分式及其运算课件(完整版)

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分式及其运算

分式函数：解决实际问题中的函数关系
03
分式不等式：解决实际问题中的不等关系
04
分式数列：解决实际问题中的数列关系
05
分式极限：解决实际问题中的极限关系
06
分式积分：解决实际问题中的积分关系
数学公式的推导
分式的定义：形如A/B，其中A、B
01
是整式，B≠0 分式的运算：包括加法、减法、乘
03
法、除法、乘方、开方等分式的应用：包括求解方程、不等
整式，分式的值不变
分式的通分：将两个或多个分式的分母化为相同，以便进行加减运算
分式的约分：将分式的分子、分母同时除以它们的最大公因式，以简
化分式
分式的加减法：将分式的分子、分母分别相加或相减，得到新的分式
分式的乘除法：将分式的分子、分母分别相乘或相除，得到新的分式
分式的幂运算：将分式的分子、分母分别进行幂运算，得到新的分式
乘方和开方：分式乘方，分式开方
添加标题
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分式除法：分子相除，分母相除
混合运算：分式乘法、除法、乘方、开方混合运算
乘方和开方
01
乘方：分式乘方时，分子和分母分别乘方，分母中如果有平方项，需要先开方
03
运算顺序：先乘方，后开方，遵循先乘除后加减的运算顺序
开方：分式开方时，分子和分母分别开方，分母中如果有平方项，需要先开方
分式分解
01
分式分解的定义：将分式分解为两个或多个分式的过程
02
分式分解的方法：提取公因式、分组分解、公式分解等
03
分式分解的步骤：观察分式的结构，选择合适的分解方法，进行分解

分式及其运算教学课件

在分式的加减法中，可以利用同底数幂相乘法则进行化简。
幂的乘方与积的乘方
幂的乘方
幂的乘方是指幂相乘，底数不变，指数相加。
积的乘方
积的乘方是指几个数相乘，再把所得的积取乘方，等于把积的每一个因数分别取乘方，再把所得的幂相乘。

PART 03
分式的乘除法
分数乘法法则
分母相乘
分式的乘法，首先将分母相乘，作为
3
注意事项
在应用分数除法法则时，需要注意除数不能为零，否则会导致数学错误。同时，还需要注意运算的顺序和符号等问题。
PART 04
分式的混合运算
运算顺序
01
先乘除后加减
在进行分式的混合运算时，应先进行乘除运算，再进行加减运算。
02
括号内优先
在运算时，括号内的内容应优先进行计算。
运算技巧
分式混合运算步骤
定义
分式定义为两个整式相除的商，而整式定义为单项式和多项式的统称。
分母
分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含有字母。
分子
分式的分子是一个整式，而整式的分子中可以含有字母。
PART 02
分式的加减法
同底数幂相乘法则
定义
同底数幂相乘时，指数相加。
公式
a^m * a^n = a^(m+n)
应用
解分式方程时，需要先将方程两边同时乘以最简公分母，化简方程，再进行求解。
在解分式方程时，需要注意不能约分或通分，以免影响求解的准确性。
分式方程的概念
解分式方程的方法
解分式方程的注意事项
分式方程的应用
解决实际问题 01
分式方程可以用于解决各种实际问题，如工程问题、经济问题等。

第4课分式及其运算

x －3 －3 时，分式 (2)当x＝________ 的值为0. x－3 解析：当|x|－3＝0，|x|＝3，x＝±3，
而x－3≠0，x≠3，故x＝－3. (3)若分式 A．1

