14 24 September 2011

第9章目标规划

第9章目标规划

d
2

400 560
(1) (2)

2x1

2x2

d
3

d
3
120
(3)

x1

2.5x2

d
4

d
4
100
(4)

x1、x2
,
d
j 、d
j

0,
j
1,,4
满意解是线段 BC 上任意点，端点的
解是 B(100/3，80/3)，C(60，0)． 决策者根据实际情形进行二次选择．
原材料供应严格限制 2x1+x2≤11
考虑级别： 第一级： (1)产品乙的产量不低于产品甲的产量
∵ x1≤x2
∴ x1－ x2 ≤0
∴ x1－x2+ d1－ － d1+=0
第二级：(2)充分利用设备有效台时，不加班 x1+2x2+ d2－ － d2+=10
第三级： (3充)分利利润用不设小于56元
(6)

x1, x2 di , di 0 (i 1, , 4)
C
(3) d1
d1 2
A
min d3 d3
满意解 C(3,3)
min d1
x1
o
2
4
6
图2－1
满意解X＝(3,3)
问题1：最后的利润是多少？
20x1+40x2+d1—d1+=80 x1=3, x2=3 得到d1+=100 利润=180
目标约束： ①在绝对约束中加入正负偏差量就变为目
标约束； ②线性规划问题的目标函数，在给定目标

运筹学第4章上

运筹学第4章上

min z f (d , d )
（2）要求决策值不超过目标值，即正偏差尽可能的小，其构 造形式为：


min z f (d )
（3）要求决策值可以超过目标值，即负偏差尽可能的小，其 构造形式为：

min z f (d )
China University of Mining and Technology
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-9-
运 筹 学
目标规划的数学模型
如：在引例中,利润的目标值为32，可能目标值会达不到，所 以加上一个负偏差变量d3-≥0，把目标函数变成
3x1 5 x2 d3 32
但是同样，目标值也有可能会超出，所以减去一个正偏差变量 d3+≥0，把目标函数变成
另一种差别是相对的，这些目标具有相同的优先因子，它们 的重要程度可用权系数wj的不同来表示。
-13-
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运 筹 学
4. 目标函数
目标规划的数学模型
目标函数由于偏差变量、优先因子和权系数的出现，显然其 构造与线性规划时的构造要有所不同. 决策者的目标是要做到决策值与目标值的偏差能够尽可能的 小，因此目标函数应该是一个与偏差有关的函数：
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运 筹 学
3. 目标的优先级与权系数
不同目标的主次轻重有两种差别：
目标规划的数学模型
一种差别是绝对的，可用优先因子Pj来表示。
只有在高级优先因子对应的目标已满足的基础上，才能考虑较低 级优先因子对应的目标；在考虑低级优先因子对应的目标时，绝不 允许违背已满足的高级优先因子对应的目标。 优先因子间的关系为Pj >> Pj+1 ，即Pj对应的目标比Pj+1对应的目 标有绝对的优先性。

数学建模 四大模型总结

数学建模 四大模型总结

四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。

1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。

1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。

该问题属于NP 难问题。

● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。

工人i 完成工作j 的时间为ij d 。

如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。

二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

TSP 问题是VRP 问题的特例。

● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。

运筹学课堂PPT4.2目标规划的图解法

运筹学课堂PPT4.2目标规划的图解法

x1
,
x2
,
d
j
,
d
j
d1 0
d1
80
(3)
最优解空间：ABCD
(2) C
B
x1
(1) (3)
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3
(d
3
d
3
)
P4d
4
3x1 12
(1)
x2
4 x2 16
复习：两平行直线间的距离公式
Ax By d d C（目标约束）
y
d d 0
Ax By C
d 0 ( x0 , y0 )
d
正负偏差变量中至少有一个零，如：
A2 B2
x Ax By C
Ax By d d C d 0, d 0
Ax By d C
Ax By C d C（在下半平面）
P2d4
P3d
3
P4 (2d1
d
2
)
x1 30 x2 20 / 3
x2
d1 0
d1 0
d
2
25 /
3
d2 0
d
3
680
d
3
0
d
4
0
d4 0
D
E(35/2,15)
(2)
min Z (0, 0, 680, 25 / 3)
F(30,20/3)
A
B
x1
(1)
(4) (3)
4.2 目标规划的图解法
差变量大于零的区域。
(1) (2) (3)
（平行） (4)
(2)
x1

