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第5章 摩擦

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我的摩擦学导论五PPT课件

我的摩擦学导论五PPT课件

.
14
固体接触的摩擦
第5章 摩擦
然而在材料表面有薄膜时，无论是有意所加还是由于环境相互 作用而产生，载荷作用影响下的摩擦系数就不会再保持不变了。 比如铜于空气中在铜表面上滑动，在低载荷时，摩擦系数很低， 而在载荷增大时，摩擦因数增至更高数值，如图5.2.2（b）。
图5.2.2（b）铜于空气中 在铜表面滑动
.
8
引言
第5章 摩擦
摩擦力是好是坏？没有摩擦力就不可能行走，
机动车无法行驶在公路上，不能拾取物体。甚至 一些机械场合比如车辆制动器，离合器以及以摩 擦力为动力的传输装置（如皮带传输），摩擦需 最大化。然而许多其它滑动和转动零件比如轴承， 密封圈则不希望有摩擦，摩擦会导致能量损失以 及磨损接触表面。在这些场合，摩擦需最小化。
tan
F
Wsin
Wcos W
第5章 摩擦
图5.2.1 物体放置在斜面上的力平衡图
.
13
固体接触的摩擦
第5章 摩擦
载荷作用影响下的摩擦系数如钢于空气中在无润滑的 铝表面上滑动，如图5.2.2（a）所示。尽管载荷变化 因子数量级很大 ，但摩擦系数仍保持为一常量不变。
图5.2.2（a）钢于空气 中在铝表面滑动
★流体摩擦
工程实际中并不存在干摩擦。通常是将未经人为润 滑的摩擦状态当作干摩擦处理。干摩擦时摩擦阻力 很大，磨损严重，应避免。
是指摩擦表面被流体膜隔开，摩擦性质取决于流体
内部分子间粘性阻力的摩擦。流体摩擦时的摩擦系数
最小，且不会有磨损产生，是理想的摩擦状态。
.
6
引言
如果两个固体放到一块 即产生切向力（F）。使 它们由静止而相对运动 所需施加的切向力的大 小称为静摩擦力 （Fstatic或Fs ）。在进 入相对运动状态前需有 几微秒的时间来克服静 摩擦力。而维持相对运 动的切向力称为动摩擦 力 （ Fkinetic 或 Fk ） 。 (在一定条件下)静摩擦力 大于或等于动摩擦力， 如图5.1.2。

第五章摩擦_理论力学

第五章摩擦_理论力学
第五章 摩 擦
知识点
1.
摩擦现象分为滑动摩擦和滚动摩擦两类。
2.
滑动摩擦力是两物体接触表面有相对滑动趋势或有相对滑动时出现的切向阻力。前
者称为静滑动摩擦力，后者称为动滑动摩擦力。
★ 静滑动摩擦力的方向与接触面相对滑动趋势的方向相反，它的大小、方向随主动力
改变，由平衡方程确定。当物体处于平衡的临界状态时，静摩擦力达最大值。物体平衡时，
3.
滚动摩擦为两物体有相对滚动趋势或有相对滚动时在接触部分产生的对滚动的阻
碍作用。阻碍物体滚动的力偶称为滚动摩阻力偶。
★ 物体平衡时，滚动摩阻力偶矩 随主动力的大小变化，其变化范围为
★ 滚动摩阻定律 滚动摩阻力偶矩的最大值与法向反力成正比，即
滚动摩阻系数 具有长度量纲。 本章仅限于研究固体与固体间的摩擦，即干摩擦，着重讨论有摩擦力存在时物体的平衡问题。 § 5-1 滑动摩擦 静滑动摩擦力
平推力 即为所求。由于系统在 、 两处都有摩擦，两个摩擦力之中只要有一个达到最
大值，系统即处于临界平衡状态，其推力 即为最小值。
（1）设 处的摩擦力达到最大值。当推力 为最小时，轮有沿水平面向右滚动的趋势， 轮上点 相对于杆 有向右上方滑动的趋势，作用于杆和轮的摩擦力 和 如图(b)和(c) 所示。设 处摩擦力 尚未达最大值，设其方向向左，如图(c)。
材料名称
软钢与软钢 轮胎与路面 淬火钢与淬火钢
0.05 2～10 0.01
示。当滚轮处于临界平衡状态时，
★ 滚动摩阻系数的物理意义：如图 5-9 所
有 滚动摩阻系数可看成是物体即将滚动时，法向反力偏离中心线的最大距离，亦即滚阻力偶的 最大力偶臂。由于 较小，滚阻力偶常忽略不计。 例 5-4 半径为 的滑轮 上作用有力偶，轮上绕有细绳拉住半径为 ，重为 P 的圆柱，如 图 5-10(a)所示。斜面倾角为 ，圆柱与斜面间的滚动摩阻系数为 。求圆柱平衡时，力偶 矩 的最大与最小值；并求能使圆柱匀速滚动而不滑动时静滑动摩擦系数的最小值。

