四年级奥数有余数的除法

余数的妙用知识要点1、在进行除法运算时，往往会产生余数，对于有余数的除法，许多同学有时很头疼。

但是有余数的除法也不是一无是处，它还有许多妙用，用好它对于我们解决具体问题时有好处的。

2、除数=（被除数-余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数经典范例例1 被除数是41，余数是,6，除数和商各是多少？思路解析：被除数-余数=除数×商=41-6=35=1×35或5×7解：41-6=3535=1×35或35=5×7当除数=35时商=1 当除数=7时商是5答：当除数=35时商=1 当除数=7时商是5例2 假如今天是星期二，从今天算起，第29天是星期几？思路解析：因为时间是从今天算起，假如今天是1号，到第29号就是29天，这样就算出总天数。

一周是7天，看看这29天中有几个7天，然后再数数余数的天数就可以了。

因为今天是星期二，是前面几个整周的开头第一天，所以余数的第一天也是星期二。

解：29÷7=4 ---- 1答：第29天是星期二。

例3 幼儿园阿姨给小朋友们准备了又红又大的苹果。

7个7个数，也余1个。

你能算出至少有多少个苹果吗？思路解析：5个5个数，余1个，就是苹果数倍5除余1,有5、10、15、20、25、30、35、40---；7个7个数，也余1个，是苹果数7除余1,有7、14、21、28、35、42---；所以苹果数既要能被5除余1，也要能被7除余1.从上面的列出数看，它们共同的最小数是35.解：能被5整除5、10、15、20、25、30、35、40---；能被7整除7、14、21、28、35、42---；35+1=36（个）答：共有苹果36个。

例4 豆豆和丁丁玩报数游戏，每次每人报1 - 4个数，即不能超过4个数。

谁报到88个数谁胜。

丁丁先报，豆豆后报。

可不管怎么报，都是丁丁胜。

豆豆很奇怪。

丁丁说：“那是因为我知道余数的妙用。

一、带余除法的定义及性质一般地，如果a 是整数，b 是整数(b ≠0)，若有a ÷b ＝q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r 。

0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：⑴当r ＝0时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商。

⑵当r ≠0时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商。

二、余数定理：1．余数一定要比除数小。

2．余数的加法定理例如：23÷5＝4 (3)16÷5＝3 (1)所以23＋16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3＋1。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23÷5＝4 (3)19÷5＝3 (4)所以：23＋19＝4242÷5的余数等于3＋4＝7除以5的余数，即2。

和的余数＝余数的和(的余数)。

3．余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

例如：23÷5＝4 (3)16÷5＝3 (1)所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

例如：23÷5＝4 (3)19÷5＝3 (4)所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2。

积的余数＝余数的积(的余数)。

有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。

22003与20032的和除以7的余数是________。

12＋22＋32＋…＋20012＋20022除以7的余数是多少？在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组。

小学奥数之带余除法解题1. 能够根据除法性质调整余数进行解题2. 能够利用余数性质进行相应估算3. 学会多位数的除法计算4.根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑴ 余数小于除数． 3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．除法公式的应用【例 1】 某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于 。

【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第2题，5分 【解析】 125 【答案】125【例 2】 一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。

5-5-1.带余除法（一）教学目标知识点拨例题精讲【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第3题【解析】因为最大的三位数为999，999362727÷=，所以满足题意的三位数最大为：36278980⨯+=【答案】980【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。

1.能够根据除法性质调整余数进行解题2.能够利用余数性质进行相应估算3.学会多位数的除法计算4.根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q ＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2、余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．除法公式的应用例题精讲知识点拨教学目标5-5-1.带余除法（一）【例 1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。

【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第2题，5分【解析】125【答案】125【例 2】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。

【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第3题【解析】因为最大的三位数为999，999362727÷=L，所以满足题意的三位数最大为：⨯+=36278980【答案】980【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。

四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。

一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。

这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。

下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。

（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。

（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。

（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。

（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。

（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。

（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。

2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。

（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。

（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。

（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。

【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。

【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。

当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。

小学奥数《有余数的除法》例题讲解在有余数除法中，要记住：（1）余数＜除数；（2）被除数＝商×除数＋余数例1（1）（）÷7=8……（），根据余数写出被除数最大是几？最小是几？（2）（）÷（）＝（）……6，除数最小是几？【思路点拨】（1）根据余数一定要比除数小的原理，余数可以取1,2,3,4,5,6。

