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函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。
显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
高中数学14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中不得不掌握的函数图像与常用性质高中常用函数有14种，它们是:1.正比例函数；2.反比例函数；3.根式函数；4一次函数；5.二次函数；6双勾函数.；7..双抛函数；8.指数函数；9对数函数；10.三角函数；11分段函数.；12.绝对值函数；13.超越函数；14.抽象函数。
而函数的性质常见的有：1.定义域；2.值域；3.单调性；4.奇偶性；5.周期性；6.对称性；7.有界性；8.反函数；9.连续性.高中都是从函数解析式入手画出函数图像，再利用函数图像研究其性质，下面我们就函数的图像和性质做归纳总结。
1.正比例函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：2.反比例函数解析式图像性质定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：3根式函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：4一次函数解析式图像定义域：值域：1 性质性质性质用心爱心专心单调性：反函数：5二次函数解析式图像定义域：值域：单调性：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：6.双勾函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：7.双抛函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：性质性质性质用心爱心专心值域：单调性：奇偶性：对称性：8.指数函数解析式图像定义域：值域：单调性：9.对数函数解析式图像定义域：值域：单调性：10.三角函数解析式图像单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：11.分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。
三角函数的解析式与图像三角函数是数学中重要的一类函数，其解析式与图像揭示了三角函数的特征和性质。
本文将详细介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的解析式以及它们在坐标系中的图像。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的一种函数，用符号"sin"表示。
其解析式可以表示为：y = A * sin(Bx + C) + D，其中A、B、C和D为常数。
1. A表示振幅，即正弦函数在垂直方向上的最大值和最小值的差距。
它决定了函数图像的波动大小。
当A为正数时，图像在x轴之上；当A为负数时，图像在x轴之下。
2. B称为周期因子，它决定了正弦函数的周期长度。
周期指的是函数图像上连续两个最高点或最低点之间的水平距离。
周期T与B的关系为T = 2π/|B|。
3. C是相位差，它控制了正弦函数图像在水平方向上的平移。
当C为正数时，图像向左平移；当C为负数时，图像向右平移。
4. D是垂直方向上的偏移量，它决定了整个函数图像在y轴上的位置。
当D为正数时，图像在y轴之上；当D为负数时，图像在y轴之下。
二、余弦函数余弦函数是正弦函数的一种变形，用符号"cos"表示。
其解析式为：y = A * cos(Bx + C) + D。
余弦函数与正弦函数相比，它的图像在水平方向上发生了平移。
当C为正数时，图像向左平移；当C为负数时，图像向右平移。
在其他方面，余弦函数的性质与正弦函数相似。
三、正切函数正切函数是三角函数中另一种重要的函数，用符号"tan"表示。
其解析式可以表示为：y = A * tan(Bx + C) + D。
1. A表示正切函数在垂直方向上的放大倍数。
它影响函数图像峰值与谷值之间的距离。
当A为正数时，函数图像在x轴之上；当A为负数时，函数图像在x轴之下。
2. B是周期因子，控制了正切函数的周期长度。
3. C是相位差，决定了正切函数在水平方向上的平移。
与正弦函数和余弦函数不同的是，正切函数图像的平移是关于π/2的整数倍。
函数的表示方法有三种在数学中，函数是一种对应关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
函数的表示方法有三种，分别是解析式表示、图像表示和数据表表示。
下面我们将逐一介绍这三种表示方法。
首先，解析式表示是最常见的函数表示方法之一。
通过解析式，我们可以清晰地看到函数的定义和运算规则。
通常，解析式表示为y=f(x)，其中f(x)表示函数关于自变量x的表达式，y表示因变量。
例如，y=2x+1就是一个解析式表示的函数，它表示了自变量x和因变量y之间的线性关系。
解析式表示方法简洁明了，能够直观地表达函数的特征，因此在数学中被广泛应用。
其次，图像表示是另一种常见的函数表示方法。
通过图像，我们可以直观地看到函数的走势和特点。
函数的图像通常是在直角坐标系中绘制的，自变量x沿横轴，因变量y沿纵轴。
例如，y=x^2就是一个抛物线函数的图像表示，它展现了自变量和因变量之间的二次关系。
图像表示方法直观生动，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
最后，数据表表示是一种较为特殊但同样重要的函数表示方法。
通过数据表，我们可以将函数的输入和输出对应关系清晰地呈现出来。
数据表通常以表格的形式呈现，列出自变量和因变量的取值，并标明它们之间的对应关系。
例如，对于函数y=3x+2，我们可以列出x和y的取值，并展示它们之间的对应关系。
数据表表示方法直接明了，能够直接呈现出函数的输入输出情况，为进一步分析函数提供了便利。
总的来说，函数的表示方法有三种，分别是解析式表示、图像表示和数据表表示。
每种表示方法都有其独特的优势，能够从不同角度展现函数的特征和规律。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的表示方法，以便更好地理解和分析函数的性质和变化规律。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
函数 - 函数的概念和图像一、函数的概念和图像● 定义总结1. 函数的定义设,A B 是非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个．．．元素x ，在集合B 中都有唯一．．的元素y ，和它对应，这样的对应叫做A 到B 的一个函数，通常记为(),y A f x x =∈.其中，所有的输入值x 所组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域，与输入值x 对应的所有的输出值y 所组成的集合B 称为函数的值域. 1. 函数的图像将自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值()0f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点()()00,x f x ，当自变量取遍．．函数定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合为()(){},x f x x A ∈，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象.● 知识归纳1. 相同函数的判断关键点：定义域、不等式.【例1】判断下列各组函数中的两个函数是否为同一函数： （1）()()2221,21x x x g t t f t =+-=+-；（2）()(),f x x g x ==（3）()(),f x x g x ==；（4）()()24,22x f x g x x x -==+-；（5）()()2f x g x x ==+.2. 函数的图像及应用关键点：作图、识图、用图.【例2】下图中可以作为函数图像的是 .A B C D【例3】画出()223f x x x =-++的图象，并根据图像回答问题：（Ⅰ）比较()()()0,1,3f f f 的大小；（Ⅱ）若121x x <<，比较()1f x 与()2f x 的大小.3. 函数的定义域关键点：熟知各种基本函数的定义域，列不等式组求解； 【例4】求下列函数的定义域：（1）03x y +=（2）y =注意点：注意y =2y =. 4. 定义域的逆向问题关键点：已知函数定义域，求参数的值. 【例5】已知函数y =的定义域为[]3,6-，求,a b 的值.424232121132132142【例6】已知函数y =的定义域是R ，求实数k 的取值范围.5. 函数的值域常用方法：直接法、配方法、判别式法、反表示法、换元法、部分分式法、图象法. 【例7】求下列函数的值域：（1）3y =；（2）y =二、函数的表示方法● 定义总结1. 解析法、列表法、图象法；2. 分段函数对于自变量x 的不同的取值范围有不同的解析式.● 知识归纳1. 函数的解析式常用方法：待定系数法、换元法、整体代换法（换元注意范围．．．．．．）. 【例1】已知()f x 是二次函数，其图象的顶点是()1,3，且过原点，求()f x .【例2】（1）已知()3221f x x -=+，求()f x 的解析式； （2）已知21111f x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.2. 简单函数图像的作法关键点：化简，注意定义域；列表，描点，作图。
