初中数学-分式及其运算

第2章 分式运算【知识衔接】————初中知识回顾————(一)分式的运算规律1、加减法 同分母分式加减法：c b a c b c a ±=± 异分母分式加减法：bc bd ac c d b a ±=±2、乘法：bd ac d c b a =⋅3、除法：bc ad c d b a d c b a =⋅=÷4、乘方：n nn ba b a =)( (二)分式的基本性质1、)0(≠=m bm am b a2、)0(≠÷÷=m mb m a b a ————高中知识链接————比例的性质(1)若d c ba=则bc ad = (2)若d c ba =则d d c b b a ±=±(合比性质) (3)若d c ba =(0≠-db )则d b d bc a c a -+=-+(合分比性质) (4)若d c b a =＝…＝n m ，且0≠+++n d b 则b a n d b m c a =++++++ (等比性质) 分式求解的基本技巧1、分组通分2、拆项添项后通分3、取倒数或利用倒数关系4、换元化简5、局部代入6、整体代入7、引入参数8、运用比例性质【经典题型】初中经典题型1．若代数式4x x -有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ． x =0 B ． x =4 C ． x ≠0 D ． x ≠4【答案】D【解析】由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4，故选D ．2．化简：，结果正确的是( )A ． 1B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：原式==．故选B ．3．当x =______时，分式523x x -+的值为零． 【答案】5． 【解析】解：由题意得：x ﹣5=0且2x +3≠0，解得：x =5，故答案为：5．4．先化简，再求值： 22121x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x =22． 【答案】21x -，7． 【解析】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．试题解析：原式=()22121x x x x x x ++-⋅+=()2211x x x x x +-⋅+=()()2111x x x x x-+⋅+=21x - 当x =22=(2221-=8-1=7．高中经典题型例1：化简232||211x x x x x +-+-- 解：原式＝22|)|1()1()1(x x x -+- 当0≥x 且1≠x 时，原式＝x +1当0<x 且1-≠x 时，原式＝xx +-1)1(2 例2：化简：++++3223bab b a a a 442222223223311b a b a a b b a b ab b a a b -+-+--+-+-例3：计算2)(32222233332222-++÷---++nm m n n m m n n m m n n m m n n m m n 解：设a m n =，b nm =，则1=ab ∴原式＝2)(32223322-++÷---++b a b a b a b a b a ＝ba ab b a b a ab b a ab b a +-+----++2)(32223322＝2222232)()()(nm n m b a b a b a b a b a b a -+-=-+=+-⋅-+ 例4：计算abbc ac c b a ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律ca b a c a b a b a c a c a b a bc bc ac ab a c b ---=-----=--=+---11))(()()())((2 因此不难看出，拆项后通分更容易 ∴原式＝))(())(())((b c a c b a a b c b a c c a b a c b ---+------- ＝))(()()())(()()())(()()(b c a c a c b c a b c b c b a b c a b a b a c a -----+----------- ＝ac b c a c a b c b c a b a -=---+-+-----2111111 例5：若1=abc ，求111++++++++c ac c b bc b a ab a 解：∵1=abc ，∴bc a 1=，将式中的a 全换成bc1 ∴原式＝11111++++++++c bcc c b bc b bc bc b bc ＝11111=++++++++bc b bc bc b b bc b 例6：已知x z y x y z y x z z y x ++-=+-=-+且0≠xyz ，求分式xyzx z z y y x ))()((+++的值 解：分析：已知条件以连比的形式出现，可引进一个参数来表示这个连比，从而将分式化成整式。

北师大初中数学八年级一、数与代数部分。

1. 分式。

- 分式的概念。

- 分式的定义：形如(A)/(B)（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。

例如(x)/(x + 1)，(1)/(x)等。

- 分式有意义的条件：分母不为零。

如对于分式(1)/(x - 2)，当x≠2时，分式有意义。

- 分式的基本性质。

- 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

即(A)/(B)=(A× M)/(B× M)，(A)/(B)=(A÷ M)/(B÷ M)（M是不等于零的整式）。

- 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去的过程。

例如(6x^2y)/(9xy^2)=(2x)/(3y)。

- 通分：将几个异分母的分式化为与原来分式相等的同分母分式的过程。

如将(1)/(x)和(1)/(x + 1)通分，通分后分别为(x + 1)/(x(x + 1))和(x)/(x(x + 1))。

- 分式的运算。

- 分式的乘除法：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

例如(a)/(b)·(c)/(d)=(ac)/(bd)，(a)/(b)÷(c)/(d)=(a)/(b)·(d)/(c)=(ad)/(bc)。

- 分式的加减法：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减。

如(1)/(x)+(1)/(x + 1)=(x + 1+x)/(x(x +1))=(2x + 1)/(x(x + 1))。

2. 函数及其图象。

- 函数的概念。

- 变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量。

例如在行程问题s = vt中，s、v、t是变量，当v固定时，v就是常量。

- 函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

初二数学分式计算初二数学(下): 分式的运算及分式方程一、基本运算1.计算 $17x^2y-9ab^3\div\frac{222x-6x+9x+2xy}{51xy}$，化简得 $\frac{17x^2y-9ab^3}{222x+2xy}$。

2.计算 $\frac{2}{x-4}-\frac{x}{x-3}\div(-x)$，化简得$\frac{2x-7}{(x-4)(x-3)}$。

3.计算 $\frac{-y}{xz}\div\frac{-x}{yz}$，化简得$\frac{y^2}{x^2}$。

4.计算 $\frac{24}{a-bab-a^2}\div\frac{22}{4a+abab-a}$，化简得 $\frac{12}{a+b}$。

5.计算 $\frac{4x^2-4xy+y^2}{2x-y}\div(4x^2-y^2)$，化简得 $\frac{1}{2x+y}$。

6.计算 $\frac{2x-y}{x+3y}\div\frac{2x-3y}{2-x}$，化简得$\frac{2-x}{3y}$。

7.计算 $\frac{2xy}{xy+a}+\frac{6}{a}-\frac{a}{a+3}-\frac{3}{a}$，化简得 $\frac{8xy+6a}{a(a+3)(xy+a)}$。

