线段的垂直平分线

段的垂直平分线上）
课堂练习
(1)如图，已知在△ABC中， AB= AC=24cm，AC的
垂直平分线分别交AB、 AC于点E、F ，且△BCE的
周长为34cm，求底边BC的长.
A
解：∵EF是AC的垂直平分线(已知)，
∴AE=EC
（线段垂直平分线上的任意一点到这
E
F
条线段两个端点的距离相等）. ∴AB=AE+EB=CE+BE（等量代换）.
已知：如图，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
P
分析： 1、先作垂直 等腰三角形
2、再证平分 三线合一
A
B
1、先取中点 等腰三角形
2、再证垂直 三线合一
如果一个点到一条线段的两个端点的距离相等， 那么这个点在这条线段的垂直平分线上.
P
A
D
已知：如图，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
∴点A在线段BC的垂直平分线上
E
（和一证条明线段A两D个是端点线距段离相B等C的的点，垂在直这条平线段
的垂直分平分线线上的）目的是什么？
同理点D也在线段BC的垂直平分
B
C线上
∴直线AD是线段BC的垂直平分线
AD是∴BC垂B直E平=C分E线（！ 线段垂直平分线上的任意一点到这
D
条线段两个端点的距离相等）
∴PA=PB（全等三角形对应边相等）
N
（2）若点P在线段AB上，则点P与点C重合，即PA=PB.
线段垂直平行线的性质定理
文字语言：
M
线段垂直平分线上的任意一点到这条线 P 段两个端点的距离相等.
符号语言：
12
∵MN⊥AB, CA=CB(已知)

线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。

2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。

例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。

分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。

解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。

因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。

又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。

二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。

例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。

求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。

分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。

证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。

因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。

又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。

又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。

∵AE+EC=AC,
∴BE+EC=AC.
∵AC=17，BC=16.
D
E
∴ △BCD的周长=BE+EC+BC=AC+BC=17+16=33.
练习3、如右图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂 直平分线ED交AC于D点. (1)当AE=13cm时，BE= cm； (2)当△BEC的周长为26cm时，则BC= cm； (3)当BC=15cm，则△BEC的周长是 cm.
C
A
O
B
线段垂直平分线的判定定理
定理 到线段两端距离相等的点在线段 的垂直平分线上.
P
几何语言 如图，
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点在 A 线 段的垂直平分线上.）
线段垂直平分线的判定定理
B
练习1、
已知:如图,AC=AD，BC=BD， 求证：AB垂直平分CD。
E
交流与小结 本节课你学到了什么呢？
• • • • • 线段垂直平分线的折法 线段垂直平分线的画法 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的应用
尺规作图 三角板取中点 画垂线
五、线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的性质定理 •线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等. • 思考：你能写出上面定理的逆命题吗？ • 它是真命题吗？如何证明呢？ 命题 到线段两端距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上. •
<一>操作：画线段垂直平分线 方法一
尺规画法
1
①分别以点A、B为圆心，大于 ½ AB长为半径画弧交于点E、F 则直线EF就是线段AB的垂直平分 线(如图) 方法二 利用三角板过中点画垂线

线段的垂直平分线性质及其应用一、基础知识归纳1 线段的垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．说明：它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程.2 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.说明：（1）关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；（2）要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可；（3）关于线段垂直平分线的判定定理的证明有多种思路，如①过点P作已知线段AB的垂线PC，再证明PC平分AB；②取AB的中点C，证明PC⊥AB；③作∠APC的平分线PC，证明PC⊥AB，且AC=AB.3 三角形的三边的垂直平分线定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．说明：（1）上面的定理是由实践操作（折纸）发现猜想，然后又经过逻辑推理而获得的，它是由实践到理论，从感性到理性的认识过程；（2）该定理综合了线段垂直平分线性质定理和判定定理，是两个定理的升华；（3）锐角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的内部的一点，直角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形斜边的中点，钝角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的外部的一点，但无论这个点在什么位置，它到这个三角形的三个顶点的距离是相等的．二、典型例题剖析典例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N.求证：CM=2BM.【研析】：由于MN 为线段AB 的垂直平分线，所以如果连接MA ，就可以得到MA=MB ，然后通过△M AC 把CM 和MA 联系起来。

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*线段的垂直平分线的性质知识点：1、垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。

2、逆定理是：3、在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。

典例分析：例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=变式2：如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。