二次函数的解析式与图像性质二次函数是高中数学中的重要内容，它的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。
本文将探讨二次函数的解析式及其相关的图像性质，帮助读者更好地理解和运用二次函数。
1. 二次函数的解析式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于零。
a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。
b和c则分别表示二次函数在x轴和y轴上的截距。
解析式中的a、b、c的值可以通过二次函数的特点来确定。
首先，二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
其次，二次函数的对称轴为x = -b/2a。
最后，二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断二次函数的解的情况。
当Δ大于零时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ等于零时，二次函数有两个相等的实根；当Δ小于零时，二次函数无实根。
2. 二次函数的图像性质二次函数的图像是一条平滑的曲线，其形状由a的正负值决定。
当a大于零时，曲线开口向上；当a小于零时，曲线开口向下。
二次函数的顶点是曲线的最低点或最高点，也是对称轴的交点。
顶点的横坐标为-x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
通过顶点的坐标，我们可以得到曲线的最值。
当a 大于零时，曲线的最小值为f(-b/2a)；当a小于零时，曲线的最大值为f(-b/2a)。
除了顶点和对称轴，二次函数的图像还与x轴和y轴有关。
当二次函数与x轴相交时，即为二次函数的实根。
根据判别式Δ的值，我们可以判断二次函数与x轴的交点情况。
当Δ大于零时，曲线与x轴有两个不相等的交点；当Δ等于零时，曲线与x轴有两个相等的交点；当Δ小于零时，曲线与x轴没有交点。
二次函数与y轴的交点为常数项c，即函数在x=0时的值。
这个交点可以用来确定曲线与y轴的位置。
3. 二次函数的应用二次函数的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。
在物理学中，二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹。
初中函数解析式及图象画法一、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
1、一次函数：y=kx+b（k、b是常数，k 0）说明：①k 0的常数②x指数为1③b取任意实数④自变量x的取值为一切实数。
【x的取值范围（定义域）：x € R】⑤函数y的取值是一切实数。
【y的取值范围（值域）：y€ R】k2、反比例函数：y （k为常数，k 0）x说明：① 常数k不为零（也叫做比例系数k）②分母中含有自变量x，且指数为1.③自变量X的取值为一切非零实数。
【x的取值范围（定义域）：｛X € R I x丰0｝】（反比例函数有意义的条件：分母工0）④函数y的取值是一切非零实数。
【y的取值范围（值域）：｛y € R I y丰0｝】3、二次函数：一般式：y ax2bx c （a 0 , a , b ,c是常数）：说明：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.、函数图象的常规画法：（描点法画函数图形的一般步骤）第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）;第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）1、一次函数y=kx+b图像（直线）的画法：两点法①计算必过点（0, b）和（-—,0）［当x=0,时，y= b，过点（0, b）;当y=o,时，x=-—过点（-一，0）］k k k②描点（有小到大的顺序）③连线（从左到右光滑的直线）k2、反比例函数y k图像（双曲线）的画法：---五点绘图法：x①列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）②描点（有小到大的顺序）③连线（从左到右光滑的曲线）3、二次函数y ax2 bx c图象（抛物线）的画法---五点绘图法：2①配方变形：对于二次函数y ax2 bx c经过配方变形为顶点式：y=a（x+■一）2 j4ac_—,其顶点坐标为（2a 4a2 ②确定三特征：开口方向（a正朝上；b负朝下）；对称轴（直线x=-—）；其顶点坐标为（-■一 ,4ac b）2a 2a 4a ③然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图④选取五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0, c关于对称轴对称的点-，c、与x轴的交a b 4ac b 2a' 4a点X1, 0 ，x，0 （x,,X2是方程ax bx c=0的解,若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点（无/有），与y轴的交点•10、特征点：①一定有的点：前3个占；八、、，②可能有的点：当△> 0时，才有后两个点（b 4ac b2）（-—，----- ）o c b 顶点2a 4a ；与y轴的交点0，c；o, c关于对称轴对称的点_ , c ；与x轴的a 两个交点：x1 ,0 ，x2，0注意：三点可画出大致图象（该三点为：前三个特征点），高中常用些方法。
初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
正弦函数一般解析式：f(x)= Asin(ωx+φ)+h, |A|≠0, |ω|≠0 定义域：实数集R值域公式：[-|A|+h ,|A|+h]周期公式：2π/|ω|奇偶性：奇函数对称轴公式：直线x=(π/2−φ+kπ)/ω，k∈Z对称中心公式:((-φ+ kπ)/ω,h)，k∈Z单调性公式：当A>0，ω>0时，或者A<0，ω<0时[(-π/2−φ+2kπ)/ω,(π/2−φ+2kπ)/ω]，k∈Z 上单调递增[(π/2−φ+2kπ)/ω,(3π/2−φ+2kπ)/ω]，k∈Z 上单调递减当A>0，ω<0时，或者A<0，ω>0时[(-π/2−φ+2kπ)/ω,(π/2−φ+2kπ)/ω]，k∈Z 上单调递增[(π/2−φ+2kπ)/ω,(3π/2−φ+2kπ)/ω]，k∈Z 上单调递减最值公式：当A>0，ω>0时，或者A<0，ω<0时最大值：当x=(π/2−φ+2kπ)/ω，k∈Z时，f(x)= A+h最小值：当x=(3π/2−φ+2kπ)/ω，k∈Z时，f(x)= -A+h 当A>0，ω<0时，或者A<0，ω>0时最小值：当x=(π/2−φ+2kπ)/ω，k∈Z时，f(x)= A+h最大值：当x=(3π/2−φ+2kπ)/ω，k∈Z时，f(x)= -A+h从原A图像f(x)= A1sin(ω1x+φ1)+h1如何移动变成B图像f(x)= A2sin(ω2x+φ2)+h2注意：求三角函数图像移动问题，三角函数一定要化简成正弦（余弦）一般解析式，一定要转化成A>0，ω>0当A>0，ω>0时，或者A<0，ω<0时①分别找到A图像与B图像的对称中心A图像的对称中心：A((-φ1+ kπ)/|ω1|,h1)B图像的对称中心：B((-φ2+ kπ)/|ω2|,h2)②计算移动的值：B图像的对称中心- A图像的对称中心（x B-x A，y B-y A）=（(-φ2+ kπ)/|ω2|-(-φ1+ kπ)/|ω1|,h2-h1）当A>0，ω<0时，或者A<0，ω>0时A图像的对称中心：A((-φ1+π)/ω1,h1)B图像的对称中心：B((-φ2+π)/ω2,h2)①计算移动的值：B图像的对称中心- A图像的对称中心（x B-x A，y B-y A）=（(-φ2+ π)/|ω2|-(-φ1+π)/ω1,h2-h1）表述原则：左正右负，正上负下若x B-x A>0,则A图像向左移动了（x B-x A）单位若x B-x A<0,则A图像向右移动了（x B-x A）单位若y B-y A>0,则A图像向上移动了（y B-y A）单位若y B-y A<0, 则A图像向下移动了（y B-y A）单位特别注意：三角函数转化，需要把（）中的正负符号整体提取，不能单独提取x 前的符号f(x)= sin(-2x+ππ/44)≠ssss ss(2222+ππ/44+ππ)f(x)= sin(-2x-ππ/44)=−ssss ss（2222+ππ/44）=ssss ss(2222+ππ/44+ππ)余弦函数一般解析式：f(x)= Acos(ωx+φ)+h，|A|≠0, |ω|≠0 定义域：实数集R值域公式：[-|A|+h , |A|+h]周期公式：2π/|ω|奇偶性：偶函数对称轴公式：直线x=(−φ+kπ)/|ω|，k∈Z对称中心公式:((π/2-φ+ kπ)/|ω|,h)，k∈Z单调性公式：当A>0时，与ω的正负性无关[(π−φ+2kπ)/ω,(2π−φ+2kπ)/ω]，k∈Z 上单调递增[(−φ+2kπ)/ω,(π−φ+2kπ)/ω]，k∈Z上单调递减当A<0时，与ω的正负性无关[(π−φ+2kπ)/ω,(2π−φ+2kπ)/ω]，k∈Z上单调递减[(−φ+2kπ)/ω,(π−φ+2kπ)/ω]，k∈Z 上单调递增最值公式：当A>0时最大值：当x=(−φ+2kπ)/ω，k∈Z时，f(x)= A+h最小值：当x=(π−φ+2kπ)/ω，k∈Z时，f(x)= -A+h当A<0时最小值：当x=(−φ+2kπ)/ω，k∈Z时，f(x)= A+h最大值：当x=(π−φ+2kπ)/ω，k∈Z时，f(x)= -A+h从原A图像f(x)= A1cos(ω1x+φ1)+h1如何移动变成B图像f(x)= A2cos(ω2x+φ2)+h2注意：求三角函数图像移动问题，三角函数一定要化简成正弦（余弦）一般解析式。
5.4一次函数的图像一、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.要点：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线：当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的； 当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的. 2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质： 正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，k ）的一条直线； 一次函数(0)y kx b k =+≠图象和性质如下：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定： （1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.一、单选题1．已知正比例函数34y x =-，则下列各点在该函数图象上的是（ ）A ．()4,3-B ．()4,3--C ．()2,1-D ．()3,4-【答案】A【提示】将选项各点坐标代入，即可判断．【解答】A ．当4x =时，=3y -，故点()4,3-在函数图象上，A 项符合题意； B ．当4x =-时，33y =≠-，故点()4,3--不在函数图象上，B 项不符合题意； C ．当2x =-时， 1.51y =≠，故点()2,1-不在函数图象上，C 项不符合题意； D ．当3x =-时， 2.254y =≠，故点()3,4-不在函数图象上，D 项不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 2．已知一次函数y kx b =+的图象经过点()2,1-，且平行于直线2y x =-，则b 的值为（ ） A ．2- B ．1C ．3-D ．4【答案】C【提示】根据两直线平行，一次项系数相等求出k 的值，再利用待定系数法求解即可． 【解答】解：∵一次函数y kx b =+与直线2y x =-平行， ∴一次函数解析式为2y x b =-+，∵一次函数2y x b =-+经过点()21-，， ∴()122b =-⨯-+， ∴3b =-， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，求一次函数解析式，正确求出2k =-是解题的关键． 3．关于函数21y x =--，下列结论正确的是（ ） A ．图象必经过点()2,1- B ．y 随x 的增大而增大C ．当12x >时，0y < D ．图象经过第一、二、三象限 【答案】C【提示】根据一次函数的性质可进行排除选项．【解答】解：由函数21y x =--可知：20k =-<，10b =-<，则y 随x 的增大而减小，且该函数图象经过第二、三、四象限，故B 、D 选项错误；当2x =-时，则()2213y =-⨯--=，所以函数图象经过点()2,3-，故A 选项错误； 当12x >-时，0y <，所以当12x >时，0y <说法正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．4．已知一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像经过1)A y ，2)B y ，3(5,)C y ，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y <<【答案】D【提示】根据一次函数的增减性判断即可． 【解答】解：∵3m <， ∴(3)0k m =-<， ∴y 随x 的增大而减小，又∵点1)A y ，2)B y ，3(5,)C y 均在一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像上，∵()()22277,525,2728===,∴7527<<， ∴231y y y <<, 故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，无理数的估算，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 5．三个正比例函数的表达式分别为①y ax =；②y bx =③y cx =，其在平面直角坐标系中的图像如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b >>aC ．b a c >>D ．b c >>a 【答案】C【提示】先根据函数图象经过的象限得出0a >，0b >，0c <，再根据直线越陡，k 越大得出答案． 【解答】解：∵y ax =和y bx =的图象经过一、三象限，y cx =的图象经过二、四象限， ∴0a >，0b >，0c <， ∵直线y bx =比直线y ax =陡， ∴b a >， ∴b a c >>， 故选：C ．【点睛】本题考查了正比例函数的图象，当0k >时，函数图象经过一、三象限；当0k <时，函数图象经过二、四象限；直线越陡，k 越大．6．将直线21y x =+向下平移2个单位长度后，得到直线y kx b =+，则下列关于直线y kx b =+的说法正确的是（ ） A ．与x 轴交于点20（，） B ．与y 轴交于点()0,1-C ．y 随x 的增大而减小D ．与两坐标轴围成的三角形的面积为12【答案】B【提示】首先根据函数图像平移法则，向下平移2个单位，则给函数解析式右端减2，即可得到平移后的直线方程；接下来根据一次函数图像的性质分析与坐标轴围成面积，交点坐标以及y 随x 的变化关系，即可得解．