8.计算 $\frac{2}{2x+y}-\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}-\frac{y}{x}$，化简得$\frac{2x^2-xy-2y^2}{(2x+y)(x-y)(x+y)}$。

9.计算 $\frac{2}{x+y}-\frac{2}{x-y}+\frac{a}{x+y}-\frac{3a}{a-3}$，化简得$\frac{-2x+2y+4a}{(x+y)(x-y)(a-3)}$。

10.计算$\frac{x^2a^2+3a+12b^2}{1+12a-b}-(x-1)\div(a-1)$，化简得$\frac{x^2a^2+15a+12b^2-12bx+12b}{(1+12a-b)(a-1)}$。

七年级数学分式中的整式的除法-分式及其基本性质-分式的运算分式中的整式的除法，分式及其基本性质，分式的运算一. 教学内容：分式中的整式的除法，分式及其基本性质，分式的运算［知识与技能］1. 知道同底数幂的除法法则，并能运用它进行计算；2. 能用单项式除以单项式性质进行计算；3. 能进行多项式除以单项式的计算；4. 掌握分式的基本概念，会在代数式中辨别分式；5. 会运用分式的基本性质进行约分和通分；6. 熟练进行分式的加减乘除运算；7. 掌握分式的乘方；8. 会根据运算顺序和法则，进行简单的四则混合运算。

［教学过程］（一）知识点回顾1. 同底数幂的除法法则：即同底数幂相除，底数不变，指数相减，用式子表示为a a a m n m n ÷=-（m ，n 为正整数，m n a >，≠0）2. 单项式除以单项式：是将系数及同底数幂分别相除，如果某个字母只在被除式里出现，则将该字母及其指数直接写到商里面。

3. 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

（注意：①不要漏项，即所得的结果项数应与被除式中多项式的项数相同；②要注意商的符号，弄清多项式中每一项的符号是什么，相除时要带着符号与单项式相除。

）4. ①分式的概念：形如AB（A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子叫做分式，其中A 叫分式的分子，B 叫分式的分母（注意：分式的典型特征是分式的分母中含有字母）②分式有意义的条件：分式的分母必须不等于零。

③分式的值是零的条件：分母不等于零，分子等于零。

④分式的基本性质：即分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零 的整式，分式的值不变。

用式子表示为A B A M B M A B A MB M==××，÷÷。

（这里要求B ≠0，M ≠0）⑤约分：根据分式的基本性质，将分子分母中的公因式约去，使分式变得简单。

（注意：如果分式的分子，分母都是单项式，就直接约去分子，分母的公因式，即分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；如果分子、分母都是多项式，就先分解因式，找出公因式再进行约分；约分时一定要彻底。

