本数值分析习题课
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数值分析(第四版)课后习题及答案
0.30
0.39
0.45
0.53
yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值 S (x) 并满足条件
i) S(0.25) 1.0000, S(0.53) 0.6868; ii) S(0.25) S(0.53) 0.
25. 若 f (x) C2 a,b, S (x) 是三次样条函数,证明
12. 在 1,1 上利用插值极小化求 1 f (x) tg 1x 的三次近似最佳逼近多项式.
13. 设 f (x) ex 在 1,1 上的插值极小化近似最佳逼近多项式为 Ln (x) ,若 f Ln 有界,
证明对任何 n 1,存在常数 n 、 n ,使
改用另一等价公式
ln(x x2 1) ln(x x2 1)
计算,求对数时误差有多大?
x1 1010 x2 1010 ; x1 x2 2.
14. 试用消元法解方程组
假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
s 1 ab sin c,
0c
15. 已知三角形面积 2
n
x
k j
j1 f (xj )
0,0k n2; an1 ,k n1.
15. 证明 n 阶均差有下列性质:
i) 若 F (x) cf (x) ,则 F x0, x1,, xn cf x0, x1,, xn ;
ii) 若 F (x) f (x) g(x) ,则 F x0, x1,, xn f x0, x1,, xn g x0, x1,, xn .
5.
设 xk
x0
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析习题课PPT资料43页
历年考题
1、设，取x0=4,x1=9,x2=6.25,则差商 -0.0080808 。 （结果保留5位有效数字）
2、给定如下数据： xi 1 2 3 4
f xi 0 5 6 3
试列出三阶差商表，求出f(x)的三次牛顿插值多项式， 并利用该多项式计算f(0)的值。（保留三位有效数字）
0.9456909
由复合辛卜生公式可得如下计算公式
S4
1f(0)f(1)2(f(0.25 )f(0.5)f(0.75 ))
24
4(f(0.12)5 f(0.37)5 f(0.62)5 f(0.87)5)
0.9460832
（积分准确值I=0.9460831）
这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计
将区间逐次分半,令区间长度
hba (k0,1,2, ) 2k
计算
T2n
Tn 2
hn1
2k0
f(xk1 2
)
(n 2k )
③ 按加速公式求加速值
梯形加速公式：
Sn
T2n
T2n Tn 3
辛卜生加速公式：
Cn
S2n
S2n Sn 15
龙贝格求积公式：
Rn
C2n
C2n Cn 63
熟练掌握本课程重点方法计算过程） （注3：考试需携带计算器）
1、引论
误差与有效数字（重）p6：例1,2 数值运算的误差估计 算法稳定性与病态条件数 p11：例6-8
作业 1、课本（清华版）p19，习题3、4. 2、知近似值x1=1.42，x2=-0.0184，x3=184*10-4
历年考题
1、已知 f( 1 )2 , f(1 ) 1 , f(2 ) 1 ，求f(x)的二次拉 格朗日插值多项式，并利用该多项式计算的值 。（保留三位有效数字）
数值分析习题课
例1-3 已知f(x) 的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、 (5,116),求 N4 (x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)， 并计算 N4(1.5)、N5(1.5). 解：先由前五组数据列差商表 1 0 2 2 2 如果，再增加一点(6, 282), 3 12 10 4 就在上表中增加一行计算差商 4 42 30 10 2 5 116 74 22 4 0.5 0.1 6 282 166 46 8 1
结论：通过四舍五入原则求得的近似数，其有效数 字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。
1 mn x x 10 2
*
例1-2 下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试 判定它们各有几位有效数字： x1* =87540，x2*=8754×10, x3*=0.00345, x4*= 0.3450 ×10-2 解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数， 1 也可以通过绝对误差限来判断。 x x 10
解: 记f(x)以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式为 L3(x)．由插值余项定理有
所以
例4．证明由下列插值条件 所确定的拉格朗日插值多项式 是一个二次多项式． x0 x2 x4
该例说明了什么问题?( t8) 解: 以x0，x2，x4为插值节点作f(x)的2次插值多项式p(x)，则
容易验证 因而6个点(xi, yi)，i＝0 1,…,5均在二次曲线p(x)＝x2-1 上． 换句话说，满足所给插值条件的拉格朗日插值多项式 为 p(x)＝x2-1.
