33图像映射

2.3 映射两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.谈重点映射定义的理解(1)映射中的集合A和B是非空集合，它们可以是数集、点集或由图形组成的集合以及其他元素的集合．(2)映射是一种特殊的对应，其特殊性在于：集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，这种集合A中元素的任意性和集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心．对应关系常用图示或文字描述的方式来表达．(3)对应有“方向性”，即“从A到B的对应”与“从B到A的对应”一般是不同的，因此，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．(4)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的像，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能是“一对多”．(5)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原像，也就是由像组成的集合C⊆B.【例1－1】给出下列四个对应，其中构成映射的是( )．A．(1)(2) BC．(1)(3)(4) D．(3)(4)解析：判断一个对应是否为映射，必须严格根据定义，观察A中每一个元素是否在B中都有唯一的元素与之对应．说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可．在(2)中，集合A中的元素3在集合B中没有元素与它对应；在(3)中，集合A中的元素2在集合B中有两个元素4和5与它对应，因此(2)和(3)不是映射，故选B.答案：B解技巧判断映射的技巧映射应满足存在性(即A中每一个元素在B中都有像)和唯一性(即像唯一)．所以，判断一个对应是否为映射，关键是看是否具备：①“一对一”或“多对一”；②A中元素都有像．【例1－2】下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N＋，f：x→|x－3|；(2)A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥1，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；(3)A＝R，B＝{0,1}，f：x→y＝10 00xx≥⎧⎨<⎩，，，；(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝(5)设A＝{矩形}，B＝{实数}，对应关系f为矩形到它的面积的对应；(6)设A＝{实数}，B＝{正实数}，对应关系f为x→1||x.解：(1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0∉B，即A中的元素3按对应关系f，在B中没有元素和它对应，故(1)不是映射．(2)∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，对任意的x，总有y≥1.又当x∈N时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.∴当x ∈A 时，x 2－2x ＋2∈B .∴对A 中每一个元素x ，在B 中都有唯一的y 与之对应，故(2)是映射．(3)按照对应关系f ，在A 中任意一个非负数，在B 中都有唯一的数1与之对应；在A 中任意一个负数，在B 中都有唯一的数0与之对应，故(3)是映射．(4)对任意的x ∈A ＝{x |x ＞0}，按对应法则f ：x →y＝，存在两个y ∈B ＝{y |y ∈R }，即y =y =与之对应，故(4)不是映射．(5)∵对每一个矩形，它的面积是唯一确定的，∴对于集合A 中的每一个矩形，B 中都有唯一的实数与之对应，故(5)是映射．(6)∵实数0的绝对值还是0，其没有倒数，∴对于A 中的实数0，B 中没有元素与之对应，故(6)不是映射．2．一一映射的概念若从A 到B 的映射满足下列条件：①A 中每一个元素在B 中都有唯一的像与之对应；②A 中的不同元素的像也不同；③B 中的每一个元素都有原像．就称此映射为一一映射．有时，我们把集合A ，B 之间的一一映射也叫作一一对应．映射造出多少个映射？其中有多少个一一映射？分析：可根据映射的定义，构造从集合A 到集合B 的映射，即让A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应．从集合A 到集合B 的映射，若对应关系不同，则所得到的映射不同．最后依据一一映射的概念从中数出一一映射的个数．解：从集合A 到集合B 可构造如下映射(其中的对应关系用箭头表示)：(3)，A 到集合B 能构造出4个映射，其中有2个一一映射．【例2－2】若M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤1}，下列对应关系f ：x →y 是从M 到N 的一一映射的是( )．A ．12y x =B ．13y x = C ．212y x = D ．y ＝(x －1)2 解析：一一映射首先是映射，其次是A 中的不同元素在B 中的像不同，且B 中的每一个元素在A 中都有原像，只有满足这三个条件的对应关系，才是从A 到B 的一一映射．在选项A 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤1，对于集合M 中的每一个元素在N 中都有唯一的像与之对应，且M 中的不同元素的像也不同，N 中的每个元素都有原像，符合一一映射的三个条件；在选项B 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤23，所以集合N 中的元素y ∈213y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭在M 中没有原像；在选项C 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤2，所以集合M 中的元素x ∈{x x ≤2}在N 中没有像；在选项D 中，当x ＝0和2时，都有y ＝1，所以集合M 中的不同元素的像可能相同，故选A.(1)函数包括三要素：定义域、值域、两者之间的对应关系；映射包括三要素：非空集合A 、非空集合B 以及A ，B 之间的对应关系．(2)函数定义中的两个集合为非空数集；映射中两个非空集合中的元素为任意元素，如人、物、命题等都可以．(3)在函数中，对定义域中的每一个数x ，在值域中都有唯一确定的函数值和它对应，在映射中，对集合A 中的任意元素a 在集合B 中都有唯一确定的像b 和它对应．(4)在函数中，对值域中的每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的值和它对应；在映射中，对于集合B 中的任一元素b ，在集合A 中不一定有原像．(5)函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．函数概念可以叙述为：设A ，B 是两个非空数集，f 是A 到B 的一个映射，那么映射f ：A →B 就叫作A 到B 的函数．