冀教版八年级上册 16.2 线段的垂直平分线 学案

冀教版数学八年级上册《线段垂直平分线的性质定理》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册《线段垂直平分线的性质定理》是学生在学习了直线、射线、线段的基础知识后，进一步研究线段的性质。

本节课主要让学生掌握线段垂直平分线的性质定理，并为后续学习几何图形的对称性打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直线、射线、线段的基本知识，对图形的对称性有一定的了解。

但学生对线段垂直平分线的性质定理的认识还为空白，需要通过本节课的学习，让学生建立起线段垂直平分线的性质定理的概念。

三. 教学目标1.让学生掌握线段垂直平分线的性质定理。

2.培养学生运用线段垂直平分线的性质定理解决实际问题的能力。

3.提高学生对几何图形的对称性的认识。

四. 教学重难点1.教学重点：线段垂直平分线的性质定理。

2.教学难点：线段垂直平分线的性质定理的证明和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生发现线段垂直平分线的性质定理。

2.使用多媒体辅助教学，展示线段垂直平分线的性质定理的证明过程。

3.运用实例分析法，让学生学会运用线段垂直平分线的性质定理解决实际问题。

六. 教学准备1.多媒体教学课件。

2.实例分析材料。

3.几何画图工具。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直线、射线、线段的基本知识，为新课的学习做好铺垫。

呈现（10分钟）教师通过多媒体课件呈现线段垂直平分线的性质定理，让学生初步感知定理的内容。

操练（15分钟）教师引导学生通过几何画图工具，自己动手绘制线段垂直平分线，并观察其性质，从而证明线段垂直平分线的性质定理。

巩固（10分钟）教师通过实例分析，让学生学会运用线段垂直平分线的性质定理解决实际问题，加深对定理的理解和记忆。

拓展（5分钟）教师引导学生思考：线段垂直平分线的性质定理在实际生活中有哪些应用？让学生发挥想象，拓宽思路。

小结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调线段垂直平分线的性质定理及其应用。

冀教版数学八年级上册16.2《线段的垂直平分线》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册16.2《线段的垂直平分线》是初中数学的重要内容，它既是对平面几何知识的拓展，也是为后面学习圆的知识打下基础。

本节内容主要介绍线段的垂直平分线的性质和判定，通过学习，使学生能够理解和掌握线段的垂直平分线的基本概念，能够运用其性质和判定解决一些实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和判定有一定的理解，但对于线段的垂直平分线这一概念可能较为抽象，需要通过实例和练习来加深理解。

同时，学生对于证明题目的能力有待提高，需要老师在教学过程中进行引导和培养。

三. 教学目标1.知识与技能：理解和掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能够运用其解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的精神。

四. 教学重难点1.教学重点：线段的垂直平分线的性质和判定。

2.教学难点：对于线段的垂直平分线的证明题目的理解和解答。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和图片，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

2.问题驱动法：通过提出问题和引导学生思考，培养学生的解决问题的能力。

3.合作学习法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和交流能力。

六. 教学准备1.教具准备：黑板、粉笔、多媒体教具等。

2.学具准备：学生自带的尺子、圆规、直尺等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题：如何找到一个线段的中点，并使其垂直平分线段，引导学生思考和讨论，引出线段的垂直平分线的概念。

2.呈现（15分钟）通过多媒体教具，呈现线段的垂直平分线的性质和判定，让学生直观地理解和掌握。

3.操练（15分钟）让学生自己动手，用尺子和圆规画出线段的垂直平分线，并判断其正确性，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

16.2线段的垂直平分线学习目标1、让学生经历线段的折叠过程探索线段的对称性，掌握中垂线的性质和判定方法；2、使学生会运用线段垂线的性质解决生活中的相关问题；3、培养学生动手探索的科学习惯。

4、在“操作—探究—归纳—说理”的过程中学会有条理地思考和表达提高演绎推能力。

学习重点线段中垂线的性质和判定学习难点发现线段中垂线的性质，线段中垂线的性质和判定学习过程一、创设情境：南京市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。

