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哈工大理论力学 第8章 刚体的平面运动

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刚体的平面运动

刚体的平面运动
PAG 13
Northeastern University
§8-2
求平面图形内各点速度的基点法
平面图形内任意A、B两点间速度关系： v ' MO
vB v A vBA

vM
vO '
MB

O' A
vO '
大小 vBA AB 方向 垂直于 AB，朝向图形转动的一方
PAG 9
y'
o'
x'
Northeastern University
§8-1
刚体平面运动的概述和运动分解
y
任意平面运动的分析 在平面图形上任取一点O 做为基点； 在O点假想地做一个平移 参考系Oxy；
y'
x' O'
o
x
平面图形运动时,动坐标轴O'x' 轴、O'y' 轴始终分别 平行于定坐标轴Ox 轴、Oy 轴。 随着基点的平移
用一个平行于固定平面的平面 截割连杆； 截面S ：一个平面图形 过平面图形上任一点作垂直于 图形的直线； 刚体作平面运动 直线作平移
连 杆
平面图形上各点的运动可以代 表刚体内所有点的运动。 刚体的平面运动可简化为平面 图形在它的自身平面内运动。
S
PAG 7
Northeastern University
vO '
M
动系：O'x'y' （平移坐标系）
牵连运动：随O'点的平移 相对运动：绕O'点的圆周运动 绝对运动： 两个运动的合成 vM ve vr vO' vMO'

理论力学8刚体平面运动(Hong)

理论力学8刚体平面运动(Hong)
平移参考系O'x'y'z'
y' y'
x' O'
x' O'
轮子的平面运动
随轮心O´的平移＋绕轮心O´ 的转动
10
•刚体平面运动的特性
• 平面运动可取刚体上任意基点而分解为平移和转动； • 平移的速度和加速度与基点的选择有关； • 平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择 无关。
11
•刚体平面运动的特性（实例证明）
D
r r vM = vMC
vMC = ω ⋅ CM
•分布规律 -平面图形内任意点的 速度等于该点随图形绕瞬 时速度中心转动的速度。
28
r vD
ω
A B
r vA
C
r vB
M
C
r vM
ω
•速度瞬心的确定方法
（1）沿固定表面的纯滚动
r v
C
•速度瞬心：车轮与固定表面的接触点C
29
r r r r （2）已知： v A ,vB ,的方向,且v A 不平行于vB
19
vC = v A + vCA = 2ωO (r1 + r2 )
•基点法解题步骤
（1）分析机构中各物体的运动（平移？定轴转 动？平面运动？）； （2）以平面图形速度已知的点为基点，利用基点 法画速度平行四边形求解； （3）注意：平面图形绕基点转动的角速度和角加 速度与基点的选择无关。 （4）如需再研究另一个作平面运动的物体，可按 上述步骤继续进行。
33
•例8-7 已知：vA，AB= l ，ϕ 求：B端的速度以及AB的角速度
•解：AB作平面运动， 速度瞬心C
r vB
y

理论力学-刚体的平面运动案例

理论力学-刚体的平面运动案例

大小 0
?
2 AB
AO
?
2evr
方向
沿aet方向投影
0
at e
aC
at e
aC
3v 2 4l
AB
aet AO
3 3v2 8l 2
另解： 1.取坐标系Oxy
2. A点的运动方程
xA l cot
3.速度、加速度
xA l sin 2 v
v sin 2
l
v l
sin
2
v2 l2
aB
aA
at BA
an BA
ar
aC
大小 aB
aA ?
2 AE
AB
?
2 AE vr
方向
沿
a
t B
方A 向投影
aB
cos 30o
aA
sin 30o
at BA
aC
沿 a方r 向投影
aB
sin 30
aA
cos 30
an BA
ar
ar 65 mm s2
AE
at BA
AB
3 rad s2 6
第八章 刚体的平面运动
例8-1 已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解： 1. AB作平面运动 基点： A
2. vB vA vBA 大小 ？ vA ? 方向
vB vA cot
vBA
vA
sin
AB
vBA l
vA
l sin
DE
vD DE
vB l
5rad
s
BD
vDB BD