数学八下分式
八年级下册数学课程中有关分式的主题主要包括分式的运算、分式的化简、分式方程等内容。

以下是八年级下册数学中关于分式的一些常见知识点：
1. 分式的乘法和除法：学习如何进行分式的乘法和除法运算，包括分子乘法、分母乘法、分子除法和分母除法等。

2. 分式的加法和减法：掌握分式的加法和减法运算规则，包括通分、合并同类项等操作。

3. 分式的化简：学习如何化简分式，包括约分、提取公因式、分子分母同乘同除等方法，使分式的表达更简洁。

4. 分式方程：解决涉及分式的方程，包括一元一次分式方程和一元二次分式方程等，掌握解题的方法和技巧。

5. 分式的应用：了解分式在实际问题中的应用，如物品分配、比例关系、时间速度等问题，通过分式运算解决实际生活中的计算问题。

八年级下册数学中的分式知识是数学学习中的重要内容，需要通过练习和实践来加深理解和掌握。

建议学生多做练习题，加强对分式运算规则的理解和掌握，提高解决问题的能力和技巧。

专题6 分式及其运算考点一、分式的概念和性质1．（2022·云南·昆明中考模拟）要使12022x +有意义，则x 的取值范围为（ ）A ．0x ≠B ．2022x >-C ．2022x ≠D ．2022x ≠-2．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式25x ，1π，224x +，x 2﹣23，1x ，12x x ++中，属于分式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．（2022·广东·中考三模）若分式55m m --的值为零，则m =（ ） A ．5-B ．5C ．5±D ．04．（2022·云南·中考三模）下列函数中，自变量x 的取值范围错误的是（ ） A ．11212y x x ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭B ．)1y x =≥C ．)1y x =≤D ．21y x =-（x 为任意实数）5．（2022·湖北黄石·中考真题）函数11y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠-且1x ≠B ．3x >-且1x ≠C ．3x >-D ．3x ≥-且1x ≠6．（2022·广西·中考真题）当x =______时，分式22xx +的值为零． 7．（2022·湖南邵阳·x 的取值范围是_________． 8．（2022·湖南·长沙市中考二模）若分式11x x --的值为零，则x 的值为______． 考点二、分式化简9．（2022·四川绵阳·中考二模）下列分式属于最简分式的是（ ） A ．265xy xB ．x y y x--C ．22x y x y++D ．2293x y x y-+10．（2022·四川眉山·中考真题）化简422a a +-+的结果是（ ） A ．1 B ．22a a +C ．224a a - D ．2a a +11．（2022·辽宁沈阳·中考真题）化简：21111x x x -⎛⎫-⋅= ⎪+⎝⎭______．12．（2022·四川自贡·中考真题）化简：22a3a42a3a2a4a4--⋅+-+++＝____________．13．（2022·西藏·中考真题）计算：222242a a aa a a+⋅---．14．（2022·辽宁大连·中考真题）计算2224214424x x xx x x x-+÷--+-．15．（2022·湖北十堰·中考真题）计算：2222a b b abaa a⎛⎫--÷+⎪⎝⎭．16．（2022·四川泸州·中考真题）化简：22311 (1). m m mm m-+-+÷17．（2022·湖南常德·中考真题）化简：231 122a aaa a+-⎛⎫-+÷⎪++⎝⎭18．（2022·甘肃武威·中考真题）化简：()2233322x x xx x x++÷-++．考点三、分式化简求值19．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式222m n mm m n-⋅+的值是（）A．－2B．2C．－4D．420．（2022·山东菏泽·中考真题）若22150a a --=，则代数式2442a a a a a -⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭的值是________． 21．（2022·四川成都·中考真题）已知2272a a -=，则代数式2211a a a a a --⎛⎫-÷⎪⎝⎭的值为_________． 22．（2022·四川广安·中考真题）先化简：2242(2)244x xx x x x -++÷--+，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代人求值．23．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：2344111x x x x x -+⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭，其中3x =．24．（2022·山东聊城·中考真题）先化简，再求值：244422a a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-⎝⎭，其中112sin 452a -⎛⎫=︒+ ⎪⎝⎭．25．（2022·辽宁锦州·中考真题）先化简，再求值：2233111211x x x x x x --⎛⎫÷-+ ⎪-++-⎝⎭，其中|1x =+．26．（2022·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：25244111a a a a a a +++⎛⎫+-÷⎪++⎝⎭，其中11|2|2a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．27．（2022·湖北荆州·中考真题）先化简，再求值：222212a b a b a b a ab b ⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中113a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()02022b =-．28．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：22x x +÷（1﹣211x x --），其中x 是不等式组()211532x x x x ⎧-<+⎨+≥⎩的整数解．29．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：22931121112a a a a a a a ⎛⎫--÷-⋅⎪-+--+⎝⎭，其中2a =．30．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：2344111a a a a a ++⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭，其中10(1tan 45π2)a -=︒+-答案与解析考点一、分式的概念和性质1．（2022·云南·昆明中考模拟）要使12022x +有意义，则x 的取值范围为（ ）A ．0x ≠B ．2022x >-C ．2022x ≠D ．2022x ≠-【答案】D【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．【详解】解：根据分式有意义即分母不为0，得到20220x +≠，即2022x ≠-，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．2．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式25x ，1π，224x +，x 2﹣23，1x ，12x x ++中，属于分式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个A ．5-B ．5C ．5±D ．0【答案】A【分析】根据分式的值为零的条件列式计算即可． 【详解】解：由题意得：|m |−5＝0且m −5≠0， 解得：m ＝−5， 故选：A ．【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．4．（2022·云南·云大附中三模）下列函数中，自变量x 的取值范围错误的是（ ） A ．11212y x x ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭B ．)1y x =≥C ．)1y x =≤D ．21y x =-（x 为任意实数）5．（2022·湖北黄石·中考真题）函数1y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠-且1x ≠ B ．3x >-且1x ≠C ．3x >-D ．3x ≥-且1x ≠6．（2022·广西·中考真题）当x =______时，分式22xx +的值为零． 【答案】0【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x =0，x +2≠0求解即可． 【详解】解：由题意，得2x =0，且x +2≠0，解得：x =0， 故答案为：0．【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键．7．（2022·湖南邵阳·x 的取值范围是_________．【答案】x >2##2＜x【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数和分式有意义的条件：分母不为0即可求出结论．【详解】解：由题意可得x-2>0， 解得：x >2， 故答案为：x >2．【点睛】本题考查的是分式及二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0解题的关键．8．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）若分式11x x --的值为零，则x 的值为______．考点二、分式化简9．（2022·四川绵阳·二模）下列分式属于最简分式的是（ ） A ．265xy xB ．x y y x--C ．22x y x y ++D ．2293x y x y-+10．（2022·四川眉山·中考真题）化简422a a +-+的结果是（ ） A ．1 B ．22a a +C ．224a a -D ．2aa +11．（2022·辽宁沈阳·中考真题）化简：1111x x x -⎛⎫-⋅= ⎪+⎝⎭______． 【答案】1x -##1x -+12．（2022·四川自贡·中考真题）化简：2a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++ ＝____________．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．13．（2022·西藏·中考真题）计算：222242a a a a a a +⋅---． 24a a a a --2)(2)(2)a a a a -+-22a - 【点睛】本题考查了分式的化简，理解并掌握分式的计算法则，注意在解题过程中需注意的事项，仔细计算是本题的解题关键．14．（2022·辽宁大连·中考真题）计算2224214424x x x x x x x-+÷--+-．22222122x x x x x xx 211.xxx【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握15．（2022·湖北十堰·中考真题）计算：2222a b b ab a a a ⎛⎫--÷+ ⎪⎝⎭．16．（2022·四川泸州·中考真题）化简：22311 (1). m m mm m-+-+÷17．（2022·湖南常德·中考真题）化简：231 122a aaa a+-⎛⎫-+÷⎪++⎝⎭18．（2022·甘肃武威·中考真题）化简：()2233322x x xx x x++÷-++．考点三、分式化简求值19．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式222m n mm m n-⋅+的值是（）A．－2B．2C．－4D．420．（2022·山东菏泽·中考真题）若22150a a--=，则代数式2442a aaa a-⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭的值是________．【答案】15【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．21．（2022·四川成都·中考真题）已知2272a a -=，则代数式2211a a a a a--⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值为_________． 【答案】72##3.5##312 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简22．（2022·四川广安·中考真题）先化简：2242(2)244x xxx x x-++÷--+，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代人求值．23．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：344111x xxx x-+⎛⎫--÷⎪--⎝⎭，其中3x=．24．（2022·山东聊城·中考真题）先化简，再求值：244422a a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-⎝⎭，其中112sin 452a -⎛⎫=︒+ ⎪⎝⎭．25．（2022·辽宁锦州·中考真题）先化简，再求值：2233111211x x x x x x --⎛⎫÷-+ ⎪-++-，其中|1x =+．x 26．（2022·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：25244111a a a a a a +++⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭，其中11|2|2a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．27．（2022·湖北荆州·中考真题）先化简，再求值：222212a b a b a b a ab b ⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中113a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()02022b =-．28．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：22x x +÷（1﹣211x x --），其中x 是不等式组()211532x x x x ⎧-<+⎨+≥⎩的整数解．29．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：22931121112a a a a a a a ⎛⎫--÷-⋅ ⎪-+--+⎝⎭，其中2a =．30．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：344111a a a a a ++⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭，其中10(1tan 45π2)a -=︒+-。

