分式及其运算-中考数学总复习讲义练习

2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。

考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。

第06讲 分式方程目 录一、考情分析 二、知识建构考点一 解分式方程题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值题型07 根据分式方程有解或无解求参数题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二 分式方程的应用题型01 列分式方程题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.类型二分离分式法方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解类型三列项相消法方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1n(n+1)=1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.类型四消元法方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.题型04 错看或错解分式方程问题+1，其中x=先化简，再求值：3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)解：原式=3−xx−4=3−x+x−4=−1题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.题型07 根据分式方程有解或无解求参数已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.题型08 已知分式方程有增根求参数依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：1)先将分式方程转化为整式方程;2)由题意求出增根;3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：题型01 列分式方程【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该A．1.4−x=8 1.4+x=8 1.4−2x=8 1.4+2x=8题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？类型二工程问题【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两，而乙施工队单独修建这个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？类型三和差倍分问题【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需倍，用300元在市场上要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？类型四销售利润问题【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。

中考数学50个知识点专练4 分式及其运算一、选择题1．(2010·孝感)化简⎝⎛⎭⎫x y －y x ÷x －y x 的结果是( )A. 1yB. x ＋y yC.x －y yD ．y 2．(2011·宿迁)方程2x x ＋1－1＝1x ＋1的解是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．03．(2011·苏州)已知1a －1b ＝12，则ab a －b的值是( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2 4．(2011·威海)计算1÷1＋m 1－m·()m 2－1的结果( ) A ．－m 2－2m －1 B ．－m 2＋2m －1 C ．m 2－2m －1 D ．m 2－15．(2011·鸡西)分式方程x x －1－1＝m (x －1)(x ＋2)有增根，则m 的值为( ) A ．0和3 B ．1 C ．1和－2 D ．3二、填空题6．(2011·嘉兴)当x ______时，分式13－x有意义． 7．(2011·内江)如果分式3x 2－27x －3的值为0，那么x 的值应为________． 8．(2011·杭州)已知分式x －3x 2－5x ＋a，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝________；当x <6时，使分式无意义的x 的值共有________个．9．(2011·呼和浩特)若x 2－3x ＋1＝0，则x 2x 4＋x 2＋1的值为________． 10．(2011·乐山)若m 为正实数，且m －1m ＝3，则m 2－1m 2＝________. 三、解答题11．(2010·镇江)描述证明海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：将上图横线处补充完整，并加以证明．12．(2011·衢州)化简：a －3b a －b ＋a ＋b a －b.13．(2011·广安)先化简(x x －5－x 5－x )÷2x x 2－25，然后从不等式组⎩⎨⎧ －x －2≤3，2x <12的解集中，选取一个你认为符合题意．．．．的x 的值代入求值．14．(2011·重庆)先化简，再求值： (x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－xx 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0.15．(1)(2011·盐城) 解方程：x x －1－31－x 2.(2)(2011·菏泽)解方程：x ＋12x ＝x ＋13.四、选做题16．若abc ＝1，求a ab ＋a ＋1＋b bc ＋b ＋1＋cca ＋c ＋1的值．。

