分式的概念及基本性质-分式的运算

分式的概念与运算分式，也可称为有理数的形式，是表示两个整数之间关系的一种数学表达式。

它由一个分子和一个分母组成，分子表示除法的被除数，分母表示除法的除数。

在数学中，分式广泛应用于各种实际问题的求解与计算中。

本文将介绍分式的概念、基本性质，以及分式的加减乘除运算。

一、分式的概念分式的本质是一个数的表达方式，它可以表示两个整数之间的比例关系。

例如，$\frac{1}{2}$表示整数1与整数2之间的比值，读作“1除以2”。

在分式中，分子和分母可以是任意整数，并且分母不能为零。

当分子为0时，分式的值为0。

二、分式的基本性质1. 分式的值可以是一个整数、一个真分数或带分数。

当分子大于分母时，分式的值大于1；当分子小于分母时，分式的值小于1。

2. 分式可以进行化简。

也就是说，可以约分分式中的分子和分母，将它们的公约数约掉，使得分子和分母互质。

例如，$\frac{2}{4}$可以化简为$\frac{1}{2}$。

3. 分式可以进行扩展。

也就是说，可以将分子和分母同时乘以一个非零整数，得到等价的分式。

例如，$\frac{3}{5}$可以扩展为$\frac{6}{10}$。

三、分式的加减乘除运算1. 分式的加法和减法分式的加法和减法遵循公式：$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。

具体来说，对于分式$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$，只需将两个分式的分母取公倍数得到新的分母，然后将分子相应操作后得到新的分子，即可得到结果。

示例：$$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} =\frac{19}{15}$$$$\frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} $$2. 分式的乘法和除法分式的乘法和除法遵循公式：$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} =\frac{ad}{bc}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。

高一数学分式笔记摘要：1.分式的基本概念2.分式的基本性质3.分式的运算法则4.分式的应用举例正文：一、分式的基本概念分式是指一个数或一个代数式除以另一个非零数或非零代数式所得到的式子。

分式中，被除数称为分子，除数称为分母。

分式通常用两个竖线表示，如：$frac{a}{b}$。

二、分式的基本性质1.分式的分子、分母同时乘以或除以一个非零数或非零代数式，分式的值不变。

2.分式的分子、分母互换位置，分式的值变为原来的倒数。

3.当分子等于零且分母不等于零时，分式的值为零。

4.当分母等于零时，分式无意义。

三、分式的运算法则1.分式的加法：将两个分式的分子相加，分母保持不变，即：$frac{a}{b}+frac{c}{d}=frac{ad+bc}{bd}$。

2.分式的减法：将两个分式的分子相减，分母保持不变，即：$frac{a}{b}-frac{c}{d}=frac{ad-bc}{bd}$。

3.分式的乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，即：$frac{a}{b}timesfrac{c}{d}=frac{ac}{bd}$。