f ( ) 1 R( x ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) f ( ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3! 6 1 max f ( ) max ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) x0 x x 2 6 x0 x x 2
数值分析(课后习题答案详解).ppt
x x 41 2 0 . 25 0 . 5451 1 1 再解 3 x 0 . 875 ，得 x 1 . 2916 2 2 2 0 3 1 . 7083 . 5694 x x 3 3
4 41 2 T 故得 GG 分解： A 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 16 11 4 2 T 3 1 LDL 分解为： A 1 4 4 1 2 3 1 1 9 1 2 2
一.习题1（第10页）
1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分 别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.
x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.
解 绝对误差限分别为: 1=0.510-3,2=0.510-4, 3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 . 相对误差限分别为: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%. 有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位. 1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有
2 11 2 1 2 故得 Crout 分解： A 4 3 13 6 12 1 1
1 2 11 2 1 2 LDM 分解为： A 21 13 3 3 4 1 1 1
几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032
数值分析 课后习题答案 1
1 1 1 1
1 1 ∴ I n = ( − I n −1 ) 4 n
1
I0 = ∫
1 1 dx = ln 5 ≈ 0.402 1+ 4x 4 0
1 1 I1 = (1 − I 0 ) ≈ 0.150, I 2 = (1 − I 1 ) ≈ 0.213 4 4 1 1 I 3 = (1 − I 2 ) ≈ 0.197, I 4 = (1 − I 3 ) ≈ 0.201 4 4
1 (−1) n en = I n − I n = − ( I n −1 − I n −1 ) = ... = n e0 4 4
此算法是数值稳定的。 此算法是数值稳定的。 定的
f 4 ( x ) = 99 − 70 x , cond ( f 4 ( x )) | x =1.414 = 4949
由计算知，第一种算法误差最小。 由计算知，第一种算法误差最小。
10、试导出计算积分 I n = 、 ∫
1ห้องสมุดไป่ตู้
1 1 xn dx ( n = 1, 2, 3, 4) 的递推计算公式 I n = ( − I n−1 ) ，用此递 4 n 1 + 4x 0
的近似值， 利用以下四种计算格式， 7、计算 ( 2 − 1)6 的近似值，取 2 ≈ 1.414 。利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差 最小。 最小。 （ 1） （ 3）
1 ( 2 + 1) 1 (3 + 2 2)3
6
（2） (3 − 2 2 )3 （4） 99 − 70 2
' 解：计算各项的条件数 cond ( f ( x )) =| xf ( x ) | f ( x)
f1 ( x ) =
1 , cond ( f1 ( x )) |x =1.414 = 20.4804 ( x + 1)6
1 1 ∴ I n = ( − I n −1 ) 4 n
1
I0 = ∫
1 1 dx = ln 5 ≈ 0.402 1+ 4x 4 0
1 1 I1 = (1 − I 0 ) ≈ 0.150, I 2 = (1 − I 1 ) ≈ 0.213 4 4 1 1 I 3 = (1 − I 2 ) ≈ 0.197, I 4 = (1 − I 3 ) ≈ 0.201 4 4
1 (−1) n en = I n − I n = − ( I n −1 − I n −1 ) = ... = n e0 4 4
此算法是数值稳定的。 此算法是数值稳定的。 定的
f 4 ( x ) = 99 − 70 x , cond ( f 4 ( x )) | x =1.414 = 4949
由计算知，第一种算法误差最小。 由计算知，第一种算法误差最小。
10、试导出计算积分 I n = 、 ∫