《运筹学》教案-目标规划数学模型

《运筹学》教案-目标规划数学模型

《运筹学》教案-目标规划数学模型第一章：目标规划概述1.1 目标规划的定义与意义1.2 目标规划与其他规划方法的区别1.3 目标规划的应用领域1.4 目标规划的发展历程第二章：目标规划的基本原理2.1 目标规划的基本假设2.2 目标规划的数学模型2.3 目标规划的求解方法2.4 目标规划的评估与决策第三章：目标规划的数学模型3.1 单一目标规划模型3.2 多目标规划模型3.3 带约束的目标规划模型3.4 动态目标规划模型第四章：目标规划的求解方法4.1 线性规划求解方法4.2 非线性规划求解方法4.3 整数规划求解方法4.4 遗传算法求解方法第五章：目标规划的应用案例5.1 生产计划目标规划案例5.2 人力资源规划目标规划案例5.3 投资组合目标规划案例5.4 物流配送目标规划案例第六章：目标规划的高级应用6.1 目标规划在供应链管理中的应用6.2 目标规划在项目管理中的应用6.3 目标规划在金融管理中的应用6.4 目标规划在能源管理中的应用第七章：目标规划的软件工具7.1 目标规划软件工具的介绍7.2 常用目标规划软件工具的操作与应用7.3 目标规划软件工具的选择与评估7.4 目标规划软件工具的发展趋势第八章：目标规划在实际问题中的应用8.1 目标规划在制造业中的应用案例8.2 目标规划在服务业中的应用案例8.3 目标规划在政府决策中的应用案例8.4 目标规划在其他领域的应用案例第九章：目标规划的局限性与挑战9.1 目标规划的局限性分析9.2 目标规划在实际应用中遇到的问题9.3 目标规划的发展趋势与展望9.4 目标规划的未来研究方向10.1 目标规划的意义与价值10.2 目标规划在国内外的发展现状10.3 目标规划在未来的发展方向10.4 对运筹学领域的发展展望重点和难点解析重点环节一：目标规划的数学模型补充和说明：在讲解目标规划的数学模型时，重点关注单一目标规划模型和多目标规划模型的构建。

目标规划的数学模型概述

目标规划的数学模型概述

3
通过权重调整，可以突出或降低某个目标在整体 优化中的地位，从而在满足其他目标的同时，更 好地实现关键目标。
约束处理策略
约束处理策略是目标规划中处理各种限制条件的关键 技术，包括等式约束、不等式约束和边界约束等。
约束处理策略的目标是在满足所有约束条件的前提下 ，实现目标的优化。
常见的约束处理方法包括消元法、增广拉格朗日乘子 法和罚函数法等，这些方法可以根据问题的特性和约
金融投资中的目标规划
总结词
金融投资中的目标规划旨在实现投资组合的优化配置，以最大化收益或最小化风险为目标。
详细描述
在金融投资中，目标规划用于确定最佳的投资组合配置，以最大化投资收益或最小化投资风险。通过 设定具体的目标函数和约束条件，金融投资中的目标规划可以找到平衡收益和风险的最佳解决方案， 帮助投资者实现投资目标。
最优解是指在满足约束条件的前 提下，使目标函数达到最优值的 解。
目标规划的解法
解析法
解析法是通过分析目标函数的性 质和约束条件的特点，采用数学 分析的方法来求解最优解的方法 。
梯度法
梯度法是通过计算目标函数的梯 度，采用迭代的方法来求解最优 解的方法。
遗传算法
遗传算法是一种基于生物进化原 理的优化算法，通过模拟自然选 择和遗传机制来求解最优解的方 法。
遗传算法在处理多目标优化、约束优化和大规模优化问题时具有较好的性 能表现，广泛应用于机器学习、数据挖掘、机器人等领域。
模拟退火算法
模拟退火算法是一种基于物理退火过程的随机 搜索算法，通过模拟固体退火过程来寻找最优 解。
模拟退火算法采用一定的概率接受劣质解，以 避免陷入局部最优解，并逐步寻找全局最优解 。
生产计划中的目标规划

运筹学习题答案(第四章)