专题6 分式及其运算考点一、分式的概念和性质1．（2022·云南·昆明中考模拟）要使12022x +有意义，则x 的取值范围为（ ）A ．0x ≠B ．2022x >-C ．2022x ≠D ．2022x ≠-2．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式25x ，1π，224x +，x 2﹣23，1x ，12x x ++中，属于分式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．（2022·广东·中考三模）若分式55m m --的值为零，则m =（ ） A ．5-B ．5C ．5±D ．04．（2022·云南·中考三模）下列函数中，自变量x 的取值范围错误的是（ ） A ．11212y x x ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭B ．)1y x =≥C ．)1y x =≤D ．21y x =-（x 为任意实数）5．（2022·湖北黄石·中考真题）函数11y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠-且1x ≠B ．3x >-且1x ≠C ．3x >-D ．3x ≥-且1x ≠6．（2022·广西·中考真题）当x =______时，分式22xx +的值为零． 7．（2022·湖南邵阳·x 的取值范围是_________． 8．（2022·湖南·长沙市中考二模）若分式11x x --的值为零，则x 的值为______． 考点二、分式化简9．（2022·四川绵阳·中考二模）下列分式属于最简分式的是（ ） A ．265xy xB ．x y y x--C ．22x y x y++D ．2293x y x y-+10．（2022·四川眉山·中考真题）化简422a a +-+的结果是（ ） A ．1 B ．22a a +C ．224a a - D ．2a a +11．（2022·辽宁沈阳·中考真题）化简：21111x x x -⎛⎫-⋅= ⎪+⎝⎭______．12．（2022·四川自贡·中考真题）化简：22a3a42a3a2a4a4--⋅+-+++＝____________．13．（2022·西藏·中考真题）计算：222242a a aa a a+⋅---．14．（2022·辽宁大连·中考真题）计算2224214424x x xx x x x-+÷--+-．15．（2022·湖北十堰·中考真题）计算：2222a b b abaa a⎛⎫--÷+⎪⎝⎭．16．（2022·四川泸州·中考真题）化简：22311 (1). m m mm m-+-+÷17．（2022·湖南常德·中考真题）化简：231 122a aaa a+-⎛⎫-+÷⎪++⎝⎭18．（2022·甘肃武威·中考真题）化简：()2233322x x xx x x++÷-++．考点三、分式化简求值19．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式222m n mm m n-⋅+的值是（）A．－2B．2C．－4D．420．（2022·山东菏泽·中考真题）若22150a a --=，则代数式2442a a a a a -⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭的值是________． 21．（2022·四川成都·中考真题）已知2272a a -=，则代数式2211a a a a a --⎛⎫-÷⎪⎝⎭的值为_________． 22．（2022·四川广安·中考真题）先化简：2242(2)244x xx x x x -++÷--+，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代人求值．23．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：2344111x x x x x -+⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭，其中3x =．24．（2022·山东聊城·中考真题）先化简，再求值：244422a a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-⎝⎭，其中112sin 452a -⎛⎫=︒+ ⎪⎝⎭．25．（2022·辽宁锦州·中考真题）先化简，再求值：2233111211x x x x x x --⎛⎫÷-+ ⎪-++-⎝⎭，其中|1x =+．26．（2022·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：25244111a a a a a a +++⎛⎫+-÷⎪++⎝⎭，其中11|2|2a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．27．（2022·湖北荆州·中考真题）先化简，再求值：222212a b a b a b a ab b ⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中113a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()02022b =-．28．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：22x x +÷（1﹣211x x --），其中x 是不等式组()211532x x x x ⎧-<+⎨+≥⎩的整数解．29．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：22931121112a a a a a a a ⎛⎫--÷-⋅⎪-+--+⎝⎭，其中2a =．30．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：2344111a a a a a ++⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭，其中10(1tan 45π2)a -=︒+-答案与解析考点一、分式的概念和性质1．（2022·云南·昆明中考模拟）要使12022x +有意义，则x 的取值范围为（ ）A ．0x ≠B ．2022x >-C ．2022x ≠D ．2022x ≠-【答案】D【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．【详解】解：根据分式有意义即分母不为0，得到20220x +≠，即2022x ≠-，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．2．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式25x ，1π，224x +，x 2﹣23，1x ，12x x ++中，属于分式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个A ．5-B ．5C ．5±D ．0【答案】A【分析】根据分式的值为零的条件列式计算即可． 【详解】解：由题意得：|m |−5＝0且m −5≠0， 解得：m ＝−5， 故选：A ．【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．4．（2022·云南·云大附中三模）下列函数中，自变量x 的取值范围错误的是（ ） A ．11212y x x ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭B ．)1y x =≥C ．)1y x =≤D ．21y x =-（x 为任意实数）5．（2022·湖北黄石·中考真题）函数1y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠-且1x ≠ B ．3x >-且1x ≠C ．3x >-D ．3x ≥-且1x ≠6．（2022·广西·中考真题）当x =______时，分式22xx +的值为零． 【答案】0【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x =0，x +2≠0求解即可． 【详解】解：由题意，得2x =0，且x +2≠0，解得：x =0， 故答案为：0．【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键．7．（2022·湖南邵阳·x 的取值范围是_________．【答案】x >2##2＜x【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数和分式有意义的条件：分母不为0即可求出结论．【详解】解：由题意可得x-2>0， 解得：x >2， 故答案为：x >2．【点睛】本题考查的是分式及二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0解题的关键．8．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）若分式11x x --的值为零，则x 的值为______．考点二、分式化简9．（2022·四川绵阳·二模）下列分式属于最简分式的是（ ） A ．265xy xB ．x y y x--C ．22x y x y ++D ．2293x y x y-+10．（2022·四川眉山·中考真题）化简422a a +-+的结果是（ ） A ．1 B ．22a a +C ．224a a -D ．2aa +11．（2022·辽宁沈阳·中考真题）化简：1111x x x -⎛⎫-⋅= ⎪+⎝⎭______． 【答案】1x -##1x -+12．（2022·四川自贡·中考真题）化简：2a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++ ＝____________．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．13．（2022·西藏·中考真题）计算：222242a a a a a a +⋅---． 24a a a a --2)(2)(2)a a a a -+-22a - 【点睛】本题考查了分式的化简，理解并掌握分式的计算法则，注意在解题过程中需注意的事项，仔细计算是本题的解题关键．14．（2022·辽宁大连·中考真题）计算2224214424x x x x x x x-+÷--+-．22222122x x x x x xx 211.xxx【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握15．（2022·湖北十堰·中考真题）计算：2222a b b ab a a a ⎛⎫--÷+ ⎪⎝⎭．16．（2022·四川泸州·中考真题）化简：22311 (1). m m mm m-+-+÷17．（2022·湖南常德·中考真题）化简：231 122a aaa a+-⎛⎫-+÷⎪++⎝⎭18．（2022·甘肃武威·中考真题）化简：()2233322x x xx x x++÷-++．考点三、分式化简求值19．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式222m n mm m n-⋅+的值是（）A．－2B．2C．－4D．420．（2022·山东菏泽·中考真题）若22150a a--=，则代数式2442a aaa a-⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭的值是________．【答案】15【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．21．（2022·四川成都·中考真题）已知2272a a -=，则代数式2211a a a a a--⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值为_________． 【答案】72##3.5##312 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简22．（2022·四川广安·中考真题）先化简：2242(2)244x xxx x x-++÷--+，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代人求值．23．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：344111x xxx x-+⎛⎫--÷⎪--⎝⎭，其中3x=．24．（2022·山东聊城·中考真题）先化简，再求值：244422a a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-⎝⎭，其中112sin 452a -⎛⎫=︒+ ⎪⎝⎭．25．（2022·辽宁锦州·中考真题）先化简，再求值：2233111211x x x x x x --⎛⎫÷-+ ⎪-++-，其中|1x =+．x 26．（2022·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：25244111a a a a a a +++⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭，其中11|2|2a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．27．（2022·湖北荆州·中考真题）先化简，再求值：222212a b a b a b a ab b ⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中113a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()02022b =-．28．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：22x x +÷（1﹣211x x --），其中x 是不等式组()211532x x x x ⎧-<+⎨+≥⎩的整数解．29．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：22931121112a a a a a a a ⎛⎫--÷-⋅ ⎪-+--+⎝⎭，其中2a =．30．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：344111a a a a a ++⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭，其中10(1tan 45π2)a -=︒+-。

