第5讲 分式及其运算

考点三 分式的运算 1．分式的加减法 a b a± b 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即 ± ＝ .异分母的分式相加减，先 c c c a c ad± bc 通分，变为同分母的分式，然后相加减，即 ± ＝ . b d bd 2．分式的乘除法 a c ac 分式乘以分式， 用分子的积做积的分子， 分母的积做积的分母， ·＝ .分式除以分式， 即 b d bd a c a d ad 把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 ÷ ＝ ·＝ . b d b c bc 3．分式的乘方 n k nk 分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即( ) ＝ k (k 是正整数)． m m 4．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算， 遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．
mm＋n nm－n － ＋ m－nm＋n m－nm＋n m2＋2mn＋n2 m＋n 2 m＋n 2mn ＝ ＝ ＝ . m－nm＋n m－nm＋n m－nm＋n m－n a－1 a2 a (2)原式＝ × ＝ . a a＋1 a＋1a－1 －3 3 当 a＝－3 时，原式＝ ＝ . －3＋1 2 【解答】(1)原式＝
考点训练 5
分式及其运算
分式及其运算
训练时间：60分钟 分值：1 训练时间：60分钟 分值：100分
一、选择题(每小题 3 分，共 45 分)
2 1．(2010· 株洲)若分式 有意义，则 x 的取值范围是( ) x－5 A．x≠5 B．x≠－5 C．x>5 D．x>－5
【解析】分式若有意义，则分母不为 0，故 x－5≠0，得 x≠5. 【答案】A
【答案】A
b c a 15．(2011 中考预测题)分式 ， ， 3的最简公分母是( ax －3bx 5x A．5abx B．15abx5 C．15abx D．15abx3
)
【解析】分母 ax、－3bx、5x3 的最简公分母是 15abx3. 【答案】D
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
x＋1 16．(2010· 哈尔滨)当 x＝______时，分式 没有意义． x＋2
x－3 的自变量 x 的取值范围是( x＋1 A．x≥3 B．x≥3 且 x≠－1 C．x≠－1 D．x>3 2．(2010· 黄冈)函数 y＝ )
x－3≥0 【解析】 ，解得 x≥3. x＋1≠0
【答案】A
a2－b2 3．(2009 中考变式题)化简 2 的结果为( a ＋ab a－b a＋b b A. B. C. D．－b a a a
a＋2 有意义，a 的取值范围是( a B．a>－2 且 a≠0 D．a≥－2 且 a≠0
)
b b (2)(2009· 台州)化简(－ )÷ 2 的结果是( a a －a A．－a－1 B．－a＋1 C．－ab＋1 D．－ab＋b
)
(3)(2010· 黄冈)化简( 2 x－1 x－4 2 C. D. x－3 x－1 A．2 B.
【答案】A
11．(2009 中考变式题)学完分式运算后，老师出了一道题“化简
x＋3 2－x ＋ ”，小明的 x＋2 x2－4
x＋3x－2 x－2 x2＋x－6－x－2 x2－8 做法是：原式＝ － 2 ＝ ＝ 2 ；小亮的做法是：原式＝(x＋ x2－4 x －4 x2－4 x －4 x＋3 x－2 x＋3 3)(x－2)＋(2－x)＝x2＋x－6＋2－x＝x2－4； 小芳的做法是： 原式＝ － ＝ x＋2 x＋2x－2 x＋2 x＋3－1 1 － ＝ ＝1，其中正确的是( ) x＋2 x＋2 A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的
【解析】x＋2＝0，则 x＝－2. 【答案】－2
1 a 1 17．(2010· 天津)若 a＝ ，则 ＋ 的值为________． 2 a＋1 2 a＋1 2
a＋1 1 【解析】原式＝ 2＝ a＋1 a＋1
【答案】
2 3
1 1 当 a＝ 时，原式＝ ＝ 2 1 ＋1 2
1 3 2
2 ＝ . 3
第 5 讲 分式及其运算
考点知识精讲
中考典型精析
举一反三
考点训练
考点一 分 式 A 形如 (A、B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0)的式子叫做分式． B (1)分式有无意义：B＝0 时，分式无意义；B≠0 时，分式有意义． (2)分式值为 0：A＝0 且 B≠0 时，分式的值为 0.