若BE=2，∠B =15° 求：AC 的长。

[变式练习1] 如图4，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E.若BC=2+2，AE=2,∠B =22.5° 求：AC 的长.B CA E D 图1AE DC B 图3 A EDCB图4例2: 如图5，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长.(2) 求∠EAN 的度数.(3) 判断△AEN 的形状.[变式练习3]:如图7，在△ABC 中， BC=12,∠BAC =100°,AB 的垂直平分线交BC边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数.创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*[变式练习4]如图8，△ABC 中, ∠BAC =70°, BC=12,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.求:∠EAN 的度数.A B CD E M N 图5 C图7 图8练习（1）如图，已知：BD BC AD AC ==,，那么（ ） （A ）CD 垂直平分AB （B ）AB 垂直平分CD （C ）CD 与AB 互相垂直平分 （D ）以上说法都正确（2）如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上， 那么这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形（C ）钝角三角形 （D ）以上都有可能（3）在ABC ∆中，AC AB =，AD 为角平分线，则有AD______BC （填⊥或//），=BD _____. 如果E 为AD 上的一点，那么=EB _______. 如果︒=∠120BAC ，8=BC ，那么点D 到AB 的距离是______.5. （4）如图，在ABC ∆中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，ABD ∆的周长为cm 12，cm AC 5=，则ABC ∆的周长为_______cm .（5）如图，已知在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，︒=∠15B ，DE 垂直平分AB ，交BC 于E ，5=BE ，则=AC ______. ．证明题（1）如图，已知：AD 是ABC ∆的高，E 为AD 上一点，且CE BE =. 求证：ABC ∆是等腰三角形.（2）如图，已知：在ABC ∆中，A B AC AB ∠=∠=2,，DE 垂直平分线AC 交AB 于D ，交AC 于E . 求证：BC AD =.（3）如图，已知：在ABC ∆中，AB 、BC 边上的垂直平分线相交于点P . 求证：点P 在AC 的垂直平分线上.（4）如图，已知：AD 是ABC ∆的BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线EF ，交B C 的延长线于F ，交AD 于E ，求证：CAF BAF ∠=∠.(5)、如图，已知：BC AB ⊥，BC CD ⊥，︒=∠75AMB ，︒=∠45DMC ，DM AM =. 求证：BC AB = （6）如图，已知：在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于D ，且AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别是E 、F . 求证：AD 是EF 的垂直平分线.创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*（7）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*。

逆定理 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线 上。 线段的垂直平分线可以看作是和线段 两上端点距离相等的所有点的集合
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
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六两啊！这四十两，她就算半年不吃不喝，也是绝对拿不出来的。“方蛤蟆，钱我先帮你垫着，你什么时候攒齐了什么时候 还。”“说话算数吗？”慕容凌娢呆毛一怔，然后阴险的笑道，“那你可要努力多活些日子哦。”“没问题。”韩哲轩笑 道。……第二天清晨，慕容凌娢拖着被剧情掏空的身体去上任。俗话说的好，新官上任三把火，慕容凌娢虽然没权利放火，但 还是可以假装自带BGM的，就是武侠片里高手出场时的那种，气场满满。由于轻微的路痴，慕容凌娢也不知道自己跑了几圈才 找到通政司。当她站在门口时，调整了一下呼吸，平静而又淡定的推开了大门，习惯性的从左往右扫视了一圈，居然木有人！ 那刚才的气场岂不是白放了！慕容凌娢走进门，转身轻巧的把门踢上，却吓得差点没蹲下。就在最右边，窗户旁边阳光照不到 的阴影处，一个人背对着慕容凌娢，好像正在摆有一些奏折的架子上寻找着什么。那人听到动静，回头看向慕容凌娢，目光很 是犀利，还有些阴惨的。慕容凌娢习惯性的将目光稍微倾斜，不去直视他的眼睛。实际上，那人个头不算高，小麦色的皮肤， 五官却长的及其端正，鼻梁高挺，侧颜很上镜。撇开要债般的眼神，慕容凌娢觉得这个人还是可以相处的，但硬要加上那双黑 化桃花眼的话，慕容凌娢下的定义是——这个人，从小缺钙，长大缺爱。脑洞大开后回归正题，慕容凌娢只能友好的朝他笑笑， 居然一句寒暄的话都说不出来。幸好那个人也没想搭理慕容凌娢，往门的方向瞥了一眼之后，就又干起了自己的事。慕容凌娢 尴尬的来到桌前，上面已经摆满了奏折，按照套路，也就当是给皇帝划重点，重要的呈报上去，不重要的……慕容凌娢看了看 那些架子，真心佩服这个年代的人能把放错了地方的资源保存得这么一丝不苟。认真的翻看了几本，慕容凌娢觉得她可能看了 假奏折，这都什么鬼啊！还没手机上的头条信息重要呢。这要拿到现代当作文，不被判为跑题只能说是老师遇到了什么大喜事。 身为奏折，记叙文的特点一定要有，可慕容凌娢怎么看都觉得散文的调调多一些,还掺杂着许多很规范的议论——先说在头儿 的领导下，我们过的很好，只是光辉成就就能扯半张，然后用渐变色般的语气委婉转移话题，不是吐槽这个大臣搞出小事情了， 就算说那个地方转款不够用了，但大多都是一笔带过。这含蓄的程度让慕容凌娢怀疑是否会有人注意到这是奏折而不是一封普 通的信。慕容凌娢习惯性看东西不认真，目光上下乱窜，还没看懂到底发生了什么事，奏折就戛然而止了。这是留白吗？这是 留白。这居然是留白！这种东西也用留白啊？（古风一言）你是我终生求医不得的隐疾始于一见钟情终于挫骨扬灰第103章 什 么鸟都不止一只这含蓄的程度让慕容凌娢怀疑是