最大的余数确定最大的被除数，最小的余数确定最小的被除数。

（2）根据余数一定要比除数小的原理，除数要大于6，而大于6的数有很多，其中最小的是。

【模仿练习】1．算式（）÷（）＝8……（）中，被除数最小是几？2．下题中被除数最大可填几，最小可填几？（）÷8＝3……（）3．你能写出下面题中最大的被除数和最小的被除数吗？（）÷4＝7……（）例2算式28÷（）=（）……4中，除数和商各是多少？【思路点拨】根据“被除数＝商×除数＋余数”，商×除数＝被除数－余数，即，商×除数＝28－4＝24。

而24＝×＝×＝×＝×，再根据除数＞余数就可以确定对应的除数和商。

【模仿练习】下列算式中，除数和商各是几？（1）22÷（）=（） (4)（2）65÷（）=（） (2)（3）37÷（）=（） (7)（4）48÷（）=（） (6)例3算式（）÷7=（）……（）中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？【思路点拨】要求出被除数，必须确定商和余数，而商等于余数，所以可以先根据除数是7来确定余数的值，根据余数小于除数，所以得到余数可以取，，，，，，从而得到对应的商，然后再求出被除数。

例4算式（）÷（）=（）……6，除数和商相等，被除数最小是几？【思路点拨】通过余数等于6可以确定除数应该大于6，大于6的数有无数个，但是要想使被除数最小，则除数应该尽量小，这样一来除数就只能取，再根据商和除数相等确定商，最后根据“被除数＝商×除数＋余数”求出最小的被除数。

余数的四年级奥数题及答案
关于余数的四年级奥数题及答案
余数
70352与63285的积被7除，余数是多少？
解答：余数为3.
分析：这一题我们虽然可以先求70352和63285的积，然后除以7便可以确定所求的余数，但这样计算量大，而且容易出错。

如果我们利用余数的性质求解会简单得多。

我们知道：两个整数的和（差或积）被某个自然数除所得的余数等于这两个整数分别被这个自然数除所得的余数的和（差或积），再除这个自然数所得的余数。

解：因为70352÷7=10050余2
63285÷7=9040余5
而5×2÷7=1余3
所以70352与63285的积被7除，余数是3.
【小结】在求余数的'问题中，我们必须首先考虑余数的性质。

这里就用到了：两个整数的和（差或积）被某个自然数除所得的余数等于这两个整数分别被这个自然数除所得的余数的和（差或积），再除这个自然数所得的余数。

第十一讲有余除法一、例题精讲姓名：例1：算式：21÷□=□………………3中，除数和商各是多少？例2：算式□÷6=□……□中，商和余数相同，被除数有哪些？例3：学校门口的彩灯是按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序挂的，一共挂了56只彩灯。

请问第56只彩灯是什么颜色的？红色的彩灯一共有多少只？例4：算式12÷□=□…………□中，不相同的余数有多少个？二、巩固练习成绩：1、下列算式中，除数最小是几？（1）□÷□=□......10 （2）□÷□=□ (19)2、要使商和余数相同，被除数是哪些数？把这些数填在（）里。

□÷6=□…………□（）3、有一列数：3，2，4，3，2，4，3，2，4……（1）第14个数是几？（2）前14个数的和是多少？4、算式15÷□=□……□中，不相同的余数有多少个？三、拓展提高姓名：1、算式□÷8=5……□中，被除数最大是几？最小是几？2、刘老师把1~24张口算卡片依次发给小明、小亮和小羽，那么第17张卡片给谁？把24张卡片发完，最后一张发给谁？3、一个两位数被10除余7；被7除余4，它是多少？4、算式□÷□=6……6中，除数最小是几？被除数最小是几？四、趣味作业1、下列算式中，商和余数相同，被除数有多少个？（1）□÷8=□……□，被除数有（）个。

（3）□÷12=□……□，被除数有（）个。

2、有一列数为1、3、5，1、3、5、1、3、5……问：（1）第26个数是几？（2）这26个数的和是多少？3、要使余数最大，被除数是几？（1）□÷9=7……□（3）□÷5=8……□（2）□÷7=3……□（4）□÷6=7……□4、下列算式中不相同的余数有多少个？把个数写在（）里（1）5÷□=□……□（）个（2）18÷□=□……□（）个。

小学生奥数余数问题五篇1.小学生奥数余数问题余数相关知识点：1、除法的一般表达式子是被除数÷除数=商，这个商称为完全商。

2、有余数的除法表达式是被除数÷除数=商……余数（余数3、考虑不完全商的问题，即t≠0时，m=nq+t，则m-t=nq，故m-t是n的倍数，因此不能整除的问题可以转化为能整除的问题。