我的摩擦学导论第五章

我的摩擦学导论第五章

常见的两种摩擦类型：
★干摩擦
干摩擦是指表面间无任何润滑剂或保护膜的纯金属
接触时的摩擦。又称库伦摩擦
★流体摩擦
工程实际中并不存在干摩擦。通常是将未经人为润 滑的摩擦状态当作干摩擦处理。干摩擦时摩擦阻力 很大，磨损严重，应避免。
是指摩擦表面被流体膜隔开，摩擦性质取决于流体 内部分子间粘性阻力的摩擦。流体摩擦时的摩擦系数 最小，且不会有磨损产生，是理想的摩擦状态。
引言
如果两个固体放到一块 即产生切向力（F）。使 它们由静止而相对运动 所需施加的切向力的大 小 称 为 静 摩 擦 力 （Fstatic或Fs ）。在进 入相对运动状态前需有 几微秒的时间来克服静 摩擦力。而维持相对运 动的切向力称为动摩擦 力 （ Fkinetic或 Fk ） 。 (在一定条件下)静摩擦力 大于或等于动摩擦力， 如图5.1.2。
图5.2.9 橡胶在硬表面 间上产生粘着的机理
第5章 摩擦
粘摩擦机理
粘合摩擦系数就可以用下式来表示： (5.2.15) 其中:
a

(
Ar
2 W
) a tan
tan —阻尼系数。
假设一个光滑的半球形橡胶在一个干净的光滑的玻璃表面滑动，它们之间 就会发生间断地分离，这样就有高速地从头到尾的滑动。粘合似乎在贯穿 于这种波动中，这就使得橡胶表面会有折痕，也有可能会由切向的压力而 发生扣死。切线应力梯度是发生间断分离的驱动力。橡胶在玻璃上的运动 不是交叉面间的滑动而类似于通过地毯后留下的一段皱褶或者说是像毛毛 虫的移动。
第5章 摩擦
粘摩擦机理
塑性变形的粘合摩擦：
大部分的固体材料的剪切强度是由接触状况决定的。对 于塑料和一些非金属材料，有
(5.2.14a)

第五章摩擦_理论力学

第五章摩擦_理论力学

即自锁条件是:斜面的倾角小于或等于摩擦角。 § 5-3 考虑滑动摩擦的平衡问题 考虑滑动摩擦的平衡问题与前几章所述大致相同，但有如下特点：
1．受力分析时必需考虑接触面的摩擦力 ；
2．除平衡方程外，还必须列写补充方程，
，补充方程数等于摩擦力的个数；
3．平衡问题的解是一个范围，称为平衡范围。
例 5-1 物块重
。轮半径为 ，杆长为 ，当
时，
。求当 D 处静摩擦系数
分别为 0.3 和 0.15 时，维持系统平衡需作用于轮心 的最小水平推力。 解：本题属 求极限值问题，但有两种临界平衡状态，两处摩擦，应分别判断、讨论。由图（a）可知， 若推力 太大，轮将向左滚动；而推力太小，轮将向右滚动。后者在临界平衡状态下的水
。如圆柱向下滚动，由图（b）可知，
如图 5-8(a)所示。在滚轮中心上作用一不大的水平推力 ，则轮有滚动趋势。由于接触处
变形，作用于轮上的约束力为一分布力系。此力系向 A 点简化得一力 及矩为 M 的力偶，
Байду номын сангаас
称为滚动摩阻力偶（简称滚阻力偶），如图（b）所示。该力偶与图(c）所示的力偶（ ， ） 平衡，其转向与轮的滚动趋势相反，其矩称为滚阻力偶矩。
摩擦角为全反力与接触面法线间夹角的最大值有物体平衡时全反力与法线间夹角的变化范围为当主动力的合力作用线在摩擦角之内无论主动力多大物体保持平衡的现象称为摩擦动摩擦定律动摩擦力大小与接触面法向反力成正比即滚动摩擦为两物体有相对滚动趋势或有相对滚动时在接触部分产生的对滚动的阻碍作用
第五章 摩 擦
知识点
1.
0.8
0.5
木材-木材
0.4～0.6
0.1
0.2～0.5
0.07～0.15