1ห้องสมุดไป่ตู้
1 1 xn dx ( n = 1, 2, 3, 4) 的递推计算公式 I n = ( − I n−1 ) ，用此递 4 n 1 + 4x 0
的近似值， 利用以下四种计算格式， 7、计算 ( 2 − 1)6 的近似值，取 2 ≈ 1.414 。利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差 最小。 最小。 （ 1） （ 3）
1 ( 2 + 1) 1 (3 + 2 2)3
6
（2） (3 − 2 2 )3 （4） 99 − 70 2
' 解：计算各项的条件数 cond ( f ( x )) =| xf ( x ) | f ( x)
f1 ( x ) =
1 , cond ( f1 ( x )) |x =1.414 = 20.4804 ( x + 1)6
《数值分析》习题课
1 1 1 = 1− + − +L 4 3 5 7
∑ ( −1)
k =1
n
k −1
1 | S n − |≤ 4 2n + 1
π
1 2k − 1
10/18
应用牛顿迭代法于方程 x3 – a = 0, 导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性 并讨论其收敛性。 导出求立方根的迭代公式 并讨论其收敛性。2-6* * Nhomakorabea*
13/18
练习1 练习 将割线法修改为单点迭代公式 f ( xn ) x n+1 = x n − ( x n − x0 ) f ( xn ) − f ( x0 ) 试分析该算法的收敛性. 试分析该算法的收敛性
14/18
练习2 设计多项式乘积(卷积 卷积)算法 练习 设计多项式乘积 卷积 算法 Pn(x)=a1xn + a2xn-1+ ···+ anx + an+1 Pm(x)=b1xm + b2xm-1+ ···+ bmx + bm+1 表示P 用 [a1 a2 ··· an an+1] 表示 n(x) 用 [b1 b2 ··· bm bm+1] 表示 m(x) 表示P 用 [c1 c2 ··· cn+m cn+m+1] 表示 Pn(x)×Pm(x)
2k
1 f ( x) = − a = 0 x
1 − axk = (1 − ax0 )
1 2k x k = [1 − (1 − ax 0 ) ] a
12/18
所以,当 迭代公式收敛。 所以 当| 1 – a x0| < 1 时，迭代公式收敛。
的二重根,分析牛顿迭代法的 例5. 若 x*是f(x)=0的二重根 分析牛顿迭代法的 的二重根 收敛性？ 收敛性？ 解: 由于 f(x)=(x – x*)2g(x)
数值分析 第一次习题课
第一次习题课
1、 已知函数)(x f y =的数据如下表
试作一个三次插值多项式P 3(x ),利用P 3(x )计算3。
2、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3）和（2，2）构造出的三次插值多项式(x)的x 3的系数是6，试确定数据y 。
3、求一个次数不高于4次的多项式()p x ,使它满足: (0)0p =，'(0)0p =，
(1)1p =，'(1)1p =，(2)1p =，并写出其余项表达式。
4、 已知
010()n
i
i i x x l x x x =-=-∏
，i
x 互异，证明：
1
00
1
1
()1k
n j k j j x x l x x
x -==+-=+-∑
∏。
5、 求区间[]0,1 上，带权函数(x)lnx ρ=-的正交多项式序列的前三项。
6、 求函数432()251f x x x x =+++在[]1,1-上的3次最佳一致逼近多项式。
7、 求函数()f x =[]0,1上的一次最佳平方逼近多项式。
8、已知(),(i 1,2,3,4)i i x y =的观测值为
用最小二乘法求这些数据拟合的二次曲线2012()b f x
b x b x =++ 9、用最小二乘法求一个形如 y A e B x =的经验公式，使与下列数据相拟合
值。
数值分析课后习题答案
x2 6.6667x2 8.205
再解
1
15 56
x31.785,7得 x35.769
1 25069x4 0.47847x4 1.4872
1 x5 5.3718 x5 5.3718
2-10.证明下列不等式:
(1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y;
证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y
b.用Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=0.
102 x Байду номын сангаасy 1
100y 100
再用列主元Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=1.
x y
y 1
2
2-8.用追赶法求解方程组:
4 1
x1 100
1 4 1
x2 0
3-8.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.
