考试目标及考试大纲 本题库的编纂目的旨在给出多套试题，每套试题的考查范围及难度配置均基于“水平测试”原则，按照教学大纲和教学内容的要求，通过对每套试题的解答，可以客观公正的评定出学生对本课程理论体系和应用方法等主要内容的掌握水平。通过它可以有效鉴别和分离不同层次的学习水平，从而可以对学生的学习成绩给出客观的综合评定结果。 本题库力求作到能够较为全面的覆盖教学内容，同时突显对重点概念、重点内容和重要方法的考查。考试内容包括以下部分： 绪论与误差：绝对误差与相对误差、有效数字、误差传播分析的全微分法、相对误差估计的条件数方法、数值运算的若干原则、数值稳定的算法、常用数值稳定技术。 非线性方程求解：方程的近似解之二分法、迭代法全局收敛性和局部收敛定理、迭代法误差的事前估计法和事后估计法、迭代过程的收敛速度、r 阶收敛定理、Aitken加速法、Ne w to n法与弦截法、牛顿局部收敛性、Ne w to n收敛的充分条件、单双点割线法（弦截法）、重根加速收敛法。 解线性方程组的直接法：高斯消元法极其充分条件、全主元消去法、列主元消去法、高斯-若当消元法、求逆阵、各种消元运算的数量级估计与比较、矩阵三角分解法、Doolittle 和Crout三角分解的充分条件、分解法的手工操作、平方根法、Cholesky分解、改进的平方根法(免去开方)、可追赶的充分条件及适用范围、计算复杂性比较、严格对角占优阵。 解线性方程组迭代法：向量和矩阵的范数、常用向量范数的计算、范数的等价性、矩阵的相容范数、诱导范数、常用范数的计算；方程组的性态和条件数、基于条件数误差估计与迭代精度改善方法；雅可比（Jacobi）迭代法、Gauss-Seidel迭代法、迭代收敛与谱半径的关系、谱判别法、基于范数的迭代判敛法和误差估计、迭代法误差的事前估计法和事后估计法；严格对角占优阵迭代收敛的有关结论；松弛法及其迭代判敛法。 插值法：插值问题和插值法概念、插值多项式的存在性和唯一性、插值余项定理；Lagrange插值多项式；差商的概念和性质、差商与导数之间的关系、差商表的计算、牛顿（Newton）插值多项式；差分、差分表、等距节点插值公式；Hermite插值及其插值基函数、误差估计、插值龙格（Runge）现象；分段线性插值、分段抛物插值、分段插值的余项及收敛性和稳定性；样条曲线与样条函数、三次样条插值函数的三转角法和三弯矩法。 曲线拟合和函数逼近：最小二乘法原理和多项式拟合、函数线性无关概念、法方程有唯一解的条件、一般最小二乘法问题、最小二乘拟合函数定理、可化为线性拟合问题的常见函数类；正交多项式曲线拟合、离散正交多项式的三项递推法。最佳一致逼近问题、最佳一致逼近多项式、切比雪夫多项式、切比雪夫最小偏差定理、切比雪夫多项式的应用(插值余项近似极小化、多项式降幂)。本段加黑斜体内容理论推导可以淡化，但概念需要理解。 数值积分与微分：求积公式代数精度、代数精度的简单判法、插值型求积公式、插值型求积公式的代数精度；牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式、辛卜生（Simpson）公式、几种低价牛顿一柯特斯求积公式的余项；牛顿一柯特斯公式的和收敛性、复化梯形公式及其截断误差、复化Simpson公式及其截断误差、龙贝格（Romberg）求积法、外推加速法、高斯型求积公式、插值型求积公式的最高代数精度、高斯点的充分必要条件。正交多项式的构造方法、高斯公式权系数的建立、Gauss-Legendre公式的节点和系数。本段加黑斜体内容理论推导可以淡化，但概念需要理解。 常微分方程数值解：常微分方程初值问题数值解法之欧拉及其改进法、龙格—库塔法、阿当姆斯方法。
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
西南石油大学《毛泽东思想概论》测试试卷 （第一套A） 一、单项选择题（在答题卡上把正确答案所在的字母涂黑。每小题1分，共计20分）（答案在最后） 1.在中国共产党的历史上第一次提出“毛泽东思想”这个概念的是（） A、刘少奇 B、朱德 C、邓小平 D、王稼祥 2. 毛泽东思想活的灵魂的三个基本方面是（） A、批评和自我批评、统一战线、群众路线 B、统一战线、武装斗争、党的建设 C、实事求是、独立自主、群众路线 D、唯物主义、辩证法、实事求是 3. “三个代表”重要思想创造性回答的问题是（） A、什么是社会主义改造、怎样进行社会主义改造 B、什么是社会主义、怎样建设社会主义 C、建设什么样的党、怎样建设党 D、什么是发展、怎样发展 4. 我们党的思想路线是（） A、群众路线 B、实事求是 C、“三个代表” D、科学发展观 5. 建设有中国特色社会主义首要的基本的理论问题是（） A、正确处理改革、发展和稳定的关系 B、坚持以经济建设为中心 C、什么是社会主义，怎样建设社会主义 D、解放思想，实事求是 6. 中国新民主主义革命的对象是（） A、军阀势力、地主阶级、民族资本家 B、帝国主义、买办资本主义、封建主义 C、帝国主义、资本主义、封建主义 D、帝国主义、官僚资本主义、封建主义 7. 党在过渡时期总路线的主体是（） A、对农业的社会主义改造 B、对手工业的社会主义改造 C、对资本主义工商业的社会主义改造 D、实现社会主义工业化 8. 我们今天讲一切从中国的实际出发，其中最大的实际就是（） A、人口多，底子薄 B、正处于并将长期处于社会主义初级阶段 C、地区发展不平衡 D、农业人口仍占很大比重 9. 我国经济体制改革的目标是（） A、增强大中型国有企业活力 B、建立社会主义市场经济体制 C、完善宏观调控体系 D、改革旧的价格管理体制