静力学：第5章：摩擦

静力学：第5章：摩擦

静摩擦力（未达极限值时），可象一般约束力那样 假设其方向，而由最终结果的正负号来判定假设的 方向是否正确。
Theoretical Mechanics
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5.3 考虑摩擦的平衡问题 例5-1 图表示颚式破碎机，已 知颚板与被破碎石料的静摩擦 系数f＝0.3，试确定正常工作的 箝制角α 的大小。（不计滚动 摩擦）
例题
解：为简化计算，将石块看成球形，并略去其自重。 根据破碎机正常工作时岩石应不被挤压滑出颚板的 条件，用几何法求解，岩石只在两处受力，此两力 使岩石维持平衡必须共线，按自锁条件它们与半径 间的最大角度应为ϕm。
Theoretical Mechanics 返回首页
5.2 摩擦角和自锁现象
5.2.3 摩擦角在工程中应用
静摩擦系数的测定
f = tanϕm = tanα
把要测定的两个物体的材料分别做成可绕O轴转 动的平板OA和物块B，并使接触表面的情况符 合预定的要求。当α角较小时，由于存在摩擦， 物体B在斜面上保持静止，逐渐增大倾角，直到 物块刚开始下滑时为止，此时α=ϕm 。
Theoretical Mechanics 返回首页
5.2 摩擦角和自锁现象
5.2.3 摩擦角在工程中应用
螺旋千斤顶的自锁条件
螺纹的自锁条件是使螺纹的升角α m小于或等于 摩擦角ϕ m。α≤ϕ m
Theoretical Mechanics
返回首页
5.3 考虑摩擦的平衡问题 静摩擦力的大小在零与极限值Fmax之间变化，因而相 应地物体平衡位置或所受的力也有一个范围。 极限摩擦力（或动摩擦力、滚动摩擦力）的方向总是 与相对滑动或滚动趋势的方向相反，不可任意假定。
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理论力学第五章 摩擦(Y)

理论力学第五章 摩擦(Y)

0 Fs Fs,max
——平衡
0 f
f Fs Fs ,max ——临界平衡状态 摩擦角 f —— 物体处于临界平衡状态时全反力与
法线之间的夹角。
tan f
Fs ,max FN
f s FN fs FN
摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数——几何意义。
当物体平衡时（包括平衡的临界状态）全约束反力 的作用线一定在摩擦角之内
摩擦轮传动——将左边轴的转动传给右边的轴
摩擦的分类：
摩擦


滑动摩擦
滚动摩擦

静滑动摩擦 ——仅有相对运动趋势 动滑动摩擦 ——已有相对运动 静滚动摩擦 动滚动摩擦
干摩擦 ——由于接触表面之间没有液体时产生的摩擦。 湿摩擦 ——由于物体接触面之间有液体。
摩擦
一、滑动摩擦
研究滑动摩擦规律的实验：
MB 0
l sin 30 0 M P cos 30 0 FND l cos 30 0 0 FSD 2
3 P 3l
(1 FSD
FSD f s FND
3 2 3 M M min Pl 8
（1）当M较大时，BD杆逆时针转动。 分别以OA、 BD杆为研究对象， 画受力图。 l 0 FND l cos 30 P 0 对于OA杆： M O 0 2
Y 0
Fs,max f s FN
（库仑摩擦定律）
（2）最大静摩擦力的方向：沿接触处的公切线，与相对 滑动趋势反向；
Fs,max f s FN f s ——静滑动摩擦系数——静摩擦系数
与两接触物体表面情况（粗糙度，干湿度，温度等） 和材料有关，与两物体接触面的面积无关。