4.分式的除法：将两个分式的分子相除，分母相除，即：$frac{a}{b}divfrac{c}{d}=frac{ad}{bc}$。

四、分式的应用举例1.解方程：利用分式求解方程，如：$frac{x+3}{x-2}=1$，解得：$x=5$。

2.计算比例：利用分式计算比例，如：已知比例$frac{a}{b}=frac{c}{d}$，求解：$a:b=c:d$。

3.数值计算：利用分式进行数值计算，如：计算圆的面积，公式为：$S=frac{1}{2}r^2$。

通过以上学习，我们可以掌握分式的基本概念、基本性质和运算法则，以及分式在实际问题中的应用。

分式的概念及性质一、分式的基本概念：【例1】下列各式2x ，22a b +，a b π+，2x +，1a m +中，分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【拓1】（1）当x 满足条件_________时，分式21xx -有意义．（2）若分式()11x x +有意义，则x 需满足____________；若分式()1xx x +有意义，则x 需满足_____________．【拓2】当x 为何值时，下列分式的值为0：①31x x + ②2213x x - ③242x x -+ ④212x x x -+-【例2】已知：当x =2时，分式x m x n -+无意义；当x =-6时，分式x mx n-+的值为0，则 m -n =_______．【拓3】当x ________时，分式36x -的值为正数；当x ________时，分式26xx--的值为负数．【拓4】（21广陵期末）关于x 的方程1233x kx x -=+--的解为非负数，则k 的取值范围是___．【拓5】若分式1324x x x x ++÷++有意义，则x 的取值范围为__________．【拓6】（2021·扬州）不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）A ．1x +B ．21x -C ．11x + D ．2(1)x +二、分式的基本性质：①x y x y +- ②xy x y - ③22x y x y +- ④2xx y+【拓7】（21邗江期末）把分式2xyx y+中的x 和y 都扩大2倍，分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大4倍 C ．缩小12D ．扩大2倍【拓8】不改变分式的值，把分式的分子和分母系数都化为整数：①0.10.51.5x y x y -+ ②21321334x y x y -+ ③10.3210.55a ba b -+【拓9】（1）不改变分式的值，把分式的分母化为6ab 2：23a b 22a bab+（2）不改变分式的值，把分式的分母化为()()11x x x -+：()11x x x -+ 21xx -【例4】（1）下列等式，从左到右的变形正确的是（ ）A ．1x y x y --=-- B ．0.220.50.353x y x yx y x y++=-- C ．x a ax b b+=+ D ．()2x y x y y x -=-+-（2）将下列格式约分：3439x x =-__________322384a b a b c -=-___________ 23224x x x -=-___________ 2442a a a-+=-_________【拓10】下列分式：2x x ，1m m +，x xπ+，a bb a --中，最简分式的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【拓11】（21扬州期末）当2021a =时，分式293a a --的值是________．【拓12】分式2214a b 与36a bab c+的最简公分母是________．【拓13】通分：①()()112x x --，2121x x -+；②()11a a a -+，21a a -，2221a a ++．【拓14】（18邗江期中）先约分，再求值：32322444a ab a a b ab --+，其中2a =，12b =-．【拓15】（15邗江月考）已知：y z z x x y x y z +++==，其中0x y z ++≠，求x y zx y z+-++的值．三、分式的运算：（1）2222463ab cc a b -⋅ （2）32422ab c ac c ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）()()222142y x x y xy x y x +-÷⋅- （4）23x y x y x y y x x y ++----（5）a b b c ab bc ++- （6）24142x x +-+【拓16】化简，求值：22211111m m m m m m -+-⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中m =四、真题演练：1．（21邗江月考）已知：23a b b c c a m cab+++=++，且0abc >，0a b c ++=．则m 共有x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最小的值为y ，则x y +=（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．32．（19扬州一模）已知111m n -=，则代数式222m mn nm mn n--+-的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．1- D ．3-3．（19江都期中）已知113x y +=，则分式2322x xy yx xy y-+++的值为（ ） A ．35 B ．9C ．1D ．不能确定4．（15扬州月考）已知x 为整数，且222218329x x x x ++++--为整数，则所有符合条件的x 值的和为________．5．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（20邗江期末）关于x 的方程1242k xx x -=--的解为正数，则k 的取值范围是________．7．（21广陵期末）先化简，再求值222124424x x x x x x x ++++÷--，其中2021x =．8．（19宝应期中）已知实数A 、B 使得等式34(1)(2)12x A Bx x x x -=+----成立，求实数A 、B ．9．（18高邮期中）已知13x x +=，求221x x+的值．10．（18江都月考）定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----，232252255211111x x x x x x x x -+-+-==+=-+++++，则 11x x +-和231x x -+都是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①1x x+；②22x +；③21x x ++；④221y y +（2）将“和谐分式2231a a a -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：2231a a a -+=-________+________．（3）应用：先化简22361112x x x x x x x +---÷++，并求x 取什么整数时，该式的值为整数．11．（20仪征期中）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：11x x -+，21x x -这样的分式就是假分式；再如：31x +，221x x +这样的分式就是真分式，假分数74可以化成314+（即314）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：1(1)221111x x x x x -+-==-+++． 解决下列问题： （1）分式3x 是____（填“真”或“假”）分式；假分式64x x ++可化为带分式________形式； （2）如果分式42x x --的值为整数，求满足条件的整数x 的值； （3）若分式22251x x ++的值为m ，则m 的取值范围是________（直接写出答案）．。

分式的概念和性质要点一、分式的概念一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x y x是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b b a a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】1. 下列各式中，m 取何值时，分式有意义？（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239m m --．2. 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为___________________.3. 当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负数？4. 填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c --=----．【变式1】将下列各式约分：（1）23412ax x ；（2）243153n n x y x y+-；（3）211a a --；（4）321620m m m m -+-．【变式2】将下列各式通分：（1）4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，211x -．（3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -．5. 若2x y =-，求22222367x xy y x xy y----的值．要点七、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⋅=，其中a b cd 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点八、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a ba b a bb b b---⎛⎫=≠⎪⎝⎭.6、计算：(1)422449158a b xx a b；(2)222441214a a aa a a-+--+-．7、计算：(1)222324a b a bc cd-÷；(2)2222242222x y x yx xy y x xy-+÷+++．8、计算：（1）432xy⎛⎫⎪-⎝⎭；（2）323a bc⎛⎫⎪-⎝⎭．9、计算：（1）23422x y yy x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）222223()a b aba abb b a⎛⎫-⎛⎫÷+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．。