二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2）
（3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。
1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
西南石油大学《毛泽东思想概论》考试试卷 一、单项选择题（在答题卡上把正确答案所在的字母涂黑。每小题1分，共计20分） 1.马克思主义中国化的奠基人是（ A ） A、毛泽东 B、李大钊 C、邓小平 D、江泽民 2.邓小平理论形成的主要历史依据是（ B ） A、我国新民主主义革命的历史经验 B、我国社会主义建设正反两方面的历史经验 C、西方国家现代化建设的历史经验 D、发展中国家现代化建设的历史经验 3. 科学发展观的核心是（ A ） A、以人为本 B、全面协调可持续发展 C、建设资源节约型和环境友好型社会 D、走新型工业化道路 4.发展中国特色社会主义的一大法宝是（ A ） A、解放思想 B、实事求是 C、与时俱进 D、党的建设 5. 中国革命胜利的三大法宝是（ A ） A、统一战线、武装斗争、党的建设 B、独立自主、和平共处、睦邻友好 C、马克思主义、列宁主义、毛泽东思想 D、土地改革、保护民族工商业、武装斗争 6.中华人民共和国的成立，标志着我国进入（ B ） A、资本主义社会 B、新民主主义社会 C、社会主义社会 D、共产主义社会 7.党在过渡时期总路线的主要内容被概括为（ A ） A、一化三改 B、一个中心，两个基本点 C、两个转变 D、和平赎买 8.“三个有利于”标准是（ B ） A、判断姓“社”还是姓“资”的标准 B、判断改革及各方面工作是非得失的标准
C、判断社会制度优劣的标准 D、判断社会进步与否的标准 9. 社会主义初级阶段的主要矛盾为（ A ） A、人民群众日益增长的物质文化需要同落后的社会生产之间的矛盾 B、阶级矛盾 C、经济基础和上层建筑之间的矛盾 D、生产力和生产关系之间的矛盾 10. 社会主义社会发展的直接动力是（ B ） A、对外开放 B、改革 C、经济的全球化 D、群众需要的增长 11. 邓小平曾经指出，四个现代化的关键是（ B ） A、国防现代化 B、科学技术现代化 C、工业现代化 D、农业现代化 12. 我国新农村建设的中心环节是（ A ） A、生产发展 B、生活宽裕 C、乡风文明 D、管理民主 13. 我国在社会主义初级阶段的分配制度是（ D ） A、按劳分配 B、效率优先，兼顾公平 C、先富后富 D、按劳分配为主体，多种分配方式并存 14. 我国的根本政治制度是（ B ） A、民族区域自治 B、人民代表大会制度 C、一国两制 D、中国共产党领导的多党合作和政治协商制度 15.中国共产党领导人民治理国家的基本方略是（ A ） A、依法治国 B、以德治国 C、科教兴国 D、人才强国 16.中国特色社会主义文化建设的根本任务是（ A ） A、培育“四有”公民 B、增强理想信念 C、培养诚信意识 D、弘扬时代精神 17. 构建社会主义和谐社会关键在（ D ） A、经济的发展 B、政治的民主 C、文化的繁荣 D、党的领导 18. 苏东剧变之后，世界政治格局的发展趋势是（ C ）
一. 填空 2．Gauss型求积公式不是插值型求积公式。（限填“是”或“不是”） 3. 设l k(x)是关于互异节点x0, x1,…, x n, 的Lagrange 插值基函数，则 0 m=1,2,…,n 5．用个不同节点作不超过次的多项式插值，分别采用Lagrange插值方法与Newton插值方法所得多项式相等(相等, 不相等)。 。 7. n个不同节点的插值型求积公式的代数精度一定会超过n-1次 8.f(x)=ax7+x4+3x+1,f[20, 21,…,27]= a，f [20, 21,…,28]= 0 10设 (i=0,1,…,n)，则＝ _x_ , 这里（x i x j,ij, n2）11.设称为柯特斯系数 则=______1____ 12采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的_法方程组病态___问题。 13辛卜生（Simpson）公式具有___3____次代数精度。 14 牛顿插商与导数之间的关系式为： 15试确定[0,1]区间上2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x), 该多项式唯一否？答：p(x)=(3/2)x, ; 唯一。 17.给定方程组记此方程组的Jacobi迭代矩阵为B J=(a ij)33，则a23= -1； ,且相应的Jacobi迭代序列是__发散_____的。 18.欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式(步长为h) ，此方法是阶方法。 ，此方法是 2阶方法。 19. 2n阶Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代数精度。 20.设，则关于的 ||f|| =1 21矩阵的LU分解中L是一个 _为单位下三角阵，而U是一个上三角阵____。 22.设y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分别为x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作为y的近似值,其绝对误差限的估计式为: ||f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2- x*2| 23设迭代函数(x)在x*邻近有r（1）阶连续导数，且x* = (x*)，并且有(k) (x*)=0 (k=1,…,r-1)，但(r) (x*)0，则x n+1=(x n)产生的序列{ x n }的收敛阶数为___r___ 24设公式为插值型求积公式，则, 且=b-a 25称微分方程的某种数值解法为p阶方法指的是其局部截断误差 为O(h p+1)。 26.设x0, x1,x2是区间[a, b]上的互异节点，f(x)在[a, b]上具有各阶导数，过
二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。
3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，，
4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端
这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵
，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ，
数值分析试题答案 1、构造拉格朗日插值多项式(X)p 逼近3 (x)f x =，要求 （1）取节点011,1x x =-=作线性插值 （2）取节点0121,0,1x x x ===作抛物插值 答案：（1）代入方程得 0110 10010 1,1(x)y (x x )x y y y y p x x =-=-=+ -=- （2）代入方程得 1202011220120102101220210.1(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x ) (x)y x (x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )y y p y y ==------= ++=------ 2、给出数据点：01234 39 61215 i i x y =?? =? 用1234,,,x x x x 构造三次牛顿插 值多项式3 () N x ，并计算 1.5x =的近似值3(1.5)N 。 33333133.15()93(1) 4.5(1)(2)2(1)(2)(3)(1.5) 5.6250, ()36 4.5(1)3(1)(2)(1.5)7.5000, 1.54 (1.5)(1.5)((1.5)(1.5)) 1.17194 N x x x x x x x N N x x x x x x x N R f N N N =+-+------==+--+--=-=-≈ -=四（分） 3、已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。 答案： )53)(43)(13() 5)(4)(1(6 )51)(41)(31()5)(4)(3(2 )(3------+------=x x x x x x x L
习题（一） 练习1-1 1、填空题 （1）点)5,3,4(-M 到xOy 平面的距离是 ；到Ox 轴的距离是 。 （2）向量{} 2,2,2=→ a 的模为 ；方向余弦为 。 （3）设点()2,1,0A 、()0,1,1-B ，则向量AB 的坐标表达式为 。按基本单位向量的分解表达式为 ，两点间的距离为 。 * （4）设向量→ a 的方向角有关系式βγ22==a ，则0 →a = 。 2、设点() 1,2,41M 、()2,0,32M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角。 3、求与向量{}6,7,6-=→ a 同向的单位向量0 →a 及与→ a 平行的单位向量。 *4、如果平面上一个四边形的两对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形。 练习1-2 1、填空题 （1）设向量→→→→--=k j i a 233,{}1,2,1-=→b ，则=?→→b a ；=?→ →b a ； =?-→ → b a 3)2( ，=?→ → b a 2 ；=→ →),cos(b a 。 （2）非零向量{}z y x a a a a ,,=→与{}z y x b b b b ,,=→ 平行的充要条件是 ，垂直的充要条件是 。 （3）设向量{}3,2,1=→ a 、{}2,2,2 --=→ λλλb ，且→ → ⊥b a ，则常数=λ 。 * （4）设向量→a 、→b 、→c 为单位向量，且→→→→=++0c b a ，则=?+?+?→ →→→→→a c c b b a 。 * （5）设2)(=??→ → → c b a ，则=??? ????+?+→ → →→→c c b b a )()( 。 * （6）设向量→ → → → -+=k j i a 2和→ → → → +-=k j i b 2为平行四边形的两邻边，则该平 行四边形的两条对角线之间的夹角为 。 2、选择题 （1）设→ a 与→ b 均为非零向量，则下列结论正确的是 （ ） （A ）→ → → =?0b a 是→ a 与→ b 垂直的充要条件