线段的垂直平分线——-知识讲解(提高)【学习目标】1。

掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2。

会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理。

3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形。

4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1。

定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2。

线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线。

作法：(1)分别以点A ，B 为圆心,以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； (2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：（1）作弧时的半径必须大于21AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． （2）线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质,是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。

要点诠释:1。

三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心。

2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等。

垂直平分线的定理
1 垂直平分线的定义
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。

垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴。

2 垂直平分线定理
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。

垂直平分线定理为：垂直平分线垂直且平分其所在线段。

垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

3 垂直平分线的逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

4 垂直平分线的判定方法
1、利用定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。

2、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。

第三讲 线段的垂直平分线【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点；（2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了．(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx 即为所求”.2121【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理例1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．【答案】解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．类型二、线段的垂直平分线的逆定理例2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．A【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC （已证）∴点A 和点D 都在线段BC 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD 是线段BC 的垂直平分线。

习题二：求解矩形中垂直平分线的长度问题
总结词
求解矩形中垂直平分线的长度问题，需要理解矩形的性质以及矩形中垂直平分线的定义和性质。
详细描述
首先，我们需要明确矩形的性质。在矩形ABCD中，AC是BD的垂直平分线，并且AC=BD。接着，我们可以利用 矩形的性质来求解垂直平分线的长度问题。具体地，由于AC是BD的垂直平分线，我们可以得到AB=AD， BC=DC。因此，我们可以得到矩形中垂直平分线的长度为AC或BD的长度。
《线段的垂直平分线》
2023-11-08
目 录
• 定义与性质 • 定理与推论 • 垂直平分线的判定 • 垂直平分线的作法 • 垂直平分线的应用 • 习题与解析
01
定义与性质
定义
垂直平分线
一条直线把线段分成两段，其中每段与原线段的两个端点之间的线段相等，这 条直线叫做这条线段的垂直平分线。
中垂线
06
习题与解析
习题一
总结词
证明三角形中垂直平分线的性质定理，需要理解三角 形中线、高线的概念以及它们与垂直平分线的关系。
详细描述
首先，我们需要明确三角形的中线与垂直平分线的定 义。在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，则有 AB=AC，BD=DC，AD垂直平分BC。接着，我们可以 利用三角形全等的证明方法来证明垂直平分线的性质 定理。具体地，由于三角形ABD与三角形ACD全等， 我们可以得到角BAD=角CAD，从而证明AD是角BAC 的角平分线。此外，我们还可以证明AD是BC的高线。 因此，我们证明了三角形中垂直平分线的性质定理。
总结词
经过一个已知点作一条线段的垂直平分线， 方法有多种，其中一种是利用中垂线的性质 。
详细描述
首先，需要明确线段的中点，然后过该中点 作一条与原线段垂直的直线，即为所求的垂 直平分线。

线段的垂直平分线教案4篇（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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线段垂直平分线和角平分线的性质
和判定
线段垂直平分线：
它是在一条线段上的两个端点之间画出的一条垂直于该线段的线段，其中两段等长。

性质：
1.线段垂直平分线是一条垂直于给定线段的线段；
2.它将给定线段分成两段等长的线段；
3.它的端点位于给定线段的端点。

判定：
可以使用叉乘或者勾股定理来判断线段垂直平分线，如果a×b=0，则a线段垂直于b线段；如果|a–
b|=|a+b|，则a线段和b线段等长；如果a和b都满足上述条件，则a线段就是给定线段的垂直平分线。