在函数中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域．(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝11x +；(2)A ＝{三角形}，B ＝{圆}，f ：三角形的内切圆； (3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1；(4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →x 2＋y 2＝1.分析：映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射，判断两个集合间的对应关系是否为函数时，只需把握两点：一、两个集合是否都是非空数集；二、对应关系是否为映射．解：(1)当x ＝－1时，y 的值不存在，所以不是映射，更不是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，也是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，则由x 2＋y 2＝1，得y ＝±1，即A 中的一个元素0与B 中的两个元素±1对应，因此(4)不是A 到B 的映射，也不是从A 到B 的函数．警误区 关系式x ＝1是函数吗？有的同学问：关系式y ＝1是y 关于x 的函数，那么关系式x ＝1是y 关于x 的函数吗？函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．对于关系式x＝1，显然有x∈{1}，y∈R，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x＝1”不是y关于x的函数．4．像与原像的求解问题(1)对于一个从集合A到集合B的映射f而言，A中的每个元素x，在f的作用下，在B 中都对应着唯一的元素y，则y称为像，而x叫原像．(2)对于给出原像求像的问题，只需将原像代入对应关系式中，即可求出像．对于给出像求原像的问题，可先设出原像，再代入对应关系式中得到像，而它与已知的像是同一个元素，从而求出原像；也可根据对应关系式，由像逆推出原像．解答此类问题，关键是：①分清原像和像；②搞清楚由原像到像的对应关系．例如：已知M＝{自然数}，P＝{正奇数}，映射f：a(a∈M)→b＝2a－1(b∈P)．则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________；P中的元素11对应着M中的元素________．∵2×11－1＝21，∴M中的元素11对应着P中的元素21.由2a－1＝11，得a＝6，∴P中的元素11对应着M中的元素6.【例4－1】已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为( )．A．18 B．30 C．272D．28解析：由题意，可知64,910,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得a＝2，b＝－8，∴对应关系为y＝2x－8.故19在f作用下的像是y＝2×19－8＝30.答案：B【例4－2】已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y ＋1,4x＋3y－1)．(1)求A中元素(1,2)的像；(2)求B中元素(1,2)的原像．分析：解答(1)可利用x＝1，y＝2代入对应关系求出3x－2y＋1与4x＋3y－1的值便可，解答(2)可利用方程的观点解方程组321=1431=2x yx y-+⎧⎨+-⎩，，求出x，y的值便可．解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9，故A中元素(1,2)的像为(0,9)．(2)令32114312x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，，得6,179.17xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故B中元素(1,2)的原像是69, 1717⎛⎫ ⎪.(1)一般地，若集合A中含有m个元素，集合B中含有n个元素，则从A到B的映射有n m 个，从B到A的映射有m n个．例如：求集合A＝{a，b，c}到集合B＝{－1,1}的映射的个数．按照映射的定义，A中元素可都对应B中同一个元素，即a→－1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→1，共有2个不同的映射；A中元素也可对应B中两个元素，即a→－1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→1，共有6个不同的映射，综上可知，从A到B的映射共有2＋6＝8＝23个．以后可以根据两个集合中元素的个数直接计算映射的个数．(2)计算满足某些特定要求的映射的个数时，关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图像法、数形结合等)．例如，设M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，若从M到N的映射f满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．要确定映射f，则只需要确定M中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值．而f(a)，f(b)，f(c)∈{－1,0,1}，还满足f(a)＋f(b)＝f(c)，因此要确定这样的映射f的个数，则只需要确定由－1,0,1能组成多少个等式( )＋( )＝( )．注意到映射不要求N f(c)的取值情况表示出来．【例5－1】集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．解析：由于f(3)＝3，因此只需考虑剩下的两个元素1和2的像的问题，总共有如图所示的4种可能(也可直接利用公式得到这样的映射共有22＝4个)．答案：4【例5－2】已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f，使f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，则满足条件的映射共有________个．解析：要确定映射f，则只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)， f(b)，f(c)的值，而f(a)，f(b)，f(c)∈{1,2}，还满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，所以f(a)，f(b)，f(c)中有一个是2，另两个是3个．答案：3【例5－3】设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的映射的个数为________，从集合A到集合B的一一映射的个数为________．解析：因为集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，所以从集合A到集合B的映射有33＝27个．其中A到B的一一映射有下面6种情形．答案：27 6。