08-理论力学-第二部分运动学第八章刚体的平面运动

08-理论力学-第二部分运动学第八章刚体的平面运动

形S在该瞬时的位置也就确定了。
88
运动学/刚体的平面运动
四、平面运动的分解 ——平移和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则
刚体作定轴转动 。
当图形Ｓ上 角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
例如：车轮的平面运动可以看成: 车轮随同车厢的平移 和相对车厢的转动的合成。
99
2121
如图示平面图形，某瞬时速度瞬心为P点， 该瞬时平面图形内任一点B速度大小
vB vP vBP vBP
B
大小：vB BP
方向：BP，指向与 转向相一致。
vB
S
vA
C
vC
同理:vA=ω·AP, vC=ω·CP
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心 位置和角速度 ，就可求出该瞬时图形上各点的速度。
的平面Ⅱ内的运动。
66
运动学/刚体的平面运动
二、平面运动的简化 刚体的平面运动可以简化为
平面图形S在其自身平面内的运动。 即在研究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需研究平 面图形的运动，确定平面图形上 各点的速度和加速度。
三、平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的
平面图形的位置，我们只需确定平 面图形内任意一条线段的位置。
vBA
s
B
vB vA
A
vA
方向： AB, 指向与 转向一致。
即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随
平面图形绕基点转动的速度的矢量和。 ——基点法
基点法是求解平面图形内一点速度的基本方法。 1414
运动学/刚体的平面运动
二、速度投影法
由于A, B点是任意的，因此

理论力学---第八章_平面运动

理论力学---第八章_平面运动

且
v A 不平行于 v B
。
vA // vB , 且不垂直于AB vB v A v AB vBA 0 AB 0 vB v A vM
瞬时平移(瞬心在无穷远处)
纯滚动(只滚不滑)约束
找出下列平面运动刚体的速度瞬心。 A ω O1 B O2 O A B
:
:
v F
v GF cos 45 v C cos 45 v r
v F
v GF
cos
45 v C cos 45 v G 'C
vr 0
v GF 2 r
vG
5 r
26 . 6
平面机构如图所示。曲柄AB以匀角速度 绕轴A转动，使杆CG绕E轴转动。已知： AB=BE=EC=r。在图示位置时，ED=r，杆AB 和杆CG均处于水平。试求该瞬时: （1） 滑块D相对于杆CG的速度;
c
c
vB
v BA
绕O轴转动。求在图示瞬间点C的速度。已知
v CB
vc
B
B
ABC
vB
vA
ABC
o1
o
0
A
vA
o1
o
0
A
vA
在图示齿轮齿条机构中，已知：齿轮 半径R，曲柄OA= 2 R，以匀角速度 0 绕O轴作 定轴转动，OO1=L。试求图示位置 =45°时， 齿轮O1的角速度。
分析：

DE
v A r
vC O 1C

1
AB

vA r

v B r
AB
vC
v D v F r 1

《理论力学》第八章刚体的平面运动

《理论力学》第八章刚体的平面运动

刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。

理论力学8章分析解析



2018/10/20
理论力学第8章
22

补充例题。圆轮纯滚动的运动特点。 1. 圆轮在水平面上作纯滚动。轮心A作水平直 线运动。 无滑动条件：轮心A的 水平位移OC等于轮缘 滚动过的弧长，即 OC=MC。设OC长度为x， MC的圆心角为φ，则

x r
2018/10/20 理论力学第8章 23

OA sin AB sin r sin sin l
2018/10/20 理论力学第8章 13
2018/10/20
理论力学第8章
14

用基点法建立A和B的 速度关系。
v B v A v BA vB v A sin vBA sin 0 v A cos vBA cos r cos vBA AB l cos cos sin( ) vB r sin r sin r cos cos cos r , cos
2018/10/20
理论力学第8章
34