【解答】解：将直线21y x =+向下平移2个单位长度后得到直线21221y x x =+-=-，A 、直线21y x =-与x 轴交于1,02⎛⎫⎪⎝⎭，故本选项不合题意；B 、直线21y x =-与y 轴交于()0,1-，故本选项，符合题意；C 、直线21y x =-，y 随x 的增大而增大，故本选项不合题意；D 、直线21y x =-与两坐标轴围成的三角形的面积为1111224⨯⨯=，故本选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查一次函数的平移及性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 7．如图中表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 是常数，mn≠0）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【提示】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论m 、n 的符号，然后根据m 、n 同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【解答】解：①当0mn >，y mnx =过一，三象限，m ，n 同号，同正时y mx n =+过一，二，三象限，同负时过二，三，四象限；②当0mn <时，y mnx =过二，四象限，m ，n 异号，则y mx n =+过一，三，四象限或一，二，四象限．观察图象，只有选项C 符合题意， 故选：C ．【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当00k b >>，，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限； ②当00k b ><，，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限； ③当00k b <>，时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限； ④当00k b <<，时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限．8．已知一次函数y kx b =+（0k ≠），如表是x 与y 的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）A ．y 随x 的增大而增大B ．函数的图象向上平移4个单位长度得到2y x =-的图象C ．函数的图象不经过第三象限D ．若()11,A x y ，()22,B x y 两点在该函数图象上，且12x x <，则12y y < 【答案】C【提示】首先把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式，解方程组，即可求得一次函数的解析式，再根据一次函数的性质即可解答．【解答】解：把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式，得42b k b =⎧⎨+=⎩ 解得24k b =-⎧⎨=⎩故该一次函数的解析式为24y x =-+，故该函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故C 正确；20k ＜，∴y 随x 的增大而减小，故A 错误；若()11,A x y ，()22,B x y 两点在该函数图象上，且12x x <，则12y y ＞，故D 错误； 将该函数的图象向上平移4个单位长度得到28y x =-+的图象，故B 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键． 9．如图，直线l ：12y x m =+交x 轴于点A ，交y 轴于点()01B ，，点()2P n ，在直线l 上，已知M 是x 轴上的动点．当以A ，P ，M 为顶点的三角形是直角三角形时，点M 的坐标为（ ）A ．()2,0-或()3.0B ．()2,0或()3.0C ．()1,0或()4.0D ．()2,0或()4.0 【答案】B【提示】根据题意，可以求得点A 点B 和点P 的坐标，设出点M 的坐标再根据分类讨论的方法结合勾股定理即可求得点M 的坐标． 【解答】解：∵直线l ：12y x m =+交x 轴于点A ，交y 轴于点()01B ，∴当0y =，102x m +=，1012m ⨯+=， 解得1m =，2x =-，∴点A 坐标为(20)-，， ∵点()2P n ，在直线l 上 ∴当2y =，1212n =+， 解得2n =，即()22P ，设M 点坐标为()0a ，当AM PM ⊥ 时，此时点P 与点M 横坐标相同，即2a n == ， ∴(20)M ，； ②当AP PM ⊥时，此时()222AM a =+ ，()2224PM a =-+ ，222[(2(2)]220AP =--+= ，根据勾股定理得()()2224202a a -++=+，解得，3a =，∴(30)M ，；综上所述∴(20)M ，或(30)M ，； 故选B ．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，动点中的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．10．已知直线483y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将ABM 沿AM折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B '处，则直线AM 的函数解析式是（ ）A ．142y x =-+ B ．243y x =-+ C ．132y x =-+ D ．133y x =-+【答案】C【提示】先求出点,A B 的坐标，从而得出,OA OB 的长度，运用勾股定理求出AB 的长度，然后根据折叠的性质可知,AB AB MB MB ''==，OM x =，则8B M BM BO MO x '==-=-，1064B O AB AO ''=-=-=，运用勾股定理列方程得出OM 的长度，即点M 的坐标已知，运用待定系数法求一次函数解析式即可．【解答】解：当0x =时，4883y x =-+=，即(0,8)B ，当0y =时，6x =，即(6,0)A ，所以226810AB AB '=+=，即(4,0)B '-，设OM x =，则8B M BM BO MO x '==-=-，1064B O AB AO ''=-=-=， ∴在Rt B OM '中，B O OM B M ''+=， 即2224(8)x x +=-， 解得：3x =， ∴(0,3)M ， 又(6,0)A ，设直线AM 的解析式为y kx b =+，则063k b b =+⎧⎨=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AM 的解析式为132y x =-+．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出(0,3)M 的坐标是解本题的关键．二、填空题11．正比例函数()32y a x =-的图象过第一、三象限，则a 的取值范围是______． 【答案】23a ＞##23a <【提示】根据正比例函数的图象经过第一、三象限，得k>0，即320a -＞，计算即可得解． 【解答】解：由正比例函数()32y a x =-的图象经过第一、三象限， 可得：320a -＞，则23a ＞．故答案为：23a ＞．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数y=kx （k≠0），当k>0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小． 12．已知直线1L ：26y x =-，则直线1L 关于x 轴对称的直线2L 的函数解析式是______． 【答案】26y x =-+##62y x =-【提示】直接根据关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数进行解答即可． 【解答】解：∵关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数， ∴直线1L ：y=2x-6与直线2L 关于x 轴对称， 则直线2L 的解析式为-y=2x-6，即y=-2x+6． 故答案为：y=-2x+6．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于x 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．13．