初高中数学衔接预习教材(共16讲)：第4讲 分式运算

2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。

考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。

第2章 分式运算【知识衔接】————初中知识回顾————(一)分式的运算规律1、加减法 同分母分式加减法：c b a c b c a ±=± 异分母分式加减法：bc bd ac c d b a ±=±2、乘法：bd ac d c b a =⋅3、除法：bc ad c d b a d c b a =⋅=÷4、乘方：n nn ba b a =)( (二)分式的基本性质1、)0(≠=m bm am b a2、)0(≠÷÷=m mb m a b a ————高中知识链接————比例的性质(1)若d c ba=则bc ad = (2)若d c ba =则d d c b b a ±=±(合比性质) (3)若d c ba =(0≠-db )则d b d bc a c a -+=-+(合分比性质) (4)若d c b a =＝…＝n m ，且0≠+++n d b 则b a n d b m c a =++++++ (等比性质) 分式求解的基本技巧1、分组通分2、拆项添项后通分3、取倒数或利用倒数关系4、换元化简5、局部代入6、整体代入7、引入参数8、运用比例性质【经典题型】初中经典题型1．若代数式4x x -有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ． x =0 B ． x =4 C ． x ≠0 D ． x ≠4【答案】D【解析】由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4，故选D ．2．化简：，结果正确的是( )A ． 1B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：原式==．故选B ．3．当x =______时，分式523x x -+的值为零． 【答案】5． 【解析】解：由题意得：x ﹣5=0且2x +3≠0，解得：x =5，故答案为：5．4．先化简，再求值： 22121x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x =22． 【答案】21x -，7． 【解析】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．试题解析：原式=()22121x x x x x x ++-⋅+=()2211x x x x x +-⋅+=()()2111x x x x x-+⋅+=21x - 当x =22=(2221-=8-1=7．高中经典题型例1：化简232||211x x x x x +-+-- 解：原式＝22|)|1()1()1(x x x -+- 当0≥x 且1≠x 时，原式＝x +1当0<x 且1-≠x 时，原式＝xx +-1)1(2 例2：化简：++++3223bab b a a a 442222223223311b a b a a b b a b ab b a a b -+-+--+-+-例3：计算2)(32222233332222-++÷---++nm m n n m m n n m m n n m m n n m m n 解：设a m n =，b nm =，则1=ab ∴原式＝2)(32223322-++÷---++b a b a b a b a b a ＝ba ab b a b a ab b a ab b a +-+----++2)(32223322＝2222232)()()(nm n m b a b a b a b a b a b a -+-=-+=+-⋅-+ 例4：计算abbc ac c b a ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律ca b a c a b a b a c a c a b a bc bc ac ab a c b ---=-----=--=+---11))(()()())((2 因此不难看出，拆项后通分更容易 ∴原式＝))(())(())((b c a c b a a b c b a c c a b a c b ---+------- ＝))(()()())(()()())(()()(b c a c a c b c a b c b c b a b c a b a b a c a -----+----------- ＝ac b c a c a b c b c a b a -=---+-+-----2111111 例5：若1=abc ，求111++++++++c ac c b bc b a ab a 解：∵1=abc ，∴bc a 1=，将式中的a 全换成bc1 ∴原式＝11111++++++++c bcc c b bc b bc bc b bc ＝11111=++++++++bc b bc bc b b bc b 例6：已知x z y x y z y x z z y x ++-=+-=-+且0≠xyz ，求分式xyzx z z y y x ))()((+++的值 解：分析：已知条件以连比的形式出现，可引进一个参数来表示这个连比，从而将分式化成整式。

专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1.实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。

2.乘法公式平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2二、目标要求1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。

2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。

三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式（1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab（2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd（3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3（4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3（5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3（6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3（7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac四、典型例题例1、计算：（1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值（1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy（2）x 2xy y 2( x y)2 3 xy（3）( x y)2( x y)2 4 xy（4）x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) ( x y)[( x y)2 3 xy] 例3：已知a +b +c = 4 ab +bc +ac = 4 求a 2+b 2+c 2的值分析： a2+b2+c2= (a +b +c)2- 2(ab +bc +ac) = 8变式：已知：x2- 3x +1= 0 ，求x3+1x3的值。