分式归纳总结分式是数学中常见的一种表达方式，它由一个分子和一个分母组成，分子和分母都是数或者代数式。

在日常生活和学习中，我们经常遇到各种各样的分式，学会对分式进行归纳总结，可以帮助我们更好地理解和应用分式。

一、分式的基本概念和性质1. 分式的定义：分式是由分子和分母用横线分隔表示的数或者代数式。

2. 分式的性质：分式可以进行加、减、乘、除等运算。

分式可以化简为最简形式，即分子与分母没有公因数。

二、分式的分类和举例1. 真分式：分子的绝对值小于分母的绝对值，如1/2、3/4等。

2. 假分式：分子的绝对值大于等于分母的绝对值，如5/4、7/2等。

3. 显分式：分子为非零数，如3/1、4/1等。

4. 隐分式：分子为零，如0/5、0/9等。

三、分式的运算与应用1. 分式的加法和减法：对于相同分母的分式，可以直接对分子进行加或减。

对于不同分母的分式，需要先通分再进行运算。

例如：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/63/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/202. 分式的乘法和除法：将分子与分母分别相乘或相除。

例如：(2/3) * (3/4) = 6/12 = 1/2(4/5) / (2/3) = (4/5) * (3/2) = 12/10 = 6/53. 分式的应用：分式在实际生活中有很多应用，如比例、百分数、利润分成等问题。

例如：根据工资比例计算两人的收入比例：小明工资是2000元，小红工资是3000元，求两人工资的比例。

小明的工资比例为：2000 / (2000+3000) = 2000 / 5000 = 2/5小红的工资比例为：3000 / (2000+3000) = 3000 / 5000 = 3/5四、分式的化简与扩展1. 分式的化简：通过约分化简一个分式，使得分子与分母互质。

例如：8/12 = 2/3，可以将分式8/12化简为2/3。

2. 分式的扩展：将一个分式拆分为多个分式的和或差，扩展了分式的表达形式。

分式的概念及基本性质一、同步知识梳理1．分式的概念形如AB (A ，B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

2．与分式有关的“三个条件” (1)分式AB 无意义的条件是B ＝0；(2)分式AB 有意义的条件是B ≠0；(3)分式AB值为零的条件是A ＝0且B ≠0.二、同步题型分析题型一：考查分式的定义例1 指出下列各式中，哪些是分式？221x x -，45b c +，37，221x -，23a a ，2132a b +．题型二：考查分式有意义的条件例2（1）当x 时，分式2132x x ++有意义；当x 时，分式2323x x +-有意义.（2）下列各式中，无论x 取何，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +题型三：考查分式的值为0的条件 例3 当m 为何值时，分式的值为0？（1）1m m -； （2）23m m -+； （3）211m m -+．．三、课堂达标检测1． 梯形的面积为S ，上底长为m ，下底长为n ，则梯形的高写成分式为 ．2． 下列各式11x +，1()5x y +，22a b a b --，23x -，0 中，是分式的有______ _____；是整式的有___ ______． 3． 当x =_______ ___时，分式x x 2121-+无意义；当x =______ ____时，分式2134x x +-无意义． 4． 当x =____ __时，分式392--x x 的值为零；当x =______ ____时，分式2212x x x -+-的值为零.5． 当x =___ ___时，分式436x x +-的值为1；当x ___ ____时，分式271x -+的值为负数． 6． 下列各式①3x ，②5x y +，③12a-，④2x π-（此处π为常数）中，是分式的有 （ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①②③④ 7． 分式21x ax +-中，当x a =-时，下列结论正确的是 （ ） A ．分式的值为零 B ．分式无意义 C ．若12a ≠-时，分式的值为零 D ．若12a =-时，分式的值为零 8． 下列各式中，可能取值为零的是 （ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +- D ．211m m ++9． 使分式21aa -无意义，a 的取值是 （ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 10．已知234x y x-=-，x 取哪些值时： （1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（3）y 的值是零；（4）分式无意义．1、分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

分式知识点总结分式是数学中的一个重要概念，它在实际应用中十分常见。

本文将对分式的定义、基本性质以及常见的操作进行总结和讲解。

一、分式的定义分式由分子和分母组成，通常形式为a/b，其中a和b为整数，b不等于0。

分子表示了被分割的数量，分母表示了每份的份数。

二、分式的基本性质1. 分式的值是一个有理数，可以是正数、负数或零。

2. 分式的值可以是一个整数、真分数或带分数。

3. 分式可以化简，即将分子和分母同时除以一个公因数，得到一个等价的分式。

4. 分式可以相互比较大小，分子相乘，分母相乘，得到的积的大小关系不变。

三、分式的运算1. 分式的加法和减法：- 分式加法：将两个分式的分母找到一个公倍数，分别乘以这个公倍数后得到新的分数，然后将它们的分子相加，分母保持不变。

- 分式减法：与分式加法类似，将两个分式的分母找到一个公倍数，分别乘以这个公倍数后得到新的分数，然后将它们的分子相减，分母保持不变。

2. 分式的乘法和除法：- 分式乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到的分子作为新分数的分子，得到的分母作为新分数的分母。