运筹学习题答案(第四章)

page 13 28 December 2013
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运筹学教程
第四章习题解答
表4-15 项 目 牛奶 牛肉 鸡蛋 （500g） （500g） （500g） 每日最少 需要量
维生素A（mg）
维生素B（mg） 维生素C（mg） 胆固醇（单位） 费用（元）
1
100 10 70 1.5


满足P、P2 , 不满足P3 1
page 4 28 December 2013
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运筹学教程
第四章习题解答
4.3 用单纯形法解下列目标规划问题：
min P ( d1 d1 ), P2 d 2 , P3 d 3 , P4 (5d 3 3d 2 ) 1 x1 x2 d1 d1 800 d 2 d 2 2500 (1) 5 x1 st. 3 x2 d 3 d 3 1400 x1 , x2 , d i , d i 0, i 1,2,3 解：x1 500 , x2 300 , d 2 10, d 3 200
?????????运筹学教程运筹学教程44对于目标规划问题xx?????32?3?24?8080534p353pmin211ddddxxdddddpdp第四章习题解答第四章习题解答schoolofmanagementschoolofmanagementpagepage7727january201427january2014????????????4?43?32?243210104570211211121iddxxdddddxddxstii运筹学教程运筹学教程第四章习题解答第四章习题解答321132110252070pppddxx不满足满足解

《运筹学》教案目标规划数学模型

《运筹学》教案目标规划数学模型

《运筹学》教案-目标规划数学模型教案章节：一、引言教学目标：1. 理解目标规划数学模型的基本概念。

2. 掌握目标规划数学模型的建立方法。

教学内容：1. 目标规划数学模型的定义。

2. 目标规划数学模型的建立步骤。

教学方法：1. 讲授法：讲解目标规划数学模型的基本概念和建立方法。

2. 案例分析法：分析实际案例，让学生更好地理解目标规划数学模型。

教学准备：1. 教案、PPT、教学案例。

2. 投影仪、白板、教学用具。

教学过程：1. 引入新课：通过讲解目标规划数学模型的定义和应用领域，引发学生对该课题的兴趣。

2. 讲解基本概念：讲解目标规划数学模型的基本概念，包括目标、约束条件、优化方法等。

3. 讲解建立方法：讲解目标规划数学模型的建立步骤，包括明确目标、确定约束条件、选择优化方法等。

4. 案例分析：分析实际案例，让学生更好地理解目标规划数学模型。

5. 课堂练习：让学生运用所学的知识，解决实际问题，巩固所学内容。

6. 总结与展望：总结本节课的重点内容，布置课后作业，预告下一节课的内容。

教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和准确性。

2. 学生参与案例分析和课堂练习的积极性和主动性。

3. 学生对目标规划数学模型的理解和应用能力。

教案章节：二、线性规划数学模型教学目标：1. 理解线性规划数学模型的基本概念。

2. 掌握线性规划数学模型的建立方法。

教学内容：1. 线性规划数学模型的定义。

2. 线性规划数学模型的建立步骤。

教学方法：1. 讲授法：讲解线性规划数学模型的基本概念和建立方法。

2. 案例分析法：分析实际案例，让学生更好地理解线性规划数学模型。

教学准备：1. 教案、PPT、教学案例。

2. 投影仪、白板、教学用具。

教学过程：1. 引入新课：通过讲解线性规划数学模型的定义和应用领域，引发学生对该课题的兴趣。

2. 讲解基本概念：讲解线性规划数学模型的基本概念，包括决策变量、目标函数、约束条件等。

3. 讲解建立方法：讲解线性规划数学模型的建立步骤，包括明确目标、确定决策变量、列出约束条件等。

目标规划模型

目标规划模型

目标规划模型目标规划模型是一种运筹学方法，旨在通过设定目标和制定规划方案，达到最优化的决策结果。

该模型适用于存在多个决策目标和多个决策方案的情况。

目标规划模型由数学方式描述，基于线性规划和多目标规划的基础上发展而来。

其数学模型可以表示为：Minimize ∑(w_i × d_i)Subject to ∑(w_i × p_i) ≤ b_j其中，w_i代表目标i的权重，d_i代表达成目标i的距离，p_i 代表决策方案i的指标，b_j代表决策方案j的上限约束。