第四课 分式一、知识点1．分式的意义； 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B具有下列性质：A A MB B M ⨯=⨯；A A M B B M ÷=÷ 2．繁分式：像ab c d+，2m n p m n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 二、例题例1⑴代数式1111++x 有意义，则x 需要满足的条件是_________；（2）化简：2112111x x x x x +--++-（3）已知1()23f x x =-，求11()()2f f x x --的值．例2若54(2)2x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值．例3（1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）证明：对任意大于1的正整数n ，有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+．例4设c e a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．例5 已知13x x+=，求33222x x x x --+++的值．三、练习1．填空题：（1）1(2)n n =+(112n n -+)（2）若223x y x y -=+，则x y＝ （3）12a =，13b =，则2223352a ab a ab b -=+- （4）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y ++=+2．解方程22112()3()10x x x x+-+-=．3．已知3(1)(2)12x A B x x x x -=+----，求2A B +的值．4．已知21610x x --=，试求下列各式的值：（1）221x x +（2）331x x -5．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y -+的值．6．计算1111...12233499100++++⨯⨯⨯⨯．7．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14 ．。

夏老师的初高中数学衔接课程(完整版)目录•课程介绍与背景•初中数学知识点回顾•高中数学知识点引入•初高中数学知识衔接点分析•典型例题解析与讨论•学习方法与技巧分享01课程介绍与背景填补知识空白适应教学要求提升学习兴趣初高中数学衔接的重要性初中数学与高中数学在知识点上存在较大差异，通过衔接课程可以帮助学生填补这一知识空白，为高中数学学习打下坚实基础。

高中数学相对于初中数学难度增加，对学生的思维能力、创新能力等要求更高。

通过衔接课程，学生可以逐步适应高中数学的教学要求，提高学习效果。

衔接课程可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，激发学生的学习兴趣和自信心，为未来的数学学习奠定良好基础。

课程目标与内容课程目标通过本课程的学习，学生将能够熟练掌握初中数学与高中数学的衔接知识点，提高数学思维能力、创新能力和解决问题的能力。

课程内容本课程主要包括数与式、方程与不等式、函数与图像、几何与图形等方面的知识，通过讲解、练习、测试等多种方式帮助学生掌握相关知识点。

01020304讲解与演示练习与讨论测试与反馈多媒体辅助教学教学方法与手段通过教师的详细讲解和演示，帮助学生理解和掌握相关知识点。

通过大量的练习和讨论，提高学生的数学思维和解决问题的能力。

利用多媒体技术，如PPT 、视频等辅助教学，提高教学效果和学生的学习兴趣。

通过定期的测试和反馈，及时了解学生的学习情况，针对问题进行调整和改进。

02初中数学知识点回顾整数、有理数、无理数和实数的概念和性质代数式的化简和因式分解分式的运算和化简一元一次方程、一元二次方程的解法和应用0102030405平面几何的基本概念和性质，如点、线、面、角、三角形等平行线和相交线的性质及判定四边形的性质和判定，包括平行四边形、矩形、菱形和正方形等相似三角形和全等三角形的性质和判定圆的基本性质和定理，如切线长定理、割线定理等01020304概率的基本概念和性质，包括事件的关系和运算、概率的加法公式和乘法公式等随机事件的概率计算，包括古典概型和几何概型等统计图表的认识和制作，如条形图、折线图、扇形图等数据的收集、整理和描述，包括平均数、中位数、众数、方差等统计量的计算和应用概率与统计初步03高中数学知识点引入集合与函数集合的基本概念包括元素与集合的关系、集合的表示方法、集合间的关系（子集、真子集、相等）等。

目录第一讲因式分解 (1)第二讲分式 (5)第三讲图形变换 (9)第四讲三角形的“五心” (13)第五讲几何中的著名定理 (17)第六讲圆 (19)第七讲一次函数和一次不等式 (22)第八讲均值不等式 (26)第九讲一次分式函数 (30)第十讲一元二次方程 (33)第十一讲一元二次函数（一） (37)第十二讲一元二次函数（二） (41)第十三讲一元二次不等式 (45)第十四讲绝对值不等式 (49)第十五讲根的分布（一） (52)第十六讲根的分布（二） (56)第一讲 因式分解一、知识归纳1、公式法分解因式：用公式法因式分解，要掌握如下公式：（1）))((22b a b a b a -+=-；（2）222)(2b a b ab a ±+±；（3）33223)(33b a b ab b a a ±=±+±；（4）2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++；（5）))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++；（6）*1221);)((N ••n b ab b a ab a b a n n n n n n ∈++⋯+⋅+-=-----； （7）当n 为正奇数时))((1221----+-+-+=+n n n n n n b ab b a ab a b a 当n 为正偶数时))((1221-----++-+=-n n n n n n b ab b a ab a b a2、十字相乘法因式分解3、待定系数法因式分解4、添项与拆项法因式分解5、长除法二、例题讲解例1：因式分解：3762--x x例2：因式分解：2222224)()(2b a x b a x -++-例3：因式分解310434422-+---y x y xy x例4：利用待定系数法因式分解（1）2031493222+-+-+y x y xy x （2）310434422-+---y x y xy x例5：利用添项法、拆项法因式分解（1）763-+x x （2）15++x x例6：已知0132=--x x ，求198757623+-+x x x 的值。