角平分线：
它是在一个角的两边画出的一条线段，其中两段之间的夹角是该角的一半。

性质：
1.角平分线是一条穿过角的线段；
2.它将角分割成两个等分的角；
3.它的端点位于角的两条边上。

判定：
可以使用叉乘法判断角平分线，如果a×b=0，则a线段和b线段垂直；如果|a+b|= 2*|a|，则a和b之间的夹角是180°的一半；如果a和b都满足上述条件，则a线段就是角的平分线。

垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）（英文：perpendicular bisector）。

垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。

垂直平分线的性质1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（circumcenter），并且这一点到三个顶点的距离相等。

垂直平分线的逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。

垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

巧计方法：点到线段两端距离相等。

可以通过全等三角形证明。

垂直平分线的尺规作法方法之一：（用圆规作图）1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。

2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。

得到一个交点(两交点交与线段的同侧)。

3、连接这两个交点。

原理：等腰三角形的高垂直等分底边。

方法之二：1、连接这两个交点。

原理：两点成一线。

等腰三角形的性质：1、三线合一( 等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线相互重合。

)2、等角对等边3、等边对等角练习：（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可；（2）依据角平分线的性质解答；（3）连接BD、CD，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=DH，DG=DC，依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论．解答：解：（1）相等．∵D是线段BC垂直平分线上的一点，∴D点到B、C两点的距离相等；（2）相等．∵点D在∠BAC的角平分线上，∴D点到∠BAC两边的距离相等；（3）BG=CH．连接BD、CD，∵D是线段BC垂直平分线上的点，∴BD=DH，。