分式及其运算【中考真题】【2019某某】如图，若x为正整数，则表示(x+2)2x2+4x+4−1x+1的值的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④透析考纲精选好题【考向01】分式的基本概念【试题】【2019秋潍城区期中】下列代数式中，属于分式的是（ ）A ．–3B ．1πC ．x3D ．1x−1【好题变式练】1．【2019浦东新区二模】如果分式x+y x−y有意义，则x 与y 必须满足（ ）A ．x ＝–yB ．x ≠–yC ．x ＝yD ．x ≠y2．【2019聊城】如果分式|x|−1x+1的值为0，那么x 的值为（ ）A ．–1B ．1C ．–1或1D ．1或0解题关键【考向02】分式的基本性质【试题】【2019某某】分式13−x可变形为（ ）A ．13+xB ．−13+x C ．1x−3D −1x−3 【好题变式练】1．【2018莱芜】若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A ．2+xx−yB ．2y x 2C ．2y 33x 2D ．2y 2(x−y)22．【2019某某二模】关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（ ）A ．x+1x 2−1约分的结果是1xB ．分式1x 2−1与1x−1的最简公分母是x –1C ．2x x2约分的结果是1D ．化简x 2x 2−1−1x 2−1的结果是1解题技巧【考向03】分式的运算【试题】【2019某某】计算a 2a−1−a –1的正确结果是（ ）A ．−1a−1B ．1a−1C ．−2a−1a−1D ．2a−1a−1【好题变式练】1．【2019秋莱西市期中】化简(a −1b )÷(b −1a )的结果是（ ） A ．1B ．baC ．abD ．−ab2．【2019某某】化简：x 2−2x+1x 2−1÷x 2−x x+1．【考向04】分式的化简求值解题技巧【试题】当a＝2019时，代数式（aa+1−1a+1）÷a−1(a+1)2的值是＿＿＿＿＿．【好题变式练】1．【2019内江】若1m+1n=2，则分式5m+5n−2mn−m−n的值为＿＿＿＿＿．2．【2019某某】化简式子（a2−2aa2−4a+4+1）÷a2−1a2+a，并在–2，–1，0，1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．过关斩将1．【2019秋蓝山县期中】下列代数式中，分式有（）个．3x，x3，a−1a，−35+y，2xx−y，m−n2，x2+3，x+yπA．5B．4C．3D．22．【2019秋莱西市期中】下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（）A．12x+1B．1x2+3C．3x+1x2D．x2x+1解题技巧3．分式−11−x可变形为（ ） A ．−1x−1B ．11+x C ．−11+x D ．1x−14．【2019•某某】计算1a ÷（−1a 2）的结果为（ ） A ．a B ．–a C ．−1a 3D ．1a 35．【2019•某某】若分式x 2−2x x的值为0，则x 的值是＿＿＿＿＿．6．【2019•某某】计算2aa 2−16−1a−4的结果是＿＿＿＿＿．7．【2019•某某州】先化简，再求值：x 2+1x 2+2x+1÷1x+1−x +1，其中x =√3−1．8．【2019•某某】先化简，再求值：（2x−3x−2−1）÷x 2−2x+1x−2，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．参考答案 过关斩将1．B 【解析】根据分式的定义逐个判断，分式有：3x ，a−1a，−35+y ，2x x−y，共4个，故选B ． 2．B 【解析】根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断：A ，x =−12时，2x +1＝0，分式无意义，故本选项错误； B ，无论x 取何值，x 2+3≥3，分式都有意义，故本选项正确； C ，x ＝0时，x 2＝0，分式无意义，故本选项错误；D ，x =−12时，2x +1＝0，分式无意义，故本选项错误．故选B ．3．D 【解析】根据分式的符号变化规律“三号变其二，值不变”进行判断即可．故选D ． 4．B 【解析】除法转化为乘法，再约分即可．原式=1a •（–a 2）＝–a ，故选B ． 5．2【解析】∵分式x 2−2x x的值为0，∴x 2–2x ＝0且x ≠0，解得：x ＝2．故答案为：2．6．1a+4【解析】异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，然后再加减．原式=2a(a+4)(a−4)−a+4(a+4)(a−4)=2a−a−4(a+4)(a−4)=a−4(a+4)(a−4)=1a+4．故答案为：1a+4．7．2x+1，2√33．【解析】原式=x 2+1(x+1)2•（x +1）–（x –1）=x 2+1x+1−x 2−1x+1=2x+1，当x =√3−1时，原式=√3=2√33． 8．1x−1，原式＝–1．【解析】原式＝（2x−3x−2−x−2x−2）÷(x−1)2x−2=x−1x−2•x−2(x−1)2=1x−1， ∵原式有意义，∴x −2≠0、(x −1)2≠0，即x ≠1、x ≠2，故0、1、2中只能代入x =0．当x＝0时，原式＝–1．。

2023年中考数学---分式的运算与化简求值知识回顾与专项练习题（含答案解析）知识回顾1. 因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a −+=−22；完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。