二、动手实践，探索性质：问题1：线段是轴对称图形吗？为什么？问题2：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？问题3：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？得出结论：课堂练习:1、如图，△AＢＣ中边ＢＣ的中垂线交ＡＢ于点Ｄ，如果△ACD的周长为17 cm，△ABC的周长为25 cm，根据这些条件，你可以求出哪条线段的长?2、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，要求△AEG的周长，还需添加什么条件？3、已知：如图，AB=AC=12 cm ，AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于D 、E ，△AB D 的周长等于29 cm ，求DC 的长.例题：已知:如图,在ΔABC 中,边AB ，BC 的垂直平分线交于P.试说明PA=PB=PC 吗?结论：实际应用：1、南京市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.转化为数学问题为：如图，求作一点P ，使它和已知△ABC 的三个顶点距离相等 C BA2、在312国道L （昆—沪段）的同侧，有两个工厂A 、B ，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？转化为数学问题为：如图，在直线L 上求作一点P ，使PA=PBDF ABC B A CM N M’ N’ PlB A总结反思:作业设计：班级 姓名 学号 等第一、选择题1. 如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形2. 如图，AC=AD ，BC=BD ，则( )A.CD 垂直平分ADB.AB 垂直平分CDC.CD 平分∠ACBD.以上结论均不对3. 如图，MN 是线段AB 的垂直平分线，C 在MN 外，且与A 点在MN 的同一侧，BC 交MN 于P 点，则（ ）A.BC ＞PC+APB.BC ＜PC+APC.BC=PC +APD.BC ≥PC+AP二、填空题4.如图，已知直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点，若AB=10 cm ，则BD=__________cm ；若PA=10cm ，则PB=__________cm ．5. 在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线相交于点P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 . 第4题第6题 第2题 第3题6．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=________cm，AB+BD+DC=__________cm，△ABC的周长是__________cm．答案1.B2.B3.C4.5，105.PA=PB=PC6.12，12，17。

《线段的垂直平分线》教案教学目标知识与技能：1、能用多种方法作出线段的垂直平分线并说明其正确性.2、掌握线段垂直平分线的性质定理，能够证明线段垂直平分线的性质定理.并能用定理解决一些实际问题.过程与方法：1、通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力.2、体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神．情感与价值观要求：1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重难点重点：线段垂直平分线性质定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．难点：线段垂直平分线的性质定理的内涵和证明.教学方法引导探索教学过程一、忆一忆，由旧引新1、什么叫做轴对称图形？又什么是轴对称？2、线段是轴对称图形吗？对称轴有几条？(引出垂直平分线)3、你能画线段的垂直平分线吗？它又有什么性质？二、动手操作，合作交流1．已知线段AB，画出它的垂直平分线.A B说出你的作图思路.议一议：能否说出这种画法的依据，小组讨论交流一下.2．线段垂直平分线的作法①折纸法：(学生动手，教师引导)②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；(学生动手，教师引导)③尺规法：(师生一起动手)AB长为半径画弧(为(1)分别以点A、B为圆心，以大于12什么？)交于点E、F；(2)过点E、F作直线.则直线EF就是线段AB的垂直平分线.(为什么直线EF是线段AB的垂直平分线呢？这就要证明OA=OB且∠AOE=900或∠BOE=900，请同学们思考、讨论、交流，最后老师给出证明)证明：分别连接AE、AF、BE、BF，则AE=AF=BE=BF在△AEF和△BEF中AE=BEAF=BFEF=EF∴△AEF≌△BEF (SSS)∴∠AEF=∠BEF在△AOE和△BOE中AE=BE∠AEF=∠BEF∴△AOE≌△BOE(SAS)∴OA=OB ∠AOE=∠BOEOE=OE∵∠AOE+∠BOE=180°∴∠AOE=∠BOE =90°即直线EF垂直平分线段AB三、合作探究1.探索线段垂直平分线性质定理问题1：已知：如图，直线EF是线段AB的垂直平分线，垂足为O，在EF上任取一点P，连结PA、PB；测量PA、PB 的长，你能发现什么？测量时要求学生变换P点的位置，看看P点到线段两个端点的距离的大小？面向全班提问：不难得到：PA=PB，在引到学生用语言表达猜想：线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等.猜想：线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等.此时让学生说说该猜想的题设(线段垂直平分线上的点)与结论点(这一点与线段两端的距离相等)，并用数学式子来表达：已知：如图，直线EF是线段AB的垂直平分线，垂足是O，P是EF上任意一点，连结PA、PB.求证：PA=PB此时要做好分析，证明线段相等，通常是证明这两条线段所在的三角形全等，如果不能，再用别的方法，引导学生思考后再证明，可以让学生上黑板板演，教师点评) 证明：∵EF⊥AB (已知)∴∠POA=∠POB=90(垂直定义)在ΔPOA 和ΔPOB 中，OA=OB(已知)∠POA=∠POB(已证)OP=OP(公共边)∴ΔAOP ≌ΔBOP(SAS)∴PA=PB 结论：定理：线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等.几何符号语言：∵EF 是线段AB 的垂直平分线，点P 是EF 上的一点(题设) ∴PA=PB(结论)作用：是用来证明线段相等的依据.2、垂直平分线的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上例：已知：如图，△ABC 的边AB 、AC 的垂直平分线相交于点O.求证：点P 在BC 的垂直平分线上AB证明：连接OA、OB、OC，∵点O在AB、AC的垂直平分线上(已知)∴OA=OB、OA=OC(线段垂直平分线上的点于线段两端点的距离相等)∴OB=OC(等量代换)∴点O在BC的垂直平分线上(与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)A B四、畅谈收获通过本节课的学习，谈谈你有哪些收获？1、垂直平分线的作法2、垂直平分线的性质和它的运用3、垂直平分线与轴对称的联系五、布置作业课本P117习题.。

