线段的垂直平分线各种证明

教学目标：1.经历线段垂直平分线的性质的发现过程，初步掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，体会辩证思想2.能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。

教学重难点能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论1．如图3-137，在△ABC中，AB=AC，∠A＝8０°ＡB的垂直平分线MN交AC的延长线于D．求∠DBC的度数．2．如图3－138，在△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BD交CA延长线于E．求证：∠EAB＝∠EBC．同组探讨，总结：⏹性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

注：点P在线段AB的垂直平分线上P A=PB线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等可见，定理是证明两线段相等的依据。

⏹用集合的观点描述线段的垂直平分线：线段的垂直平分线可以看作是和这条线段的两个端点的距离相等的所有的点的集合。

⏹用符号语言表示线段垂直平分线性质定理：∵P在线段AB的垂直平分线上∴P A=P B用符号语言表示线段垂直平分线判定定理：∵P A=P B∴P在线段AB的垂直平分线上线段垂直平分线定理性质：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等逆定理判定：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上提高练习：一、判断题：1、如下图直线MN 垂直平分线段AB ，则AE=AF 。

2、如下左图线段MN 被直线AB 垂直平分，则ME=NE 。

MNABEBAPMN3、如上右图PA=PB ，则直线MN 是线段AB 的垂直平分线。

证明举例：例1：已知，如图ΔABC 中，边AB ，BC 的垂直平分线相交于点P ，求证：PA=PB=PC 。

证明：∵点P 在线段AB 的垂直平分线上 ∴PA=PB （ ） 同理PB=PC∴PA=PB=PC （ ）由例题PA=PC ，知道点P 在AC 的垂直平分线上，所以三角形三边的垂直平分线交于一点P ，这个点到三个顶点的距离相等。

线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。

2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。

例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。

分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。

解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。

因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。

又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。

二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。

例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。

求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。

分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。

证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。

因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。

又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。

又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。

线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质知识点梳理1、 线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.2、 角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.D21P CABEO1、 等腰三角形的性质等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。

三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合 证明以下推论：等腰三角形的两底角的平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高相等。

等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半4、 等腰三角形的判定：等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 ◆ 命题、公理、定理命题：判断性的语句 陈述句，一般由题设和结论组成，写成“如果……，那么……”的形式 几个重要的公理（不需证明）： （1） 两点之间线段最短；（2） 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （3） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4） 同位角相等，两直线平行； （5）两直线平行，同位角相等。

1、已知：如图，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E 。

求证：BD ＋EC ＝DE 。

2、已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上.3、如图，已知：CD 、CE 分别是AB 边上的高和中线，且ACE ECD DCB ∠=∠=∠。

求证：90o ACB ∠=CA4、如图，已知：在,90,30ooABC C A ∆∠=∠=中，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD 。

证明线面垂直的方法在几何学中，线面垂直是一个非常基础而重要的概念。

我们经常需要证明某条线与某个平面垂直，或者证明两个平面相互垂直。

下面我们将介绍几种证明线面垂直的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

方法一，利用垂直平分线。

垂直平分线是指一条直线将一个角平分成两个相等的角，并且垂直于两条边。

利用垂直平分线可以证明线面垂直的关系。

具体步骤如下：1. 连接线段的中点，得到垂直平分线。

2. 证明垂直平分线与线面的夹角相等。

3. 根据夹角的性质，得出线面垂直的结论。

方法二，利用垂直平行四边形。

垂直平行四边形是指一个四边形中，对角线相互垂直且相等。

利用垂直平行四边形也可以证明线面垂直的关系。

具体步骤如下：1. 证明四边形是垂直平行四边形。

2. 根据垂直平行四边形的性质，得出线面垂直的结论。

方法三，利用垂直平行截割线。

垂直平行截割线是指一条直线与两条平行线相交，且与这两条平行线的夹角相等。

利用垂直平行截割线也可以证明线面垂直的关系。

具体步骤如下：1. 证明截割线与两条平行线的夹角相等。

2. 根据夹角的性质，得出线面垂直的结论。

方法四，利用垂直投影。

垂直投影是指一个点在一个平面上的投影点与该点到平面的距离垂直。

利用垂直投影也可以证明线面垂直的关系。

具体步骤如下：1. 证明点在平面上的投影点与该点到平面的距离垂直。

2. 根据垂直投影的性质，得出线面垂直的结论。

综上所述，证明线面垂直的方法有很多种，其中利用垂直平分线、垂直平行四边形、垂直平行截割线和垂直投影是比较常见的方法。

希望通过本文的介绍，大家能够更好地理解和掌握这些方法，从而更加灵活地运用在实际问题中。

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）（英文：perpendicular bisector）。

垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。

垂直平分线的性质1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（circumcenter），并且这一点到三个顶点的距离相等。

垂直平分线的逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。

垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

巧计方法：点到线段两端距离相等。

可以通过全等三角形证明。

垂直平分线的尺规作法方法之一：（用圆规作图）1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。

2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。

得到一个交点(两交点交与线段的同侧)。

3、连接这两个交点。

原理：等腰三角形的高垂直等分底边。

方法之二：1、连接这两个交点。

原理：两点成一线。

等腰三角形的性质：1、三线合一( 等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线相互重合。

)2、等角对等边3、等边对等角练习：（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可；（2）依据角平分线的性质解答；（3）连接BD、CD，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=DH，DG=DC，依据HL 定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论．解答：解：（1）相等．∵D是线段BC垂直平分线上的一点，∴D点到B、C两点的距离相等；（2）相等．∵点D在∠BAC的角平分线上，∴D点到∠BAC两边的距离相等；（3）BG=CH．连接BD、CD，∵D是线段BC垂直平分线上的点，∴BD=DH，。

八年级丨线段垂直平分线的经典题型解析要点一、线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．线段垂直平分线的尺规作图求做线段AB的垂直平分线作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD即为所求直线．要点诠释：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合．三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心．【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理例一、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离就想等，从而把三角形的边进行转移，求的周长．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 cm．答案】19；∵DE是AC的中垂线，∴AD＝DC，AE＝CE＝3∵△ABD的周长＝AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋DC＝13∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝13＋6＝19．类型二、线段的垂直平分线逆定理例2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC 的垂直平分线．【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC（已证）∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD是线段BC的垂直平分线。

知识点一：（线段垂直平分线的性质及其判定定理）垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形三边的垂直平分线定理：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

我们把该交点称为三角形的外心，特别地：锐角三角形的外心位置在__________，直角三角形的外心位置在___________，钝角三角形的外心位置在___________。

知识点二：（线段垂直平分线的性质及其判定定理的应用）<1> 等腰三角形ABC中，AB=AC，的垂直平分线交，线段ABA︒=∠20AB于点D，交AC于点E，连接BE，则等于CBE∠______。

<2> 如图所示，。

于点交的垂直平分线中，在DACMNABACABABC,=∆若，︒=∠40A则=∠B D C_______。

<3> 已知A,B两个村庄的位置如图所示，现要在公路l边上修建一个人粮食收购站，使其到A,B两村庄的距离相等，试确定粮食收购站的位置。

<4> 已知:线段ha,（如图所示）。

求作：hADaBCACABABC===∆高且使,,,。

（不写作法，保留作图痕迹）<5>在BCDEABACBABCR交的垂直平分线，中，︒=∠∆90t的延长线于点F,若的长是，则，EFDEBFD130=︒=∠_____。

<6>有一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm,现将的长为则重合，折痕为与点折叠，使点BEDEABABC,∆_______。

<7> 平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于点E, 则的周长是C D E∆_____。

<8> 已知：把),1重合与点所示方式摆放（点按如图和ECDEFRtABCRt∆∆点B,C(E),F在同一条直线上，cmBCcmACDEFEDFACB6,84590==︒=∠︒=∠=∠，，，cmEF9=。

立体几何(垂直平分线的证明)立体几何 (垂直平分线的证明)
垂直平分线定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一个直线如何垂直地平分一段线段。