③十字相乘法：在c bx x ++2中，若()均为整数，且n m b n m mn c =+=，则：()()n x m x c bx x ++=++2。

2. 分式的性质：分式的分子与分母同时乘上或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变。

()0≠÷÷==C CB C A BC AC B A 3. 约分与通分：①约分：将分式中能进行分解因式的分子分母分解因式，约掉公因式。

公因式等于系数的最大公约数乘上相同字母或式子的最低次幂。

②通分：将几个异分母的分式化成同分母的分式的过程。

公分母等于系数的最小公倍数乘上所有式子的最高次幂。

4. 分式的乘除运算：①乘法运算步骤：I ：对分子分母因式分解；II ：约掉公因式；III ：分子乘以分子得到积的分子，分母乘以分母得到积的分母。

②除法运算法则：除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式。

5. 分式的加减运算：具体步骤：I ：对能分解的分母进行因式分解，并求出公分母；II ：将分式通分成同分母；III ：分母不变，分子相加减。

6. 分式的化简求值：将分式按照加减乘除的运算法则化简至最简分式，然后带入已知数据求值即可。

专项练习题（含答案解析）1、（2022•西藏）计算：224222−−−⋅+a a a a a a ． 【分析】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【解答】解：原式＝•﹣ ＝﹣ ＝1．2、（2022•兰州）计算：()x x x +÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+211． 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝． 3、（2022•大连）计算：xx x x x x x 1422444222−−+÷+−−． 【分析】先算除法，后算减法，即可解答．【解答】解：÷﹣＝•﹣＝﹣＝．4、（2022•十堰）计算：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−+÷−a ab b a a b a 2222． 【分析】根据分式的运算法则计算即可．【解答】解：÷（a +）＝÷（+）＝÷＝•＝．5、（2022•常德）化简：212312+−÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+++−a a a a a ． 【分析】根据分式混合运算的法则计算即可．【解答】解：（a ﹣1+）÷ ＝[+]•＝•＝． 6、（2022•内蒙古）先化简，再求值：1441132−+−÷⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−x x x x x ，其中x ＝3．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x ＝3代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝﹣•＝﹣，当x ＝3时，原式＝﹣＝﹣5． 7、（2022•阜新）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛−−÷−+−21129622a a a a a ，其中a ＝4． 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a 的值代入计算即可．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝， 当a ＝4时，原式＝＝．8、（2022•资阳）先化简，再求值．111122−÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+−a a a ，其中a ＝﹣3． 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a 的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝＝当a ＝﹣3时，原式＝．9、（2022•黄石）先化简，再求值：1961212+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a a a ，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a 的值代入求值．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a 的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝÷＝•＝，由分式有意义的条件可知：a 不能取﹣1，﹣3，故a ＝2，原式＝＝． 10、（2022•朝阳）先化简，再求值：323444222++−+÷+−−x x x x x x x x ，其中x ＝（21）﹣2． 【分析】把除化为乘，再算同分母的分式相加，化简后求出x 的值，代入即可．【解答】解：原式＝•+＝+＝＝x ， ∵x ＝（）﹣2＝4，∴原式＝4．11、（2022•锦州）先化简，再求值：212112−−÷⎪⎭⎫ ⎝⎛−++x x x x ，其中13−=x ． 【分析】先对分式进行化简，然后再代入求解即可．【解答】解：原式＝＝＝＝， 当时， 原式＝． 12、（2022•盘锦）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+−−++−÷−−1111231322x x x x x x ，其中12+−=x ． 【分析】根据分式的运算法则“除以一个数等于乘以它的倒数”把除法改写成乘法；利用平方差公式和完全平方公式将分式的分子分母分别因式分解；约分化简后，求x 的值；去掉绝对值符号时注意正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，最后将x 的值代入原式．【解答】解：原式＝＝＝＝，∵＝， ∴原式＝＝＝13、（2022•郴州）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛−++÷−2221b a b b a b a ab ，其中a ＝5+1，b ＝5﹣1． 【分析】先算括号里，再算括号外，然后把a ，b 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：÷（+）＝÷ ＝•＝ab ，当a ＝+1，b ＝﹣1时，原式＝（+1）（﹣1）＝5﹣1＝4． 14、（2022•营口）先化简，再求值：14412512+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++−+a a a a a a ，其中a ＝9+|﹣2|﹣（21）﹣1． 【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解，则约分得到原式＝，然后根据算术平方根的定义、绝对值和负整数指数幂的意义计算出a 的值，最后把a 的值代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝•＝•＝•＝， ∵a ＝+|﹣2|﹣（）﹣1＝3+2﹣2＝3，∴原式＝＝． 14、（2022•绵阳）（1）计算：2tan60°+|3﹣2|+（20221）﹣1﹣212； （2）先化简，再求值：y x y x y x y x xy x −+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−3，其中x ＝1，y ＝100． 【分析】（1）先算负整数指数幂、化简二次根式，再化简绝对值代入特殊角的函数值，最后算加减．（2）按分式的运算法则先化简分式，再代入求值．【解答】解：（1）原式＝2×+2﹣+2022﹣＝2+2﹣+2022﹣ ＝2024；（2）原式＝[﹣]÷＝× ＝× ＝× ＝． 当x ＝1，y ＝100时．原式＝100。