2.小学生奥数余数问题1、数111（2007个1），被13除余多少分析：根据整除性质知：13能整除111111，而20076后余3，所以答案为7。

2、1013除以一个两位数，余数是12。

求出符合条件的所有的两位数。

分析：3、1013-12=1001，1001=71113，那么符合条件的所有的两位数有13，77，91有的同学可能会粗心的认为11也是。

11小于12，所以不行。

大家做题时要仔细认真。

某个自然数被247除余63，被248除也余63。

那么这个自然数被26除余数是多少？解答：由余数的性质，这个数减去63得到的新数既能被247整除，也能被248整除，而相邻的两个整数互质，所以新数能被247×248整除，显然能被26整除。

于是这个数除以26的余数等于63除以26的余数，为11。

解余数问题时，掌握余数的性质很重要：若a÷b…n，则b|a-n。

若a|b，c|b，且a，c互质，则a×c|b。

3.小学生奥数余数问题1、学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同。

请问学校共有多少个班分析：所求班级数是除以118，67，33余数相同的数。

那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数，所求答案为17。

2、有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。

分析：这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据性质2，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。

第07讲带余数除法
知识点、重点、难点
当被除数除以除数有余数时，我们有：被除数÷除数=商……余数，且余数一定小于除数.因此可得带余除法的基本关系式：
被除数=商×除数+余数，(被除数-余数)÷除数=商.
例题精讲
例1(1)□÷8=4……()，当余数最大时，被除数应填几？
(2)□÷□=15……10，要使除数最小，被除数应填几？
练习1(1)□÷23=7……()，当余数最大时，被除数应填几？
(2)□÷□=26……8，要使除数最小，被除数应填几？
例2下面题中，被除数最大可填几？最小可填几？
□÷27=3……□
练习2在□÷18=5……□中，被除数最大可填几？最小可填几？
例3一个数除以9，所得的商与余数相同.问：这样的数是哪几个数？
练习3一个三位数除以26，商和余数相同.请写出6个这样的除法算式，使被除数尽可能大.
例4两数相除，商为27，余数为4，被除数、除数、商与余数之和为231，求被除数.
例5用961除以一个两位数，余数为36，求这个两位数.
例6用173、89、113分别除以同一个自然数，都不能整除，三个余数之和是10.问：这个自然数是多少？
精选习题
1.下列算式中，商和余数相同.问被除数可以是哪些数？
(1)□÷6=□……□；
(2)□÷8=□……□.
2.甲数除以乙数商是19，余数是5，甲数、乙数、商和余数的和为169.甲数和乙数各是多少？
3.用一个自然数去除179、254、321都有余数，三个余数之和是9，求这个自然数.
4.一个三位数被91余4，被66除余6，求这个三位数.。

补充：有余数的除法讲义知识点拨：一、定义回顾：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是：a＝b×q＋r,（0≤r＜b）我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

二、定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例1】(第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【变式】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

【例2】(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【变式】两个整数相处商是12,余数是6,已知被除数,除数商与余数的差是204,除数是多少？【例3】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

【变式】(2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．【例4】(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【变式】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【模块二：定理的应用】【例5】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【变式1】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且ab，求abba．【变式2】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【变式3】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【例7】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题)20032与22003的和除以7的余数是________．【巩固】(2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【例8】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【巩固】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【例9】(2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．。

精心整理
页脚内容
带余除法
被除数=除数×商+余数
被除数—余数=除数×商
余数=被除数—除数×商
商=（被除数—余数）÷除数
要注意以下几点：
1. 余数总是小于除数的整数。

2. 只要
3. 整除例1、 例2、 数是多
1、 被
2、一个
3、两个
4、1705
5、如果例3、 1、被除2、被除3、两个4、一个5、1492
6、从
7、两个例4、 1、一个
2、一个
3、有一个两位数被3除或被4除，余数都是1，符合这一条件的最大三位数和最小三位数各是多少？
4、有一个最小的两位数，除以5余数是3，除以13余数是5，这个最小的两位数除以11余数是多少？
5、一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8.被除数、除数、商及余数的和是多少？
6、一个两位数除329，这个两位数与商相等，余数是5，求这个两位数。

7、一个三位数，它除以19，所得的商和余数相等，符合这个条件的三位数有多少个？其中最大的是多少？最小的是多少？
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8、五年级同学去西湖划船，若每船坐8人，则余下7人；若每船坐12人，则余下11人，若每船坐14人，则余下13人，五年级至少有同学多少人？
9、实验小学五年级的同学在操场上做游戏，每组5人则多1人，每组6人则多1人，每组7人则多1人，五年级做游戏的同学至少有多少人？
10、筐子里有一些皮球，三个三个地数余2个，四个四个地数余3个，五个五个地数余4个，筐子里至少有多少个皮球？。