如图，正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （），当2x <时，1y ___________2y （填“>”或“＜”）【答案】＜【提示】根据两函数图象及交点坐标，即可解答．【解答】解：正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （），∴由图象可知：当2x <时，12y y <， 故答案为：＜．【点睛】本题考查了利用函数图象比较函数值的大小，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 14．已知(,1)A n n +、(1,4)B n n -+、(,)C m t 是正比例函数y kx =图象上的三个点，当3m >时，t 的取值范围是______． 【答案】9t <-【提示】根据,A B 两点在y kx = 上求出k 得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可．【解答】将点A 与点B 代入y kx = ，得：141n knn k n +=⎧⎨+=-⎩（） ， 两式相减，得：3k =- ， 3y x ∴=-，∴ y 随x 的增大而减小，当3m = 时，339t =-⨯=-， ∴ 当m ＞3时，t ＜-9，故答案为：t ＜-9.【点睛】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中等题．15．在平面直角坐标中，点()3,2A --、()1,2B --，直线()0y kx k =≠与线段AB 有交点，则k 的取值范围为______． 【答案】232k ≤≤##223x ≥≥ 【提示】因为直线y ＝kx （k≠0）与线段AB 有交点，所以当直线y ＝kx （k≠0）过()1,2B --时，k 值最大；当直线y ＝kx （k≠0）过A （﹣3，﹣2）时，k 值最小，然后把B 点和A 点坐标代入y ＝kx （k≠0）可计算出对应的k 的值，从而得到k 的取值范围． 【解答】解：∵直线y ＝kx （k≠0）与线段AB 有交点，∴当直线y ＝kx （k≠0）过B （﹣1，﹣2）时，k 值最大，则有﹣k ＝﹣2，解得k ＝2； 当直线y ＝kx （k≠0）过A （﹣3，﹣2）时，k 值最小，则﹣3k ＝﹣2，解得k ＝23， ∴k 的取值范围为232k ≤≤．故答案为：232k ≤≤． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉一次函数图象的性质．16．直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ，C 两点，两直线相交于x 轴上同一点A ． （1）:m n =________（2）若8ABC S =△，点A 的坐标是______________ 【答案】 2:3 ()4,0或()4,0-【提示】根据两直线相交同一点，则横坐标相同，即可；设A 的坐标为：()0a ，，根据8ABC S =△，则12ABCSBC a =⨯⨯，解出a ，即可． 【解答】∵直线8y mx =-和直线12y nx =-相交x 轴上同一点A ∴08mx =-，012nx =-∴直线8y mx =-与x 轴的交点为8,0m ⎛⎫⎪⎝⎭，直线12y nx =-与x 轴的交点为12,0n ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴812m n= ∴:2:3m n =；设A 的坐标为：()0a ， ∵8ABC S =△ ∴12ABCSBC a =⨯⨯ ∵直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ，C 两点 ∴点()0,8B -，()0,12C - ∴1482ABCSa =⨯⨯= ∴4a =∴4a =±∴点A 的坐标为()4,0或()4,0-． 故答案为：2:3；()4,0或()4,0-．【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数图象与性质．17．已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点A(3，0)，与y 轴交于点B ，O 为坐标原点． 若△AOB 的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．【答案】443y x =--或443y x =+【提示】分两种情况：当点B 在y 轴正半轴时，当点B 在y 轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．【解答】解：点(3,0)A ，3OA ∴=，AOB ∆的面积为6，∴162OA OB ⋅=， ∴1362OB ⨯⋅=，4OB ∴=，(0,4)B ∴或(0,4)-，将(3,0)A ，(0,4)B 代入(0)y kx b k =+≠得： 304k b b +=⎧⎨=⎩，解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数的解析式为：443y x =-+，将(3,0)A ，(0,4)B -代入(0)y kx b k =+≠得：304k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴一次函数的解析式为：443y x =-，综上所述：一次函数的解析式为：443y x =-+或443y x =-，故答案为：443y x =-+或443y x =-．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =-+与坐标轴交于A ，B 两点，OC AB ⊥于点C ，P 是线段OC 上的一个动点，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒，得到线段'AP ，连接'CP ，则线段'CP 的最小值为______．【答案】222-【提示】由点P 的运动确定P '的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ，当线段'CP 与MN 垂直时，线段'CP 的值最小．【解答】解：由已知可得()()0,44,0A B ， ∴三角形OAB 是等腰直角三角形，OC AB ⊥，()2,2C ∴，又P 是线段OC 上动点，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒， P 在线段OC 上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，当P 在O 点时和P 在C 点时分别确定P'的起点与终点，'P ∴的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ，∴当线段'CP 与MN 垂直时，线段'CP 的值最小，在AOB 中，4AO AN ==，42AB =424NB ∴=，又Rt HBN 是等腰直角三角形，422HB ∴=-('24422CP OB BH ∴=--=---=．故答案为2．【点睛】此题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．三、解答题19．已知一次函数()2312y k x k =--+．(1)当k 为何值时，图像与直线29y x =+的交点在y 轴上？ (2)当k 为何值时，图像平行于直线2y x =-？ (3)当k 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 【答案】(1)1k = (2)0k = (3)2k <【提示】（1）先求出直线29y x =+与y 轴的交点坐标，把此点坐标代入所求一次函数的解析式即可求出k 的值；（2）根据两直线平行时其自变量的系数相等，列出方程，求出k 的值即可； （3）根据比例系数0<时，数列出不等式，求出k 的取值范围即可． 【解答】（1）解：当0x =时，9y =，∴直线29y x =+与y 轴的交点坐标为()09，， ∵一次函数()2312y k x k =--+的图像与直线29y x =+的交点在y 轴上， ∴()203129k k -⨯-+=， 解得：1k =；（2）解：∵一次函数()2312y k x k =--+的图像平行于直线2y x =-，即直线2y x =-向上或向下平移312k -+个单位后的图像与一次函数()2312y k x k =--+的图像重合，∴22k -=-且3120k -+≠，20k -≠， 解得：0k =．（3）解：∵y 随x 的增大而减小，解得：2k <．