2 1 0 0 x1 1
1
0 0
2 1 0
1 2 1
0 12
x2 x3 x4
0 00
解 直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称
1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位 有效数字?
解 因为101/2=3.162…=0.3162…10,若具有n位有效 数字,则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
1 2
0
12 1,
1 2
1 2
0
12
数值分析课后部分习题答案
证明 由差商的定义 (a) 如果 F ( x ) = cf ( x ) ，则
F [ x0 , x1 ,⋯ , xn ] =
=
F [ x1 , x2 ,⋯ , xn ]-F [ x0 , x1 ,⋯ , xn− 1 ] x n − x0
cf [ x1 , x2 , ⋯ , xn ]-cf [ x0 , x1 ,⋯ , xn −1 ] x n − x0 f [ x1 , x2 , ⋯ , xn ]-f [ x0 , x1 ,⋯ , xn−1 ] = cf [ x0 , x1 , ⋯ , xn ] . x n − x0
1 1 1 1 |e( x*)| ≤ × 10m − n = × 10−2 ， |e( y*)| ≤ × 10m − n = × 10 −2 ， 2 2 2 2 1 1 |e( z*)| ≤ × 10 m − n = × 10 −2 ， 2 2 | e( y * z*) |≈| z * e ( y*) + y * e ( z *) |≤ z * | e ( y *) | + y * | e (z *) |
m − n = −3 ，所以， n = 4 ； z * = 0.00052 = 0.52 × 10−3 ，即 m = −3
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
由有效数字与绝对误差的关系得 即
m − n = −3 ，所以， n = 0 .
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
1 1 ≤ 2.35 × × 10−2 + 1.84 × × 10−2 = 2.095 × 10−2 ， 2 2 1 | e( x * + y * z*) |≈| e( x*) + e( y * z*) |≤ × 10 −2 + 2.095 × 10−2 2 1 = 0.2595 × 10−1 ≤ × 10−1 ， 2
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式计算，问哪一个得到的计算结果最好。
解: A (1.4 1)6 0.46 0.0041
分别计算4种公式的结果
1 1 0.0052
6
2 1
2.46
1 1 0.0051
3
32 2
5.83
3 2 2 3 0.23 0.008 99 70 2 99 98 1
在上述结果的基础上，如果再增加一点(4,4)， 那么应该采用哪种方法建立插值多项式？为什么？
①A(0,1)，B(1,2)，C(2,3) ②A(1,0)，B(3,2)，C(4,15)，D(7,12)
①
L2 (x)
(x (0
1)( x 1)(0
2) 2)
1
(x (1
0)(x 2) 0)(1 2)
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
t (s)
点的趋势是抛物线
匀加速运动中t是关于S的二次函数
S a0 a1t a2t 2
1 A 1
x0 x1
x02 x12
x0n x1n
1 xm
xm2
xmn
1 0 0
1
0.9
0.81
1 1.9 3.61 Nhomakorabea2
(x (2
0)( x 0)(2
1) 1)
3
L2
(
x)
(
x
1)(
x
2)
1 2
x(
x
2)
2
x(
x
1)
3 2
②
L2 (x)
(x 3)(x 4)(x 7) 0 (1 3)(1 4)(1 7)
(x 1)(x 4)(x 7) 2 (3 1)(3 4)(3 7)
24
8
(2) n=3，m=-1
所以
1 10mn 1 104
2
2
r
1 2x1
10 n1