2019精品第五章摩擦化学

木箱平衡
（2）设木箱将要滑动时拉力为 F1 Fx 0 Fs F1 cos 0 Fy 0 FN P F1 sin 0
又 Fs Fmax fs FN
解得
F1

cos
fs fs sin
1876 N
设木箱有翻动趋势时拉力为 F2
M A 0
F cos h P a 0
求：拉动拖车最小牵引力 F（F 平行于斜坡）.
解： 取整体
Fx 0
Fy 0
F FAs FBs P sin 0 FAN FBN P cos 0
（1） （2）
MB 0 FAN (a b) Fh P cos b P sin H
fs
全约束力和法线间的夹角的 正切等于静滑动摩擦系数．
摩擦锥（角） 0 f
2 自锁现象
3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件
tan tan f fs
斜面自锁条件 f 螺纹自锁条件 f
§5-3 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本 相同． 几个新特点 1 画受力图时，必须考虑摩擦力； 2 严格区分物体处于临界、非临界状态； 3 因 0 Fs Fmax ，问题的解有时在一个范围内．
动滑动摩擦的特点
1 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向； 2 大小： Fd f d FN
f d f s （对多数材料，通常情况下）
§5-2 摩擦角和自锁现象
1 摩擦角
FRA全约束力
物体处于临界平衡状态时，
全约束力和法线间的夹角．
摩擦角
tan f
Fm ax FN

摩擦学第五章磨损ppt课件

5、其他。包括侵蚀磨损或冲蚀磨损 (Erosive wear) 和微动磨损 (Fretting wear)等。
实际的磨损现象大都是多种类型磨损同时存在；或磨损状态随工 况条件的变化而转化。
摩擦学第五章磨损
9
第二节 粘着磨损
一、定义及其过程
1、定义：
(1) 在摩擦副中，相对运动的摩擦表面之间，由于粘着现象产生材料转移
此外，磨损率与滑动速度无关。
摩擦学第五章磨损
22
金属的粘着磨损的磨损系数
润滑状况 相同 无润滑 15X10-4
金属/金属
相容
部分相容和 部分不相容
不相容
金属/ 非金属
5X10-4
1X10-4 0.15X10-4 1.7X10-6
润滑不良 30X10-5 10X10-5
润滑良好 润滑极好
30X10-6 10X10-7
假定磨屑半径 ，产生磨屑的概率 ，则滑动 距离磨损体积：
摩擦学第五章磨损
21
分析
粘着磨损的体积磨损率与法向载荷N (或正压力p)成正比，而与软金属材 料的屈服强度(或布氏硬度HB值)成反比。
当正压力
时，会使磨损加剧，产生胶合或咬死。
因此，在设计时应保证正压力不超过材料的布氏硬度的三分之一。
体积磨损率随着粘着磨损的磨损系数的增大而增大，而后者主要取决于摩 擦表面的润滑状况和两滑动金属相互牢固地粘着的趋向。
相溶性好的材料 材料塑性越高，粘着磨损越严重
脆性材料的抗粘着能力比塑性材料高 脆性材料：正应力引起，最大正应力在表面，损伤浅， 磨屑也易脱落，不堆积在表面。 塑性材料：剪应力引起，最大剪应力离表面某一深度， 损伤深。
摩擦学第五章磨损
25
三、防止和减轻粘着磨损的措施

第五章 摩擦

f s需通过实验测定，影响因素很复杂。 N
F
Fs
P
3．动滑动摩擦力
N F Fd P
当滑动摩擦力已经达到最大值，若再增大主动 力F，接触面之间将出现相对滑动。
接触面之间仍作用由阻碍物块滑动的阻力。
称为动摩擦力，以Fd 表示。 实验表明 Fd =f N f 为动摩擦系数 一般情况下， f < f s
§5-3
R
摩擦角与自锁现象


N
R

N
Fs
Fmax
1．静滑动摩擦力
在粗糙平面上，放 置一个物块。 物块重P，法向约束 力为N，物块平衡。 在物块上作用一个 大小可变的水平拉力F
N
N F
Fs
P
物块仍保持平衡，这是因为还有一个接触面阻 碍物块向右水平运动的切向力——静摩擦力。 静摩擦力作用于平面与物块的接触处、方向与物 块的滑动趋势相反、大小由平衡条件确定，即 ∑X = 0 ，F － Fs = 0 → Fs = F 静摩擦力Fs的大小随着主动力F的增大而增大。
2．最大静滑动摩擦力
静摩擦力Fs 的大小随着主动力F 的增大而增大 这是静摩擦力和一般约束力的共同特性。 静摩擦力Fs 又与一般约束力不同，它并不随主 动力 F 的增大而无限增大，当 F 的大小达到某一数 值时，物块处于平衡的临界状态（物块将滑还未 滑），这时的Fs 达到最大值——最大静摩擦力，以 F max 表示。如果 F 再增大， Fs 不再增大，显然 0 ≤ Fs ≤ Fmax 由库仑定理 F max = f s N f s —— 静摩擦系数
α N （1） （2）
补充：
F max = fs N 式(3)代入式(1) － fs ×(2)式 ,即 F1max (cos α － fs sin α ) －P (sin α + fs cos α) = 0 sin f s cos 得：