用复化梯形公式计算积分 1 ()f x dx ?,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保 证满足误差小于0.00005的要求（这里(2) () 1f x ∞ ≤） ；如果知道(2) ()0f x >，则 用复化梯形公式计算积分1 ()f x dx ? 此实际值 大 (大，小)。 在以1 0((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C = ∈?为内积的空间C[0,1] 中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 2 3 x - 3. (15分)导出用Euler 法求解 (0)1y y y λ'=??=? 的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解 解 Euler 公式 11,1,,,k k k x y y h y k n h n λ--=+== L -----------(5分) ()()1011k k k y h y h y λλ-=+==+L ------------------- (10分) 若用复化梯形求积公式计算积分1 x I e dx = ? 区间[0,1]应分 2129 等分，即要 计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过 71 102 -?；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值 1．用Romberg 法计算积分 2 3 2 x e dx -? 解 []02()()2b a T f a f b -= += 9.6410430E-003 10221()222 b a a b T T f -+=+= 5.1319070E-003 10 022243 T T S -= = 4.6288616E-003 22T = 4.4998E-003 21 122243 T T S -= = 4.E-003 10 02221615 S S C -= = 4.6588636E-003 32T = 4.7817699E-003 32 222243 T T S -= = 4.1067038E-003
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为
[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有
1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ
1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分
数值分析2018-2019第1学期上机实习题 f x，隔根第1题.给出牛顿法求函数零点的程序。调用条件：输入函数表达式() a b，输出结果：零点的值x和精度e，试取函数 区间[,] ，用牛顿法计算附近的根，判断相应的收敛速度，并给出数学解释。 1.1程序代码： f=input('输入函数表达式：y=','s'); a=input('输入迭代初始值：a='); delta=input('输入截止误差：delta='); f=sym(f); f_=diff(f); %求导 f=inline(f); f_=inline(f_); c0=a; c=c0-f(c0)/f_(c0); n=1; while abs(c-c0)>delta c0=c; c=c0-f(c0)/f_(c0); n=n+1; end err=abs(c-c0); yc=f(c); disp(strcat('用牛顿法求得零点为',num2str(c))); disp(strcat('迭代次数为',num2str(n))); disp(strcat('精度为',num2str(err))); 1.2运行结果： run('H:\Adocument\matlab\1牛顿迭代法求零点\newtondiedai.m') 输入函数表达式：y=x^4-1.4*x^3-0.48*x^2+1.408*x-0.512 输入迭代初始值：a=1 输入截止误差：delta=0.0005 用牛顿法求得零点为0.80072 迭代次数为14 精度为0.00036062 牛顿迭代法通过一系列的迭代操作使得到的结果不断逼近方程的实根，给定一个初值，每经过一次牛顿迭代，曲线上一点的切线与x轴交点就会在区间[a,b]上逐步逼近于根。上述例子中，通过给定初值x=1，经过14次迭代后，得到根为0.80072，精度为0.00036062。