线段的垂直平分线线段是数学中基本的几何概念之一，而垂直平分线是与线段有密切关系的重要概念。

在本文中，我们将探讨线段的垂直平分线的定义、性质以及如何构造和应用。

一、线段的垂直平分线的定义线段的垂直平分线是指将给定线段垂直平分成两个等长线段的直线。

具体而言，对于线段AB，其垂直平分线将线段AB分成两个等长线段AC和CB。

垂直平分线上的任意一点都与线段AB的两个端点A和B的距离相等，并且与线段AB的中点M重合。

二、线段的垂直平分线的性质垂直平分线具有以下重要性质：1. 垂直性：垂直平分线与线段AB垂直相交。

这意味着垂直平分线上的两条相邻线段是垂直的。

2. 位置唯一性：线段的垂直平分线只有一条。

这意味着对于任意给定的线段，只有一条垂直平分线与其相交。

3. 等分性：垂直平分线将线段AB分成两个等长线段。

4. 对称性：线段AB关于垂直平分线具有对称性。

即相对于垂直平分线，点A和点B互为镜像。

三、线段的垂直平分线的构造方法下面介绍两种构造线段垂直平分线的方法：1. 利用圆的性质：首先，以线段AB的中点M为圆心，以线段AB 的一半长度为半径作圆。

然后，将圆与线段AB分别交于两个点C和D，连接线段CD。

线段CD即为线段AB的垂直平分线。

2. 利用作图方法：首先，以点A为中心，以线段AB的长度为半径作圆。

然后，以点B为中心，同样以线段AB的长度为半径作圆。

假设两个圆分别与线段AB交于两个点C和D，连接线段CD。

线段CD 即为线段AB的垂直平分线。

四、线段的垂直平分线的应用线段的垂直平分线不仅仅在几何学中有着重要的应用，还在实际生活中有许多应用。

以下是几个常见的应用示例：1. 建筑设计：在建筑设计中，垂直平分线常用于确定建筑物的中心线，以便建筑师能够对称地布局。

2. 切割材料：在木工或金属加工等行业中，垂直平分线可用于准确定位和切割材料。

3. 路径规划：在地图导航系统中，垂直平分线可用于确定最短路径或最佳路线，以便节省时间和距离。

线段的平分线与垂直平分线一、线段的平分线在几何学中，平分线是指将一条线段分为相等两段的线段。

下面我们将探讨如何构造线段的平分线。

假设有一条线段AB，我们的目标是找到一条经过AB中点M的线段CD，使得CM=MD。

步骤如下：1. 画出AB，并确定其中点M。

使用直尺连接AM和BM，构造直线l。

2. 在直线l上选择一点P，不妨设PA>PB。

用直尺量取PB的长度，将其与PA连接，构造线段PM。

3. 以M为圆心，长度为PM的线段为半径，画一条圆，与PA、PB分别交于点C和D。

4. 则线段CD即为AB的平分线。

二、线段的垂直平分线垂直平分线是指将一条线段垂直分割为两段相等的线段。

下面我们将介绍如何构造线段的垂直平分线。

假设有一条线段AB，我们的目标是找到一条经过AB中点M且垂直于AB的线段CD，使得CM=MD。

步骤如下：1. 画出AB，并确定其中点M。

使用直尺连接AM和BM，构造直线l。

2. 在直线l上选择一点P，不妨设PA>PB。

用直尺量取PB的长度，将其与PA连接，构造线段PM。

3. 以M为圆心，长度为PM的线段为半径，画一条圆，与直线l交于两点C和D。

4. 连接CD，则线段CD即为AB的垂直平分线。

总结：通过上述步骤，我们可以准确地构造出线段的平分线和垂直平分线。

这些构造方法在几何学的实际应用中具有重要意义，例如在建筑设计、地理测量等领域都会用到。

同时，了解和掌握这些构造方法可以提高我们的几何学知识和技能，培养我们的思维能力和几何思维。

因此，在学习几何学的过程中，我们应当注重对线段的平分线和垂直平分线的构造方法的学习和理解，以便更好地运用于实际问题的解决过程中。

通过不断练习和应用，我们可以逐渐掌握这些方法，并从中收获更多的几何学的乐趣和成就感。

线段的垂直平分线线段的垂直平分线是指一条直线，能够将给定线段垂直地分成两等分的线段。

在几何学中，垂直平分线是一个重要的概念，具有许多有趣的性质和应用。

本文将介绍线段的垂直平分线及其相关概念。

一、定义在线段AB上，如果存在一条直线CD，使得CD与AB垂直，并且CD将AB分成两个相等的部分，那么CD就是线段AB的垂直平分线。

换句话说，垂直平分线是连接线段中点的垂直线。

二、性质1. 垂直平分线与线段的关系:垂直平分线始终与线段垂直相交，并且将线段分成两个相等的部分。

2. 垂直平分线的唯一性:任何线段都有唯一的垂直平分线。

这意味着无论线段的长度为多少，都存在一条唯一的垂直平分线。

3. 垂直平分线的长度:垂直平分线的长度等于线段的长度。

4. 垂直平分线的构造:可以使用尺规作图法来构造线段的垂直平分线。

通过先用指南针量取线段长度的一半，然后以该点为中心画一个以该长度为半径的圆，最后通过圆与线段两端的交点作直线即可得到垂直平分线。

5. 垂直平分线的性质:垂直平分线的两侧是相等的，即两侧到线段的距离相等。

三、应用1. 寻找正方形的中心:通过线段的垂直平分线，可以找到正方形的中心。

连接正方形对角线的交点，并经过中点的垂直平分线，就可以确定正方形的中心。

2. 判断多边形的对称性:若多边形的每条对边都有一条垂直平分线，并且这些垂直平分线全部相交于一点，那么该多边形是对称的。

3. 几何推理:垂直平分线在几何推理中有着重要的作用。

通过使用垂直平分线，可以证明一些几何定理，如三角形的垂心、外心等。

四、案例分析现以线段AB为例，其长度为6个单位长度。

通过尺规作图法，我们可以构造出线段AB的垂直平分线CD。

CD经过线段AB的中点E，并且垂直于线段AB。

根据垂直平分线的性质，我们知道CE和DE的长度都是3个单位长度。

通过这个例子，我们可以看到线段的垂直平分线的构造方法和性质。

对于任意长度的线段，我们都可以用类似的方法来构造其垂直平分线。

B
A
C
M
N
M’
N’
P
3.如图P是AB垂直平分线MN上一点，连结PA、PB,则∠A与∠B( )
A.∠A﹥∠B B. ∠A﹤∠B C. ∠A=∠B
M
N
P
A
B
C
4.如图，已知BC的垂直平分线分别交BC、AB于E、D,如果AB+AC=40cm,则三角形ACD的周长是（ ）。
提高训练
北市区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。 A B C 实际问题1
提高训练
B
A
C
1、求作一点P，使它和已知△ABC的三个顶点距离相等.
实际问题
数学化
p
PA=PB=PC
实际问题1
作法：（1）作边BC的垂直平分线MN.
你能依据上题得到什么结论？
2. 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分 线交于P.求证：（1）PA=PB=PC; （2）点P在BC的垂直平分线上.
证明：∵点P在线段AB、AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PB=PC（线段垂直平分线与线段两端的距离相等） ∴PA=PB=PC（等量代换） ∴点P在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
若PA=PB，则OP垂直平分AB . ( )
（1）若PA=PB，则OP垂直平分AB. ( )
如图，判断下列各结论的正误:

A
B
（2）若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上. （ ） （3）若PA=PB，OA=OB,则OP垂直平分AB . （ ）
2. 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：（1）PA=PB=PC; （2）点P在BC的垂直平分线上.