分式及其运算分式，也叫有理式，是由一个整式的形式分子和分母组成的表达式，分子与分母都可以是整数多项式，且分母不能为0。

分式的运算是数学中的重要内容之一，主要包括分式的加减乘除四则运算。

一、分式的基本概念分式由分子和分母两个部分组成，用横线隔开。

分子表示分子部分的表达式，分母表示分母部分的表达式。

分式的形式可以用以下表示方法：$\frac{a}{b}$ 或 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 。

例如，$\frac{3}{5}$、$\frac{x^2+1}{2x}$ 都是分式。

其中，3是分式的分子，5是分式的分母；$x^2+1$是分式的分子，2x是分式的分母。

二、分式的加减运算1.同分母分式的加减运算：将同分母分式的分子相加（或相减），分母保持不变，得到的结果即为所求。

例如，$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3+2}{5}=\frac{5}{5}=1$；$\frac{7x}{4} - \frac{3x}{4} = \frac{7x-3x}{4}=\frac{4x}{4}=x$。

2.异分母分式的加减运算：先找到它们的最小公倍数（简称最小公倍数），然后将分子通分，再进行加减运算。

最后将结果化简到最简形式。

例如，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}$；$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{8-3}{12}=\frac{5}{12}$。

三、分式的乘除运算1.分式的乘法：将分式的分子与分母分别相乘，得到的结果即为所求。

例如，$\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}=\frac{3 \times 2}{4 \times5}=\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$；$(\frac{a}{b}) \times(\frac{c}{d})=\frac{a \times c}{b \times d}$。

分式及其运算知识点1.分式的基本概念：例1.（1）当x 取什么值时，分式1242+-x x 有意义；（2）当x 取什么值时，分式112+-x x 的值为0.知识点2.分式的基本性质：例2.在括号中填写适当的整式，使等式成立：（1）()xx x -=-+-113；（2）()yxy 21=；（3）()xx xy x =+22.知识点3.化简，求值： 例3.化简，求值：13)181(++÷+--x x x x ，其中23+=x .知识点4.开放性求值问题： 例4.化简代数式14422222-++-÷+-bab a ba b a b a ，然后选择一组使原式有意义的a ，b 值，再代入求该代数式的值.基础训练： 1.如果把分式yx xy+中x 和y 的值都扩大了3倍，那么该分式的值（ ） .A 扩大了3倍 .B 保持不变 .C 缩小了3倍 .D 缩小了6倍2.计算：=-÷-)11(1mm m （ ） 11.-m A mB -11. 1.C 1.-D 3.使分式22+-x x 的值为0的未知数的值为（ ）0.A 2.-B 2.C 2.±D4.下列各式中，正确的是（ ）()()222.a b ab a b b a A -=-+- ()()5252.+=+++a a b a a b B 43201555.222-=-+x x x x x x C xyx y x D -=-÷111.5.化简1122--÷-m mm m m ，结果是（ ） 11.+-m m A 11.-+-m m B 11.+--m m C 11.-+m m D 6.当_________时分式23-x x 有意义；当_________=x 时，分式4162+-x x 的值为0.7.计算：（1）=-+-m m m 2422___________；（2）________=-+-ab bb a a . 8.化简：（1）)(22a b b a a ab a -÷-；（2）aa a a 1)1(-÷-.9.化简，求值：12)11(-÷+--x xx x x x ，其中2017=x .10.化简，求值：)2(2222ab ab a ab a b a ++÷--，其中b a -=2017.11.先化简代数式()11122--++-a a a a ，然后选择一个使原式有意义的a 值，代入求值.12.化简，求值：91963322-÷⎪⎭⎫⎝⎛-++-x x x x x ，其中2010-=x ，小强做这道题时把2010-=x 抄成了2010=x ，但计算结果却是正确的，你能解释这是怎么一回事吗？提高训练：13.课堂上，谢老师给大家出了这样一道题：让x 分别取3，5，22-，37+，然后求代数式22111222-+÷-++x x x x x 的相应值，你能解决这个问题吗？请你写出具体过程.挑战压轴题：14.如图，在四边形OABC 中，OC AB //，x BC ⊥轴于点C ，()()1311--，，，B A ，动点P 从点O 出发，沿着x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，过点P 作PQ 垂直直线OA 于Q ，设点P 移动的时间为()20<<t t 秒，O P Q △的与四边形OA B C 的重叠部分的面积为S .（1）求经过B A O 、、三点的抛物线的解析式和顶点M 的坐标；（2）用含t 的代数式表示点Q P 、的坐标；（3）若将OPQ △绕着点P 按逆时针方向旋转90°，是否存在这样的t ，使得旋转之后的OPQ △的顶点O 或顶点Q 在（1）中抛物线上，若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由；（4）求S 与t 的函数关系式.。