冀教版初二上册线段的垂直平分线学案单位：迁安市第三初级中学编者：王爱新审核指导：日期：2021年11月课题：16.2线段的垂直平分线学习目标1．经过探求掌握线段垂直平分线性质定理内容，并可以复杂运用性质定理处置有关的效果.2. 阅历证明线段垂直平分线的性质的进程，开展合情推理才干，体会证明的必要性.重点探求线段垂直平分线的性质难点线段垂直平分线的性质证明和运用活动一〔猜想〕：线段垂直平分线性质探求请同窗们思索以下效果并入手操作一下：1.在纸上画线段AB和它的对称轴，对称轴与线段AB的交点记作点O，沿对称轴折叠，你有什么发现？2.在对称轴上任取一点P，衔接PA,PB，你又有什么新的发现？如何失掉的？我失掉的结论为：活动二〔验证〕：线段垂直平分线性质的证明证明你在活动一失掉的结论结论改成:〝假设那么〞的方式：求证：证明：线段垂直平分线性质:几何言语：∵∴辩图识图：1、判别：如图，直线EF垂直平分线段AB，C,D 为直线EF上两点，那么AC=AD2、如图，AC垂直平分BD，那么___=____;假定BD垂直平分AC，那么___=____活动三：〔运用〕性质运用1、如图，CD是AB的垂直平分线，假定AC=1.6cm,BD=2.3cm,那么四边形ACBD的周长为 cmDCBA2.如以下图，A村和B村之间有一条河l，要在l上选一点P修一个水泵站向两村送水，P点应该选在哪个位置会使运用的管道之和P A+PB最短？请你画出来。

3.假设A，B两村如以下图所示，水泵站P又该选在哪个位置会使运用的管道和P A+PB最短呢？请你画出来。

课堂小结：谈一谈你本节课的收获有哪些?课堂小测：1. 如下图，DE是线段AB的垂直平分线，以下结论一定成立的是〔〕A．ED=CD B．AC=AD C．AD=BD D．AC=AB2.如以下图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC于E，垂足为D，△ABE的周长是15cm，BD=6cm，求△ABC的周长．第2题第1题ED CBADECBA。

线段的垂直平分线（第一课时）教学目标知识与技能：1.理解线段垂直平分线的性质定理。

2.能灵活运用垂直平分线的性质定理解决实际问题。

3.通过经历线段垂直平分线的性质定理的证明过程，体验逻辑推理的数学方法。

4.通过认识上的升华，使学生发现数学与生活的密切联系重点：线段垂直平分线的性质定理难点：灵活运用线段垂直平分线的性质定理解决问题教学设计:一、复习导入1.如图，下列哪些图形是轴对称图形？请把对称轴画出来。

设计意图：通过动手画图，让学生回忆旧知识，激发学生的参与热情。

2.你能用折纸的方法验证你对上题的画法吗？设计意图：层层设问，不断给学生设置障碍，挑起他们的热情。

二、讲授新课1.自主探究：如图：直线l垂直平分线段AB,P1 、P2 、P3.....是L上的点，请猜想P1 、P2 、P3.....到点A到点B的距离之间的数量关系。

猜想：用不同的方法验证你的结论学生：小组讨论（折叠、测量、逻辑推理）动手操作：量一量PA、PB的长。

说明：学生在画图的时候，教师走到学生当中巡视，及时纠错、表扬。

由学生归纳成命题，教师给予纠正，使之规范。

师总结：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

2.验证结论：师：分析定理的条件和结论。

点P在线段AB的垂直平分线上---------PA=PB(条件）（结论)师:引导学生分析，证明，写出已知，求证已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB,点P在l上。

求证：PA=PB（由学生独立完成证明过程）师：巡视指导后，全班讲评。

证明：∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．又 AC =CB，PC =PC，∴△PCA ≌△PCB（SAS）．∴ PA =PB．3.讲中练（1）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的点，且PA=5.则线段PB的长为( )A. 6. B 5. C. 4. D. 3(2)如图，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC与点E，△BCE的周长等于18cm,则AC的长是_________。

冀教版数学八年级上册《线段垂直平分线的性质定理》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册《线段垂直平分线的性质定理》是学生在学习了直线、射线、线段的基础上，进一步研究线段的性质。

本节课的主要内容是引导学生探索线段垂直平分线的性质，并通过实例验证这些性质。

教材通过丰富的情境和生动的活动，激发学生的学习兴趣，培养学生观察、思考、交流的能力。

二. 学情分析学生在七年级已经学习了直线、射线、线段的基本概念，对线段有一定的认识。

但线段的垂直平分线是一个新的概念，需要学生通过观察、操作、思考来理解和掌握。

学生在学习过程中可能对线段的垂直平分线的画法有一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师通过直观演示、学生动手操作等方式，帮助学生理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能理解线段垂直平分线的概念，掌握线段垂直平分线的性质，并能运用性质解决问题。