轮A的速度和加速度分析：
vA v A r A， A 10rad / s R vC 2 R A 4m / s aA aA r A ， A 10rad / s 2 R t n aC a A aCA aCA
v B v A v BA vB cos30 v A cos30 vB sin 30 v A sin 30 vBA v B v A r vBA 0,
2018/10/20
BA 0
理论力学第8章
19


对于轮B： C为瞬心。
vC v B vCB 0 vB vCB vCB vB r vCB B r

理论力学第八章平面运动


vB vA vBA
刚性截面上任一点的速度等于基点的速度与该点随刚性截面
绕基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点 法，它是求解刚性截面内一点速度的基本方法．
2013年1月18日 理论力学T 27
速度投影法 由于A, B点是任意的，因此
vB vA vBA 表示了刚性截面上任意两点
21
曲柄连杆机构
AB杆平面运动的分解
2013年1月18日 理论力学T
22
2013年1月18日 理论力学T
23
2013年1月18日 理论力学T
24
§7.2 平面运动刚体内各点的速度和加速度
1. 平面运动刚体内各点的速度 刚性截面－S 基点－A 定系－O0 x0 y0 平移系－A x y
刚性截面的角速度－ 基点速度－ vA
2013年1月18日 理论力学T
9
平面运动方程
x A x A( t ) yA yA( t )
φ φ( t )
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 x A , y A , ， 刚性截面S在该瞬时的位置也就确定了。
2013年1月18日 理论力学T
10
已知：曲柄连杆机构中OA=r , AB=l;曲柄OA以 = t 绕O轴转动， 为常数。 求：连杆的平面运动方程。
y0
O
A B x0
解：确定连杆平面运动的3个独立变量与时间的关系
连杆的平面运动方程为
x A t rcosω t ,
2013年1月18日 理论力学T
r y A t rsin ω t , φ t arcsin ( sin ω t) l
11
平面运动分解为平移和转动
当刚性截面Ｓ上Ａ点不动时，则刚体作定轴转动 当刚性截面Ｓ上 角不变时，则刚体作平移．

理论力学08_4刚体平面运动微分方程

6 刚体平面运动微分方程刚体的平面运动可简化成刚体的平面图形S 在某一固定平面内的运动，用3个独立坐标描述。

作用在刚体上的外力可简化为S 平面内的一平面力系F i (=1, 2,…,n )。

设坐标系Oxy 为固定的惯性参考系，Cx ′ y ′为质心平移坐标系，如图8-6所示。

平面图形的运动可用质心坐标x C , y C 和绕质心的转动角ϕ描述。

刚体的绝对运动可分解成跟随质心的平移和相对质心平移坐标系的转动。

由动量定理所述，刚体跟随质心的平移仅与外力系的主矢有关，由质点系相对质心的动量矩定理可知，刚体相对质心平移坐标系的运动仅与外力系对质心的主矩有关。

于是，由式(8.1.11)可写出y C x C F ym F x m R R ,==&&&& (8.1.55) 式中m 为刚体的质量，F R x , F R y 分别是外力系的主矢在y x ,方向上的分量。

由式(8.1.54)在垂直于平面图形S 方向上的投影，可得Cz CzM tL =d d (8.1.56) 其中M Cz 是外力系对通过质心且垂直于平面图形S 的轴之矩的代数和。

而ϕ&C Cz J L =，J C 是刚体对于通过质心且垂直于平面图形S 的轴的转动惯量。

应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，得到了三个动力学方程，给出了三个广义坐标x C , y C 和ϕ的封闭方程组，用以解决刚体的平面运动问题。

动力学方程组m (8.1.57)Cz C ni iy C n i ix C M J F ym F x ===∑∑==ϕ&&&&&&,,11称为刚体平面运动微分方程组。