- 分式除法：将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，作为新分数的分子；将第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘，作为新分数的分母。

3. 分式的化简：- 将分式的分子和分母同时除以一个公因数，直到分子和分母没有公因数为止，得到一个等价的分式。

四、分式的应用场景1. 比例和比例分配问题：比例可以用分式来表示，通过求解分式可以解决比例分配问题。

2. 股票涨跌问题：利用分式可以计算股票的涨跌幅度。

3. 质量问题：分式可以用来表示物体的质量与体积之间的关系，解决质量问题。

通过以上对分式的定义、基本性质以及常见的操作进行总结和讲解，相信读者对分式的概念及其应用有了更深入的理解。

在实际问题中，对分式的灵活运用可以帮助我们更好地解决各种计算和应用问题。

分式基本性质与分式的运算教学目标1. 了解分式定义，掌握分式基本性质；2. 掌握分式约分；3. 会进行简单的分式的乘除运算；4. 会找几个异分母分式的最简公分母；5. 会用分式的基本性质将异分母分式进行通分；会进行简单的分式的加减运算。

教学重难点掌握分式基本性质；分子与分母为多项式的分式的乘除运算； 找异分母分式的最简公分母、分式的通分； 异分母的加减运算。

透析定义：1. 对于分式的概念，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商式，分数线起除号和括号的作用。

（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母一定含有字母。

（3）分母不为零是分式概念的组成部分，不论是分数还分式，分母为零都没有意义。

例题：判断下列各式，哪些是整式，哪些是分式？x 1 3ay x x - a ab 22-+x x π1+x ()y x -41， 0， 12-a整式有： 分式有：① 【注意】：判断一个代数式是否是分式，关键是 。

② 一些特殊的符号，如π，不能看做字母，π2c不是分式．2. 理解下面题目的意义 （1）当x 为何值时，分式322-+x x 有意义？ 【分母不等于0】（2）当x 为何值时，分式32-+x x 无意义？ 【分母等于0】（3）当x 为何值时，分式22-+x x 的值为零？ 【分子等于0且分母不等于0】例题：若分式11--x x 的值为零,则x =________.若分式()()23312+---m m m m 的值为零,则m=________.分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式值不变。

即注意 ： 如果分式的分子、分母是多项式，必须先使用括号，把分子、分母括起来，再乘以（或除以）某一个整式．1. 下列等式从左到右变形错误的是（ ）A. x y x y --=B.2xxyx y = C.x a y a x y 22= D.()()x a y a x y 1122++=2. 把分式yx x+中的x,y 都扩大3倍,则分式的值（ ） A.不变 B.扩大为原来的3倍 C.扩大为原来的6倍 D.扩大为原来的9倍3. 不改变分式23.015.0+-x x 的值,把分子、分母中的各项系数都化为整数,则所得的结果是（ ）A. 3315+-x xB.203105+-x xC.2312+-x xD.2032+-x x4. 不改变分式的值,使下列分式的分子与分母中都不含“-”号（1）=-y x 23 ； （2） =--xyz3 ； 5. 填空（1）()z xy xy 21= ； （2）()2332x x y = ； （3）()m n mn =32369；（4）()aa ca +=+21 ； （5）()22y x y x m -=-； （6）()()1=-y x x x。

4、分式的概念、性质及运算分式(fraction)包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容． 从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”，在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分(changing fractions tO a common denom —inator)和约分(reduction of a fraction)是技巧性较强的工作，需要灵活处理．分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具，分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有： 1．化整为零，分组通分；2．步步为营，分步通分；3．减轻负担，先约分再通分； 。

4．裂项相消后通分等．【例l 】(1)当m= 时，分式23)3)(1(2+---m mm m 的值为零；(2005年杭州市中考题)(2)要使分式||||11x x -有意义，则x 的取值范围是(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于(2)，当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密．【例2】已知a+b+C=0，,4111-=++cb a 那么222111cba++的值为( )．A ．3B ．8C ．16D ．20 。