2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、交流，培养观察能力、动手能力、交流能力。

3.情感态度价值观：学生培养对数学的兴趣，体验成功的喜悦，培养克服困难的信心。

四. 教学重难点1.重点：线段垂直平分线的性质。

2.难点：线段垂直平分线的画法。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的情境，激发学生的学习兴趣，引导学生观察、思考。

2.直观演示法：教师通过直观的演示，帮助学生理解和掌握线段垂直平分线的性质。

3.动手操作法：学生通过动手操作，加深对线段垂直平分线的理解和掌握。

4.小组合作法：学生通过小组合作，培养交流、合作的能力。

六. 教学准备1.教师准备：教师准备PPT、线段模型、尺子、圆规等教具。

2.学生准备：学生准备课本、笔记本、尺子、圆规等学习用品。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过情境创设，引导学生观察、思考，提出问题：“你知道线段的垂直平分线是什么吗？”引发学生对线段垂直平分线的思考。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示线段垂直平分线的定义和性质，引导学生观察、理解。

初中-数学-打印版
16.2线段的垂直平分线
第一课时
本节学习线段的垂直平分线性质定理及其逆定理，应突出体现线段的轴对称性．
本节的第一课时，主要探索和证明线段垂直平分线的性质定理．教学时要注意：
1．在“一起探究”中，要给予学生充分的时间，开展思考、交流、研讨，让学生经历猜想、动手操作初步验证猜想、逻辑证明验证猜想的问题解决过程，有利于学生体会合情推理、演绎推理的不同，掌握问题的解决方法．
2．在“做一做”中，让学生回顾线段的垂直平分的概念，利用线段的垂直平分线的性质解决这个问题，引导学生归纳辅助线的作法，规范数学语言的运用．
第二课时
本节的第二课时，主要探索和证明线段垂直平分线性质定理的逆定理．教学时要注意以下两个问题：
1．“一起探究”，要留给学生充分时间进行思考、研讨活动，培养学生自主探究能力，使学生掌握用演绎推理证明几何命题的步骤．
2．“做一做”，可让学生先独立思考、探索，再小组交流、研讨；最后进行展示．使学生从不同的做法中，比较、选择哪种做法最优，以加深对线段垂直平分线性质的逆定理的理解．
第三课时
本节的第三课时，主要是提升学生尺规作图的能力．
两个例题是用尺规分别作已知线段的垂直平分线及过已知直线外一点，作已知直线的垂线．在教学过程中，让学生动手操作，边作边口述每一步的作法，规范表述，提高运用数学语言表述作图过程的能力．
初中-数学-打印版。

16.2线段的垂直平分线一、教材分析与教、学法分析二、教学流程安排2.回忆画图过程，写出已知、求证．．4.请用文字语言表述刚才的结论．5.用文字语言、符号语言、图形语言表示这个性质．对照图形，师生写出已知，求证．已知：如图，直线MN是AB的垂直平分线,垂足为C,.点P为MN上任意一点.连接PA、PB求证：PA=PB证明：∵MN是AB的垂直平分线∴∠PCA= ∠PCB，AC=CB在ΔPAC和ΔPBC中，AC=CB，∠PCA=∠PCBPC=PC，∴ΔPAC ≌ΔPBC∴PA=PB学生用语言表述结论并结合图形语言，符号语言∵ MN是AB的垂直平分线，∴PA=PB对该定理有进一步理解．让学生经历三种语言的转化，培养学生数学语言的表达能力，体会转化的思想.．在此过程中，教师只起引导作用，重点由学生回答．在学生回答证明时，教师强调几何语言的规范性，养成较好的习惯．活动四：应用新知，解决问题1.基础闯关（1）如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm; 全体学生练习后指名回答．基础关让学生对刚学习的知识进行巩固．第（1）题图第（2）题图（2）因为，所以AB＝AC．理由：______________________2.能力关已知:点P,Q为线段AB垂直平分线上的两点．（1）如图（1），当P,Q在线段AB 的两侧时，在不添加字母的前提下，图中相等的线段有_________．∠PAQ与∠PBQ 相等吗？(2)如图（2），当P,Q在线段AB的同侧时，上题的结论成立吗？3．例题赏析（1）准备题：两点在线的两侧已知：如图，点A，B是直线l 异侧的任意两点，在直线l上,试确定一点P,使AP+BP最短，为什么？（2）例：两点在线的同侧已知：如图，点A，B是直线l 同侧的任意两点，在直线l上,试确定一点P，使AP+BP最短．由学生回答并分析，教师可以进行适当引导．指名学生回答：错误！不能通过编辑域代码创建对象。