第5章运动副中的摩擦和机械效率


5.4 转动副中的摩擦
径向轴颈与轴承 止推轴颈与轴承
5.4.1径向轴颈与轴承
平衡条件:
Q R 21 0
M M
f
令 ： f1
T21 N
21
0
Q R 21 N
2 21
M
M
f
R 21
T21 N
2
21
1 f1
2
f
T 21 r f1 N
21
r
螺纹
螺纹的牙型
30º 15º 3º 30º
矩形螺纹
三角形螺纹
梯形螺纹
锯齿形螺纹
内螺纹
内外螺纹相互旋 合构成螺旋副
外螺纹
假定:螺钉与螺母间的压力 1. 螺母沿螺旋面等速上升 作用在螺旋平均半径r0(直 M F r0 径d0)的螺旋线上;螺旋副 中力的作用(a)与滑块和斜 F Q tg ( ) 面间力的作用(b)相同.
5.4.3止推径向轴颈或轴承
1、非跑合的止推轴承：轴 端各处的压强相等
M
f

2 3

R r
3
3 2
R r
2
fQ
2、跑合的止推轴承：轴端 各处的压强不相等，离中心 远的部分磨损较快，因而压 强减小;离中心近的部分磨 损较慢，因而压强增大。
M 1 （ R r） f Q 2
f
螺旋机构正反 行程效率不同
5.5.3机械的效率与自锁
在实际机械中，由于摩擦的存在以及驱动力作用方向的问 题，有时会出现无论驱动力如何增大，机械都无法运转的 现象，这种现象称为机械的自锁。
机械自锁的条件:
0
0
空转
自锁
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·45·第5章 摩擦一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1．静滑动摩擦力与最大静滑动摩擦力是相等的。

( × ) 2．最大静摩擦力的方向总是与相对滑动趋势的方向相反。

( √ ) 3．摩擦定律中的正压力(即法向约束反力)是指接触面处物体的重力。

( × ) 4．当物体静止在支撑面上时，支撑面全约束反力与法线间的偏角不小于摩擦角。

( × ) 5．斜面自锁的条件是：斜面的倾角小于斜面间的摩擦角。

( √ ) 二、填空题1．当物体处于平衡时，静滑动摩擦力增大是有一定限度的，它只能在0≤F s ≤F smax 范围内变化，而动摩擦力应该是不改变的。

2．静滑动摩擦力等于最大静滑动摩擦力时物体的平衡状态，称为临界平衡状态。

3．对于作用于物体上的主动力，若其合力的作用线在摩擦角以内，则不论这个力有多大，物体一定保持平衡，这种现象称为自锁现象。

4．当摩擦力达到最大值时，支撑面全约束反力与法线间的夹角为摩擦角。

5．重量为G 的均质细杆AB ，与墙面的摩擦系数为0.6f =，如图5.12所示，则摩擦力为0。

6．物块B 重2kN P =，物块A 重5kN Q =，在B 上作用一水平力F ，如图5.13所示。

当系A 之绳与水平成30θ︒=角，B 与水平面间的静滑动摩擦系数s102f .=，物块A 与B 之间的静滑动摩擦系数s2025f .=，要将物块B 拉出时所需水平力F 的最小值为2.37kN 。

图5.12 图5.13·46·三、选择题1．如图5.14所示，重量为P 的物块静止在倾角为α的斜面上，已知摩擦系数为s f ，s F 为摩擦力，则s F 的表达式为( B )；临界时，s F 的表达式为( A )。

(A) s s cos F f P α= (B) s sin F P α= (C) s s cos F f P α>(D) s sin F P α>N图5.142．重量为G 的物块放置在粗糙的水平面上，物块与水平面间的静摩擦系数为s f ，今在物块上作用水平推力P 后物块仍处于静止状态，如图5.15所示，那么水平面的全约束反力大小为( C )。