目标规划模型的求解过程主要包括以下几个步骤：1. 制定目标：明确决策的目标，并设定权重，表示各个目标的重要性。

2. 设定规划方案：明确可供选择的决策方案，并确定每个方案的性能指标。

3. 构建数学模型：将目标和规划方案用数学方式表示，并建立目标规划模型。

4. 求解模型：通过数学优化方法求解目标规划模型，找到最优的决策方案组合。

5. 分析结果：分析模型的解，评估决策方案的优劣，并做出决策。

目标规划模型具有以下的优点和特点：1. 支持多目标决策：目标规划模型可以同时考虑多个决策目标，避免了传统单目标优化方法的局限性。

2. 考虑目标之间的权重：通过设定目标的权重，可以具体体现各个目标的重要性，使决策结果更加符合实际情况。

3. 支持多个约束：目标规划模型可以同时考虑多个约束条件，确保决策方案不违反约束条件。

4. 解释性强：目标规划模型的结果可以直观地解释，便于决策者理解和接受。

目标规划模型可以广泛应用于各个领域，如企业生产管理、资源配置、项目决策等。

通过建立合理的目标和规划方案，可以帮助决策者做出优化的决策，并提高决策的效果。

数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结

数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结

数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。

如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。

案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。

建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。

然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。

整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。

整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。

多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。

目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。

目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。

设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。

设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。

在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。

运筹学第4章

运筹学第4章

3x15x2d332
综合考虑后，得到结果
3x15x2d3 d3 32 其中 d3 , d3 0
目标规划的数学模型
产品 甲 乙 资源量
可以用同样的方式来处理其它提出的 资源
决策要求：
设备/台时 3
2
18
原料A/吨
1
0
4
（1）要求甲产品产量不大于乙产品产量。 原料B/吨 0 2 12
如：在引例中，利润的目标值为32， 可能目标值会达不到，所以加上一个
产品 资源
甲 乙 资源量
设备/台时 3
2
18
负偏差变量d3-≥0，把目标函数变成
原料A/吨
1
0
4
3x15x2d332
原料B/吨 单位赢利/
0 3
2 5
12
万元
但是同样，目标值也有可能会超出，所以减去一个正偏差变量
d3+≥0，把目标函数变成
A）恰好达到目标值 B）允许超过目标值 C）不允许超过 目标值
构造一个由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实 现极小化的目标函数.
用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列出 目标的优先级和
权系数
构造目标规 划模型
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
目标规划的数学模型
求出满意解 分析各项目标
完成情况
p （3 3）计划利润指标32，并且尽可能达到或超过这个利润指标.
问：如何安排生产可以使得获利最大？
分析：
p（1 1）要求甲产品的产量不大于乙产品的产量；
（1）产量偏差变量
d1 , d1 0
p 2（2）尽可能充分利用设备台时，不希望加班生产；

目标规划数学模型与图解法

目标规划数学模型与图解法

12
第2节 解目标规划的图解法

对只有两个决策变量的目标规划问题，可以用图解法来 求解，以例2说明之（图5-1）。
min z P d P ( d d ) P d 1 1 2 2 3 3 2
2 x1 x2 11 x x d d 1 0 1 2 1 x 2 x d d 1 2 2 2 10 8 x 10 x d d 2 3 3 56 1 x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 i i
6

第1节 目标规划的数学模型

2.绝对约束和目标约束

绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式 约束，如线性规划问题的所有约束条件，不能满 足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是 硬约束。 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看 作要追求的目标值。在达到此目标值时允许发生 正或负偏差。因此在这些约束中加入正、负偏差 变量，它们是软约束。
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第1节 目标规划的数学模型

这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题， 目标规划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面 引入与目标规划模型有关的概念。 1.正、负偏差变量d+，d− 设 x 1 ， x 2 为决策变量，正偏差变量 d ＋ 表示决策值超过 目标值的部分；负偏差变量 d−表示决策值未达到目标 值的部分。因决策值不可能既超过目标值同时又未达 到目标值，即恒有 d+×d− = 0。
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第2节 解目标规划的图解法

注意：求解目标规划问题时，把绝对约束作为最 高优先级考虑。在本例中，能依先后次序都满足 d1+=0，d2++d2−=0，d3−=0，因而z*=0。但在大多 数问题中并非如此，会出现某些约束得不到满足， 故将目标规划问题的最优解称为满意解。

数学模型----目标规划模型

数学模型----目标规划模型

目标规划模型企业内部的生产计划有各种不同的情况。

从空间层次看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产作业计划。

从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。

接下来我们就用案例来建立这类问题的数学模型，并利用软件求解并对输出结果作一些分析。

案例1.加工奶制品的生产计划问题一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1，或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2。