在MATLAB中进行色域映射的常见算法包括以下几种：1. 线性映射 (Linear Mapping)：这种方法直接将输入值的范围映射到颜色的范围。

它很简单，但如果输入范围变化很大，可能无法提供很好的颜色区分。

2. 对数映射 (Logarithmic Mapping)：对于非常大的或非常小的数值，对数映射可能更有用，因为它可以更好地平衡颜色映射的范围。

3. 分形映射 (Fractal Dimension Mapping)：对于某些具有分形特性的数据，分形映射可以提供更好的可视化效果。

4. 均匀颜色空间映射 (Uniform Color Space Mapping)：这种方法使用均匀颜色空间（如RGB、HSV等）进行映射。

它的优点是可以在任何颜色空间中进行映射，但其关键问题是色彩对比度和视觉效果不佳。

5. 非线性颜色空间映射 (Non-Uniform Color Space Mapping)：这种方法使用非均匀颜色空间（如HSV、Jet等）进行映射。

它可以提供更好的视觉效果，因为它们更好地利用了颜色空间中的差异。

6. 指数映射 (Exponential Mapping)：类似于对数映射，但它用于更大范围的数据值。

它也试图在较小和较大的值之间提供更好的对比度。

7. 分段线性映射 (Piecewise Linear Mapping)：这种方法将数据分成几个段，并为每个段创建一个线性映射。

这允许你为特定范围的数据选择不同的颜色。

8. 自适应色域映射 (Adaptive Colormap)：对于动态数据，你可能需要使用自适应色图。

MATLAB的colormap函数可以根据输入值的范围动态地改变颜色。

为了在MATLAB中使用这些方法，你需要先创建数据矩阵（如果你已经有了一个），然后使用适当的函数来应用色域映射。

例如，使用imagesc函数可以自动选择一个合适的色图，或者你可以使用colormap函数来选择特定的色图。

空间坐标系映射原理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：空间坐标系映射原理是指将一个坐标系上的点通过一定的映射关系映射到另一个坐标系上的过程。

在现实生活中，我们经常会遇到需要将不同坐标系之间的点进行映射的情况，比如地图投影、机器人定位、虚拟现实等领域都会涉及到坐标系的映射。

了解空间坐标系映射原理对于我们理解和应用这些技术非常重要。

在介绍空间坐标系映射原理之前，我们先来了解一下什么是空间坐标系。

空间坐标系是用来描述一个空间中的点位置的数学工具。

常见的空间坐标系有直角坐标系、极坐标系、球坐标系等。

直角坐标系是我们最熟悉的坐标系，它通过三个互相垂直的坐标轴来描述一个点的位置，分别是x轴、y轴和z轴。

在直角坐标系中，我们可以利用三个坐标值(x, y, z)来表示一个点的位置。

而不同的坐标系之间存在着一定的转换关系，通过这些转换关系，我们可以实现不同坐标系之间的点的映射。

空间坐标系映射原理可以分为两个方面来理解，即坐标系的变换和坐标点的映射。

坐标系的变换是指将一个坐标系转换为另一个坐标系的过程，可以通过矩阵变换等方式实现。

在二维空间中，我们通常会用一个二维变换矩阵来实现坐标系的变换，通过矩阵相乘的方式可以将一个坐标系上的点转换到另一个坐标系中。

而在三维空间中，我们需要使用三维变换矩阵来实现坐标系的变换。

坐标点的映射是指将一个空间中的点通过坐标系的变换映射到另一个空间中的点的过程。

通过坐标系的映射，我们可以实现不同坐标系之间的点的转换，这在计算机图形学、机器人定位和虚拟现实等领域有着广泛的应用。

在机器人定位中，通过对传感器获取的数据进行坐标系映射，可以准确地确定机器人在空间中的位置和姿态；在虚拟现实中，通过将一个坐标系上的图像映射到另一个坐标系中，可以实现虚拟物体在现实世界的呈现。