中考数学一轮复习专题解析—分式的运算复习目标1.了解分式的概念2.会利用分式的基本性质进行约分和通分。

3.会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算4.能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程5.会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；考点梳理一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.【归纳总结】分式的概念需注意的问题：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B ≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0．②当B =0时，分式无意义；当分式无意义时，B =0．③当B ≠0且A =0时，分式的值为零．例1、若把x ，y 的值同时缩小x 为原来的13倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．xy x y+B ．22y x ++C ．()22x y x +D ．222x y x -【答案】C 【解析】A.1111333==11333x y xyxy x y x y x y⨯⨯+++，选项说法错误，不符合题意；B.61263=3616233y y x x y x +++=+++，选项说法错误，不符合题意；C.22222222111()()()33311()()33x y x y x y x x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==，选项说法正确，符合题意；D.22222213112261())(33()3xx xy x y x y x ⨯==---⨯，选项说法错误，不符合题意故选C二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．例2、计算22111m mm m----的结果是（）A．1m+B．1m-C．2m-D．2m--【答案】B【解析】解：()222121211 1111mm m m m mm m m m---+-===-----；故选B．【归纳总结】约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．【特别提醒】通分注意事项(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．【特别提醒】1.解分式方程注意事项(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．2.列分式方程解应用题的基本步骤(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．例3、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．6000x＝840080x+B．6000x+80＝8400xC．8400x＝6000x﹣80D．6000x＝840080x-【答案】A【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意得：6000x＝840080x+，故选：A．综合训练1．（2022·全国九年级课时练习）若代数式13x x -+有意义，则x 的取值范围是（）A ．3x ≠B ．1x ≠C ．3x ≥-D ．3x ≠-【答案】D【分析】根据分式有意义的条件分析即可．【详解】 数式13x x -+有意义，30x ∴+≠，解得3x ≠-．故选D ．2．（2022·老河口市教学研究室九年级月考）化简2b a ba a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭的结果是（）A ．-a bB ．a b +C ．1a b-D ．1a b+【答案】A【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：2b a ba a a ⎛⎫+-÷⎪⎝⎭=22a b aa a b-⨯+=()()a b a b aaa b+-⨯+=-a b ．故选：A ．3．（2022·厦门市第九中学九年级二模）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，则可列方程为（）A ．1705532.5x x-=B ．5517032.5x x-=C ．17055 2.53x x ⨯-=D ．1705532.5x x-=【答案】D【分析】设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出分式方程．【详解】解：设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，依题意得：1705532.5x x-=故选D ．4．（2022·哈尔滨市第十七中学校）分式方程1x x +12x +-＝1的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【答案】A【分析】观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．【详解】解：112x x x ++-＝1，去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得：（x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2），x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ，x ＝1，经检验，x ＝1是原分式方程的解．故选：A ．5．（2022·四川九年级期中）关于x 的方程244x ax x -=++有增根，则a 的值为（）A ．－4B ．－6C ．0D ．3【答案】B【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根求得4x =-，代入整式方程即可．【详解】解：244x ax x -=++两边同时乘4x +得：2x a -=①∵244x ax x -=++有增根∴4x =-代入方程①得：6a =-故答案为B ．6．（2022·全国）已知实数a ，b 满足1a b ⋅=，那么221111a b +++的值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵•1a b =，∴()2221a b ab ==，∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ．7．（2022·日照市田家炳实验中学九年级一模）已知关于x 的方程2222x mm x x+=--无解，则m 的值是___．【答案】12或1【分析】分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母20x -=，得到2x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值和方程没有增根两种情况进行讨论.【详解】解：①当方程有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，∴最简公分母20x -=，解得2x =，当2x =时，1m =故m 的值是1，②当方程没有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，解得221mx m =-，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时210m -=，解得12m =，∴综上所述，当12m =或1时，方程无解.故答案为：12或1.8．（2022·山东滨州市·九年级其他模拟）已知关于x 的分式方程3522x mx x=+--的解为非负数，则m 的取值范围为______．【答案】10m ≥-且6≠-m 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．【详解】解：3522x m x x=+--去分母，得：35(2)x m x =-+-，移项、合并，得：210x m=+系数化为1得：102mx +=∵分式方程的解为非负数，∴1002m +≥且1022m +≠，解得：10m ≥-且6≠-m ，故答案为：10m ≥-且6≠-m ．9．（2022·云南九年级期末）先化简，再求值：212(1)11x x x ++÷+-，其中2x =．【答案】x -1，1【分析】根据分式的混合运算法则化简原式然后代值计算即可．【详解】解：原式=2111()12x x x x ++-⨯++=2(1)(1)12x x x x x ++-⨯++=1x -，∵2x =，∴原式=211-=．10．（2022·河南三门峡市·）下面是小锐同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++()()()()23321233x x x x x +-+=-++…第一步()321323x x x x -+=-++…第二步()()()23212323x x x x -+=-++…第三步()()262123x x x --+=+…第四步()262123x x x --+=+…第五步526x =-+…第六步（1）填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______；②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．（2）请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简；（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】（1）①三，分式的基本性质；②五，括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）见解析；（3）最后结果应化为最简分式或整式【分析】（1）①分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，通分的依据是分式的基本性质，据此即可进行判断；②根据分式的运算法则可知：第五步开始出现错误，然后根据去括号法则解答即可；（2）根据分式的混合运算法则解答；（3）可从分式化简的最后结果或通分时应注意的事项等进行说明．【详解】解：（1）①在以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变）；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）原式()262172326x x x x ---==-++；（3）答案不唯一．如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等．。

4、分式的概念、性质及运算分式(fraction)包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容． 从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”，在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分(changing fractions tO a common denom —inator)和约分(reduction of a fraction)是技巧性较强的工作，需要灵活处理．分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具，分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有： 1．化整为零，分组通分；2．步步为营，分步通分；3．减轻负担，先约分再通分； 。

4．裂项相消后通分等．【例l 】(1)当m= 时，分式23)3)(1(2+---m mm m 的值为零；(2005年杭州市中考题)(2)要使分式||||11x x -有意义，则x 的取值范围是(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于(2)，当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密．【例2】已知a+b+C=0，,4111-=++cb a 那么222111cba++的值为( )．A ．3B ．8C ．16D ．20 。