根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。

现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多能加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制。

试为该工厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个问题：（1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？（2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？（3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？每天：50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A1案例2.奶制品的生产销售计划问题例1给出的A1，A2两种奶制品的生产条件、利润、及工厂的“资源”限制全都不变。

为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1，也可将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2，每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元，试为该工厂制订一个生产销售计划，使每天的净利润最大。

案例3.自来水输送问题问题某市有甲，乙，丙，丁四个居民区，自来水由A、B、C 三个水库供应。

4.1 数学规划

4.1 数学规划

例2： （最优国民经济计划问题）假设国民经济分三个 部门，每个部门生产单位产值所消耗的各部门的 产值、占用的资金数量及消耗的劳动量如下表。 已知三个部门现有资金700个单位，劳动力200个 单位。 部门1 部门2 部门3
0.0109 0.1518 0.0038 0.1318 0.1822 0.0845 0.0550 0.0599 0.0647 2.0 2.5 1.8 资金占用量 0.2 0.3 0.2 劳动力消耗量 部门1 部门2 部门3
目标函数等值线：
（2）绘制目标函数等值线； （3）移动目标函数等值线， 求最优解。
x2
800 400
X ∗ = (15,10)T Z ∗ = 8500
(1 5 , 1 0 )
Z = 300x1 + 400x2
3 Z x2 = − x1 + 4 400
0
0
maxZ
x1
最优解唯一 例3 用图解法求解例1-1的最优解 max Z = 300 x1 + 400 x2 （1）求可行域；
s .t .
⎧ 2 x1 + x2 ≤ 40 ⎪ ⎨ x1 + 1.5 x2 ≤ 30 ⎪ x ,x ≥0 1 2 ⎩
注：图解法只能求解两个 变量的线性规划问题。
（2）绘制目标函数等值线； （3）移动目标函数等值线， 求最优解。
x2
800 400
X ∗ = (15,10)T Z ∗ = 8500
(1 5 , 1 0 )
第一章 线性规划
1.1 数学模型 1.2 1.3 1.4 1.5 图解法 线性规划的标准形 线性规划的有关概念 单纯形方法
例3 用图解法求解例1-1的最优解 max Z = 300 x1 + 400 x2 （1）求可行域；