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征及函数性质，图形平移等知识点．熟练掌握一次函数的性质是题的关键．20．如图，直线OA 经过点()4,2A --．(1)求直线OA 的函数的表达式；(2)若点()12,P n 和点()25,Q n 在直线OA 上，直接写出12n n 、的大小关系； (3)将直线OA 向上平移m 个单位后经过点()2,4M ，求m 的值． 【答案】(1)12y x = (2)12n n < (3)m=3【提示】（1）设函数解析式为y kx =，将()4,2A --代入函数解析式中，可求出k 的值； （2）根据函数的增减性分析即可；（3）先求出平移后的函数解解析式，由此可求出m 的值． (1)解：设函数解析式为y kx =，将()4,2A --代入函数解析式中得：24k -=-，12k =， 故函数解析式为：12y x =； (2)解：∵0k >，∴y 随x 的增大而增大， ∵()12,P n ，()25,Q n 中，2＜5，(3)解：设平移后函数解析式为：12y x b =+， 将()2,4M 代入函数解析式中得：1422b =⨯+，解得：3b =， 故函数的解析式为：132y x =+， 故m=3．【点睛】本题考查根据函数图象求正比例函数的解析式，求函数的增减性，函数图象的平移． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 经过点O 和点A ，将直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒，再向上平移2个单位长度得到直线2l ．求直线1l 与2l 的解析式．【答案】直线1l 的解析式是2y x =；直线2l 的解析式是122y x =-+ 【提示】根据A 点坐标，利用待定系数法求直线1l 的解析式；同理求出旋转90︒后的直线解析式，再根据“上加下减”求出向上平移2个单位后的解析式．【解答】解：由图象可知：点A 的坐标是(2,4)，点A 逆时针旋转90︒后得到点A '的坐标是(4,2)-， 设直线1l 的解析式是1y k x =， 则可得：124k =， 解得：12k =，故直线1l 的解析式是2y x =．设直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒后的直线解析式是2y k x =， 把点(4,2)A '-代入2y k x =，得242k -=，解得212k =-，即12y x =-．故可得直线2l 的解析式是122y x =-+． 【点睛】本题考查一次函数的旋转与平移，解题的关键是能够利用待定系数法求函数解析式，并掌握函数图象平移的规律． 22．如图，直线13342y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．直线2y kx b =+经过()30D ，，与直线13342y x =+交于点()3C m ，．(1)求直线CD 的解析式；(2)判断ACD 的形状，并说明理由． 【答案】(1)39y x =-+(2)ACD 是等腰三角形，理由见解析【提示】（1）先求出点C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线CD 的解析式即可； （2）先求出点A 的坐标，进而求出AC CD AD 、、的长即可得到答案．【解答】（1）解：∵直线2y kx b =+经过()30D ，，与直线13342y x =+交于点()3C m ，， ∴33342m =+，∴2m =，∴点C 的坐标为()23，， ∴2330k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴39k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为39y x =-+； （2）解：ACD 是等腰三角形，理由如下： 对于13342y x =+，当0y =时，2x =-，∴点A 的坐标为()20-，， ∴()()22522035AD AC ==--+-=，，()()22233010CD =-+-=，∴AD AC =，∴ACD 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的判定，熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数3124y x =-+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，OM AB ⊥，垂足为点M ．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求OM 的长；(3)存在直线AB 上的点N ，使得12OAN OAB S S ∆∆=，请求出所有符合条件的点N 的坐标． 【答案】(1)A (160)，，B (0)12，； (2)9.6OM =； (3)N (86)，或(246)-，．【提示】（1）利用坐标轴上点的特点直接得出点A ，B 坐标； （2）利用三角形的面积的计算即可求出OM ；（3）设出点N 的坐标，利用三角形的面积列方程求解即可． 【解答】（1）解：令0x =， ∴12y =， ∴B (0)12，， 令0y =， ∴31204x -+=，∴16x =， ∴A (160)，；（2）解：由（1）知，A (160)，，B (0)12，， ∴1612OA OB ==，，∴196202OAB S OA OB AB =⨯===，△，∵OM AB ⊥， ∴11209622OAB S AB OM OM =⨯=⨯⨯=△， ∴9.6OM =；（3）解：由（2）知，96OAB S =△，16OA =， ∵直线AB 上的点N ， ∴设N 3(12)4m m -+，， ∵12OAN OAB S S =△△， ∴111||16||8||9648222OAN N N N S OA y y y =⨯=⨯⨯=⨯=⨯=△，∴38|12|484m ⨯-+=，∴8m =或24m =， ∴N (86)，或(246)-，． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，绝对值方程的求解，列出方程是解本题的关键，是一道比较简单的基础题目．24．当m ，n 为实数，且满足1m n +=时，就称点(),m n 为“和谐点”，已知点()0,7A 在直线l ：y x b =+，点B ，C 是“和谐点”，且B 在直线l 上． (1)求b 的值及判断点()2,1F -是否为“和谐点”； (2)求点B 的坐标；(3)若AC =C 的横坐标． 【答案】(1)7b =，点()2,1F -是“和谐点”(2)()34B -，(3)点C 的横坐标为1或7-【提示】（1）将点()0,7A 代入直线l ：y x b =+，可得b 的值，根据“和谐点”的定义即可判断； （2）点B 是“和谐点”，所以设出点B 的横坐标，表示出纵坐标，因为点B 在直线l ：7y x =+上，把点B 代入解析式中求得横坐标，进而求得点B 的坐标；（3）点C 是“和谐点”，所以设出点C 的横坐标为c ，表示出纵坐标1c -，根据勾股定理即可得出当52AC =时对应的点C 的横坐标．【解答】（1）解：∵点A 在直线y x b =+上， ∴把()0,7A 代入y x b =+， ∴7b =，∵点()2,1F -，()211+-=， ∴点()2,1F -是“和谐点”； （2）解：∵点B 是“和谐点”，∴设点B 的横坐标为p ，则纵坐标为1p -，点B 的坐标为(),1p p -， ∵点B 在直线l ：7y x =+上，∴把点(),1B p p -代入y=x+7得，3p =-， ∴14p -=，∴()34B -，； （3）解：设点C 的横坐标为c ， ∵点C 是“和谐点”， ∴纵坐标1c -，当52AC =时，()221752AC c c =+--=， 解得7c =-或1，∴点C 的横坐标为1或7-．【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，根据定义判断一个点是不是“和谐点”，勾股定理等知识，理解新定义是解题的关键．25．对于函数y x b =+，小明探究了它的图象及部分性质．下面是他的探究过程，请补充完整：(1)自变量x 的取值范围是 ；(2)令b 分别取0，1和2-，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则表中m 的值是 ，n 的值是 ．