(2006年“CASl0杯”武汉市选拔赛试题)思路点拨由222222)1()1()1(111Cb a cba++=++想到完全平方公式． 【例3】计算下列各式： ;4211)1(44322b a a ba a ba ba ⋅++++++- ;)()()()2(222222xyz y x z xy z zxy x z y zxy yzx z y x yz x ---+++++-+--++⋅(第12届“五羊杯”竞赛题);1)1(212211221)3(22233233-+--+-+++++-x x x x x x x x x x(江西省赣州市竞赛题)⋅+--+--+-+-+--+-++---)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())(()4(z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z x y x z y x x z x y(安徽省马鞍山市竞赛题)思路点拨 因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．对于(1)，分步通分；对于(2)，拆项再通分；对于(3)，先约分再通分；(4)注意到分母与分子的项与项之间的关系，如．x —2y+z=(x —y)一(y —z)，采用换元法简化式子．【例4】 已知,1)1(112222-++⋅=--+x C xB xA x x x x 其中A 、B 、c 为常数．求A+B+c 的值．． (第17届“五羊杯”竞赛题) 思路点拨将右边通分，比较分子，建立A 、B 、C 的等式．【例5】 (1)n 为自然数，著n+6︱n 3+1996，则称n 为1996的吉祥数，如4+6︱43+1996，4就是l996年的一个吉祥数．试求l996年的所有吉祥数的和；(北京市竞赛题) (2)计算：⋅+-++-+++-++-500099009999500010050002002250001001122222222k k k． (上海市“宇振杯”竞赛题)思路点拨(1)由于n3 + 1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问题转化为一个分式的问题来解决，是解本例的b键；(2)首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算．1．(1)若使分式aaa Z23114++- 没有意义，则a 的值为(2)若,32=a 则1273222+---a a a a 的值等于(2005年天津市中考题)2．已知,511=+yx则=+++-yxy x y xy x 2252(第16届“希望杯”邀请赛试题)3．已知22-+x b x a 与的和等于,442-x x 则a= ，b=(山东省竞赛题)4．学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖 品；若以l 枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买 枝． (江苏省镇江市中考题) 5．已知式子1||)1)(8(-+-x x x 的值为零，则2的值为( )．A ．±lB ．一lC ．8D ．一l 或8(第15届江苏省竞赛题) 6．计算：22224421b ab a ba ba ba ++-÷+--的结果是( )． ba b A +.ba b B +-. ba a C +.ba a D +-..(2005年河南省竞赛题)7．若x 取整数，则使分式1236-+x x 的值为整数的x 的值有( )．A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个(第17届江苏省竞赛题)8．若a 、b 、C 满足a+b+c=0，abc=8，则cb a 111++的值是( )．A ．正数B ．负数C ．零D ．正数或负数 、(第13届“希望杯”邀请赛试题) 9．化简下列各题：;12).2142)(1(2-+---x x x x x(2004年陕西省中考题));2.(121)2(y x xy x yx x--++-(2005年苏州市中考题)(3)请将下面代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数代入求值：⋅--++-11)1(22a a a a(2005年安徽省中考题) 10．甲、乙两个公司用相同的价格购粮，他们各购两次，已知两次的价格不同，甲公司每次购粮1万千克，乙公司每次用l 万元购粮，那么两次平均价格较低的是哪个公司?(第16届“希望杯”邀请赛试题)11．若,1321161814121218168232xxxxxxxa ++++++++++-=-则a 的值是 ．(2005年河南省竞赛题)12．若关于x 的方程122-=-+x a x 的解为正数，则a 的取值范围是 ．(湖北省选拔赛试题)13．代数式1112++=x x y 的值为整数的全体自然数x 的和是(2005年全国初中数学联赛题)14．已知612602-+a a是正整数，则正整数a=(第14届“希望杯”邀请赛试题)15．设a 、b 、c 均为正数，若,ac b cb a ba C +<+<+ 则a 、b 、C 三个数的大小关系是A ．c<a<bB ．b<c<口C ．a<b<cD ．c<b<a 16．计算))(())(())((b c a c c a b c b b c a b a a --+--+--的值是( )．))((2.c a b a a A -- ))((2.c b b a b B -- ))((2.c b c a c C -- 0.D(2004年河北省竞赛题)17．分式221012622++++x x x x 可取的最小值为( )．A ．4B ．5 ．C ．6D ．不存在 18．设有理数a 、b 、C 都不为零，且a+b+C=0，则+-++-+22222211ba c ac b 2221cb a -+的值是( )．A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定(2004年重庆市竞赛题)19．计算下列各题：;1814121111)1(842+-+-+-+--x x x x x;1113421793)2(2322-++---+-+++x x x x x x x x x⋅+---++----+---abbc ac c ba acab bc b a c bc ac ab a cb 222)3(20．某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的n 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的C 倍，求11111+++++c cb a 的值．(江苏省竞赛题)21．已知正整数n 大于30，且使得4n--1整除2002n ，求n 的值．(第14届“五羊杯”邀请赛试题)22．已知,321)3)(2)(1(60++-++=+-+x C x B x A x x x 其中A 、B 、C 为常数，求A+B+C 的值．(第16届“五羊杯”邀请赛试题) 答案：。

分式运算初中数学知识点之分式的四则运算法则初中数学中，分式是一个重要的知识点，它在数学运算中起到了重要的作用。

分式的四则运算法则是我们学习分式运算的基础，掌握了这些法则，我们就能够正确地进行分式的加减乘除运算。

下面我们将详细介绍分式的四则运算法则。

一、分式的加法和减法假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，它们的分子分别为a和c，分母分别为b和d。

那么它们的加法运算可以通过以下步骤进行：1. 找到两个分式的公共分母，记为m；2. 将两个分式的分子分别乘以m/b和m/d，得到分子为am/b，cm/d的两个分式；3. 将两个新分式的分子相加，即(am/b) + (cm/d)；4. 分子的和除以公共分母m，即[(am/b) + (cm/d)] / m。

同样地，分式的减法运算也可以按照上述步骤进行，只需要将第3步的相加改为相减即可。

二、分式的乘法分式的乘法运算较为简单，只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。

假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，那么它们的乘法运算可以用以下公式表示：(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)。

三、分式的除法分式的除法与乘法类似，只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。

假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，那么它们的除法运算可以用以下公式表示：(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)。

