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ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = L y [L y , L x ] + [L y , L x ]L y + L z [L z , L x ] + [L z , L x ]L z
= 0
3. 算符对易关系的运算法则：
ˆ ˆ ˆ ˆ <1>[ A, B] = [B, A ] ； ˆ ˆ <2>[A, A] =0； ˆ c <3>[ A, c] =0 （ 为复常数） ； ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ <4>[ A, B C] =[A, B] +[A, C] ；
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = L y L y Lx L y Lx L y + L y Lx L y Lx L y L y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + L z L z L x L z L x L z + L z L x L z L x Lz Lz
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 例： [Lx , L y ]Y00 L x L y L y L x Y00 0
ˆ ˆ 但 [L x , L y ] 0
ˆ i (sin ctg cos ) Lx
ˆ i (cos ctg sin ) Ly
(矢量式)，
即角动量算符的定义式。
ˆ2 ,L ] [L2 , L ] [L2 ,L ] 0 ； ˆ ˆ ˆ ˆ [L ˆ x b. 利用 L L iL可以证明： y z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ L2 , L x ] = L2 L x L x L2
ˆ 3 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ 3 ˆ 2ˆ ˆ 2ˆ = L x + L y L x + Lz Lx L x L x L y Lx Lz
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i ˆ ˆ = iL y L z iL z L y +iL z L y + L y L z
=0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 同理可证：[L2 , L y ] = [L2 , L z ] =0，即：[L2 , Li ] =0 ，i x, y, z
二、两个力学量同时具有确定值的条件 1.定理
ˆ ˆ 解释：前面已证：[ L2 , L z ]=0
2 ˆ2 ˆ r2 ˆ p L es 而 H 2 2r 2 r
e2s 2 1 2 1 1 2 [ 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 ] 2 2 r r r r sin r sin r
ˆ =iL x
ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ [ L z , p y ] =[ xp y yp x , p y ] =[ xp y , p y ] [ yp x , p y ]
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = x[p y , p y ] +[ x , p y ]p y y[p x , p y ] [ y, p y ]p x
2 ˆ ˆ 2 es 和 ˆ 2 ˆ 相 pr L2 ˆ ②氢原子的哈密顿算符 H L , Lz 2 2 2r r
互对易，则它们有完全的共同的本征函数系{
在态 中，ˆ , L2 , L 同时具有确定值，依次 H ˆ ˆz nm
nm
}，
为：E n , ( 1) 2 , m 。
ˆˆˆ ˆˆˆ 等式左边= ABC BCA ，等式成立。
说明：利用算符对易关系的运算法则可以大大简化算 符对易关系的证明，例如：
ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ [ L y , L z ] =[ zp x xp z , xp y yp x ]
ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ =[ zp x , xp y yp x ] [ xp z , xp y yp x ]
i(x)
而 ( x ) 是任意的，
所以：
ˆ x,px i
该式称为 x 和 p x 的对易关系，等式右边不等于0，即 x ˆ
和 p x 不对易。 ˆ
ˆ ˆ 同样可得： [y, p y ] i
ˆ ˆ z, pz i
ˆ ˆ [x,py ] x,pz 0
ˆ ˆ 定理1：如果两个算符 F 和 G有一组共同本征函数 ，
n
ˆ ˆ 而且 n组成完全系，则算符 F 和 G 对易。
ˆ ˆ 证明：设有两力学量 F 和 G 有一组共同的本征函数 n ，
ˆ F n n n
展为级数：
ˆ G n n n
而 n 组成完全系，即对于任意的波函数 都可按{ n}
ˆ ˆ ˆ 将 x, p x xp x p x x 作用在任意波函数 ( x ) 上，即：
ˆ ˆ xpx px x (x) x(i) x (x) i x (x (x)) x (x) x (x) (x) i x i x i
ˆ ˆ ˆˆ = iyp x + ip y x
ˆ =iL z
即： 同理可证：
ˆ ˆ ˆ [L x , L y ] iL z
满足轮换对称性
ˆ ˆ ˆ [L y , Lz ] iL x
ˆ ˆ ˆ [Lz , Lx ] iL y
说明：a. 可合并写为：
L L iL
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系
一、算符的对易关系：
对于任意的波函数，
ˆ ˆ 0F, G对易 ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ G, F GF FG ˆ ˆ 0F, G不对易
ˆ ˆ ˆ 1. 坐标算符 x 和动量算符 p x 的对易关系 x, p x ?
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ <5>[ A, BC] = B[A, C] +[A, B]C ；
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ <6>[ AB, C] = A[B, C] +[A, C]B 。
ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ 证明<5>：等式右边= BAC BCA ABC BAC= ABC BCA
ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ =[ zp x , xp y ] [zp x , yp x ] [ xp z , xp y ] +[ p z , yp x ] xˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = z[p x , x ]p y + y[x, p x ]p z
ˆˆ ˆˆ = i ( yp z zp y )
a n n 。
n
ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ 则： (FG GF) = (FG GF) a n n
ˆˆ ˆˆ = a n (FG GF) n
n
n
ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ 而 (FG GF) n = FG n GF n = F n n G n n
ˆ ˆ ˆ I 即：如果一组算符（F, G, H, ˆ……）有共同本征函数，
而且这些共同本征函数组成完全系，则这组算符中的任 何一个和其余的算符对易。这个定理的逆定理也成立。
2. 不同力学量取确定值的条件：
ˆ ˆ ˆ I 若 F, G, H, ˆ ……等可对易，由以上定理知，这些函数有
完全的共同的本征函数系{ n}，按本征函数与本征值 的意义可知，当体系处于它们的本征态 n 时，力学量 F 有确定值 n ，ˆ 有确定值 n ，…（按3.6节讲的基本假 G ˆ I F ˆ ˆ 设）。于是会存在这样的态，在这些态中，H, ˆ ， , G,… 代表的力学量可同时取确定值。
= n n n n n n =0
ˆˆ ˆˆ 于是： (FG GF) 0
而 是任意的波函数
ˆˆ ˆˆ 所以： FG GF =0
ˆ ˆ 即：[ F, G ]=0，定理得证。
ˆ ˆ 说明：若 F 和 G 有一组共同本征函数 n ，并不一定
ˆ ˆ 能够得到 [F, G] =0的结论，除非 n 组成完全系。
ˆ = ip x
ˆ ˆ ˆ 2 , L ] = [ L 2 , L ] +[L y 2 , L x ] +[ L 2 , L ] ˆ ˆ ˆ ˆ [L ˆ x x x z x
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ] =L y [L y , L x ] +[L y , L x L y
ˆ ˆ ˆ ˆ [ˆ ˆ +L z [L z , L x ] + L z , L x ] L z
ˆ x i 和 p j 的对易关系是量子力学算符的
基本对易关系，由它们可以推出其他的一些算符 （有经典对应的）对易关系。
2. 角动量算符的对易关系：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [Lx , L y ] L x L y L y L x
ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ = ( yp z zp y ) (zp x xp z ) (zp x xp z ) ( yp z zp y )
ˆ ˆ ˆ ˆ y,pz y,px 0
ˆ ˆ ˆ ˆ [z,py ] z,px 0
ˆ ˆ ˆ ˆ [p x , p y ] p x , p z p y , p z 0 ˆ ˆ
以上可总结为基本对易关系：
x i , p j i ij xi , x j 0 pi , p j 0
ˆ 即 G n 也是
②
ˆ F 属于 n 的本征函数。
而 n 非简并，
ˆ 则 G n 与 n 最多只能差一常数因子，记为 n ，即：
ˆ G n n n
ˆ 这样 n也是 G的本征函数，本征值为 n 。