空间坐标系映射原理的应用是非常广泛的，可以在很多领域中看到它的身影。

除了上面提到的应用，空间坐标系映射原理还可以应用在地图投影、医学影像处理、自动驾驶等领域。

像素映射操作方法
像素映射操作方法指的是将一个或多个图像上的像素值映射到另一个图像上的一种操作方法。

以下列举常见的像素映射操作方法：
1. 线性映射：将原始图像上的像素值通过线性转换映射到新的像素值范围上。

线性映射常用的方法有线性缩放、线性拉伸和线性变换。

2. 非线性映射：将原始图像上的像素值通过非线性函数映射到新的像素值范围上。

非线性映射常用的方法有幂次变换、对数变换和指数变换。

3. 直方图均衡化：通过映射原始图像的像素值到新的像素值范围上，并调整像素值的分布，使得新图像的像素值具有较为平均的分布，增强图像的对比度。

4. 颜色映射：将图像从一种颜色空间映射到另一种颜色空间，例如从RGB空间到HSV空间的转换。

5. 图像融合：将两个或多个图像的像素值进行混合，生成一个新的图像。

常用的融合方式有逐像素融合、权重融合和像素平均融合。

6. 图像变形：通过调整图像的像素位置和插值方法，实现图像的形状变化或尺度变换。

以上是一些常见的像素映射操作方法，根据具体应用场景和需求，还可以采用其他特定的像素映射操作方法。

单应映射单应矩阵
单应映射（Homography）和单应矩阵（Homography Matrix）是计算机视觉和图像处理中常用的概念。

它们通常用于描述平面之间的几何变换关系。

单应矩阵是一个3x3的矩阵，它描述了如何通过旋转、平移、缩放等变换将一个平面上的点映射到另一个平面上。

单应矩阵H通常表示为H=K[R|T]，其中K是相机内部参数矩阵，R是旋转矩阵，T是平移向量。

通过求解单应矩阵，可以确定两幅图像之间的几何变换关系，从而进行图像配准、拼接、校正等操作。

求解单应矩阵的方法有多种，包括RANSAC算法、LSD算法等。

在应用中，单应矩阵常用于图像拼接、全景图生成、运动分析等领域。

例如，在图像拼接中，通过求解两幅图像之间的单应矩阵，可以将它们无缝拼接在一起，形成一幅宽视角的图像。

总之，单应映射和单应矩阵是计算机视觉和图像处理中用于描述平面之间几何变换关系的概念，具有广泛的应用价值。

区间映射公式区间映射公式，这可是数学里一个挺有意思的概念呢！咱们先来说说啥是区间映射公式。

简单来讲，它就像是一个神奇的魔法，能把一个区间里的数按照一定的规则变到另一个区间里去。

比如说，给你一个区间 [0, 1] ，通过特定的公式，能把这个区间里的数映射到 [2, 5] 这个区间里。

我记得之前有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸迷茫地看着我，问：“老师，这有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“你们想想啊，假如咱们要把温度从华氏度换算成摄氏度，这其实就是一种区间映射呀！”听到这，孩子们的眼睛一下子亮了起来，好像突然发现了新大陆。

咱们来具体看看区间映射公式的常见形式。

一般来说，如果要把区间 [a, b] 里的数映射到 [c, d] 里，公式可以写成：y = (d - c) * (x - a) / (b - a) + c 。

这里的 x 就是原来区间里的数，y 就是映射后的数。

比如说，要把区间 [1, 5] 里的数映射到 [10, 20] ，当 x = 3 时，咱们来算算。

先算 (20 - 10) * (3 - 1) / (5 - 1) = 10 * 2 / 4 = 5 ，再加上 10 ，得到 y = 15 。

这样，3 就被成功映射到了 15 。

那区间映射公式在实际生活中有啥用呢？其实用处可多啦！就拿图像缩放来说吧，一张图片的大小可能是 100×100 的像素，咱们想把它变成 200×200 的，这里就用到了区间映射。

原本图像中每个像素的位置，通过区间映射公式，就能找到在新图像中的对应位置。

还有啊，在做数据标准化的时候也会用到。

比如说，一组考试成绩，满分是 100 分，最低分是 0 分，咱们想把它标准化到 0 到 1 之间，这时候区间映射公式就派上用场啦。

学习区间映射公式的时候，大家可别被那些字母和算式给吓到。

多做几道练习题，多想想实际生活中的例子，慢慢地就能掌握啦。

就像学骑自行车一样，一开始可能摇摇晃晃的，但多练几次，就能骑得稳稳当当的。