需要注意的是，除法的时候我们需要将第二个分式取倒数后再进行乘法运算。

以上就是分式的四则运算法则，通过掌握这些法则，我们可以正确地进行分式的加减乘除运算。

在实际运算中，我们还需要注意约分的情况和分母为0的特殊情况。

当分式中的分子和分母有公因子时，我们需要将其约分为最简形式，即分子和分母没有共同的约数。

而当分式的分母为0时，这个分式是无定义的，因为在数学中，除数不能为0。

通过不断的练习和运用，我们可以更好地掌握分式的四则运算法则，为更复杂的数学运算打下坚实的基础。

年级初二学科数学内容标题分式的基本性质、乘除及乘方运算编稿老师何莹娟一、学习目标：1.了解分式的定义，并能正确地判断一个代数式是否是分式.2.掌握分式的基本性质，掌握分式约分的方法，熟练进行约分、通分并了解最简分式的意义.3.进一步理解分式的基本性质以及分式的变号法则.4.熟练地进行分式乘除法和乘方的混合运算.二、重点、难点：1.探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件.2.分式约分、通分的方法.3.分式的乘除法、乘方运算.4.分式的乘除法、及乘方的混合运算，分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定.三、考点分析：分式作为初中数学的重点内容之一，也是每年中考的热门考点，考查题型多种多样，分值一般在6－9分.知识点一：分式的概念分式的定义： 形如BA的式子，当A 、B 都是整式，且B （除式不能为零）中含有字母时，这样的式子叫做分式.其中A 叫分式的分子，B 叫分式的分母.例题讲解例1：当x 为何值时，下列分式有意义.（1）2-x x ； （2）141+-x x .思路分析：题意分析：本题考查分式的定义.解题思路：若要使分式有意义，只需分式的分母不为零，可据此进一步解出字母x 的取值范围.解答过程：（1）2≠x （2）41-≠x 解题后的思考：如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎样解题吗？这样可以使一题二用，也可以全面地感受到分式及有关概念.例2：当m 为何值时，分式的值为0？（1）1-m m ；（2）32+-m m ；（3）112+-m m .思路分析：题意分析：本题考查分式值为0的问题.解题思路： 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：①分母不能为零；②分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. 解答过程：（1）m=0 （2）m=2 （3）m=1解题后的思考：我们从实例中发现了分式和整式的不同之处：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母，且除式不能为零，即分母不能为零，明白了分式中的字母是有条件约束的，分式中的字母的取值必须保证分母不为零. 小结：1. 掌握理解分式的概念.2. 分式的概念和分式有意义的条件.应用分式有意义的条件——分母不为零，解出字母的值.还可以利用不改变分式，只把题目改成“分式无意义”，使学生比较全面地理解分式及有关的概念，也为今后求函数的自变量的取值范围，打下良好的基础.3. “在什么条件下，分式的值为0？”，分式的值为0时，必须同时满足两个条件：①分母不能为零；②分子为零.由这两个条件得到的解集的公共部分才是这一类题目的解.知识点二：分式的基本性质分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是：MB MA B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=, （其中M 是不等于零的整式）. 与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分. 1、分式的变号法则例3：不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数： （1）21x x -； （2）322+--x x. 思路分析：题意分析：本题考查分式的基本性质的知识.解题思路：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用.（2）当括号前添“+”号时，括号内各项的符号不变；当括号前添“－”号时，括号内各项都变号. 解答过程：（1）1122--=-x x x x ； （2）323222--=+--x x x x . 解题后的思考：不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含“－”号.它是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘－’号”是分式的基本性质的应用之一. 2、分式的约分例4：约分（1）4322016xy y x -； （2）44422+--x x x . 思路分析：题意分析：本题考查利用分式的基本性质进行约分.解题思路：约分时要找准分子和分母的公因式，最后的结果必须是最简分式. 解答过程：（1）;542016432y xxyy x -=- （2）44422+--x x x ＝2)2()2)(2(--+x x x ＝22-+x x .解题后的思考：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后再进行约分.约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式. 3、分式的通分思考：如何把分数65,43,21通分. 解：126261621=⨯⨯=，129433343=⨯⨯=，1210625265=⨯⨯= 思考：什么叫分数的通分？答：把几个异分母的分数化成与原来的分数相等的同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分.和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分.通分的关键是确定几个分式的公分母.例5：通分 （1）4322361,41,21xy y x z y x ；（2）2241xx -与412-x . 思路分析：题意分析：本题考查有关实数的知识.解题思路：（1）对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，以字母x 为底的幂的因式，取其最高次幂x 3，以字母y 为底的幂的因式，取其最高次幂y 4，再取字母z .所以三个分式的最小公分母为12x 3y 4z .（2）先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即4x －2x 2=－2x （x －2），x 2－4=（x+2）（x －2），把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即()()222-+x x x 就是这两个分式的最简公分母.解答过程：（1）;1262143223zy x y z y x = ;123414332z y x xyzy x = ;122614324zy x zx xy = （2）()();22222412-++-=-x x x x x x)2)(2(22412-+=-x x x xx . 解题后的思考：通分是要正确地确定各个分母的最简公分母1. 取各分式的分母中系数的最小公倍数；2. 各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3. 相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4. 所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母.5. 分式是多项式时，一般应先将各分母分解因式，然后按上述的方法确定最简公分母. 小结：知识点三：分式的运算 1、分式的乘除例6：计算：（1）x b ay by x a 2222⋅ ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷a bc ac b 2110352 ；（3）493222--⋅+-x x x x ； （4）)3(2962y y y y -÷++-；（5）)4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅；（6）x x x x xx x --+⋅+÷+--3)2)(3()3(44622. 思路分析：题意分析：本题考查分式的乘除运算解题思路：①本题是几个分式在进行什么运算？②每个分式的分子和分母都是什么代数式？③在分式的分子、分母中的多项式是否可以分解因式，怎样分解因式？ ④怎样应用分式乘法法则得到积的分式？解答过程：（1）3323232222ba xyb xy a x b ay by x a ==⋅；（2）222222730105102135211035cb abc ab bc a ac b a bc ac b -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷； （3）原式＝)2)(2()3)(3(32-+-+⋅+-x x x x x x ＝23+-x x ； （4）31)3(196)3(96222-=⋅-=⋅+-=-÷+-y y y y y y y ； （5）)4(3)98(23232b xb a xy y x ab -÷-⋅=()x b ba xy y x ab 34)98(23232-⋅-⋅=xb b a xy y x ab 349823232⋅⋅ =32916ax b ； （6）x x x x xx x --+⋅+÷+--3)2)(3()3(44622x x x x x x x --+++--3)2)(3(3144622=x x x x x x --+⋅+⋅--3)2)(3(31)2()3(22 =)3()2)(3(31)2()3(22---+⋅+⋅--x x x x x x =22--x . 解题后的思考：（1）根据分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果.（2）分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果中如果分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘时不必把它们展开. 2、分式的乘方讲解分式乘方的运算法则之前，根据乘方的意义和分式乘法的法则，计算2)(b a =⋅b a b a =b b a a ⋅⋅=22b a ，3)(b a =⋅b a ⋅b a b a =b b b a a a ⋅⋅⋅⋅=33ba ，……顺其自然地推导可得：归纳出分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.例7：计算：（1）332)23(c b a -； （2）32223)2()3(xay xy a -÷； （3）)()()(422xy xy y x -÷-⋅-. 思路分析：题意分析：本题考查分式的乘除及乘方运算.解题思路：（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）、（3）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应注意运算顺序：先做乘方，再做乘除. 解答过程：（1）936332827)23(cb ac b a -=-； （2）43663239889)2()3(y x a y a x y x a x ay xy a -=⋅-=-÷； （3）4422242211)()()(yxy x y y x xy x y y x =⋅⋅=-÷-⋅-. 解题后的思考：分式的乘除与乘方的混合运算是分式中的重点，也是难点，要注意运算顺序，不要盲目地跳步计算，提高正确率，突破难点.小结：分式的运算以有理数和整式的运算为基础，以因式分解为手段，经过转化后往往可视为整式的运算.分式法乘除的法则和运算顺序可类比分数的有关内容得到.所以，用类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.特别要注意运算符号的问题.1. 突破难点的方法是利用分式与分数有许多类似之处，从分数入手，研究出分式的有关概念，同时还要清楚分式与分数的联系与区别.通过复习分数的通分、约分总结出分数的基本性质，再用类比的方法得出分式的基本性质.应用分式的基本性质导出通分、约分的概念，使学生在理解的基础上灵活地将分式变形.2. 分式的乘除法法则和运算顺序可类比分数的有关内容得到.所以学会用类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.另外要紧紧抓住做分式乘除法的混合运算时先统一成乘法运算这一点，分式乘除法的混合运算，要注意运算顺序，不要跳步.还要注意运算符号问题、变号法则.（答题时间：60分钟）一、填空题1. 分式24xx -，当x_______时，分式有意义；当x_______时，分式的值为零. 2. 当x_______时，分式15x -+的值为正；当x______时，分式241x -+的值为负.二、选择题3. 下列式子①2x ，②5x y +，③12a -，④1x π-中，是分式的有（ ） A . ①②B . ③④C . ①③D . ①②③④4. 分式31x ax +-中，当x=－a 时，下列结论正确的是（ ） A . 分式的值为零 B . 分式无意义C . 若a ≠－13时，分式的值为零 D . 若a ≠13时，分式的值为零 5. 下列各式中，可能取值为零的是（ ）A . 2211m m +-B . 211m m -+C . 211m m +- D . 211m m ++6. 使分式||1xx -无意义，x 的取值是（ ）A . 0B . 1C . －1D . ±17. 计算（2x y ）·（y x ）÷（－yx ）的结果是（ ）A . 2x yB . －2x yC .xyD . －x y8. 122+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n m b 的值是（ ）A . 2321n n b m ++B . －2321n n b m ++C . 4221n n b m ++D . －4221n n b m++9. 化简：（3x y z ）2·（xz y ）·（2yzx ）3等于（ ）A . 232y z xB . xy 4z 2C . xy 4z 4D . y 5z*10. 如果（32a b ）2÷（3a b）2=3，那么48b a 等于（ ）A . 6B . 9C . 12D . 81三、解答题11. 计算：（1）2222213462a a a a a a a a a a -⋅--÷+-+；（2）269x x -+÷29x -·3x +.**12. 已知0233132=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-b a b a =0. 求2b a b +÷[（b a b -）·（ab a b +）]的值.13. 先化简，再求值：232282x x x x x +-++÷（2x x -·41x x ++）. 其中x=－45.一、填空题1. ≠±2，=02. <5，任意实数二、选择题3. C4. C5. B6. D7. B8. D9. B10. 3662242842342()()3339a a a b a b a b b bb a ÷=⋅=⋅=⋅= 答案是B三、解答题11. （1）22222234962aa a a a a a a a -⋅--÷+-+ ()()()()()22222332a a a a a a a a a -⋅-+-⋅-+=31-=a （2）102310396962222-+⋅---÷--+-x x x x x x x x x()()()()()()()()52333252332-+⋅-++-⋅+--=x x x x x x x x x 21= 12. ,013,0233132=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-b a b a b a 2,1,0233-=-==-b a b a .代入2b a b +÷[（b a b -）·（aba b +）]=－1 13. ⎪⎭⎫⎝⎛++⋅-÷++-+142282232x x x x x x x x x ()()()()()()4211242+-+⋅+-+=x x x x x x x x 11+=x把54-=x 代入11+x ，原式=5。