目标规划

目标规划

5、满意解（具有层次意义的解）
对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分 实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现。
例题4—2： 解：确定优先因子后得数学模型： min Z =P1 d1+ +P2 (d2- +d2+ )+P3 d32x1 +x2 ≤11 （在绝对约束基础上进行目标规划） x1 - x2 + d1- - d1+ = 0
(要求： d1+ 尽可能小，最好是0才能满足 ≤ )
x1 +2x2 + d2- - d2+ =10
（要求：d2- 和 d2+ 都尽可能小，最好等于0）
8x1 +10x2 + d3- - d3+ =56
（要求：d3- 尽可能小，最好是0才能满足≥）
x1 , x2 , di- ,di+ ≥0
规划模型：
目 标 规 划
(Goal programming)
目标规划概述
目标规划的数学模型 目标规划的图解法
目标规划的单纯形法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
（一）、目标规划与线性规划的比较
1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约 束条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可 求得更切合实际的解。 2、线性规划求最优解；目标规划是找到一个满意解。
目标函数
变量 约束条件
解
目标规划GP min , 偏差变量 系数≥0 xi xs xa d 目标约束 系统约束 最满意
三、目标规划的图解法
图解法同样适用两个变量的目标规划问题，但其操 作简单，原理一目了然。同时，也有助于理解一般目 标规划的求解原理和过程。 图解法解题步骤如下： 1、确定各约束条件的可行域，即将所有约束条件 （包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量） 在坐标平面上表示出来； 2、在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、 负偏差变量值增大的方向；
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2、目标约束和绝对约束
（1）目标约束是目标规划中所特有的， 可把约束条件的右端项看作要追求的目标值； 也可以对目标函数规定一个目标值。 在达到此目标值时允许发生正或负偏差， 因此可在这些约束或目标函数中加入正、负偏差变量； 引入目标值和正、负偏差变量后， 把原目标函数和原约束条件转化成约束方程， 都并入到约束条件中， 我们称这类具有机动余地的约束为目标约束 。 也称为软约束。
•缺点是：这个最优解若是超过了实际的需要，很 可能是以过分地消耗了约束条件中的某些资源作为 代价。 •线性规划把各个约束条件的重要性都不分主次地 等同看待，这也不符合实际情况。
•求解线性规划问题，首先要求约束条件必须相 容，如果约束条件中，由于人力，设备等资源条 件的限制，使约束条件之间出现了矛盾，就得不 到问题的可行解， 但实际中出现矛盾时，生产还得继续进行，这将 给人们进一步应用线性规划方法带来困难。
maxZ=70 x1 + 120 x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
显然，这是一个多目标规划问题，用线性规划 方法很难找到最优解。
对于多目标问题，线性规划很难为其找到
最优方案．极有可能出现：第一个方案使第一目 标的结果优于第二方案，而对于第二目标，第二 方案优于第一方案．就是说很
分析：这是一个含有两个目标的数学规划问题． 设 若只考虑花钱最少，则 x1 ,x2分别为采购甲级、乙级原材料的数量 显然属于线性规划问题， 若只考虑采购数量最 （单位：kg）
由（1），（3）至（6） 多，则也属于线性规 构成它的数学模型 划问题，由（2）， （3）至（6）构成它 y2为所购原料总量．则： 的数学模型
（2）绝对约束（系统约束） 是指必须严格满足的等式或不等式约束。 如线性规划中的所有约束条件都是绝对约束， 否则无可行解。 所以，绝对约束是硬约束。
①将原目标函数转化为目标约束： （需引入目标值和正、负偏差变量） 例如：在下例中，规定Z1 的目标值为 50000, 正、负偏差为d＋、d－ ,则目标函数可以转换为目标约 maxZ1=70 x1 + 120x2 束，即70 x1 + 120 x2＋ d1 d1 maxZ2= x1 ＝50000， 同样，若规定产品甲期望值是maxZ3= x2 200件，产品乙期望 9 x1 +4 x2 ≤3600 值是 250件,则有： 4 x1 +5 x2 ≤ 2000
(二)、目标规划的基本概念 多目标规划问题的一般形式如下(简记为：GP1)
Max y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn C1 X Max y2 c21 x1 c22 x2 c2 n xn C 2 X Max y c x c x c x C X m m1 1 m2 2 mn n m
因此目标规划的目标函数只能是一个使总偏差量为 最小的目标函数，
记为 minZ = f（d＋、d－）。
一般说来，对于达成函数有以下三种情况， 但只能出现其中之一： ⑴.要求恰好达到规定的目标值， 即正、负偏差变量要尽可能小， 则minZ = f（d＋＋ d－）。 ⑵.要求不超过目标值， 即允许达不到目标值， 也就是 正偏差变量尽可能小， 则minZ = f（d＋）。 ⑶.要求超过目标值， 即超过量不限，但不低于目标 值， 也就是负偏差变量尽可能小， 则minZ = f（d－）。 这样根据各个目标的不同要求，可确定出总的目标 函数
目标规划正是在线性规划的基础上为适应这种复 杂的多目标最优决策的需要，而发展起来的． 它对众多的目标分别确定一个希望实现的目标值 然后按目标的重要程度（级别）依次进行考虑与 计算，以求得最接近各目标预定数值的方案． 如果某些目标由于种种约束不能完全实现，它也 能指出目标值不能实现的程度以及原因，以供决 策者参考．