(2006年“CASl0杯”武汉市选拔赛试题)思路点拨由222222)1()1()1(111Cb a cba++=++想到完全平方公式． 【例3】计算下列各式： ;4211)1(44322b a a ba a ba ba ⋅++++++- ;)()()()2(222222xyz y x z xy z zxy x z y zxy yzx z y x yz x ---+++++-+--++⋅(第12届“五羊杯”竞赛题);1)1(212211221)3(22233233-+--+-+++++-x x x x x x x x x x(江西省赣州市竞赛题)⋅+--+--+-+-+--+-++---)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())(()4(z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z x y x z y x x z x y(安徽省马鞍山市竞赛题)思路点拨 因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．对于(1)，分步通分；对于(2)，拆项再通分；对于(3)，先约分再通分；(4)注意到分母与分子的项与项之间的关系，如．x —2y+z=(x —y)一(y —z)，采用换元法简化式子．【例4】 已知,1)1(112222-++⋅=--+x C xB xA x x x x 其中A 、B 、c 为常数．求A+B+c 的值．． (第17届“五羊杯”竞赛题) 思路点拨将右边通分，比较分子，建立A 、B 、C 的等式．【例5】 (1)n 为自然数，著n+6︱n 3+1996，则称n 为1996的吉祥数，如4+6︱43+1996，4就是l996年的一个吉祥数．试求l996年的所有吉祥数的和；(北京市竞赛题) (2)计算：⋅+-++-+++-++-500099009999500010050002002250001001122222222k k k． (上海市“宇振杯”竞赛题)思路点拨(1)由于n3 + 1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问题转化为一个分式的问题来解决，是解本例的b键；(2)首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算．1．(1)若使分式aaa Z23114++- 没有意义，则a 的值为(2)若,32=a 则1273222+---a a a a 的值等于(2005年天津市中考题)2．已知,511=+yx则=+++-yxy x y xy x 2252(第16届“希望杯”邀请赛试题)3．已知22-+x b x a 与的和等于,442-x x 则a= ，b=(山东省竞赛题)4．学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖 品；若以l 枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买 枝． (江苏省镇江市中考题) 5．已知式子1||)1)(8(-+-x x x 的值为零，则2的值为( )．A ．±lB ．一lC ．8D ．一l 或8(第15届江苏省竞赛题) 6．计算：22224421b ab a ba ba ba ++-÷+--的结果是( )． ba b A +.ba b B +-. ba a C +.ba a D +-..(2005年河南省竞赛题)7．若x 取整数，则使分式1236-+x x 的值为整数的x 的值有( )．A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个(第17届江苏省竞赛题)8．若a 、b 、C 满足a+b+c=0，abc=8，则cb a 111++的值是( )．A ．正数B ．负数C ．零D ．正数或负数 、(第13届“希望杯”邀请赛试题) 9．化简下列各题：;12).2142)(1(2-+---x x x x x(2004年陕西省中考题));2.(121)2(y x xy x yx x--++-(2005年苏州市中考题)(3)请将下面代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数代入求值：⋅--++-11)1(22a a a a(2005年安徽省中考题) 10．甲、乙两个公司用相同的价格购粮，他们各购两次，已知两次的价格不同，甲公司每次购粮1万千克，乙公司每次用l 万元购粮，那么两次平均价格较低的是哪个公司?(第16届“希望杯”邀请赛试题)11．若,1321161814121218168232xxxxxxxa ++++++++++-=-则a 的值是 ．(2005年河南省竞赛题)12．若关于x 的方程122-=-+x a x 的解为正数，则a 的取值范围是 ．(湖北省选拔赛试题)13．代数式1112++=x x y 的值为整数的全体自然数x 的和是(2005年全国初中数学联赛题)14．已知612602-+a a是正整数，则正整数a=(第14届“希望杯”邀请赛试题)15．设a 、b 、c 均为正数，若,ac b cb a ba C +<+<+ 则a 、b 、C 三个数的大小关系是A ．c<a<bB ．b<c<口C ．a<b<cD ．c<b<a 16．计算))(())(())((b c a c c a b c b b c a b a a --+--+--的值是( )．))((2.c a b a a A -- ))((2.c b b a b B -- ))((2.c b c a c C -- 0.D(2004年河北省竞赛题)17．分式221012622++++x x x x 可取的最小值为( )．A ．4B ．5 ．C ．6D ．不存在 18．设有理数a 、b 、C 都不为零，且a+b+C=0，则+-++-+22222211ba c ac b 2221cb a -+的值是( )．A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定(2004年重庆市竞赛题)19．计算下列各题：;1814121111)1(842+-+-+-+--x x x x x;1113421793)2(2322-++---+-+++x x x x x x x x x⋅+---++----+---abbc ac c ba acab bc b a c bc ac ab a cb 222)3(20．某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的n 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的C 倍，求11111+++++c cb a 的值．(江苏省竞赛题)21．已知正整数n 大于30，且使得4n--1整除2002n ，求n 的值．(第14届“五羊杯”邀请赛试题)22．已知,321)3)(2)(1(60++-++=+-+x C x B x A x x x 其中A 、B 、C 为常数，求A+B+C 的值．(第16届“五羊杯”邀请赛试题) 答案：。