分式及其运算知识梳理1.分式的概念表示两个整式相除，且除式中含有字母，像这样的代数式就是分式.注意：分式中字母的取值不能使分母为零.当分母的值为零时，分式没有意义.2.分式的基本性质和变号法则(1)分式的基本性质：AB =A×MB×M=A÷MB÷M(2)分式的变号法则：−a−b =−−a+b=−a−b=ab3.分式的运算(1)分式的乘除:①分式的乘法：ab ⋅cd=acbd②分式的除法：ab ÷cd=ab⋅dc=adbc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分.(2)分式的加减①同分母分式相加减：ac ±bc=a±bc②异分母分式相加减：ba ±dc=bcac±adac=bc±adac(3)分式的乘方：应把分子分母各自乘方，即(ab )′′=a nb n(n为正整数).4.分式求值(1)先化简,再求值.(2)由化简后的形式直接代入所求分式的值.(3)式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中.典型例题例 1分式x2−4x+2的值为0,则( ).A. x=-2B. x=±2C. x=2D. x=0分析分式的值为0的条件：分子等于0，且分母不等于0. 解由题意，得x²−4=0,且x+2≠0,解得x=2.故选 C.例 2若ab+a-b-1=0,试判断1a−1,1b+1是否有意义.分析要判断1a−1,1b+1是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断a-1,b+1与零的关系.解因为ab+a-b-1=0,所以a(b+1)-(b+1)=0,即(b+1)(a-1)=0,所以b+1=0或a-1=0,所以1a−1,1b+1中至少有一个无意义.例3计算：1+n−mm−2n ÷m2−n2m2−4mn+4n2.分析分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解.解原式=1−m−nm−2n ⋅(m−2n)2 (m+n)(m−n)=1−m−2nm+n =m+n−m+2nm+n=3nm+n例 4已知 abc=1,求 a ab+a+1+b bc+b+1+cac+c+1的值.分析 若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc 替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了. 解 原式 =a ab+a+1+ab abc+ab+a +abca 2bc+abc+ab =a ab+a+1+ab 1+ab+a +abca+1+ab =a+ab+1ab+a+1 =1 双基训练1.下列代数式中： x π,12x −√a−b √a+b x 2−y 2x+y ,1x+y x−y,是分式的有 . 2.下列式子中是分式的是( ).A. x/2B. 2x C.x π D.x+y 23.下列分式中，最简分式有( ).a 33x 2,x−yx 2+y 2,m 2+n 2m 2−n 2,m+1m 2−1,a 2−2ab+b 2a 2−2ab−b 2A. 2个B. 3 个C. 4 个D. 5 个 4.下列变形不正确的是( ). A.2−a −a−2=a−2a+2B.1x+1=x−1x 2−1(x ≠1) C.x+1x 2+2x+1=12 D.6x+33y−6=2x+1y−25.若2x+y=0,则x 2+xy+y 22xy−x 2的值为( ).A.−15B.−35C. 1D.无法确定 6.若把分式 x+yxy 中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值( ). C.缩小为原来的 12 D.缩小为原来的 14A.扩大 2倍 B. 不变7.若x+y=1,且x≠0,则(x+2xy+y2x )÷x+yx的值为 .8.已知分式2x+1x−2,当x= 时，分式没有意义；当. x=时，分式的值为0；当x=-2时,分式的值为 .9. 分式1x−1,1x,2x2−2x+1的最简公分母是 .10.某校组织学生春游，有m 名师生租用n座的大客车若干辆，共有3个空座位，那么租用大客车的辆数是 (用m，n 的代数式表示).11. 化简.(1)a2−4a2+2a−8÷(a2−4)⋅a2−4a+4a−2;(2)x2−1x2−4x+4÷(x+1)⋅x2−3x+2x−1.12. 当x 取何值时,式|x|−2x2+3x+2有意义?当x取什么数时，该式的值为零?13. 先化简(1x−1−1x+1)÷x2x2−2,再求当x=2时的分式值.14.有一道题：“先化简，再求值：(x−2x+2+4xx2−4)÷1x2−4其中，x=-3”.小玲做题时把“x=−3”错抄成了x=3”,但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?15. 已知3x²+xy−2y²=0(x≠0,y≠0),求xy −yx−x2+y2xy的值.16.已知实数 m,n 满足关系1m+n +1m−n=nm2−n2,求2mn+n2m2的值.17.课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3,5−2√2,7+√3时，求代数式x2−2x+1x2−1÷2x−2x+1的值.小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢?”你能帮小明解决这个问题吗?请你写出具体的解题过程.18.先化简: (3x+1−x+1)÷x2−4x+4x+1,然后从-1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值.19.已知:非零实数a,b,c 满足1a −1b=1b−1c,求证:ab+bc=2ac.20.已知分式: A=2x2−1,B=1x+1+11−x.(x≠±1).有下面三个结论：①A，B 相等；②A，B 互为相反数；③A，B 互为倒数.上述结论中哪个正确?为什么?能力提升21.已知Mx2−y2=2xy−y2x2−y2+x−yx+y,则M=.22.已知分式x−5x2−4x+a,当x=55时，分式的值为零，求a 的取值范围；当x 取任何值时，这个分式一定有意义，求a 的取值范围 .23.如果记 y =x 21+x2=f (x ),并且f(1) 表示当x=1时y 的值,即 f (1)=121+12=12; f (12)表示当 x =12时y 的值，即f (12)=(12)21+(12)2=15; 那么f (1)+f (2)+f (12)+f (3)+f (13)+⋯+f (n )+f (1n)=¯(结果用含n 的代数式表示).24. 若 a²+b²=3ab,则 (1+2b 3a 3−b 3)÷(1+2ba−b )的值等于( ). A. 12B.0C. 1D.2325.若 P =12012−12013,Q =20112012−20102011,R =20122013−20112012,那么 P,Q,R 的大小关系为( ).A. P>Q>RB. P<Q<RC. P=R>QD. P=R<Q 26.已知:方程 a x−3=1x 的解为x=-3,求 a a−1−1a 2−a 的值.27.已知:a+b+c=0, abc=8,求证: 1a +1b +1c <0.28.已知 a²−6a +9与|b-1|互为相反数，求代数式 (4a 2−b2+a+bab 2−a 2b)÷a 2+ab−2b 2a 2b+2ab 2+ba的值.29.若 A =99991111+199992222+1,B =99992222+199993333+1,试比较A 与B 的大小.30.设a,b,c,d 都不等于 0,并且 ab =cd ≠1,按照下面的步骤探究 a+ba−b 和 c+dc−d 之间的关系.(1) 请你任意取3组a,b,c,d 的值,通过计算猜想a+ba−b 和c+dc−d之间的关系.(2)证明你的猜想. 拓展资源31.已知a,b,c 为实数,且aba+b =13,bcb+c=14,cac+a=15,那么abcab+bc+ca的值是多少?32.当x 的值变化时，求分式8−2(x+1)2+1的最小值.33.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,xyz≠0,求x+y−zx−y+2z的值.34.(1) 已知恒等式x³−x²−x+1=(x−1)(x²+kx−1),求 k 的值.(2)若x 是整数,求证x3−x2−x+1x2−2x+1是整数.35.解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等.(1) 设A=3xx−2−xx+2,B=x2−44,求 A 与 B 的积.(2)提出(1)的一个“逆向”问题，并解答这个问题.第二十二讲1.x2−y2x+y ,1x+yx−y2. B3. C4. C5. B6. C7.18.2,- 12, 349. x(x-1)²10.m+3n11.(1) 原式=a2−4(a−2)(a+4)⋅1a2−4⋅(a−2)2a−2=1a+4.(2) 原式=(x+1)(x−1)(x−2)2⋅1x+1⋅(x−1)(x−2)x−1=x−1x−2,12. 由x²+3x+2=(x+1)(x+2)=0,得x=-1或-2所以,当x≠-1和x≠-2时,原分式有意义.由分子|x|-2=0得x=±2,当x=2时,分母x²+3x+2≠0;当x=-2时,分母x²+3x+2=0,原分式无意义. 所以当x=2时, |x|−2x2+3x+2的值为零.13. 原式=x+1−x+1(x+1)(x−1)÷x2(x+1)(x−1)=x+1−x+1(x+1)(x−1)⋅2(x+1)(x−1)x=4x,当x=2时,原式=2.14.原式计算的结果等于x²+4,所以不论x 的值是+3还是-3结果都为13.15.先化简，得原式=−2yx,又因3x²+xy−2y²=0,所以(3x-2y)(x+y)=0,所以x=23y或x=-y,当x=23y时,原式=-3;当x=-y时,原式=2.16. 由1m+n +1m−n=nm2−n2可得:n=2m;则2mn+n2m2=2nm+n2m2=4+4=8.17. 原式=(x−1)2(x+1)(x−1)⋅x+12(x−1)=12.由于化简后的代数中不含字母x，故不论x取任何值，所求的代数式的值始终不变.所以当x=3,5−2√2,7+√3时，代数式的值都是12.18.化简得原式=x+22−x,当x=1时,原式=3.19. 因为1a −1b=1b−1c,所以b−aab=c−bbc,所以c(b-a)=a(c-b),所以bc-ac=ac-ab,所以ab+bc=2ac.20.②的结论正确.理由如下：因为B=1x+1+11−x=x−1(x+1)(x−1)−x+1(x+1)(x−1)=(x−1)−(x+1)(x+1)(x−1)=−2x2−1=−A所以 A，B互为相反数.21. x² 22. a≠-5,a>4 23.n−1224. A 2 5. D26. 因为方程ax−3=1x的解为.x=-3.所以a−3−3=−13,解得a=2,所以aa−1−1a2−a=a2a(a−1)−1a(a−1)=(a+1)(a−1)a(a−1)=a+1a;当a=2时,原式=2+12=32.27.证明:因为a+b+c=0,)所以( (a+b+c)²=0,即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=0,所以ab+bc+ac=−12(a2+b2+c2),又因为1a +1b+1c=bc+ac+ababc=−116(a2+b2+c2),且已知abc=8,所以a,b,c均不为零, 所以a²+b²+c²>0,所以1a +1c+1c<0.28. 由已知得a--3=0,b-1=0,解得a=3,b=1.原式 =[4(a+b )(a−b )+a+b ab (b−a )]÷a 2+ab−2b 2ab (a+2b )+ba=[−(a−b )2ab (a−b )(a+b )]÷a 2−b 2+ab−b 2ab (a+2b )+ba=−(a−b )2ab (a−b )(a+b )⋅ab (a+2b )(a−b )(a+2b )+ba=−1a+b +ab把a=3,b=1代入得:原式 =114.29. 设a=9999¹¹¹¹,则 A =a+1a 2+1,B =a 2+1a 3+1 所以 A −B =a+1a 2+1−a 2+1a 3+1=a 4+a 3+a+1−a 4−2a 2−1(a 2+1)(a 3+1)=a (a−1)2(a 2+1)(a 3+1)>0所以 A>B.30.(1) 可取a=1,b=2,c=2,d=4;a=1,b=2,c=3,d=6;a=2,b=3,c=6,d=9,再分别代入 a+b a−b和c+d c−d中进行计算，由计算结果可得到 a+b a−b 利 c+dc−d 的关系是相等.(2) 证明:因为a,b,c,d 都不等于0,并且 a b =cd ≠1, 所以 a =cd ⋅b,所以 a+ba−b =cd ⋅b+b cd⋅b−b =c d +1c d−1=c+dc−d .31.由已知条件得： 1a +1b =3,1b +1c =4,1c +1a =5.所以 2(1a +1b +1c )=12即 1a +1b +1c =6,又因为ab+bc+caabc=1c+1b +1a =6,所以 abc ab+bc+ca =16. 32. 因为( (x +1)²≥0,所以( (x +1)²+1的最小值为1，所以 2(x+1)2+1的最大值为2，所以 8−2(x+1)2+1的最小值为6.33. 因为4x-3y-6z=0①,x+2y-7z=0②由①,②解得 {x =3z y =2z,所以 x+y−z x−y+2z =3z+2z−z 3z−2z+2z =43.34.(1) 由题设知, (x −1)(x²+kx −1)=x³+(k −1)x²−(k +1)x +1,所以 x³−x²−x +1=x³+(k −1)x²−(k +1)x +1,从而有k-1=-1,-k-1=-1,解得k=0. (2) 由(1)知k=0,则 x³−x²−x +1=(x −1)(x²−1)=(x −1)²(x +1), 所以 x 3−x 2−x+1x 2−2x+1=(x−1)2(x+1)(x−1)2=x +1.又因为x 是整数，所以x+1是整数.所以x 3−x 2−x+1x 2−2x+1是整数.35.(1)A ⋅B =(3x x−2−xx+2)⋅x 2−4x=2x (x+4)(x−2)(x+2)⋅x 2−4x=2x +8;(2)“逆向问题”:已知 A ⋅B =2x +8,B =x 2−44,求 A. 解答： A =(A ⋅B )÷B =2x +8xx 2−4=2x 2+8x x 2−4.。