(A) R s F f G =(B) RF(C) R F =(D) RF 图5.153．重量为P 、半径为R 的圆轮，放在水平面上，如图5.16所示，轮与地面间的滑动摩擦系数为s f ，滚动摩阻系数为δ，圆轮在水平力F 的作用下平衡，则接触处的摩擦力s F 和滚动摩阻力偶矩f M 的大小分别为( C )。

(A) s s F f P =， f M P δ= (B) s s F f P =， f M RF = (C) s F F =， f M RF = (D) s F F =， f M P δ=4．重量分别为A P 和B P 的物体重叠地放置在粗糙的水平面上，水平力F 作用于物体A 上，如图5.17所示。

设A ，B 间的摩擦力最大值为max A F ，B 与水平面间的摩擦力的最大值为max B F ，若A ，B 能各自保持平衡，则各力之间的关系为( B )。

(A) m ax m ax B A F F F >> (B) m ax m ax B A F F F << (C) m ax m ax A B F F F << (D) m ax m ax B A FF F <<N图5.16·47·5．当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力s F 的大小( C )。

(A) 与物体的重量成正比(B) 与物体的重力在支撑面的法线方向的大小成正比 (C) 与相互接触物体之间的正压力大小成正比(D) 由力系的平衡方程来确定6．已知物块A 重100kN ，物块B 重25kN ，物块A 与地面间的滑动摩擦系数为0.2，滑轮处摩擦不计，如图5.18所示，则物体A 与地面间的摩擦力的大小为( B )。

(A) 16kN(B) 15kN (C) 20kN(D) 5kN图5.187．如图5.19所示为一方桌的对称平面，水平拉力P 和桌子重W 都作用在对称平面内，桌腿A 、B 与地面之间的静滑动摩擦系数为s f 。

若在对称平面内研究桌子所受的滑动摩擦力。

以下四种情况下哪一种说法是正确的？( B )(A) 当s P f W =时，滑动摩擦力为s 2F F f W /==Amax Bmax (B) 当s P f W =时，滑动摩擦力s 2F F f W /<>Amax Bmax (C) 当s P f W <时，滑动摩擦力s 2A B F F f W /== (D) 当s P f W >时，滑动摩擦力s A B F F f W +=8．如图5.20所示木梯重量为P ，B 端靠在铅垂墙上，A 端放在水平地面上，若地面为绝对光滑，木梯与墙之间有摩擦，其摩擦系数为s f ，梯子与地面的夹角为α。

以下四种条件的说法，哪一种是正确的？( D )(A)当s arctg f α<时，杆能平衡 (B) 当s arctg f α=时，杆能平衡 (C) 只有当s arctg f α<时，杆不平衡 (D) 在090α︒︒<<时，杆都不平衡图5.19 图5.20·48·四、计算题5-1如图5.21所示，重量为G 的物块，放在粗糙的水平面上，接触面之间的摩擦系数为s f 。

试求拉动物块所需力F 的最小值及此时的角α。

解：选择物块为研究对象，受力分析 如图所示。

列平衡方程，有0=∑xF 0cos =-s F F α 0=∑yF0sin =-+G F F N α其中N s s F f F =，引入s m f arctan =ϕ，联立求解，可得)cos(sin sin cos m m s s Gf G f F ϕαϕαα-=+=当s m f arctan ==ϕα时，F 取极小值，其值为22min 1s s f f GF +=5-2重量为P 的物体放在倾角为α的斜面上，物体与斜面之间的摩擦角为m ϕ，如图5.22所示。

如在物块上作用力F ，此力与斜面的夹角为θ。

求拉动物块时的F 值，并问当角θ为何值时，此力为极小。

解：选择物块为研究对象，受力分析如图所示。

列平衡方程，有 0=∑x F 0sin cos =--αθP F F s0=∑yF0cos sin =-+αθP F F N其中N m s F F ϕtan =，联立求解，可得)cos()sin(m m PF ϕθϕα-+=当m ϕθ=时，F 取极小值，其值为)sin(min m P F ϕα+=5-3重力为500N 的物体A 置于重力为400N 的物体B 上，B 又置于水平面C 上，如图5.23所示。