x－2 的值为0，则x的值为( D ) 2 x －1 B．－1 C．±1 D．2
解析：当x－2＝0，x＝2时，x2－1≠0，故选D.
3．分式的运算法则：
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．用式子表示为：a ＝－ a ＝－a ＝－－a ， b －b －b b － a ＝ a ＝－a . b －b b (2)分式的加减法： a b a± b ± ＝同分母加减法： c c ； c b d bc± ad ± ＝异分母加减法： a c ac .
x－2 的值为0. x＋2 解析：当x－2＝0，x＝2时，分母x＋2＝4，分式的值是0.
2 时，分式 (2)(2011· 泉州)当x＝_______
知能迁移1
x 有意义的x的取值范围是________． x≠2 2x－4 解析：当2x－4≠0，x≠2时，分式有意义，
(1)使分式
故x的取值范围是x≠2.
A．x＝－2 C．x＝1
2x－5 3 ＝的解是( C ) 2－x x－2 B．x＝2
D．x＝1或x＝2
1－5＝－3＝3，解析：当x＝1时，方程左边＝ 2× 1－2 －1 右边＝ 3 ＝3，∴x＝1是原方程的解. 2－1
题型分类深度剖析
题型一分式的概念，求字母的取值范围 1 【例1】 (1)当x＝_______ 时，分式 2 无意义； x－1 解析：当x－1＝0，x＝1时，分式无意义．
这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性

《分式的乘除法》课件(共14张PPT)

b a2

ab ba2

1 a
x2 1 x 1 (3) y y2
解 x2 1 y2 y x 1
(x 1)(x 1) y y y(x 1)
xy y
(2)(a2 a) a a 1
解 (a2 a) a 1 a
(a2 a)(a 1) a
第五章分式与分式方程
2 分式的乘除法
•温故知新：
2 4 , 35
24 35
b d ?....... b d ?
ac
ac
猜想 a d a d
b c bc
a d a c ac b c b d bd
分式的乘除法的法则:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;
⑵原式

(x 1)(x 1)
x 22

1 x 1
(x
1)(x x 1
2)

x 1 x2

2)

a2
1
2a
注意：按照法则进行分式乘除运算，如果运算
结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式。
•例２计算
(1)3xy2 6 y2 x
解原式 3xy2 x 6y2

3xy2 6y2
x
1 x2 2
(2)
a2
a 1 4a
4

a2 a2
1 4
③原式

3
xy

2
x y
2

3xy 2y2
x

3x2 2y
•做一做

分式及其运算课件精编版

3．分式的运算法则：
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中
任何两个，分式的值不变．
用式子表示为：a＝－ a ＝－a ＝－－a ，
b
－b －b
b
－ a ＝ a ＝－a . b －b b
(2)分式的加减法：
同分母加减法：
a ±b ＝a±b cc c
；
异分母加减法：
b±d＝ bc±ad a c ac
x2－1 ＝x＋1·x－1＝ x－1.
x2＋2x＋1 x＋12
x＋1
将x＝2代入xx－＋11
，得原式＝22－＋11＝
1 3
.
shiqianxian pingdichang zhonxue
题型四分式方程的解法
【例4】
解分式方程：x2＋5 3x
－
1 x2－x
＝0.
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
shiqianxian pingdichang zhonxue
2．注意分式运算的法则和顺序分式的乘除运算，一般先利用法则转化为分式的乘法后，能约分的要先约分，再计算，否则运算非常复杂；对于乘除、乘方混合运算，就遵循“先乘方，后乘除”的运算顺序；异分母分式相加减，或分式与整式的加减运算，可把整式看作一个整体与分式通分后，按同分母的分式相加减来进行运算．分式运算中，每步运算都要符合法则或运算律，不能随意套用运算律．
1y－2－1x
－1x－1y－2
＝－6－14 ＝－20
－3－2 －5
＝4.
shiqianxian pingdichang zhonxue
探究提高 1.分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变. 2.将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底. 3.巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，将要求的算式向已知条件“凑”而求得结果．

人教版数学八年级上册 15.2 分式的运算课件(32张ppt)

m( m 7) (7 m )(7 m )
m 7m
知识点及时练
4.计算：
2
x2 4 x 2 3x 2 2 x 4x 3 x2 x
2
x 4 x x 解:原式 2 2 除法转化为乘法 x 4 x 3 x 3x 2
( x 2)(x 2) x( x 1) 分子分母 ( x 3)(x 1) ( x 1)(x 2) 分解因式
教材知识点精讲
2.分式的乘方
归纳
一般地，当n是正整数时， n个
a n a a a a a a a ( ) n b b b b b b b b
n
即：( a ) n a n
n个
n
n个
b
b
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方.
计算：
知识点及时练
2 2
x y (x y) 2 2 x(x y) x (x y)
x(x y) (x y) 2 2 2 x (x y) x (x y)
x 2 xy x 2 2xy y 2 x 2 (x y)
2
2 xy y xy y 2 2 x (x y) x (x y)
3 1 试一试： a 4a
异分母分式的加减法则：先通分,将异分母的分数化为同异分母分式相加减，先通分母的分数分，变为同分母分式,再加 3q 2 p 3q
2 p 3q 2 p 3q 2 p 3q 2 p 3q 2 p 3q 2 p 3q 2 p 3q 2 p 3q 2 p 3q 2 p 3q
1 x4 x 2 x(x 2) x 4 (x 2)2