给出相应的初始条件，例如，t ＝0时，刚体质心的位置分别为x C 0和y C 0，质心在初始时的速度分别为和，平面图形S 在初始时的角位移和角速度分别为ϕ0C x &0C y&0和0ϕ&。

哈尔滨工业大学理论力学第八章


3、速度瞬心的确定方法
(1)无滑动的滚动 瞬心：接触点
每一瞬时相应有一瞬心，不同瞬时，瞬心位置不同。 (2)已知：vA,vB 的方向，且vA不平行于 vB 。 瞬心：速度垂线交点
(3)已知：vA，vB 的方向，且vA平行于 vB 。
(a) 同向
(b) 反向
C
瞬心：速度矢量末端连线与AB交点
(a)
解: 1、A 点速度由系杆转动求得
vA O OA O (r1 r2 )
2、轮Ⅱ作平面运动 基点：A
基点A的速度已求出，但轮Ⅱ作平面 运动的角速度未知，待求。
3、vD vA vDA 0
(接触处滚而不滑)
vDA vA O (r1 r2 )
Ⅱ
vDA DA

解：1 、 BD作平面运动 基点：B
2、 vD vB vDB
大小 ？ l ?
方向
vD vDB vB l
DE

vD DE

vB l

5rad
s
BD

vDB BD

vB l

5rad
s
已知：AB BD DE l 300mm, BD // AE, AB 5rad s。 求：DE，vC
2、平面图形内各点的速度分布
基点：选取速度为零的点C 为基点
vA vC vAC CA vB vBC CB vD vDC CD
平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心 转动的速度。
与图形绕定轴转动时的速度分布情况类似。图(b)
每一瞬时相应有一瞬心，不同瞬时，瞬心位置不同。 若已知某一瞬时的速度瞬心位置和角速度，则在该瞬时， 任一点的速度都可以完全确定。
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// O1D
O1D
ve vC cos
v e O1C
O1D
r cos30
O1D
3 r 2
3r 2l
ve O1C
3 2r l /sin 2
[
2]
[ 2] O AB , =60º, BC AB, O,C , AB=20cm,vA=16cm/s , AB , BC C :
A, AB, O BC ,
,
ve
AB
=10 rad/s C
O
OA
0.2 m
AB
C
AB
B
vA
AB
OA
vA AC
2m s
2 rad s
O
vA
45º
A
45º
vB
B
AB
aA
aB
n BA
a
n aA
n aA aBA aBA
A
2
B aA
A
45º
aB cos 45
aB sin 45
B
B
AB
OA
2 AB
4m s
20m s2
2
O
a
n BA
aB
5.66 m s2
o
,
vB cos 60
AB
vC
B
BC
v A cos 30
3r 3 2
vB
3v A
vC
o
3 r 2
vC
o
( )
vB sin 60
3r
o
aA
A
aC
r
2 o
AB
a
n BA
6r (
n 2 aBA AB AB r o vA AP 3r 1
B
P1
3
o
aB
,
2
AB
n aA aBA aBA
(1)
AP 1 3r
3
o
45º
n a BA a BA
aB
aA
B
aBA 16 m s
aA aBA
2
AB
aBA 2 16 rad s AB
[
13] aB
A B 80 mm/s2
20 mm B
aA
40 2 mm/s 2
aA
A
aA
aB
aB
n aAB
80 mm/s 2
2
40 2 mm/s2 AB
n aBA aBA
B aB
an
AB
A
C
aCB
aCy aC
aCx
n aCB aB
aCB
a
40 mm/s
a
2 Cy
x
40 mm/s2
y
2
40 mm/s2
B
y aB
A
aCy
40 mm/s2
n aCB
2
CD 45º
2 Cx
40 2 mm/s
C aB
a CB aCx
aC
D
x
[
14] = 60º C :OA
OA= r , AB BC, AB=6 r , BC= 3 3r AB BC C
AL'
AP
vP
vA ,
v P v A v PA
,