16．2 线段的垂直平分线（第一课时）教学设计发现：点E、点D和点O都是线段AB的中垂线上的点，并且它们到线段两端点的距离都是相等的．猜想：中垂线上的其他点是否也有这样的结论呢?验证：①学生在直线l上任取一点P，连接PA和PB,并用直尺或圆规等数学工具来比较两条线段的大小．②利用几何画板进一步演示，当点P在直线l上任意移动时，都可以得到PA=PB．【设计意图】：通过从实物中抽象出几何图形，让学生感受知识来源于生活，通过对图形的探究，让学生经历观察、猜想、动手操作、合情推理的过程，为接下来的演绎推理做充分的铺垫．三、新知讲解事实上，只用动手操作来验证是不严谨的，由线段的轴对称性我们知道：线段AB沿它的对称轴l对折后点A和点B重合，点P和它本身重合，从而PA=PB．对于这个猜想我们证明如下：已知：线段AB和它的垂直平分线l,垂足为O，点P为直线l上任意一点,连接PA,PB．求证：PA=PB分析：图中有学生熟悉的三角形，学生很自然能想到利用全等三角形来证明两条线段相等．解题过程：证明：当点P与点O不重合时，在△PAO和△PBO中∵AO=BO (中垂线的意义）∠POA=∠POB=90°（同上）PO=PO（公共边）∴△PAO≌△PBO (SAS)∴PA=PB (全等三角形的对应边相等)当点P与点O重合时∵直线l是AB的垂直平分线∴O是AB的中点∴OA=OB,即PA=PB综上所述：当点P为线段AB的中垂线上任意一点时，PA=PB．解题过程中要引导学生考虑点P和点O重合的情况．由此，我们可以得出线段的垂直平分线的重要性质，即线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．符号语言：∵直线l垂直平分AB,点P在直线l上∴P A=PB【设计意图】通过带领学生分析条件，自主写证明过程以及对解题过程完整性的探讨，培养学生进行严谨的演绎推理的能力，渗透了分类讨论的数学思想．四、应用新知线段垂直平分线的性质定理是一个非常重要的定理，它是由图形特殊的位置关系得到了图形的数量关系，是由形到数的转化，能够帮助我们解决很多数学问题．练习已知：如图，点P、Q为线段AB垂直平分线上的两点且在线段AB的两侧，∠PAQ和∠PBQ相等吗？为什么？解：∠PAQ=∠PBQ，理由如下：∵PQ垂直平分AB∴PA=PB，QA=QB又∵PQ为△PAQ和△PBQ的公共边∴△PAQ≌△PBQ(SSS)∴∠PAQ=∠PBQPQB A例已知：如图，点A，B是直线l外的任意两点,且在直线l同侧．在直线l上，试确定一点P，使AP+BP最短．分析：①我们不妨先来考虑点A和点B在直线l的两侧，在直线l上试确定一点P，使AP+BP最短．解决方法：由“两点之间线段最短”，可以找出点P为线段AB和直线l的交点．②当点A和点B在l的同侧时，在直线l上确定一点P，使AP+BP最短．解决方法：首先，同侧化异侧．通过转化，可以将线段AP和BP其中一条，不妨让P A 转移到直线l的另一侧进行等量代换；其次，只改变位置,不改变大小．即要保证点P在直线上任意位置时均有P A=P A′．第三，利用线段垂直平分线的性质，恰好可以得到位于线段中垂线两侧且相等的线段．所以，利用线段的轴对称性,作点A关于直线l的对称点A′，连接A′P，可知直线l垂直平分线段AA′，所以AP=A′P，AP+BP=A′P+BP，接下来利用两点之间线段最短，可以得到当点P为A′B和直线l的交点时，AP+BP最短．解题过程：解：如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，则AP+BP最短．。

冀教版数学八年级上册16.2《线段的垂直平分线》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册16.2《线段的垂直平分线》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握线段的垂直平分线的性质和作法。

本节内容是在学生已经掌握了线段中点、线段的和差、乘除运算、线段垂直平分线的概念等知识的基础上进行学习的，为后续学习圆的相关知识奠定了基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容时，已经具备了一定的几何基础知识，对于线段的概念、性质和运算已经有所了解。

但学生在学习过程中，可能对线段的垂直平分线的作法和性质的理解存在一定的困难，需要通过实例和练习来加深理解。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握线段的垂直平分线的性质，能够运用线段的垂直平分线解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、动手操作、合作交流等过程，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：线段的垂直平分线的性质。

2.难点：线段的垂直平分线的作法和性质的理解与应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究线段的垂直平分线的性质。

2.利用几何画板软件，直观展示线段的垂直平分线的作法和性质，增强学生的直观感受。

3.通过小组讨论、合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

4.运用实例和练习，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

六. 教学准备1.准备几何画板软件，用于展示线段的垂直平分线的作法和性质。

2.准备相关的实例和练习题，用于巩固所学知识。

3.准备黑板和粉笔，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板软件，展示一个线段，并提出问题：“如何找到一个线段的垂直平分线？”引导学生思考和讨论。