人教版数学八年级上册第十五章专题课堂(六) 分式的运算课件(共16张PPT)

第十五章分式
专题课堂(六) 分式的运算
一、分式的意义与性质类型：(1)分式无意义，值为正、负或0的条件； (2)分式的基本性质及应用．
【例 1】若实数 a，b 满足ba＋ba＝2，求aa22＋＋4aabb＋＋bb22的值．分析：本题有两种解法，解法 1：根据分式的基本性质，把求值式的分子、分母都除以 ab，再进行适当的变形，使之出现条件式，把条件式整体代入即可；解法 2：对条件式进行变形，可得 a2＋b2＝2ab，整体代入求值式即可．
类型：(1)分式无意义，值为正、负或0的条件； (2)分式的基本性质及应用．
(2)由方程(或不等式)得出字母的值(或取值范围)；
(3)将含字母的等式整体代分入求析值：．先对分式进行化简，然后选取使原分式有意义的 x 值代入
类型：(1)分式无意义，值为正、负或0的条件； (2)分式的基本性质及应用．
a2 ＋ b2 ＝ 2ab ，
∴aa22＋＋4aabb＋＋bb22＝（（aa22＋＋bb22））＋＋4aabb＝22aabb＋＋4aabb＝12
【对应训练】 1．下列各式正确的有( A ) ①ab＝ba22；②ba ＝ba＋＋cc；③ba ＝a＋abb；④ba＝abb2 . A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．若分式2xx2－＋12的值为 0，则( B )
类型：(1)直接给出字母的值；
【例 2】计算： (1)x－x 1÷(x2－1 1＋x＋1 1)； (2)x2－x2－2x1＋1·xx2－＋1x＋2x； (3)(a－2＋a＋4 2)÷(a＋a2 1－a＋1)．分析：(1)按分式运算法则和运算顺序进行；
(2)先约分，再计算；
(3)将整式的分母看成 1，再通分．
A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝－12 D．x＝±1

分式及其运算(完整版)ppt课件

（1）x2
x 2x
(
x2
)
（分子分母都乘以 x）
（2）3x2 3xy xy
6x2
(
)
（分子分母都除以 3x）
例3（补充）判断下列变形是否正确.
（1）
a b
a2 b2
(
)
（2） b bc a ac
(c≠0)
(
)
（3） b b 1 ( )
a a 1
（4）
2x 2x 1
x x 1
(
)
（四）课堂练习
无意
-1 义 -1 0
思考：
1、第2个分式在什么情况下无意义？ 2、这三个分式在什么情况下有意义？ 3、这三个分式在什么情况下值为零？
练习3：
A
1、归纳：对于分式 B
（1）分式无意义的条件是 B=0 。
（2）分式有意义的条件是 B≠0
。
（3）分式的值为零的条件是 B≠0且A=0 。
2、当x ≠2 时，分式 x 有意义。 x2
5a2b2
4ab3cd
2bd .
10a2b2c2
5ac
课堂练习
练习1 计算：
（ 1 ） b a ；（ 2 ） 2b；（ 3 ） n y m y. ac a2 a m x n x
课堂练习
练习2 计算：
（1）3a 4b
196ab2 ；（2）
3xy
2y2 3x
；
（3）12xy 8x2y；（4）x y y x．
解：即2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了 S 1 S 3 - S 2 2 ． S1S 2
八年级上册
15.2 分式的运算
分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算