从线性规划问题可看出： 线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标 函数取得最优解. 而在企业管理中，经常遇到多目标决策问题， 如拟订生产计划时，不仅考虑总产值，同时要考虑 利润，产品质量和设备利用率等。 这些指标之间的重要程度（即优先顺序）也不相同， 有些目标之间往往相互发生矛盾。 •线性规划致力于某个目标函数的最优解，
x1 d d 200 x2 d d 250
2 3
2 3
d , d 0 ( j 1.2.3)
j
3 x +10 x ≤3000 2 j x 1， x ≥0 1 2
maxZ1=70 ②将原约束条件转化为目标约束。 = xx1 + 120x2 maxZ
矩阵表示为：
MaxY CX , AX B 约束条件 : X 0 (GP1)
其他情况：如目标函数为 min y , 约束条件
为“≥”，都可作适当的变换，调整为上面的形
式.
对于多目标问题中大多的情况是：
由于多目标之间存在相互矛盾，
最优解往往不可能存在， 这就要求我们退而求其次， 根据目标之间的相对重要程度， 分等级和权重， 求出相对最优解——有效解（满意解）， 为此引入以下概念，
盾方程时，线性规划方法是无法解决的．实践中，
人们转而采取“不求最好，但求满意”的策略，
在线性规划的基础上建立一种新的数学规划方
法——目标规划．
二 目标规划概述 目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。 （一）目标规划与线性规划的比较 1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约 束条件下的极值问题； 而目标规划是多个目标决策，可求得更切合实际的解。 2、线性规划求最优解； 目标规划是找到一个满意解。
5、满意解（具有层次意义的解） 对于这种解来说， 前面的目标可以保证实现或部分实现， 而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现。
在一次决策中，实际值不可能既超过目标值又 未达到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,
并规定d＋≥0, d－≥0 实际操作中，当目标值确定时，所做的决策只可 能出现以下三种情况（即由d+和d- 所构成的3种不 同组合表示的含义）： 当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
2 1
maxZ3= x2 若规定3600的钢材必须用完， 9 x1 +4 x2 ≤3600 原式9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 , d 则变为 9 x1 4 x2 d 4 d 4 3600 d 4 ≤3000 0 4 x1 ， x2 ≥0
表示Pk比Pk+1具有绝对的优先权．
因此，不同的优先因子代表着不同的优先等级．
若要进一步区别具有相同优先级的多个目标，
则可分别赋予它们不同的权系数ωj
(ωj 可取一确定的非负实数)，
根据目标的重要程度而给它们赋值，
重要的目标，赋值较大，
反之ωj 值就小．
4、达成函数（即目标规划中的目标函数） 通过引入目标值和偏差变量，使原规划问题中的目 标函数变成了目标约束， 那么现在问题的目标是什么呢？ 目标规划的目标函数(准则函数) 是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优 先因子及权系数而构造的。 当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小 偏离目标值。
s.t
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x c x c x b k2 2 kn n k k1 1 x1 , x2 , , xn 0
目标规划（Goal Programming，简记为GP) 是在线性规划 的基础 上，为适应经济管理中 多目标决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分 支，是实行目标管理这种现代化管理技术的一个有 效工具. 目标规划的有关概念和模型最早在1961年由美国学 者查恩斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Coopor）在 他们合著的《管理模型和性规划的工业应用》一书 中提出，以后这种模型又先后经尤吉· 艾吉里 （ Yuji.Ijiri）等人的不断完善改进，1976年伊格尼 齐奥（J.P.Ignizio）发表了《目标规划及其扩展》一 书， 系统归纳总结了目标规划的理论和方法 目前研究较多的有线性目标规划、非线性目标规划、 线性整数目标规划和0～1目标规划等. 本章主要研究线性目标规划
一、问题的提出
引例1： 某生物药厂需在市场上采购某种原料， 现市场上有甲、乙两个等级，
单价分别为 2 千元/kg和 1 千元/kg，
要求采购的总费用不得超过 20 万元，
购得原料的总重量不少于 100 kg，
而甲级原料又不得少于 50 kg， 问如何确定最好的采购方案? （即用最少的钱、采购最多数量的原料）．
对目标函数和约束条件作适当处理．
目标规划的基本概念： 目标值和偏差变量 目标约束和绝对约束 达成函数（即目标规划中的目标函数） 优先因子（优先等级）与优先权系数 满意解（具有层次意义的解）

1、目标值和偏差变量
目标规划通过引入目标值和偏差变量， 将原目标函数和原约束条件转化为目标约束。 目标值：是指预先给定的某个目标的一个期望值。 实际值或决策值：是指当决策变量xj 选定以后， 目标函数的对应值。 偏差变量（事先无法确定的未知数）：是指实际值 和目标值之间的差异,记为 d （d≥0 )。 正偏差变量：表示实际值超过目标值的部分， 记为 d＋。 负偏差变量：表示实际值未达到目标值的部分， 记为 d－。
引例2:
某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种 产品，已知资料如表所示。 试制定生产计划，使获得的利润最大？ 同时，根据市场预测: 甲的销路不是太好，应尽可能少生产；乙的销路较好， 可以扩大生产，在此基础上使产量达到最大。 试建立此问题的数学模型。