2.呈现（10分钟）通过几何画板软件，展示线段的垂直平分线的作法和性质，引导学生观察和思考。

同时，教师进行讲解，阐述线段的垂直平分线的性质。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，合作交流，尝试运用线段的垂直平分线的性质解决实际问题。

16.2线段的垂直平分线【学习目标】1、掌握线段垂直平分线的性质定理2、会利用线段垂直平分线的性质定理解决最值及有关问题【重点难点】重点：线段垂直平分线的性质定理难点：利用线段垂直平分线的性质定理解决最值及有关问题【导学流程】预习课本112-113页探究思考1、已知线段AB和它的中垂线l，O为垂足，在直线上任取一点P，连接PA，PB，线段PA和线段PB有怎样的数量关系？提出你的猜想说明理由事实上，因为线段AB是轴对称图形，垂直平分线l是它的对称轴，所以线段AB沿对称轴l对折后，点A和点____重合，线段PA和线段_____重合，从而PA=PB2、你能证明上述的猜想吗？写出证明过程总结归纳线段垂直平分线的性质定理：_______________________________________________注意：1、线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的特征，即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等2、这个定理向我们提供了一个证明两条线段相等的方法例题讲解已知:如图所示，点A，B是直线外的任意两点，在直线l上，试确定一点P，使AP+BP最短课堂练习1、已知：如图所示，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E.求证AC=AB.2、如图所示，ΔABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则ΔBDC的周长是()A.8B.9C.10D.113、如图所示，ΔABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为(提示:等腰三角形的两个底角相等)()A.48°B.36°C.30°D.24°整理内化1.课堂小结2.本节课学习过程中的问题和疑难【课后限时训练】时间45分钟练习题（45分钟）课堂小练习83、84页。

冀教版数学八年级上册《线段垂直平分线的性质定理》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册《线段垂直平分线的性质定理》是本册教材中的一个重要内容，它为学生提供了研究几何图形的工具和方法。

本节课主要通过探讨线段垂直平分线的性质，让学生深刻理解线段垂直平分线的作用，从而为后续几何学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段、射线、直线等基本概念，并能够运用勾股定理解决一些实际问题。

但学生对线段垂直平分线的性质认识不足，需要通过本节课的学习，让学生在已有知识的基础上，形成对线段垂直平分线的系统认识。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握线段垂直平分线的性质定理，能运用性质定理解决一些几何问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的几何思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。

四. 教学重难点1.重点：线段垂直平分线的性质定理。

2.难点：如何运用线段垂直平分线的性质定理解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究线段垂直平分线的性质。

2.运用多媒体辅助教学，直观展示线段垂直平分线的性质。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体课件，以便于展示线段垂直平分线的性质。

2.准备一些实际问题，供学生练习使用。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考线段垂直平分线的作用，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）利用多媒体课件，展示线段垂直平分线的性质定理，让学生直观地理解定理的内容。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，通过实际操作，验证线段垂直平分线的性质定理。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用性质定理解决问题，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考线段垂直平分线在实际生活中的应用，提高学生的实际操作能力。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，让学生明确线段垂直平分线的性质定理及应用。