2023年中考数学总复习一轮讲练测（浙江专用）第一单元数与式专题03分式（讲练）1.了解分式和最简分式的概念，掌握分式有意义的条件及分式的值为零的条件.2.利用分式的基本性质进行通分和约分.3.会进行分式的加减乘除运算并解决分式的化简求值问题1．（2022•衢州）计算结果等于2的是（）A．|﹣2|B．﹣|2|C．2﹣1D．（﹣2）02．（2021•宁波）要使分式1x+2有意义，x的取值应满足（）A．x≠0B．x≠﹣2C．x≥﹣2D．x＞﹣23．（2021•金华）1a +2a=（）A．3B．32a C．2a2D．3a4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f =1u+1v（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（）A．fvf−v B．f−vfvC．fvv−fD．v−ffv5．（2022•湖州）当a ＝1时，分式a+1a的值是 ． 6．（2022•温州）计算：x 2+xy xy +xy−x 2xy= ．7．（2020•湖州）化简：x+1x 2+2x+1= ．8．（2021•湖州）计算：2×2﹣1＝ ．9．（2021•丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数a ，b 同时满足a 2+2a ＝b +2，b 2+2b ＝a +2，求代数式ba+ab 的值．结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当a ＝b 时，a 的值是 ．（2）当a ≠b 时，代数式ba+ab 的值是 ．10．（2021•衢州）先化简，再求值：x 2x−3+93−x，其中x ＝1．11．（2022•衢州）（1）因式分解：a 2﹣1． （2）化简：a−1a 2−1+1a+1．12．（2022•舟山）观察下面的等式：12=13+16，13=14+112，14=15+120，……（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）． （2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 13．（2022秋•拱墅区校级期中）（1）已知a+b a−b=7，求2(a+b)a−b−a−b 3(a+b)的值．（2）求当a =√3，b ＝﹣1时代数式﹣2a 2b ﹣a +3ba +a 2的值．1．分式的基本概念：(1)形如 (A ，B 是整式，且 中含有字母， ≠0)的式子叫做分式．(2)当 时，分式A B 有意义；当 时，分式A B 无意义；当 时，分式AB 的值为零．(3)最简分式需满足的条件：分子、分母 ．2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以) ，分式的值不变，用式子可表示为AB ＝ ，A B ＝A ÷M B ÷M(其中M 是不等于零的整式)． 3．分式的约分、通分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做 ．把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，叫做 ．4．分式的运算法则：(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变．用式子表示为：a b ＝－a －b ＝－a －b ＝－－a b ，－a b ＝a －b ＝－ab ．(2)分式的加减法：同分母相加减：a c ±bc ＝ ；异分母相加减：b a ±dc ＝ ．(3)分式的乘除法：a b ·c d ＝ ；a b ÷cd＝ ． (4)分式的乘方： ⎝⎛⎭⎫a b n＝ (n 为正整数)． 5．分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算 ，再将除法化为 ，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算 ．灵活运用运算律，运算结果必须是 或 ．考点一 分式的有关概念例1．（2021春•奉化区校级期末）当m 为何值时，分式m 2−4m 2−m−6的值为0？【变式训练】1．（2022春•嘉兴期末）要使分式x−2(x−2)(x−3)有意义，x 的取值应满足（ ） A ．x ≠2B ．x ≠3C ．x ≠2或x ≠3D ．x ≠2且x ≠32．（2022春•温州期末）若分式x−12x+1的值为0，则x 的值是（ ）A ．−12B ．0C ．12D ．13．（2022春•拱墅区期末）若分式1x−2值为正数，则x 的值可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022春•乐清市期末）当x ＝3时，分式x−b x+2b没有意义，则b 的值为（ ）A ．﹣3B ．−32C ．32D ．35．（2022春•西湖区校级期末）某人从A 地到B 地的速度为v 1，从B 地返回A 地的速度为v 2，若v 1≠v 2，则此人从A 地到B 地往返一次的平均速度是（ ） A ．v 1+v 22v 1v 2B ．v 1+v 22C ．以上都不对考点二 分式的基本性质及应用例2．不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数． （1）−2x−1x−1（2）3−x−x 2+2．【变式训练】1．（2022春•海曙区校级期中）若把x ，y 的值同时扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A ．x+2y+2B ．x−2y−2C ．x+y x−yD ．xyx+y2．（2022春•普陀区期末）如果把分式xy 3x−y中的x ，y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A ．缩小3倍B ．不变C ．扩大3倍D ．扩大9倍3．（2022春•上虞区期末）不改变分式0.5x−10.3x+2的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（ ） A ．0.5x−13x+2B ．5x−100.3x+2C ．5x−13x+2D ．5x−103x+204．（2022春•滨湖区校级期中）已知x2=y 3=z4，则2x+y−z3x−2y+z= ．考点三 零指数幂和负整数指数幂例3．（2020春•安吉县期末）计算：（﹣2）3+（π﹣3）0．【变式训练】1．（2021•下城区一模）下列计算结果是负数的是（ ）A ．2﹣3B ．3﹣2C ．（﹣2）3D ．（﹣3）22．（2021•温州模拟）计算|﹣2|+2﹣1的结果是（ ）A ．﹣112B ．0C ．112D ．2123．（2022春•东阳市期末）计算：20220﹣（12）﹣1＝ ． 4．（2022•丽水）计算：√9−（﹣2022）0+2﹣1．5．（2021春•惠来县期末）计算：(−3)2+(12)−1+(π−3)0．考点四 分式的四则运算例4．（2022•临安区一模）以下是方方化简(a −1+1a+1)÷a 2+2aa+1的解答过程．解：原式=(a 2−1+1)⋅a+1a 2+2a=a 2×a+1a(a+2)=a 2+a a+2方方的解答过程是否有错误？如果有，请写出正确的解答过程．【变式训练】1．（2022春•钱塘区期末）下列分式中，最简分式是（ ） A ．a+1a 2−1B ．4a6bc2C ．2a2−aD ．a+ba 2+ab2．（2020春•江北区期末）计算2+m 2−m•（m 2﹣4）的结果是（ ） A ．m 2﹣4B ．4﹣m 2C ．m 2﹣4m ﹣4D ．﹣m 2﹣4m ﹣43．（2022春•嵊州市期末）下列运算正确的是（ ） A ．12a+1a=23a B ．1a−1−1a+1=2a 2−1C ．3b 4a ⋅2a9b 2=b 6D ．13ab+2b 23a=b 324．（2022春•嵊州市期末）如图，若x 为正整数，则表示(x−3)2x 2−6x+9−1x+1的值的点落在（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④5．（2020•乐清市一模）（1）计算：π0−√9+（13）﹣2；（2）化简：x 2−16x+4÷2x−84x．6．（2022春•定海区期末）化简：4x x 2−4−2x−2．言言同学的解答如下：4x x 2−4−2x−2=4x −2(x +2)=2x +4．言言同学的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．考点五 分式的化简求值例5．（2021•永嘉县校级开学）计算：先化简，再求值：(1−x +2x−1x+1)÷x−2x 2+2x+1，其中x 的值是一元二次方程x 2+x ﹣6＝0的解．【变式训练】1．（2022秋•西湖区校级期中）先化简再求值：x 2−2x+1x+2÷（2﹣x −3x+2），其中x ＝（2﹣2√3）0+（12）﹣1． 2．（2022•定海区校级开学）先化简，再求值：（3x 2−9−1x−3）⋅x+3x ，其中x ＝2．3．（2022春•余姚市校级期末）先化简代数式a 2−2a+1a 2−4÷(1−3a+2)+1a−2，再选择一个你喜欢的数代入求值．4．（2022春•南浔区期末）先化简，再求值：(1+2x+1)÷x 2+6x+9x 2−1，并从﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为x 的值代入求值．5．（2022春•江干区校级期中）（1）已知x ﹣3y ＝0（y ≠0），求分式x 2−3xy+y 2x 2+y 2的值．（2）已知x −1x =3，求x 2+1x 2和x 4+1x 4的值．。