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
西南石油大学历年硕士研究生入学考试《工程流体力学》试题西南石油大学硕士研究生2006年入学考试《工程流体力学》试题 一、填空（每小题2分，共计30分） 1、相对密度0.89的石油，温度200C时的运动粘度为40cSt，则动力粘度为Pa·S。 2、牛顿内摩擦定理中速度梯度的物理意义是。 3、作用在流体上的力，如按力的表现形式分，可分为和。 4、某密闭盛水容器液面上的真空压力为4900Pa，当该容器以a=4.9m/s2的加速度垂直向上做加速运动时，则液面下1米深处的相对压力为Pa。 5、管道内流体速度分布规律为u=8y－y2，m/s，式中u为距管壁y处的速度，若流体的动力粘度为μ=0.05Pa·S，则距管壁0.1m处的切应力为Pa。 6、动能修正系数的物理意义是。 7、雷诺数的物理意义是。 8、雷诺应力的数学表达式为。 9、如果液流的当地加速度和迁移加速度均为零，则该流动为。 10、流体经一直管段流入大容器，若管流速度为3.13 m/s，则入口的局部水头损失为米液柱。 11、发生水击现象的物理原因主要是由于液体具有。 12、液体和刚体的运动不同，区别在于。 13、声速的大小反映了介质。 14、总压p0 表示气流所具有的，在流动中，气流总压沿程不变。 15、在渐缩管中，亚声速气流速度沿程的变化趋势是；超声速气流速度沿程的变化趋势是。 二、判断下列说法是否正确，正确的请打“√”错误的请打“×”（每小题1分，共10分） 1、流体只能承受压力，不能承受拉力和切力。（） 2、流体的粘度随温度的增加而降低。（） 3、对均匀连通静止的流体，其等压面一定是水平面。（） 4、对于稳定流动，则流场中流体质点流经空间点时的速度都不随时间和空间发生变化。（） 5、流体的运动一定是从压力大的地方流向压力小的地方。（） 6、应用伯努利方程时，所选的两断面必须是缓变流断面，但两过流断面之间可以有急变流。（）
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公
数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案
1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案
序言 数值分析是计算数学的范畴，有时也称它为计算数学、计算方法、数值方法等，其研究对象是各种数学问题的数值方法的设计、分析及其有关的数学理论和具体实现的一门学科，它是一个数学分支。是科学与工程计算（科学计算）的理论支持。许多科学与工程实际问题（核武器的研制、导弹的发射、气象预报）的解决都离不开科学计算。目前，试验、理论、计算已成为人类进行科学活动的三大方法。 数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。现在面向数值分析问题的计算机软件有：C,C++,MATLAB,Python,Fortran等。 MATLAB是matrix laboratory的英文缩写，它是由美国Mathwork公司于1967年推出的适合用于不同规格计算机和各种操纵系统的数学软件包，现已发展成为一种功能强大的计算机语言，特别适合用于科学和工程计算。目前，MATLAB应用非常广泛，主要用于算法开发、数据可视化、数值计算和数据分析等，除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 本实验报告使用了MATLAB软件。对不动点迭代，函数逼近（lagrange插值，三次样条插值，最小二乘拟合），追赶法求解矩阵的解，4RungeKutta方法求解，欧拉法及改进欧拉法等算法做了简单的计算模拟实践。并比较了各种算法的优劣性，得到了对数值分析这们学科良好的理解，对以后的科研数值分析能力有了极大的提高。
目录 序言 (1) 问题一非线性方程数值解法 (3) 1.1 计算题目 (3) 1.2 迭代法分析 (3) 1.3计算结果分析及结论 (4) 问题二追赶法解三对角矩阵 (5) 2.1 问题 (5) 2.2 问题分析（追赶法） (6) 2.3 计算结果 (7) 问题三函数拟合 (7) 3.1 计算题目 (7) 3.2 题目分析 (7) 3.3 结果比较 (12) 问题四欧拉法解微分方程 (14) 4.1 计算题目 (14) 4.2.1 方程的准确解 (14) 4.2.2 Euler方法求解 (14) 4.2.3改进欧拉方法 (16) 问题五四阶龙格-库塔计算常微分方程初值问题 (17) 5.1 计算题目 (17) 5.2 四阶龙格-库塔方法分析 (18) 5.3 程序流程图 (18) 5.4 标准四阶Runge-Kutta法Matlab实现 (19) 5.5 计算结果及比较 (20) 问题六舍入误差观察 (22) 6.1 计算题目 (22) 6.2 计算结果 (22) 6.3 结论 (23) 7 总结 (24) 附录