第十六章 轴对称和中心对称16.2 线段的垂直平分线第1课时 线段垂直平分线的性质定理教学目标1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明；2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题；3.会作最短路径问题.教学重难点 重点：理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题； 难点：会作最短路径问题. 教学过程 旧知回顾 回忆轴对称图形： 如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.回忆线段的垂直平分线的定义：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.导入新课 师问：线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？生答：是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线.那么线段的垂直平分线有什么样的性质呢？这节课我们来学习线段的垂直平分线的有关内容.教师板书课题.探究新知 一、线段垂直平分线的性质定理 如图所示,已知线段AB 和它的中垂线l ,O 为垂足.在直线l 上任取一点P ,连接P A ,PB ,线段P A 和线段PB 有怎样的数量关系?提出你的猜想并说明理由. 事实上,因为线段AB 是轴对称图形,垂直平分线l 是它的对称轴,所以线段AB 沿对称轴l 对折后,点A 和点B 重合,线段P A 和线段PB 重合,从而P A ＝PB .教师指导学生画线段AB ,通过对折的方法,找到它的垂直平分线,然后在对称轴上多确定几个点,让学生测量,有什么发现?如图所示,直线l 垂直平分线段AB ,P 1,P 2,P 3,…是l 上的点,分别量一量点P 1,P 2,P 3,…到点A 与点B 的距离,你有什么发现?由学生归纳命题,教师给予纠正,使之规范. 命题:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 这个命题,是我们通过观察、猜想得到的,你能进行证明吗？已知:如图所示,线段AB 和它的垂直平分线l ,垂足为O ,点P 为直线l 上任意一点,连接P A ,PB . 求证：P A ＝PB . 教学反思引导学生利用SAS证明△P AO≌△PBO,从而得到P A＝PB.证明:在△P AO和△PBO中,∵{AO=BO,∠POA＝∠POB＝90°，PO＝PO，∴△P AO≌△PBO(SAS),∴P A＝PB(全等三角形的对应边相等).从而得到线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.几何语言：∵l垂直平分AB，P为l上一点，∴P A＝PB.[知识拓展](1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的共同特征,等.(2)由性质定理的证明可知,要在图形上任取一点作代表即可.(3)这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法.说明:今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等,腰三角形的一种判定方法.二、最短路径问题已知:如图所示,点A,B是直线l外的任意两点,在直线l上,点P,使AP+BP最短.解:如图所示,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,于点P,则AP+BP最短.引导学生分析、证明.【提出问题】(1)我们知道两点之间线段最短,那么怎样把P A和PB转化到一条线段上?学生讨论、分析得到:要作其中某一点关于直线l的对称点,连线与直线l的交点,即为点P.(2)在直线l上任取一个异于点P的点P′,以证明.学生小组内交流,教师指定一名学生板演.解：∵点A和点A′关于直线l对称,∴AP＝A′P.∴AP+BP＝A′P+BP＝A′B(等量代换).如图所示,在直线l上任取一个异于点P的点P′,连AP′,BP′,A′P′,则A′P′+BP′>A′B(两点之间线段最短)即AP′+BP′＝A′P′+BP′≥A′B＝AP+BP.∴AP+BP最短.新知应用例1已知:如图所示,D,E分别是AB,AC的中点,CD⊥AB于点D,BE求证:AC＝AB.证明:连接BC,教学反思因为点D ,E 分别是AB ,AC 的中点, 且CD ⊥AB ,BE ⊥AC ,所以CD ,BE 分别是AB ,AC 的垂直平分线, 所以AC ＝BC ,AB ＝CB , 所以AC ＝AB .例2 如图，A ，B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A ,B 两地，问该站建在河边的什么地方，可使所修的渠道最短？ 作法：1.作点A 关于直线a 的对称点A ′. 2.连接A ′B ,交a 于点P . 点P 即为抽水站的位置.课堂练习1.如图1，已知线段AB ,BC 的中垂线 21,l l 交于点M ,则线段AM ,CM 的大小关系是（ ）A .AM ＞CMB .AM ＝CMC .AM ＜CMD .无法确定2.如图2，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ,下列结论不一定成立的是（ ）A .AB ＝AD B .CA 平分∠BCDC .AB ＝BD D .△BEC ≌△DEC图3.如图3，AD ⊥BC 于点D ,D 为BC 的中点，连接AB ,∠ABC的平分线交AD 于点O ,连接OC ,若∠AOC ＝120°，则∠ABC ＝ _____.4.如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ,D 是AB 的中点，且DE ⊥AB ,已知△BCE 的周长为12，且AC -BC ＝2，求AC,BC 的长. 参考答案1.B2.C3.60°4.解：∵ D 是AB 的中点，DE ⊥AB ， ∴ DE 为AB 的中垂线.∴ AE ＝BE .∵ △BCE 的周长为12，∴ BC +CE +BE ＝12. ∴ AC +BC ＝12.∵ AC -BC ＝2，∴ AC ＝7，BC ＝5.课堂小结线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.布置作业完成教材第114页习题.板书设计16.2 线段的垂直平分线第1课时 线段垂直平分线的性质定理一、线段垂直平分线的性质定理 二、最短路径问题 教学反思。