在立体几何中，垂直平分线的证明与平面几何中类似，但需要考虑到空间中的立体性质。

本文将介绍如何证明立体几何中的垂直平分线定理。

垂直平分线定理的表述
垂直平分线定理表述如下：对于一个立体中的一条线段AB，如果存在一条直线CD，CD垂直地平分线段AB，并且交于点E，那么AE = EB。

垂直平分线定理的证明
证明垂直平分线定理的关键在于找到适当的几何性质和定理来支持。

以下是一种可能的证明方法：
1. 假设有一个立方体ABCDE...，其中线段AB需要被垂直平分。

2. 假设存在一条直线CD，CD垂直地平分线段AB，并且交于
点E。

3. 由立体几何性质可知，AE和EB是在平面ACDE中的平面
曲线，且AE和EB垂直于平面ACDE。

4. 由于CD垂直平分线段AB，所以AE = EB。

5. 根据空间几何性质，AE和EB的交点E在平面ACDE上。

6. 因此，垂直平分线定理成立。

结论
垂直平分线定理在立体几何中也是成立的，证明方法与平面几
何类似，但需要考虑到空间中的立体性质。

通过找到适当的几何性
质和定理来支持，我们可以证明立体几何中的垂直平分线定理。

从线段垂直平分线入手证明经过线段的中点并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，它具有如下重要的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.解答某些图形证明问题时，要注意从线段垂直平分线入手.一、利用已知的线段垂直平分线例1 如图1，CD 垂直平分AB ，AB 平分∠CAD.求证：AD ∥BC. 分析：要证明AD ∥BC ，只要证明∠B ＝∠DAB.证明：由CD 垂直平分AB ，得CA ＝CB ，∠B ＝∠CAB.因为AB 平分∠CAD ，所以∠CAB ＝∠DAB.所以∠B ＝∠DAB.所以AD ∥BC.EA BB C图1 图2例2 如图2，△ABC 中，BC 边的垂直平分线DE 交AC 于D ，交BC 于E.求证：AB ＜AC.分析：注意到AB ＜AD ＋BD ，AC ＝AD ＋CD ，那么要证明AB ＜AC ，只要证明BD ＝CD.证明：由DE 是BC 的垂直平分线，得BD ＝CD.因为AB ＜AD ＋BD,所以AB ＜AD ＋CD.所以AB ＜AC.二、利用构造的线段垂直平分线例3 如图3，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°.求证：AB ＝2BC.分析：要证明AB ＝2BC ，应考虑把BC 延长一倍到D ，再证明AB ＝BD. 证明：延长BC 到D ，使DC ＝BC ，得BD ＝2BC ．因为∠ACB ＝90°，所以AC ⊥BD.因为BC ＝DC ，所以AC 是BD 的垂直平分线.所以AB ＝AD.所以∠D ＝∠B ＝60°，∠BAD ＝60°.所以∠D ＝∠BAD ，AB ＝BD.所以AB ＝2BC.D BC AE D图3 图4例4 如图4，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B ＝2∠C.求证：AB ＋BD ＝DC. 分析：三条线段之间的和差关系的证明问题，应转化为证明两条线段相等.为此，可在DC 上截取ED ＝BD ，那么只要证明AB ＝CE.证明：在DC 上截取ED ＝BD ，得CE ＋BD ＝DC ．因为AD ⊥BC 于D ，ED ＝BD ，所以AD 是BE 的垂直平分线.所以AB ＝AE ，∠B ＝∠AEB.因为∠B ＝2∠C ，∠AEB ＝∠EAC ＋∠C ，所以2∠C ＝∠EAC ＋∠C ，∠C ＝∠CAE.所以AE ＝CE ，AB ＝CE.所以AB ＋BD ＝DC.。

垂直平分线的证明方法垂直平分线是指将一条线段垂直地平分为两段相等的线段。

在几何学中，垂直平分线是一个重要的概念，它在许多几何问题中起着重要的作用。

下面我将介绍一种证明垂直平分线的方法。

我们来看一个简单的例子。

假设有一条线段AB，我们想要证明存在一条通过AB中点M且垂直于AB的线段CD，且CD等于AB的长度的一半。

证明的第一步是通过构造。

我们可以在AB上找到一个点P，使得AP=BP，即P是AB的中点。

然后，我们以P为圆心，PA为半径画一个圆，将AB分成两段。

接下来，我们需要证明CD是AB的垂直平分线。

我们可以通过以下步骤来进行证明：第一步，证明CD与AB垂直。

假设线段CD与线段AB不垂直，即它们的夹角不为90度。

那么我们可以在CD上找到一点E，使得AE与AB平行。

由于AE与AB平行，且AE=EB，所以AEB是一个等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，我们可以得出角AEB=角BAE。

但是，角AEB是由直线AE和EB所构成的，它们在E点相交，因此角AEB=180度。

这与角BAE=0度相矛盾。

所以我们得出结论，CD与AB垂直。

第二步，证明CD等于AB的一半。

假设CD不等于AB的一半，即CD大于或小于AB的一半。

如果CD大于AB的一半，我们可以在CD上找到一点F，使得AF与AB平行。

由于AF与AB平行，且AF=FB，所以AFB是一个等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，我们可以得出角AFB=角ABF。

但是，角AFB是由直线AF和FB所构成的，它们在F点相交，因此角AFB=180度。

这与角ABF=0度相矛盾。

同样地，如果CD小于AB的一半，我们可以得出类似的矛盾。

所以我们得出结论，CD等于AB的一半。

通过以上的证明，我们可以得出结论：存在一条通过AB中点M且垂直于AB的线段CD，且CD等于AB的长度的一半。

总结起来，证明垂直平分线的方法是通过构造，然后利用几何性质进行推理。

在这个过程中，我们需要注意使用几何性质和定理来得出结论，并仔细观察图像，防止出现矛盾。