已知A 、B 之间的摩擦系数0.3AB f =，B 与水平面之间的摩擦系数0.2BC f =，今在A 上作用一与水平面成30α︒=的力F ，问：(1) 当力F 逐渐加大时，是A 先滑动呢，还是A 、B 一起滑动？(2) 如果B 物体重力为200N ，情况又如何？解：(1)分别选择物块A 和B 为研究对象，受力分析如图所示。

不妨假设当力F 逐渐加大时，物块A 先处于滑动的临界状态，此时，由平衡方程，有A ：0=∑xF 0cos =+-sABF F α 0=∑y F 0sin =-+-A NABG FF α其中sAB F =NAB AB F f ，联立求解，可得N 5.209=F ，N 4.181=sAB F 。

而此时，由物块B 的平衡方程有图5.21图5.23A·49·B ：0=∑xF 0'=-sAB sBCF F0=∑yF 0'=-+-B NBC NABG F F其中sAB sABF F ='，NAB NAB F F ='，联立求解，可得 N 4.181'==sAB sBC F F ，N 75.1004=NBC F可知NBC BC sBC F f F <，故物块B 未达到临界状态。

故A 先滑动。

(2) 如果B 物体重力为200N ，仿照前面计算过程，可得N 4.181=sBC F ，N 75.804=NBC F ，可知NBC BC sBC F f F >。

故A 、B 一起滑动。

5-4 如图5.24所示的梯子长AB l =，重100N P =，靠在光滑的墙上并和水平地面成75︒角。

已知梯子和地面之间的静滑动摩擦系数为0.4s f =，问重700N Q =的人能否爬到梯子顶端而不致使梯子滑倒？并求地面对梯子的摩擦力。

假定梯子的重心在其中点C 。

解：选择物块为研究对象，受力分析如图所示。

列平衡方程，有0=∑xF 0=-sBNAF F 0=∑y F 0=--Q P F NB0)(=∑F B M 0cos 2cos sin =⨯+⨯+⨯-αααlP l Q l F NA联立求解，可得N 201=sB F ， N 800=NB F由于NB s sB F f F <，故能保持平衡。

5-5 欲转动一放在V 形槽中的钢棒料，如图5.25所示，需作用力矩M = 15N·m的力偶，已知棒料重400N W =，直径25cm D =，试求棒料与槽间的摩擦系数f 。

解：选择V 形槽中的钢棒料为研究对象，受力分析如图所示。

列平衡方程，有图5.24 BNB图5.25 y x N F 2s·50·0=∑xF 045cos o21=-+W F F s N 0=∑y F 045sin o12=--W F F s N0)(=∑F O M 02221=-⨯+⨯M D F D F s s 其中11N s fF F =，22N s fF F =，联立求解，有0321032=+-f f解上面的方程，可得棒料与槽间的摩擦系数223.0=f 。

5-6 如图5.26所示半圆柱体重力为P ，重心C 到圆心O 点的距离43Ra =π，其中R 为圆柱体半径。

如半圆柱体和水平面间的摩擦系数为f ，求半圆柱体被拉动时所偏过的角度。

0=∑xF 0=-s F F 0=∑yF 0=-P F N0)(=∑FA M0)sin (sin =-⨯-⨯ααR R F a P其中N s fF F=，联立求解，可得半圆柱体被拉动时所偏过的角度为ffππα343arcsin+=5-7同一物块在如图5.27所示的两种受力情况下，均保持物体不下滑时力F 1和F 2是否相同？为什么？设物块重为Q ，与铅垂面间的摩擦系数为s f 。

解：分别选择物块为研究对象，受力分析如图所示。

分别列平衡方程，有(1)0=∑xF 0sin 11=+-N F F α0=∑y F 0cos 11=-+-PFF s α其中11N s s F f F =，联立求解，可得保持物体不下滑时力F 1为 图5.262 1图5.27 12·51·ααcos sin 1-=s f PF(2)0=∑xF 0sin 22=+-N F F α 0=∑yF 0cos 22=-+P F F s α其中22N s s F f F =，联立求解，可得保持物体不下滑时力F 2为ααcos sin 2+=s f PF5-8如图5.28所示系统中，已知物体ABCD 重P = 50kN ，与斜面间的摩擦系数为f = 0.4，斜面倾角30α︒=，AB = CD = 10cm ，AD = BC = 50cm ，绳索AE 段水平，试求能使系统平衡时物体M 重量Q 的最小值。