第三讲分式及其运算【命题点1 分式的有关概念及性质】类型一分式有意义及值为0的条件1．（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．（2022•南通）分式有意义，则x应满足的条件是．3．（2022•广西）当x＝时，分式的值为零．类型二分式的基本性质4．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．（2021•莱芜）若x，y（x，y均为正）的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．B．C．D．6．（2021•钦州）如果把的x与y（x，y均为正）都扩大10倍，那么这个代数式的值（）A．不变B．扩大50倍C．扩大10倍D．缩小到原来的【命题点2 分式化简求值】类型一分式的简单运算7．（2022•天津）计算+的结果是（）A．1B．C．a+2D．8．（2022•眉山）化简+a﹣2的结果是（）A．1B．C．D．9．（2022•包头）计算：+＝．10．（2022•苏州）化简﹣的结果是．11．（2022•武汉）计算﹣的结果是．类型二分式化简12．（2022•衢州）化简：+．13．（2022•北碚区自主招生）计算：．14．（2022•南通）计算：；15．（2022•兰州）计算：（1+）÷．16．（2022•大连）计算：÷﹣．17．（2022•十堰）计算：÷（a+）．18．（2022•常德）化简：（a﹣1+）÷．19．（2022•陕西）化简：（+1）÷．20．（2022•甘肃）化简：÷﹣．21．（2022•泸州）化简：（+1）÷．22．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．（﹣）÷＝（﹣）•…第一步＝…第二步＝…第三步＝﹣…第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第步是通分，通分的依据是．②第步开始出现错误，错误的原因是．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．类型三分式化简求值23.（2022•内蒙古）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝3．24．（2022•阜新）先化简，再求值：÷（1﹣），其中a＝4．25．（2022•黄石）先化简，再求值：（1+）÷，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．26．（2022•丹东）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝sin45°．27．（2022•张家界）先化简（1﹣），再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．28．（2022•深圳）化简求值：（﹣1）÷，其中x＝4．29．（2022•永州）先化简，再求值：÷（﹣）其中x＝+1．30．（2022•温江区校级自主招生）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．答案与解析【命题点1 分式的有关概念及性质】类型一分式有意义及值为0的条件1．（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．2．（2022•南通）分式有意义，则x应满足的条件是．【答案】x≠2【解答】解：∵分母不等于0，分式有意义，∴x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．3．（2022•广西）当x＝时，分式的值为零．【答案】0【解答】解：由题意得：2x＝0且x+2≠0，∴x＝0且x≠﹣2，∴当x＝0时，分式的值为零，故答案为：0．类型二分式的基本性质4．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．5．（2021•莱芜）若x，y（x，y均为正）的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，A、，错误；B、，错误；C、，错误；D、，正确；故选：D．6．（2021•钦州）如果把的x与y（x，y均为正）都扩大10倍，那么这个代数式的值（）A．不变B．扩大50倍C．扩大10倍D．缩小到原来的【答案】A【解答】解：分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，得＝＝，可见新分式与原分式的值相等；故选：A．【命题点2 分式化简求值】类型一分式的简单运算7．（2022•天津）计算+的结果是（）A．1B．C．a+2D．【答案】A【解答】解：原式＝＝＝1．故选：A．8．（2022•眉山）化简+a﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】B【解答】解：＝＝．故选：B．9．（2022•包头）计算：+＝．【答案】a﹣b【解答】解：原式＝＝＝a﹣b，故答案为：a﹣b．10．（2022•苏州）化简﹣的结果是．【答案】x【解答】解：原式＝＝＝x．故答案为：x．11．（2022•武汉）计算﹣的结果是．【答案】【解答】解：原式＝﹣＝＝＝．故答案为：．类型二分式化简12．（2022•衢州）化简：+．【解答】解（1）a2﹣1＝（a﹣1）（a+1）；（2）．13．（2022•北碚区自主招生）计算：．【解答】解：＝•＝•＝．14．（2022•南通）计算：；【解答】解：（1）原式＝＝＝＝1；15．（2022•兰州）计算：（1+）÷．【解答】解：原式＝＝＝．16．（2022•大连）计算：÷﹣．【解答】解：÷﹣＝•﹣＝﹣＝．17．（2022•十堰）计算：÷（a+）．【解答】解：÷（a+）＝÷（+）＝÷＝•＝．18．（2022•常德）化简：（a﹣1+）÷．【解答】解：（a﹣1+）÷＝[+]•＝•＝．19．（2022•陕西）化简：（+1）÷．【解答】解：（+1）÷＝•＝＝a+1．20．（2022•甘肃）化简：÷﹣．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝＝1．21．（2022•泸州）化简：（+1）÷．【解答】解：原式＝＝＝＝．22．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．（﹣）÷＝（﹣）•…第一步＝…第二步＝…第三步＝﹣…第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第步是通分，通分的依据是．②第步开始出现错误，错误的原因是．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．【解答】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．故答案为：①一，分式的性质．②二，去括号没有变号．任务二：（﹣）÷＝（﹣）•＝•＝•＝．类型三分式化简求值23.（2022•内蒙古）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝3．【解答】解：原式＝•＝﹣•＝﹣，当x＝3时，原式＝﹣＝﹣5．24．（2022•阜新）先化简，再求值：÷（1﹣），其中a＝4．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝4时，原式＝＝．25．（2022•黄石）先化简，再求值：（1+）÷，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．【解答】解：原式＝÷＝•＝，由分式有意义的条件可知：a不能取﹣1，﹣3，故a＝2，原式＝＝．26．（2022•丹东）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝sin45°．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝，当x＝sin45°＝时，原式＝．27．（2022•张家界）先化简（1﹣），再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．【解答】解：原式＝＝•+＝+＝；因为a＝1，2时分式无意义，所以a＝3，当a＝3时，原式＝．28．（2022•深圳）化简求值：（﹣1）÷，其中x＝4．【解答】解：（﹣1）÷＝＝＝，当x＝4时，原式＝＝．29．（2022•永州）先化简，再求值：÷（﹣）其中x＝+1．【解答】解：原式＝÷＝•＝x﹣1，当x＝+1时，原式＝+1﹣1＝．30．（2022•温江区校级自主招生）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．【解答】解：原式＝＝，当a＝﹣3时，原式＝．。