16.2线段的垂直平分线（2）教学目标【知识与能力】1.理解和掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理.2.探索线段的垂直平分线的判定定理的证明,发展学生的演绎推理能力.【过程与方法】通过经历线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.【情感态度价值观】1.经历合情推理发现结论,演绎推理证明结论的过程,体会合情推理与演绎推理的不同作用.2.通过认识上的升华,使学生加深对命题证明的认识.教学重难点【教学重点】线段垂直平分线的性质定理的逆定理.【教学难点】线段垂直平分线性质定理的逆定理的证明与应用.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件1】浦东新区政府为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A,B,C之间修建一个购物中心,该购物中心应建于何处,才能使得购物中心到三个小区的距离相等?说明:留有悬念,暂时不解决,学习了今天的内容,同学们就可以进行城市规划啦![设计意图]设下悬念,激发学生的学习兴趣,使学生能带着问题投入到本节课的学习之中.导入二:给你已知线段a,以a为底边的等腰三角形有几个?如果用三角板和刻度尺,你能画出至少三个吗?利用三角板、刻度尺作出线段的垂直平分线,在垂直平分线上取点,连接可得满足条件的等腰三角形.在这里,我们利用了线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等进行证明.那么反过来,到线段两个端点距离相等的点是否一定都在线段的垂直平分线上呢?下面我们一起来研究.[设计意图]复习上节学过的线段垂直平分线的性质定理,从而引出问题.二、新知构建：活动一:一起探究——线段垂直平分线性质定理的逆定理[过渡语]我们知道,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.反过来,到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上吗?思路一师:反过来,与一条线段两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢?我们也可以通过“证明”来解决这个问题.生:画出图形(如图所示),写出已知,求证.已知:如图所示,P是线段AB外一点,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.师:为了证明P点在AB的垂直平分线上,可以过P作辅助线,先构造“垂直或平分”中的一个关系,去证明另一个.特别要注意防止“过P作线段AB的垂直平分线”这种错误.你能根据提示,说出证明过程吗?证明:设线段AB的中点为O,连接PO并延长.在ΔPOA和ΔPOB中,∴ΔPOA≌ΔPOB(SSS),∴∠POA=∠POB,∵∠POA+∠POB=180°∴2∠POA=180° ∠POA=90°.∴直线PO是线段AB的垂直平分线,∴点P在线段AB的垂直平分线上.师:在证明过程中,我们又得到了线段垂直平分线的判定方法:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.生:判定方法只能判定点在线段的垂直平分线上,那怎么才能判定这条直线就是线段的垂直平分线呢?师:这个问题提得很好,大家想一想,几点确定一条直线?生:两点.师:所以只要我们能证明一条直线上有两点满足判定方法的条件,那么这条直线就一定是线段的垂直平分线.[知识拓展](1)要证明某条直线是某条线段的垂直平分线,有两种证明方法:一是根据定义去证明;二是根据“两点确定一条直线”,证明直线上的两个点都在这条线段的垂直平分线上.(2)根据线段垂直平分线的判定定理可以作线段的垂直平分线.思路二你能写出线段的垂直平分线的性质定理的逆命题吗?它是真命题吗?这个命题不是“如果……那么……”的形式,要写出它的逆命题,需分析原命题的条件和结论,将原命题写成“如果……那么……”的形式,逆命题就容易写出了.鼓励学生找出原命题的条件和结论.原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”,结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”.此时,逆命题就很容易写出来了,“如果有一个点与线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上”.写出逆命题后,就想到判断它的真假.若真,则需证明它;若假,则需用反例说明.请同学们自行在练习本上完成.学生给出了如下的两种证法:已知:线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB.求证:P点在AB的垂直平分线上,证法1:如图所示,取AB的中点C,过PC作直线.∵PA=PB,PC=PC,AC=CB ∴ΔAPC≌ΔBPC(SSS).∴∠PCA=∠PCB.又∵∠PCA+∠PCB=180° ∴∠PCA=∠PCB=90° 即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上.证法2:如图所示,过P作线段AB的垂直平分线PC.∵AC=CB,∠PCA=∠PCB=90° ∴P在AB的垂直平分线上.两种证法由学生表述后,有学生提出:“第一个证明是正确的,而第二个证明我有点弄不懂.”师生共析:如图(1)所示,PD⊥AB,D是垂足,但D不是AB的中点;如图(2)所示,PD平分AB,但PD 不垂直于AB.这说明一般情况下,“过P作AB的垂直平分线”是不一定能实现的,所以第二个证法是错误的.从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题,我们把它称为线段的垂直平分线的判定定理.[设计意图]引导学生用多种方法证明线段垂直平分线的性质定理的逆命题,从而发现它的正确性,提高学生分析问题、演绎推理的能力.活动二:例题讲解【课件2】已知:如图所示,在ΔABC中,AB,AC的垂直平分线DP与EP相交于点P.求证:点P在BC的垂直平分线上.引导学生分析,要让点P在BC的垂直平分线上,就是要证明BP=CP.学生证明,写出证明过程,教师巡视指导后全班讲评.证明:如图所示,连接PA,PB,PC.∵DP,EP分别是AB,AC的垂直平分线,∴PA=PB=PC,∴点P在BC的垂直平分线上.【课件3】(教材第116页做一做)已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,垂足为O.求证:AO=OC,BO=OD.让学生独立思考后完成.证明:因为AB=BC,CD=AD,所以点B,D均在线段AC的垂直平分线上,直线BD是线段AC的垂直平分线,所以AO=OC,同理,BO=DO.【拓展延伸】三角形三边的垂直平分线交于一点.教师讲解:根据线段垂直平分线的性质定理及判定定理,我们很容易证明三角形三边的垂直平分线交于一点.如图所示,其思路可表示为:[设计意图]让学生尝试应用线段垂直平分线的性质定理的逆定理解题,培养学生的应用能力.三、课堂小结：到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上.如果一个点到一条线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上(如图所示).符号语言:∵DA=DB,∴点D在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理).。