(3)根据表中数据，补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图象；(4)结合函数y x =，1y x =+，2y x =-的图象，写出函数y x b =+中y 随x 的变化的增减情况；(5)点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图象上，当12>0x x 时，若总有12<y y ，结合函数图象，直接写出1x 和2x 大小关系．【答案】(1)任意实数(2)3，1-(3)见解析(4)当0x>时，函数y 随x 的增大而增大，当<0x 时，函数y 随x 的增大而减小(5)210x x <<或120x x <<【提示】（1）根据解析式即可确定自变量取值范围；（2）把2x =-代入1y x =+，求得3m =，把=1x -代入2y x =-，求得1n =-；（3）根据表格数据补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图像即可；（4）观察图像即可求得；（5）根据图像即可得到结论．【解答】（1）解：函数y x b =+中，自变量x 可以是全体实数，故答案为：全体实数；（2）解：把2x =-代入1y x =+，得3y =，把=1x -代入2y x =-，得1y =-，∴3,1m n ==-，故答案为：3，1-；（3）解：补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图像如下：（4）解：由图知，当0x >时，函数y 随x 的增大而增大，当0x <时，函数y 随x 的增大而减小； 故答案为：当0x >时，函数y 随x 的增大而增大，当0x <时，函数y 随x 的增大而减小； （5）解：∵点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图像上，当120x x >时，∴点11(,)x y 和点22(,)x y 在y 轴的同一侧，观察图像，当120x x >时，若总有12y y <，即210x x <<或120x x <<．【点睛】本题考查了通过列表法和解析式法对函数的性质进行分析，画出函数图像，并研究和总结函数的性质；数形结合是解题的关键．。
二次函数的解析式与图像二次函数是高中数学中的重要内容，它在数学建模、物理学、经济学等领域中有着广泛的应用。
本文将从二次函数的解析式和图像两个方面进行探讨，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、二次函数的解析式二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
这个式子中的x²项决定了二次函数的特性，它使得函数的图像呈现出抛物线的形状。
首先，我们来看二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标可以通过解析式中的平方完成平方项的配方来求得。
具体来说，对于一般形式的二次函数y = ax² +bx + c，它的顶点坐标可以通过以下公式求得：x₀ = -b / (2a)y₀ = c - b² / (4a)其中，x₀和y₀分别表示顶点的横坐标和纵坐标。
这个公式的推导过程可以通过完全平方式、配方法等多种方法得到，读者可以根据自己的理解选择合适的方法进行推导。
其次，我们来讨论二次函数的判别式。
判别式可以帮助我们判断二次函数的图像特性。
对于一般形式的二次函数y = ax² + bx + c，它的判别式可以通过以下公式求得：Δ = b² - 4ac其中，Δ表示判别式。
根据判别式的值，我们可以得到以下结论：1. 当Δ > 0时，二次函数的图像与x轴有两个交点，即函数有两个实根；2. 当Δ = 0时，二次函数的图像与x轴有一个交点，即函数有一个实根；3. 当Δ < 0时，二次函数的图像与x轴没有交点，即函数没有实根。
根据判别式的值，我们可以进一步推导二次函数的解析式。
当Δ > 0时，二次函数的解析式可以表示为：x₁ = (-b + √Δ) / (2a)x₂ = (-b - √Δ) / (2a)其中，x₁和x₂分别表示函数的两个实根。
当Δ = 0时，二次函数的解析式可以表示为：x = -b / (2a)其中，x表示函数的唯一实根。
个性化教学辅导教案⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取不同的值，y 的取值可以相同．例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =2.一次函数：形如y=kx+b (k ≠0, k, b 为常数)的函数。
注意：（1）k ≠0,否则自变量x 的最高次项的系数不为1； （2）当b=0时，y=kx ，y 叫x 的正比例函数。
3.正比例正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注意：①注意k 是常数，k≠0的条件，当k=0时，无论x 为何值，y 的值都为0，所以它不是正比例函数。
②自变量x 的指数只能为1 新知识概要函数图象的概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
注意：函数解析式与函数图象的关系（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； （2）函数图象上点的坐标满足函数解析式． 图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y 轴交于（0，b ）；与x 轴交于（-，0）（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、性质：(1)图象的位置:(2)增减性：对于一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），当k﹥0时，y随x的增大而增大；当k﹤0时，y随x的增大而减小。
同步练习1.下列函数中，y随x的增大而增大的是（ C ）A. y=–3xB. y= –0.5x+1C. y= x– 4D. y= –2x-72. 一次函数y=(a+1)x+5中，y的值随x的值增大而减小，则a满足________ .（a< –1）3. 对于函数y=5x+6,y的值随x的值减小而______（减小）4. 已知A(-1, y1), B(3, y2), C(-5, y3)是一次函数 y=-2x+b图象上的三点，用“<”连接y1, y2, y3为_________ .求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1)由已知函数推导或推证(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。
映射引入：初中所学的对应 1）、对于任何一个实数a ，数轴上都有唯一的一点P 和它对应； 2）、对于坐标平面内的任何一个点A ，都有唯一的一个有序实数对（x,y ）和它对应；在集合的基础之上重点研究两个集合元素与元素之间的一种特殊的对应——映射。
【预习导引】1、 关于映射，下列说法错误的是 （ ）A ． A 集合中的每个元素在B 集合中都存在元素与之对应； B ． “在B 集合中存在唯一元素和A 集合中元素对应”即A 中的元素不能对应B 集合中一个以上的元素； C ． A 集合中可以有两个或两个以上的元素对应B 集合中的一个元素； D ． B 集合中不可以有元素不被A 集合中的元素所对应； 2、 判断下列对应是否为A 集合到B 集合的映射和一一映射？（1）x x f A x R B R A →∈==:,,,； （2）1:,,,-→∈==+x x f A x N B N A ；（3）{}{}22:,,,0,,22+-=→∈∈≥=∈≥=x x y x f A x Z y y y B Z x x x A ； （4）[][]()b a x a b y x f A x b a B A -+-=→∈==2:,,,,2,11）、引例：观察以下几个集合间的对应，讨论特征A BA B多对一 一对一 ③ ④A B A B⑤⑥定义1：一般地，设Ａ、Ｂ是两个集合，若按照某种对应法则f ，对于集合Ａ中的任何一个元素，在集合Ｂ中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应叫做集合Ａ到集合Ｂ的映射，记作f ：A →B 。
（这种具有对应关系的元素也有自己的名称，引出象与原象的概念。
）定义2：给定一个映射f ：A →B ，且a ∈A,b ∈B ，若元素a 与元素b 对应，则b 叫做a 的象，而a 叫做b 的原象。
（以②③④⑥具体说明谁是谁的象，谁是谁的原象）。
2、映射定义剖析：1）、映射是由三部分构成的一个整体：集合A 、集合B 、对应法则f ，这一点从映射的符号表示f ：A →B 可看出，其中集合A 、B 可以是数集、点集或其他集合，可以是有限集也可以是无限集，但不能是空集。