2023-11-04CATALOGUE目录•分式的定义与概念•分式的基本性质•分式的运算•分式方程•分式的简化与化简•分式在实际生活中的应用01分式的定义与概念分式的定义分子在分式$\frac{A}{B}$中，A叫做分式的分子。

分母在分式$\frac{A}{B}$中，B叫做分式的分母。

定义如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。

分式值为0的条件当分母为0，而分子不为0时，分式的值无意义。

分式通分将异分母的分式化为同分母的分式的过程。

分式约分将分子和分母同时除以它们的公因式，将分式化简。

分式的基本概念分式的重要性分式是数学中一个重要的概念，是连接整式与分数的桥梁。

分式的运算是数学中的基本运算之一，掌握好分式的性质和运算法则是学习数学的基础。

02分式的基本性质03约分后结果约分后的结果是分子、分母没有公因式的分式或整式。

分式的约分01约分定义约分是分式的一种恒等变形，其目的是将一个分式化简成最简分式或整式。

02约分步骤首先将分子、分母的公因式提取出来，然后约去分子、分母的公因式。

分式的通分通分定义通分是将几个异分母的分式化为同分母的分式的一种恒等变形。

通分步骤首先确定每个分式的最简公分母，然后将每个分式的分子、分母同时乘以同一个不等于零的整式，化为同分母的分式。

通分后结果通分后的结果是同分母的分式。

分式的相等与不相等分式相等如果两个分式的值相等，那么这两个分式是相等的。

分式不相等如果两个分式的值不相等，那么这两个分式是不相等的。

03分式的运算1分式的加减法23将异分母分式转化为同分母分式，然后进行加减运算。

异分母分式相加减通过通分，将异分母分式转化为同分母分式。

通分分母不变，分子相加减得到结果。

分母不变，分子相加减将分子和分母进行因式分解，找到公因式并约分。

约分将分子和分母同时乘以一个不为零的数或式子，使得分母相同。

通分按照分数的乘除法规则进行计算。

分式的乘除法分式的乘除法按照运算顺序进行先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。

分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。

其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。

分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。

其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。

分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。

这里，分母是指除式而言。

而不是只就分母中某一个字母来说的。

也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。

分式有意义的条件：（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。

分式的区别概念：分式与分数的区别与联系：a.分式与分数在形式上是一致的，都有一条分数线，相当于除法的“÷”，都有分子和分母，都可以表示成（B≠0）的形式；b.分式中含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。

整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无限不循环小数也是无理式无理式和有理式统称代数式分式的基本性质是什么分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。