1 10 2 24
1 10 2 8
(3) n=5，m=3
所以
1 10mn 1 102
2
2
r
1 2 x1
10 n1
1 10 4 24
(1) 由 x 0.01
得
1 2
101n
0.01
推出 n 2.69
(2)
由
1 10n1 0.01 2(x1 1)
得 n 2.09 取 n 3
取 n3
114页 1
1.求函数f (x)的插值多项式，使经过点 A(0,1)，B(4,3)，C(6,2)；并计算f (x)在 x=2处的近似值。
A 1 3.0
9
1 3.9 15.21
1 5.0 25
a0
a1
a2
0
10
30
y
50
80 110
建立法方程组
AT A AT y
1 0 0
1 0 0
1 0.9 0.81
(x 1)(x 3)(x 7) 15 (x 1)(x 3)(x 4) 12
0 0.81 3.61 9 15.21
6
14.7
53.63
14.7 53.63 218.907
53.63 a0 280
218.907
a1
1078
951.0323a2 4533.2
0
521.50
1 1.9 3.61
1 3.0 9
1 3.9 15.21
521.501111
0.9 1.9 3.0 3.9
0.81
3.61
9
15.21
a0
a1
a2
1 5.0 25
化简得
1 1 1 1 1 0 0.9 1.9 3.0 3.9
习题课
1.指出下列有效数字的绝对误差限、相 对误差限和有效数字。 (1)49×102 (2)0.0490 (3)490.00
解: (1) n=2，m=4
所以
1 10mn 1 1042 1 102
2
2
2
r
1 10 n1 2 x1
1 1021 1 101
计算可知，误差最小的是(3)；所 以(3)的结果是最佳结果。
若不进行计算，而从防止误差 危害的角度进行思考，(2)、(4)是 相近数相减，应尽量避免；(1)、(3) 的方法差不多，但(3)的运算次数较 小，则累积的误差比(1)小，所以(3) 的方法最佳。
3.求 10 的近似数，要求 (1)使绝对误差不超过0.01。 (2)使相对误差不超过0.01。 解： 10 3.162277
3
(2 (6
0)(2 0)(6
4) 4)
2
2.6667
观测一个物体的直线运动，测得数据为
130页 6
时间t(s) 距离S(m)
0
0.9 1.9 3.0 3.9 5.0
0
10
30
50
80 110
求该物体的运动方程。
解：首先判断数据的拟合类型，用描点法
S (m)
120
100
80
解：
L2
(
x)
(x (0
4)( x 4)(0
6) 6)
1
(x (4
0)( 0)(
x 4
6) 6)
3
(x (6
0)( x 0)(6
4) 4)
2
L2
(2)
(2 (0
4)(2 4)(0
6) 6)
1
(2 (4
0)(2 0)(4
6) 6)
10 30 50 80
110
解得：a0≈-0.5834 ； a1≈11.0814；a2≈2.2488
已知下列两组插值点 ①A(0,1)，B(1,2)，C(2,3) ②A(1,0)，B(3,2)，C(4,15)，D(7,12)
(1)利用拉格朗日插值法分别求通过这些插值点的 插值多项式。 (2)构造差商表，利用牛顿法求通过这些插值点的 插值多项式。
1 10 4 8
2.正方形的边长约为10cm,问测量边长的 绝对误差多大时才能保证面积的误差不 超过0.1cm2。
解： f (x) x2
y f (x)x 2xx 0.1
x 0.1 5103cm 2 10
9.已知 A 2 1 6 ，取 2 1.4 ，利用下列各
解: A (1.4 1)6 0.46 0.0041
分别计算4种公式的结果
1 1 0.0052
6
2 1
2.46
1 1 0.0051
3
32 2
5.83
3 2 2 3 0.23 0.008 99 70 2 99 98 1
在上述结果的基础上，如果再增加一点(4,4)， 那么应该采用哪种方法建立插值多项式？为什么？
①A(0,1)，B(1,2)，C(2,3) ②A(1,0)，B(3,2)，C(4,15)，D(7,12)
①
L2 (x)
(x (0
1)( x 1)(0
2) 2)
1
(x (1
0)(x 2) 0)(1 2)
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