八年级数学分式的运算全部课件-12

对于式子中出现的整式，可以把它看成分母是“1”的分式
小试身手：
1 1 (1) 2 2 2c d 3cd 3 2m n (2) 2 2m n (2m n) a 1 (3) 2 2 a b a b
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1、甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？ 2、2001年、2002年、2003年某地的森林面积（单位：公顷）分别是S1，S2，S3， 2003年与2002年相比，森林面积增长率提高了多少？
小明
3 1 3 4 1 12 1 13 a 4 a a 4 4a 4a 4a 4a
小亮
你认为谁的方法更好？为什么？
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异分母分式加减法法则：
先通分，变为同分母的分式，在加减。异分母的分式转化同分母的分式通分
育网 -
填空：
8 3 5 4x 4y ______ (1) ______ (2) 4 xy xy xy x y y x 1 5 (3) 3 12x 、 2 x 、6 x 的最简公分母是___________ 4x
选择：
下列计算中正确的是（
b c bc Ａ、 a a 2a b d bd Ｃ、 a c ac
转化
通分
同分母的分式
3 1 a 4a
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小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题。小亮同意这种看法，具体的做法如下：
a 12a a 13a 13 3 1 3 4a 2 2 2 4a 4a 4a a 4 a a 4a 4a a 4a