考点二 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变． a· a a÷ m m a ① ＝ ， ＝ (m≠0)； b· b b÷ m m b －b b b ＝ ＝－ . a －a a ②通分的关键是确定 n 个分式的最简公分母确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多 项式时，先因式分解，再取系数的最小公倍数，所有不同字母(因式)的最高次幂的积为最简 公分母． ③约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式． 确定最大公因式的一般步骤是： 当分子、分母是多项式时，先因式分解，取系数的最大公约数，相同字母(因式)的最低次幂 的积为最大公因式．
)
a－1 a2 【解析】原式＝ · ＝a. a a－1
【答案】B
7．(2011 中考预测题)下列各式是最简分式的是( x2－4y2 x2＋y2 －2ab x2＋x A. B. C. D. 2 9a3 x＋y x －1 x＋2y 2
)Leabharlann 【解析】最简分式指的是分子、分母没有公因式的式子． 【答案】B
【解答】(1)D (2)B (3)B
计算： m n 2mn － ＋ 2 ； m－n m＋n m －n2 (2)(2010· 咸宁)先化简，再求值： 1 a (1＋ 2 )÷ ，其中 a＝－3. a －1 a－1 (1)(2010· 陕西)
【点拨】分式混合运算的顺序是先乘方、后乘除，最后加减，有括号先算括号内的．
2xy 中的 x 和 y 都扩大 3 倍，那么分式的值( x＋y A．扩大 3 倍 B．缩小 3 倍 C．扩大 9 倍 D．不变 5．如果把分式
A )
b2 a 6．化简(a－ ) 的结果是( a a－b A．a－b B．a＋b
B ) C. 1 a－b D. 1 a＋b
a2－4a＋4 1 7．先化简，再求值：(1－ )÷ 2 ，其中 a＝－1. a－1 a －a a 1 解：原式＝ 当 a＝－1，原式＝ 3 a－2
1 18．(2010· 昆明)化简：(1－ )÷ a＝________. a＋1
a＋1－1 1 a 1 1 【解析】原式＝ ·＝ ·＝ . a＋1 a a＋1 a a＋1
【答案】 1 a＋1
b a 19．(2010· 黄冈)已知 ab＝－1，a＋b＝2，则式子 ＋ ＝________. a b
a2＋b2 a＋b2－2ab 【解析】原式＝ ＝ ab ab 4＋2 ＝－6. －1 22－2×－1 当 ab＝－1，a＋b＝2 时，原式＝ ＝ －1
x＋1 有意义，x 的取值范围是( x A．x≠1 B．x≠0 C．x＞－1 且 x≠0 D．x≥－1 且 x≠0 1．要使式子
2．下列运算中，错误的是( D ) －a－b b bc A. ＝ (c≠0) B. ＝－1 a ac a＋b 0.5a＋b 5a＋10b x－y y－x C. ＝ D. ＝ 0.2a－0.3b 2a－3b x＋y y＋x
x＋3 x－2 x＋3 x＋2 1 【解析】原式＝ － ＝ － ＝ ＝1. x＋2 x＋2x－2 x＋2 x＋2 x＋2
【答案】C
12．(2011 中考预测题)下列等式中，不成立的是( x2－y2 x2－2xy＋y2 A. ＝x－y B. ＝x－y x－y x－y 2 2 xy y y x y －x C. 2 ＝ D. － ＝ x y xy x －xy x－y
a b a－b 8．(2009 中考变式题)计算：b－ a ÷ ＝( a a＋b a－b a－b a＋b A. B. C. D. b b a a )
a2－b2 a a＋ba－b a a＋b 【解析】原式＝ · ＝ · ＝ . ab a－b ab b a－b
【答案】A
a－2ab－b 1 1 9．(2009 中考变式题)已知 － ＝4，则 的值等于( a b 2a－2b＋7ab 2 2 A．6 B．－6 C. D．－ 15 7 1 1 －2－ b a －4－2 －6 【解析】原式＝ ＝ ＝ ＝6. 2 2 －4×2＋7 －1 － ＋7 b a
1 n n 【解析】1 米质量为 m 克，则每克长 米，n 克是 米，则原来这卷电线的总长度是( ＋ m m m 1)米．
【答案】B
a b2 14．(2011 中考预测题)化简 － 的结果是( a－b aa－b a＋b a－b b－a A. B. C. D．a＋b a a a
)
a2－b2 a＋ba－b a＋b 【解析】原式＝ ＝ ＝ . a aa－b aa－b
x＋yx－y 【解析】A 项中，原式＝ ＝x＋y. x－y
)
【答案】A
13．(2009 中考变式题)如果从一卷粗细均匀的电线上截取 1 米长的电线，称得它的质量 为 m 克，再称得剩余电线的质量为 n 克，那么原来这卷电线的总长度是( ) n＋1 n A. 米 B．( ＋1)米 m m m＋n m C．( ＋1)米 D．( ＋1)米 m n
x＋1 1 － 2 )· (x－3)的结果是( x－3 x －1
)
【点拨】(1)由题意得 a＋2≥0 且 a≠0，即有 a≥－2 且 a≠0. b aa－1 (2)原式＝－ · ＝－(a－1)＝－a＋1. a b x＋1 x－3 1 1 1 2 (3)原式＝[ － ]· (x－3)＝( － )· (x－3)＝1－ ＝ . x－3 x＋1x－1 x－3 x－1 x－1 x－1
)
【答案】B
b2－1 5．(2010· 玉溪)若分式 2 的值为 0，则 b 的值为( b －2b－3 A．1 B．－1 C．±1 D．2