AL'
AL,
vA ,
0
PA,
vA
.
3 , A,B
P
vA
P
A,B
vB
v A ,v B
,
v A ,v B
vA
O
A
AB
P
vB
vA
vB
B
,
(a) v A
A ,B AB, vB AB
v A vB AB v A vB AB
v A , vB
P
(b) v A
vB
,
BA
,
)
2
2 r 3
o
aB
aB cos 60 r
o 2
4 r 3
a A cos 60
o 2
r 3
n aBA o 2
aC
B
aB
aCB
,
,
aC
BC
BC
a
n CB
(b)
BC
vC P2C
3 r 2
2 BC
, P2 P2 C = 9 r
o
n aCB
(2)
30º
[
aC
]
aB , aC
aB cos 30
BC
3 3r (
vB
C
3r 3l
P2
vC
P2C
BC
3r 3
BC
vC
P2
vA
O 30º
D 30º A
AB
P1
P1
P1
BC
, AB DB
vB
C
B
P2
BC
vC
P2
[
7] : r = 4cm , O vA OC, vO
, B M
M: ,
=30º, v=12cm/s ;
vo PO
PB PO 2
v A v 12 cm/s , vA 12 12 PA r cos 4 cos 300
vO
vA
A2
vA
vA 2
vA4
2r
2v
vA 3
2r
2v
[
2] OA B
OA
AB B
OA=AB=l =45º , AB
AB
v B v A /cos v BA v A tg
AB
vB v A vBA ,
A
vA
l ,
l /cos45
v BA / AB l /l
l
tg45
2l (
l
)
OA, v B
v B v A /cos vA
a AB
aB
aA
C
D
aA
aB
n aBA aBA
aA cos 45
a AB
n AB
aA cos 45
x
aB aAB
20 2 2 2 rad/s
a
y
n AB
B aB
an
AB
A
a AB
aB
aA
40 2
aAB AB
2 80 40 2 2 20
C
y
x
D
2 rad/s 2
B
n aCB
aC
2
aB
BC BC
n aCA aC A
1 9r
6
o
a
n CB
r 3
6
o
)
o
2
2
3 2
3 r 12
o
2
3 r 12
o
2
3 r 12
o
2
1 2 3 4 S
5
(
)
=0 6 7
vB vB v A vBA , BP
AB
vB
, vB BP ,
vA
A
AB
.P
8
aB
=0,
n aA aBA aBA
A
,
=0
aB
AB
aA
AB
9
1 2 3 ( ) ( : : ; ) , (
[
8]
aO ,
R
aP
P
,
O
vO
2
aO
aPO
n aPO
O
(t )
vO (t ) R
P
=v O / R O
d dt
1 d vO R dt
n aPO
aPO
R
aO ,
aP
R
aO
aO R
2
O
n aPO
aPO
vO 2 R ( ) R
2 vO R
aP
aP
n aPO
2 vO ( ) R
aO
a PO
P
P
[
9]
O1A=O2B, (a),(b)
n aC + aC
B
n B
BC
AB
n n aB aCB aCB 2 BC 2
C
100 mm/s
2
a
B A
aCB
n CB
C
aB
n aC
aC
a
n C
aC
C
v 17.68 mm/s 2 CD
2 C n n aCB aB cos 45
25 2 mm/s 2
aB
45º
D
BC
106.07 mm/s2
[ 12] 1m OA AB
1 3
BC
P2
[
6] AB
AB = BC = BD = l
AB
OA DB
P1
r C
AB BC r AB cos 30
AB
30º 30º
AB
vB
BC
BC
l 2 3r 2 3l vB P2 B
P 1B
vA P 1A
3 r 3
AB sin 30
2 3r 3l
vA
O 30º
D 30º A
AB
AB
1
P B
( (
[
11] AB
= 1 rad/s A CD B C vB BC
BC vC O
C
AB
O
BC
100
vB
vC
B A
45º