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探索分式的加减法法则
分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
1 + 5 1 + 2
2 = 5 1 = 3
3 ； 5 3 2 5 + = ； 6 6 6
1 2 1 - =- ； 5 5 5 1 1 3 2 1 - = - = ． 2 3 6 6 6
1 1 （2） + ． 2 p+3q 2 p -3q
5 x+ 3 y 2x 5 x+3 y - 2 x 解：（ 1） 2 2 - 2 2 = x -y x -y x 2 -y 2 3 x+ 3 y （ 3 x+y） = 2 2 = x -y （x+y）（x-y） 3 = ； x -y
运用分式的加减法法则
x
）
B
x 1
B
x
2 C1 且x 5
2 D 任意有理数 x 5
得
分析：分母
(5 x 2)(x 1)
0
x 1 0且5 x 2 0
y2 y 1
(
2.当
y
时，分式① 1
y2 ② y 1
无意义的是 y( y 2) ( y 1)( y 2) C ①③ D ②④
x x x-2 … … -2 -1 0
0 -1
无意义
1 -1
0
2
无意义
… … …
x-1 … 4x+1
x -1 … -1 0 -1 x+1 思考： 1、第2个分式在什么情况下无意义？ 2、这三个分式在什么情况下有意义？ 3、这三个分式在什么情况下值为零？
…
A 1、归纳：对于分式 B
练习3：
（1）分式无意义的条件是
八年级
上册
15.2 分式的运算
乘除法则
探索分式的乘除法法则
问题3 计算： 3 15 3 15 （） 1 ；（2）． 5 2 5 2
在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？
2
) ab
2
2ab b ( （2） 2 ab
) a2
x xy x y (3) 2 x ( )
( x (4) 2 x 2x
) x2
（五）符号规律
例4（补充）.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“—”号： 3x 2 2b x （ 1 ）（2）（3） 2y 3a y 归纳符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 a a a a a （1）（2） b b b b b
B=0 B≠ 0
。
（2）分式有意义的条件是
。
。
（3）分式的值为零的条件是 B≠0且A=0
2、当x ≠2
x 1 3、当x=-0.25 时，分式没有意义， 4x 1 x 1 当x =1 时，分式的值为零。 4x 1
x 时，分式有意义。 x2
4、当a=1，2时，分别求分式
a+1
2a
的值。
八年级
上册
15.2 分式的运算
加减法则
感受学习分式加减法的必要性
问题1 甲工程队完成一项工程需n 天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？（3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
探索分式的加减法法则
分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
a b a b = ， c c c a c ad bc ad bc = = ． b d bd bd bd
运用分式的加减法法则
例计算： 5 x+ 3 y 2x （ 1） 2 2 - 2 2 ； x -y x -y
（三）例题设计（1）
例1（补充）下列等式的右边是怎样从左边得到的？
2b 2 ab （ 1 ） 2 2 2 (a 0) 3ac 3a c
分子分母都
4ab 2a (2) 6b（a 1) 3(a 1) 分子分母都
（a 1（ ) a 1) (a 1) (3) 分子分母都 ab（a 1) ab
课堂练习
练习1 计算： b a 2 b ny my （） 1 ；（2）；（3） . a c a 2a mx nx
课堂练习
练习2 计算： 3a 16b 2 y2 （ 1）；（2） 3 xy ； 2 4b 9a 3x 12 xy x y y x 2 （3） 8 x y；（4）． 5a x y x y
①请在上面横线上填写第七个数。 ②根据规律可知，第n个数应 n+1 或 n+1 是 (n+1)2-1 n (n+2)（n为正整数）
分式的概念
①分子分母都是整式 ②分母中必含有字母
分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义当分子为零且分母不为零时，分式值为零。
第2课时
（一）问题情景问题1 小学学过分数计算，请你快速计算下列各式，并说出计算根据：
a+1 5、a取何值时，分式 2a 有意义？
变式训练：
a 1 （1）当a取什么值时，分式 2a 2 1
有意义。
(2)当y是什么值时，分式
y 3 y3
的值是0？
(3)当y是什么值时，分式
| y | 3 y3
的值是0？
9、选择：
1.使分式 A
x y 有意义的值必为（ (5 x 2)(x 1)
探索分式的乘除法法则
分式的乘除法法则： a c ac a c a d ad ；． b d bd b d b c bc 如何用文字语言来描述？
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
探索分式的乘除法法则
分式的乘除法法则： a c ac a c a d ad ；． b d bd b d b c bc 如何用文字语言来描述？除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
课堂练习
练习1 计算： x+1 1 a 2a 3a （） 1 - ；（2） + ． x x b+1 b+1 b+1
课堂练习
练习2 计算： 1 1 3 2 m-n （ 1） 2 + ；（2）； 2 2 2m-n （2m-n） 2c d 3cd a 1 a2 （3） 2 2 ；（4） -a-1． a+b a -1 a -b
2.你能归纳出以上所体现的变形吗？ 3.会用字母表达式表示吗？
（类比分数的基本性质，得出分式的基本性质）
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
C , C C .(C 0) C
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式.
2
)
（四）课堂练习
1.（补充）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ 1 c (1) (c 0) ,分子分母都 ab abc
a x a （ 2） ,分子分母都 abx b
2
( x y) x y , 分子分母都（3） 2 2 x y x y
2
2.（补充）填空：aΒιβλιοθήκη ( （1） ab第4课
分式及其运算
张玲玲
§4.1 分式的概念
问题1：请将下列的几个代数式按照你认为的共同特征进行分类，并将同一类移入一个圈内（圈的个数自己选定,若不够可再画），并说明理由。
2.6 5 5 x y 2004 2004 , , , , , , 5 13 a x y x y x x 30
2.6 5 , 5 13
5 x , , a xy y 2004 , xy x 2004 x 30
。。。。
。。
特征：
。
被除数÷ 除数 =
被除数除数
（商数）
3
÷
4
整数
=
整数
3 4 分数
类比
被除式÷除式
t ÷ (a-x)
被除式 = 除式 = （商式）
整式
t a-x 整式分式
分式的概念:
A 表示成形式。如果B中含有字母，式 A B 子就叫做分式。其中，A叫做分式的 B
例计算： 5 x+ 3 y 2x （ 1） 2 2 - 2 2 ； x -y x -y
1 1 （2） + ． 2 p+3q 2 p -3q
1 1 2 p -3q + = 解：（2） 2 p+3q 2 p -3q （2 p+3q）（2 p -3q） 2 p+3q + （2 p+3q）（2 p -3q） 2 p -3q+ 2 p+3q 4p = = ． 2 2 （2 p+3q）（2 p -3q） 4 p -9q
③
( y 1)( y 2) ④ ( y 1)( y 2)
B ②③
C)
A ①②
10、判断：
1、对于任意有理数 2、若分式，分式 x
m 1 无意义，则 (m 3)(m 2 1)
2 有意义 2 3 x
（
）（
的值一定是-3
m
）
√
×

分式及其运算课件(完整版)

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