千里之行，始于足下。

分式学问点讲练-202X年中考数学一轮大单元复习数学中的分式是一个重要的学问点，它经常消灭在数学中的运算、方程、比例等问题中。

在中考数学中，分式也是一个常见的考点。

下面，我将为你具体介绍一下分式的学问点，并供应一些练习题，挂念你复习分式这个重要的数学概念。

一、分式的定义分式指的是两个整数的比值，其中分子和分母分别为整数。

分式的一般形式为a/b，其中a为分子，b为分母。

分式也可以写成带分数的形式，例如3/2可以写成1 1/2。

二、分式的基本运算1.分式的加减要进行分式的加减运算，需要先找到分母的最小公倍数，然后分别对其进行通分，然后将分子相加或相减，再化简即可。

例如：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/62.分式的乘除要进行分式的乘除运算，直接将分子和分母相乘或相除即可，然后进行化简。

例如：1/2 * 2/3 = 2/6 = 1/3三、分式的化简当分子和分母有公因数时，可以约去这个公因数，从而化简分式。

例如：4/8 = 1/2第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。

四、分式的求值当给定分式的具体数值时，可以直接将分式的分子和分母进行运算，得出最终结果。

例如：计算3/4 * 2/5 = 6/20 = 3/10练习题：1.化简分式：18/24解答：18/24 = 3/42.计算分式：7/8 + 3/4解答：7/8 + 3/4 = 7/8 + 6/8 = 13/83.计算分式：2/3 ÷ 3/5解答：2/3 ÷ 3/5 = 2/3 * 5/3 = 10/9四、应用题1.甲和乙两个人共完成一项工作需要15天，若甲单独完成需要20天，乙单独完成需要多少天？解答：设乙单独完成需要x天，依据工作量和时间的关系，可以得到如下方程：1/20 + 1/x = 1/15将其转化为分式的形式：(20 + x) / (20x) = 1/1515(20 + x) = 20x300 + 15x = 20x5x = 300千里之行，始于足下。