初中数学分式的综合运算、化简及比较大小考试要求：重难点：1.会进行简单的分式加减乘除综合运算；2.利用分式的基本性质进行分式化简求值；3.会用作差法比较分式大小.知识点：分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，用公式表示为.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，.分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.例题精讲：模块一 分式的加减运算☞分式分母相同或互为相反数 【例1】 计算：111a a a +=++ .【难度】1星【解析】根据分式的加减运算法则可知，分式的分母相同，分子相加减，即11+1111a a a a a +==+++ 【答案】1【巩固】计算：9333a b a bab ab++-【难度】1星a b a bc c c +±=a c ad bc ad bcb d bd bd bd ±±=±=【解析】9393623333a b a b a b a b b ab ab ab ab a +++---=== 【答案】2a【巩固】计算：2222135333x x x x xx x x +--+-++++ 【难度】2星【解析】22221352623333x x x x x x x x x x +--++-+==++++【答案】2【巩固】计算：22222621616x x x x x+-++-- 【难度】2星【解析】22222262282(4)2=161616(4)(44x x x x x x x x x x x +-+--+==----++）【答案】24x +☞分式分母不相同 【例2】 计算：21211x x --- 【难度】2星【解析】分母不同，能分解因式先分解因式再通分。

212(1)211=11(1)(1)(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x x +--=-=---+-+-++ 【答案】11x +【巩固】计算：22b aa ab b ab+--． 【难度】2星【解析】2222()()()()()()b a b a b a b a b a a ba ab b ab a a b b b a ab a b ab a b ab -+-++=+===-------【答案】a bab+-【巩固】计算：2216322a a a a a --++-- 【难度】3星【解析】2221616(1)(2)6(2)322(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)910(1)(10)10(1)(2)(2)(1)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -----+-=-=++--++-+++---+--===++-++-+-【答案】10(2)(2)a a a -+-【总结】在进行分式的加减运算时，先观察分母是否相同，当分母相同时分子直接相加减，当分母互为相反数时，通过改变分式的符号，把它们变为分母相同的分式。