分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。

分式的概念及基本性质-（教师版）课题：分式的概念及基本性质知识精要：⼀、分式的定义两个整式A 、B 相除，即A B ÷时，可以表⽰为A B ．如果B 中含有字母，那么AB叫做分式．分式有意义的条件：分母不等于零；分式⽆意义的条件：分母等于零；分式值为零的条件：分母不等于零且分⼦等于零．⼆、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分⼦和分母都乘以（或除以）同⼀个不为零的整式，分式的值不变，即A A M A MB B M B M÷==÷（其中M 、N 为整式，且0B ≠，0M ≠，0N ≠）． 2、约分和通分（1）约分：把⼀个分式的分⼦与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分．（2）通分：将⼏个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分． 3、最简分式：如果⼀个分式的分⼦与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式． 4、化简分式的基本步骤：化简分式时，如果分式的分⼦和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最⼤公因数、相同因式的最低次幂．如果分⼦、分母都是多项式，先分解因式，再约分．化简分式时要将分式化成最简分式或整式．精解名题：例1、在有理式22a ，2x y π+，5x a -，234a -，1()5x y -中，分式的个数为（） A ．1； B ．2； C ．3； D ．4．例2、若分式11x x -+的值为0，则x 的值为（） A ．1； B ．1-； C ．1±； D ．0．例3、下列分式2b a ，x y x y +-，22()x y xy y ++，22m nm n +-中，是最简分式的有（）个A ．1；B ．2；C ．3；D ．4．x y+中的x 、y 都扩⼤到原来的3倍，那么分式的值为（） A ．扩⼤到原来的3倍； B ．缩⼩⼤到原来的13； C ．扩⼤到原来的1 6； D ．不变．例5、若0x <，则22x x --的值为（） A ．1-； B ．0； C ．1； D ．2．例6、若分式1xx -有意义，则x 的取值范围为（）A ．1x ≠；B ．0x >且1x ≠；C ．0x ≠；D ．x ≥0且1x ≠．．例7、下列各式从左到右变形正确的是（）A ．132(1)23x y x y ++=++； B ．0.020.3230.040.545a b a bc d c d --=++； C ．b a a b c b b c --=--； D ．22m n m n c d c d--=++．例8、化简222m n m mn-+的结果是（）A ．2m n m -； B ．m n m -； C ．m n m +； D ．m nm n-+．例9、若1x =-时，分式211x x +-的值为（）A ．0；B ．1；C ．1-；D ．⽆意义．例11、不改变分式的值，使分式115101139()a b a b c c ---=-；②x y x y x x -+-=-；③a b a b c c -++=-；④m n m nm m---=-中，成⽴的是（）A ．①②；B ．③④；C ．①③；D ．②④．例13、分式434y x a+，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a abab b +-中是最简分式的有（）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例14、不改变分式的值，把分式235100.40.5x x +-中的分⼦、分母的各项系数化为整数，可得（） A ．2345x x +-； B ．2325x x +-； C ．2345x x --； D ．4345x x +-．例15、分式31x ax +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（）A ．分式的值为零；B ．分式⽆意义；C ．若13a ≠-时，分式的值为零； D ．若13a ≠时，分式的值为零．例16、不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分⼦、分母最⾼次项的系数为正数，正确的是（? ） A ．2332523x x x x +++-； B ．2332523x x x x -++-；C ．2332523x x x x +--+；D ．2332523x x x x ---+．例17、下列代数式中：x π，12x y -，22x y x y -+， 1x yx y +-，是分式的有：21a a a -++有意义的条件为______．例19、( )a b a bc d --+=-．例20、当x =________时，分式12x +的值为正数．例21、当m =_________时，2(1)(2)32m m m m -+-+的值为0．例22、若分式313x x-=--，则x 的取值范围是_________．例23、若23a =，则2223712a a a a ---+的值等于______．例24、分式2231x x x +--的值为0，则x 的取值为__________；当x __________时，分式2545x x x ---的值为零．例25、⼀件商品售价x 元，利润率为%a （0a >），则这中商品每件的成本是_____元．例26、当x 有何值时，下列分式有意义（1）44x x -+；（2）232x x +；（3）221x -；（4）63xx --；（5）11x x-．x x -+；（2）224x x --；（3）222356x x x x ----．例28、（1）当x 有何值时，分式48x-为正；（2）当x 有何值时，分式253(1)xx -+-为负；（3）当x 有何值时，分式23x x -+为⾮负数．例29、不改变分式的值，把分⼦、分母的系数化为整数．（1）12231134x y x y -+；（2）0.20.030.04a ba b-+．例30、不改变分式的值，把下列分式的分⼦、分母的⾸项的符号变为正号．（1）x yx y-+--；（2）aa b---；（3）a b---．例32、已知：115x y+=，求2322x xy y x xy y -+++的值．例33、已知：12x x -=，求221例34、若21(23)0x y x -++-=，求142x y-的值．例35、已知20y x -=，求代数式22222222()()()()x y x xy y x xy y x y --+++-的值？例36、已知34y x =，求2222352235x xy y x xy y -++-的值．例37、对于分式3x m x n +-，当3x =时，分式的值为0，当1x =时，分式⽆意义，求2m n m n+-的值．例38、x 取何值时，分式2661x x +-的值是正整数？例39、⽼师布置⼀道作业题：当x 为何值时，分式211a a --⽆意义？⼩刚解法如下：因为21111(1)(1)1a a a a a a --==--++，由10a +=，得1a =-．所以当1a =-时，分式⽆意义．试问，⼩刚的解法是否有错误？如果有，请你帮助⼩刚找出错误的原因并改正．例40、在学完分式的基本性质后，王⽼师让同桌之间交流⼀下，看看对这部分知识的理解情况，下⾯是两位同学的对话：⼩亮说：“1y x xy =”，⼩红说：“22b ab a=” ．它们互相批评对⽅不对，于是请邻座⼩华评判，她说他们两⼈都对．聪明的同学们，请你们给判断⼀下他们三⼈谁对谁错．巩固练习：1、根据分式的基本性质，分式aa b--可变形为（） A ．a a b --； B ．a a b +； C ．a a b --； D ．aa b+．x y x yx y x y-+-=--+；B．x y x yx y x y-+--=--；C．x y x yx y x y-++=---；D．x y x yx y x y-+-=-+．3、下列各式中，正确的是（）A．a m ab m b+=+；B．0a ba b1111ab bac c--=--；D．221x yx y x y-=-+．4、下列分式变形中正确的是（）A．2a ab ab=；B．2212111a a aba a+++=--=；D．211b aba a++=．5、不改变分式的值，分式22923aa a---可变形为（）A．31aa++；B．31aa--a+-；D．31aa-+6、当x有何值时，下列分式有意义：（1）163x-；（2）23(1)1xx-++；（3）111x+.7、当x有何值时，下列分式的值为零：xx--+；（2）222565xx x--+.8、不改变分式的值，把下列分式的分⼦、分母的系数化为整数.（1）0.030.20.080.5x yx y-+；（2）30.4511410a ba b+-.9、已知：13x x+=，求2421x x x ++的值.310x x ++=，求221x x +的值．11、已知：113a b -=，求232a ab bb ab a+---的值.12、若2226100a a b b ++-+=，求235a ba b-+的值.13、如果12x <<，试化简2121x xx x x x---+--．14、设0xyz ≠，且3270x y z +-=，74150x y z +-=，求222 22245623x y z x y z --++的值．15、若13+a 表⽰⼀个整数，则整数a 可以取哪些值？16、约分：（1）3222366xy z x y z ；（2）239aa --；（3）22699x x x ++- （4）2232m m m m -+-；（5）22n m m n --；（6）2226x x x x +---． 17、通分：（1）26x ab ，29ya bc （2）2121a a a -++，261a -（3）2c ab -，23b a c ，25ab ca b -，22b b a -；（5）21x x -，212x x x -+，2 22x x --；（6）2a +，12a-。