（用引例说明）2）、映射f ：A →B 是一种特殊的对应，它要求A 中的任何一个元素在B 中都有象，并且象唯一，即元素与元素之间的对应必须是“任一对唯一”，不能是“一对多”。
如：引例中①不是映射。
又如：设A=｛0、1、2｝，B=｛0、1、21｝，对应法则f ：取倒数，可记为f:x →x1,因A 中0无象，所以不是映射。
3）、映射f ：A →B 中，A 中不同的元素允许有相同的象，即可以“多对一”，如③。
4）、映射f ：A →B 中，不要求B 中每一个元素都有原象，如④。
即若映射f ：A →B 的象集为C ，则C ⊆B 。
5）、映射是有顺序的，即映射f ：A →B 与f ：B →A 的含义不同。
3、概念的初步应用1）、例1、设集合A=｛a,b,c ｝, B=｛x,y,z ｝,从集合A 到集合B 的对应方式如下图所示，其中，哪几个对应关系是从集合A 到集合B 的映射？注：判断两个集合的对应关系是否为映射，关键在于抓住“任意”“唯一”这两个关键词，一般性结论是：一对一，多对一是映射。
例2：判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的映射 ①、A=R ，B=｛x|x ＞0 且x ∈R ｝,f ：x →y=|x|②、A=N ，B=N ﹡，f ：x →y=|x-1|③A=｛x|x ＞0 且x ∈R ｝，B=R ，f ：x →y=x 2注：映射是两个集合之间的一种特殊的对应关系，它要求集合A 中任意一个元素x ，都可以运用对应法则f 实施运算，运算产生的结果y 一定在集合B 中，且唯一确定。
1、②、映射与对应的关系如图所示【随堂反馈】1、 下列从集合A 到集合B 的对应中为映射的是 （ ）A 、;1:,-→==+x x f NB A 对应法则 B 、{}⎩⎨⎧<≥=→==)0(,2)0(,1:,2,1,x x y x f B R A 对应法则C 、;:,x y x f R B A ±=→==D 、{}2:,0,x y x f x x B R A =→>==2、 已知集合[][],2,2,4,4y x Q P →-=-=下列对应不表示P 到Q 的映射的是（ ） A 、x y =2 B 、()4212+=x y C 、2412-=x y D 、y x 82-= 【课后检测】1、 在给定的映射()()():,2,,f x y x y x y x y R →+∈的条件下，点11,66⎛⎫- ⎪⎝⎭的原象是（ ）A 、11,66⎛⎫-⎪⎝⎭ B 、11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭或12,43⎛⎫- ⎪⎝⎭C 、11,366⎛⎫- ⎪⎝⎭D 、111,,234⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2或-32、映射:f A B →定义域A 到值域B 上的函数，下列结论正确的是（ ）A 、A 中每个元素必有象，但B 中元素不一定由原象； B 、B 中元素必有原象，C 、B 中元素只有一个原象;D 、A 或B 可以空集或不是数集；3、给定映射()()():,2,2f 31___f x y x y x y →+-在映射作用下，的象是4、已知从A 到B 的映射是1f →：x 2x -1,21B :,x x→2从到C 的映射是f 从A 到C 的映射()f x →______课后作业11.选择题(1)下列对应不是A 到B 的映射是( )A.A ＝｛x ｜x ≥0｝，｛y ｜y ≥0｝，f:x →y ＝x 2B.A ＝｛x ｜x ＞0或x ＜0｝，B ＝｛１｝，f:x →y ＝x 0C.A ＝｛2,3｝,B ＝｛4,9｝，f:x →y(y 是x 的整数倍)D.A ＝Ｒ，B ＝R ，f:x →y ＝2x (以上x ∈A ，y ∈B)(2)若(x,y)在映射f 下的象是(x-y,x+y)，则在f 的作用下象 (1，-3)的原象( )A.(4，-1)B.(-1，-2)C.(-1，-1)D.(4，-2) (3)在映射f:A →B 中，下列说法中不正确的说法为( )①集合B 中的任一元素，在集合A 中至少有一个元素与它相对应； ②集合B 中至少存在一元素在集合A 中无原象； ③集合B 中可能有元素在集合A 中无原象；④集合B 中可能有元素在集合A 中的原象不至一个.A.①②B.②③C.③④D.①④ (4)设A 是坐标平面上所有点所组成的集合，如果由A 到它自身的一一映射f ，(x,y)→(y-1，x+2)，那么象(3，-4)的原象是( )A.(-5，5)B.(4，-6)C.(2，-2)D.(-6，4) (5)在下列对应中，是A 到B 的映射的有m 个，一一映射的有n 个.①A ＝｛x ｜x ∈N ｝，B ＝｛-1,1｝，对应法则f:x →(-1)x ； ②A ＝｛x ｜x ∈R ｝，B ＝｛y ｜y ∈R +｝，对应法则f:x →y ＝｜x ｜；③A ＝｛x ｜x ∈N ｝，B ＝｛y ｜y ∈R ｝，对应法则f:x →y ＝x ； ④A ＝｛x ｜x ≥2｝，B ＝｛y ｜y ≤2｝，对应法则f:x →y ＝-x 2+2x+2；⑤A ＝｛x ｜x ∈R ｝，B ＝｛y ｜y ∈R ｝，对应法则f:x →y ＝11-+x x . 则m 、n 的值分别为( )A.2、0B.2、1C.3、1D.3、2(6)下图表示的是从集合X 到集合Y 的对应，其中能构成映射的是( )2.填空题(1)从集合A ＝｛1，2｝到B ＝｛a,b ｝的映射f 个数为 ，一一映射个数为 .(2)已知映射f:(x,y)→（x-y,x+y ），则(-2，10)的原象是 .(3)从集合A ＝｛1,2,3｝到B ＝｛a,b,c ｝的一一映射f 的个数为 .(4)设A 到B 的映射为f 1：x →u ＝3x-2，B 到C 的映射为f 2：u →y ＝u 2-4，则A 到C 的映射f 3是 . 3.解答题已知A ＝R ，B ＝｛y ｜y ≥2｝，f:x →y ＝x 2+x+49.①f:A →B 是不是从集合A 到集合B 的映射?是否是一一映射?②若f:A →B 不是A 到B 的一一映射，如何改变条件，能使其成为一一映射?课后作业21.记集合A ＝｛(x,y)｜x+y ≤2，x ≥0，y ≥0，x,y ∈Z ｝，B ＝｛0,1,2｝，从A 到B 的对应关系f:(x,y)→x+y ，试问f 是不是从A 到B 的映射，为什么?2.集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x →11-x ，则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A.4.在本埠投寄平信，每封信不超过20g 时付邮费0.80元，超过20g 而不超过40g 付邮费1.60元，依次类推，每增加20g 须增加邮费0.80元(信的质量在100g 以内).如果某人所寄一封信的质量为72.5g ，那么他应付邮费 .函数的图像1、函数的图象：将自变量的一个值0x 作为＿＿＿，相应的函数值()0x f 作为＿＿＿，就得到坐标平面上的一个点＿＿＿＿＿＿＿＿，当自变量取遍＿＿＿＿＿时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合（点集）为()()}{A x x f x ∈|,，即()()}{A x x f y y x ∈=,|,，所有这些点组成的图形就是函数()x f y =的图象。
2、二、知识应用举例1、作下列函数的图象。
（1）,||1y x x =≤； （2）21x xy x -=-； （3）2243,03y x x x =--≤≤。
2、画出()322++-=x x x f 的图象，并根据图象回答下列问题。
（1）、比较()()()3,1,0f f f 的大小；（2）、若121<<x x ，比较()1x f 与()2x f 的大小。
探究：（1）、如果把“121<<x x ”改为“211x x <<”，比较()1x f 与()2x f 哪个大？ （2）、如果把“121<<x x ”改为“|1||1|21-<-x x ”，比较()1x f 与()2x f 哪个大？补充：1、已知二次函数y=x 2-x -6，根据其图象解答下列问题： (1) 写出对应抛物线的对称轴方程和顶点坐标； (2) 当x 取何值时，y=0； (3) 当x 取何值时，y>0； (4) 当x 取何值时，y<0；(5) 就函数y=4x 2+4x +1再回答上述问题．2．试根据二次函数y=ax 2+bx+c (a>0)的图象，讨论下列不等式的解集（用区间表示）： （1）ax 2+bx+c>0 (a>0)； （2）ax 2+bx+c<0 (a>0)．三、实战演习1．下列各对函数中,图象完全相同的是 ( ) A 。