t (s)
点的趋势是抛物线
匀加速运动中t是关于S的二次函数
S a0 a1t a2t 2
1 A 1
x0 x1
x02 x12
x0n x1n
1 xm
xm2
xmn
1 0 0
1
0.9
0.81
1 1.9 3.61 Nhomakorabea2
(x (2
0)( x 0)(2
1) 1)
3
L2
(
x)
(
x
1)(
x
2)
1 2
x(
x
2)
2
x(
x
1)
3 2
②
L2 (x)
(x 3)(x 4)(x 7) 0 (1 3)(1 4)(1 7)
(x 1)(x 4)(x 7) 2 (3 1)(3 4)(3 7)
24
8
(2) n=3，m=-1
所以
1 10mn 1 104
2
2
r
1 2x1
10 n1
1 10 2 24
1 10 2 8
(3) n=5，m=3
所以
1 10mn 1 102
2
2
r
1 2 x1
10 n1
1 10 4 24
(1) 由 x 0.01
得
1 2
101n
0.01
推出 n 2.69
(2)
由
1 10n1 0.01 2(x1 1)
得 n 2.09 取 n 3
取 n3
114页 1
1.求函数f (x)的插值多项式，使经过点 A(0,1)，B(4,3)，C(6,2)；并计算f (x)在 x=2处的近似值。
A 1 3.0
9
1 3.9 15.21
1 5.0 25
a0
a1
a2
0
10
30
y
50
80 110
建立法方程组
AT A AT y
1 0 0
1 0 0
1 0.9 0.81
(x 1)(x 3)(x 7) 15 (x 1)(x 3)(x 4) 12
0 0.81 3.61 9 15.21
6
14.7
53.63
14.7 53.63 218.907
53.63 a0 280
218.907
a1
1078
951.0323a2 4533.2
0
521.50
1 1.9 3.61
1 3.0 9
1 3.9 15.21
521.501111
0.9 1.9 3.0 3.9
0.81
3.61
9
15.21
a0
a1
a2
1 5.0 25
化简得
1 1 1 1 1 0 0.9 1.9 3.0 3.9
习题课
1.指出下列有效数字的绝对误差限、相 对误差限和有效数字。 (1)49×102 (2)0.0490 (3)490.00
解: (1) n=2，m=4
所以
1 10mn 1 1042 1 102
2
2
2
r
1 10 n1 2 x1
1 1021 1 101
计算可知，误差最小的是(3)；所 以(3)的结果是最佳结果。
若不进行计算，而从防止误差 危害的角度进行思考，(2)、(4)是 相近数相减，应尽量避免；(1)、(3) 的方法差不多，但(3)的运算次数较 小，则累积的误差比(1)小，所以(3) 的方法最佳。
3.求 10 的近似数，要求 (1)使绝对误差不超过0.01。 (2)使相对误差不超过0.01。 解： 10 3.162277
3
(2 (6
0)(2 0)(6
4) 4)
2
2.6667
观测一个物体的直线运动，测得数据为
130页 6
时间t(s) 距离S(m)
0
0.9 1.9 3.0 3.9 5.0
0
10
30
50
80 110
求该物体的运动方程。
解：首先判断数据的拟合类型，用描点法
S (m)
120
100
80
解：
L2
(
x)
(x (0
4)( x 4)(0
6) 6)
1
(x (4
0)( 0)(
x 4
6) 6)
3
(x (6
0)( x 0)(6
4) 4)
2
L2
(2)
(2 (0
4)(2 4)(0
6) 6)
1
(2 (4
0)(2 0)(4
6) 6)
10 30 50 80
110
解得：a0≈-0.5834 ； a1≈11.0814；a2≈2.2488
已知下列两组插值点 ①A(0,1)，B(1,2)，C(2,3) ②A(1,0)，B(3,2)，C(4,15)，D(7,12)
(1)利用拉格朗日插值法分别求通过这些插值点的 插值多项式。 (2)构造差商表，利用牛顿法求通过这些插值点的 插值多项式。
1 10 4 8
2.正方形的边长约为10cm,问测量边长的 绝对误差多大时才能保证面积的误差不 超过0.1cm2。
解： f (x) x2
y f (x)x 2xx 0.1
x 0.1 5103cm 2 10
9.已知 A 2 1 6 ，取 2 1.4 ，利用下列各