分式的概念、性质及运算综合分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容． 从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”．在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理．分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有：1．化整为零，分组通分；2，步步为营，分步通分；3．减轻负担，先约分再通分；4．裂项相消后通分等例题求解【例1】 要使分式xx-11有意义，则x 的取值范围是 ． (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密．注：在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类比．学习分式时，应注意：(1)分式与分数的概念、性质、运算的类比；(2)整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形；（3）分式需要讨论宇母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在．【例2】 已知122432+--=--+x B x A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ）(江苏省竞赛题)A ．7B ．9C ．13D ．5 思路点拨 对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A 、B 的值．【例3】计算下列各式： (1)443224211b a a b a a b a b a ++++++-；（2）xy z y x z xy z zx y x z y zx y yz x z y x yz x ---+++++-+--++)()()(222222； ( “五羊杯”竞赛题)（3）1)1(21221122122233233-+--+-+++++-x x x x x x x x x x (江西省赣州市竞赛题)（4）)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())((z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z z y x z y x x z x y +--+--+-+-+--+-++--- (安徽省马鞍山市竞赛题)思路点拨 因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．对于(1)，分步通分；对于(2)，拆项再通分；对于(3)，先约分再通分；(4)注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x －2y+z=(x －y)－(y －z)，采用换元法简化式子．【例4】 解下列分式方程(组)： (1)821261949819965--+--=--+--x x x x x x x x ； (“五羊杯”竞赛题)(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+514131a c ca c b bc b a ab (“希望杯”邀请赛题)思路点拨 若直接通分去分母，则使问属复杂化，对于(1)拆分、分步运算，对于(2)取倒数，逆用加法法则．【例5】 (1)n 为自然数，若n+6|n 3+1996，则称n 为1996的吉祥数，如4+6|43+1996，4就是1996年的一个吉祥数．试求1996年的所有吉祥数的和．(北京市竞赛题)(2)计算： 500099009999500010050002002250001001122222222+-++-+++-++-k k k (上海市“宇振杯”竞赛题) 思路点拔 (1)由于n 3+1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决，是解本例的关键；(2)首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算．课堂训练1．（1）要使分式aa a 231142++-没有意义，则a 的值为 ．（2）若5-a 和2)4(+b 互为相反数，则)2()11()(422b ab a b a a b b a b a ab ++÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡+÷-+-的值为 ． (岳阳市中考题)2．已知x 为整数，且918232322-++-++x x x x 为整数，则所有符合条件的x 值的和为 ．3．已知2+x a 与2-x b 的和等于442-x x ，则a = ，b ＝ ．(山东省竞赛题)4．学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买 枝． (江苏省镇江市中考题)5．已知式子1)1)(8(-+-x x x 的值为0，则x 的值为( ) (江苏省竞赛题) A ．±1B ．－lC ．8D ．－1或86．计算下列各题：（1）1814121111842+-+-+-+--x x x x x ；（2）11134217932322-++--+--+++x x x x x x x x x ；（3）ab bc ac c b a ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222；7方程4x 2一2xy －12x+5y+11=O 有 组正整数解． ( “五羊杯”竞赛题)8．已知612602-+a a 是正整数，则正整数a= ． ( “希望杯”邀请赛试题)。