线段的垂直平分线练习题

2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1.3线段的垂直平分线》同步练习题（附答案）1．如图，△ABC中，AB＝10，边BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于E、D，且AC＝6，则△ACE的周长为（）A．16B．18C．22D．262．如图，∠ABC＝90°，∠C＝15°，线段AC的垂直平分线DE交AC于D，交BC于E，D为垂足，CE＝10 cm，则AB＝（）A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．不能确定3．如图，在△ABC中，点O是边BC，AC的垂直平分线的交点，若AB＝8，OB＝5，则△AOB的周长是（）A．13B．15C．18D．214．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点5．如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）A．三边垂直平分线的交点B．三边中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点6．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．则∠ACD的大小为（）A．60°B．75°C．65°D．70°7．A、B、C三个小区在一个三角形的三个顶点的位置上，要求在它们中间建造一座公园，为使三个小区到公园距离相等，则公园最适当的建造位置是在△ABC的（）A．三条中线的交点B．三条垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点8．如图：在Rt△ABC，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为E，若AC＝4，BC＝3，则线段DE的长度为．9．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠B＝50°，则∠AOC＝．10．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠F AC＝65°，则∠B的度数为．11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．若DC＝2，AD＝1，则BE的长为．12．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于D，交AB于E，已知AE＝1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是cm．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，连接AD，若BD＝4CD，则S△AED：S△ABC＝．14．三角形两边的中垂线的交点到三个顶点的距离的大小关系是．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．16．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．（1）求∠P AQ的度数．（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．（2）求证：BF＝AC．（3）试说明CE＝BF．19．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC 于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．20．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC＝∠B．21．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC 于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．（1）求线段BC的长；（2）连接OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．22．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，BC边上的垂直平分线DE交BC、AB分别于点D、E，△AEC的周长是13，BC＝6．求∠ACE的度数和△ABC的周长．23．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，BC＝8．求△AEG周长．24．如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，（1）直线MN与线段AB的关系是怎样的？为什么？（2）若△ADC的周长为10，AB＝7，求△ABC的周长．25．两两相交的三条公路经过A、B、C三个村庄．（1）要建一个水电站P到三个村庄的距离相等，请通过画图确定点P的位置．（2）要建一个加油站Q，使加油站Q到三条公路的距离相等，这样的加油站Q的位置有处．参考答案1．解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∴△ACE的周长＝AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝16，故选：A．2．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC＝10，∴∠EAC＝∠C＝15°，∴∠AEB＝30°，∴AB＝AE＝5（cm），故选：B．3．解：连接OC，∵点O是边BC，AC的垂直平分线的交点，∴OB＝OC，OA＝OC，∴OA＝OB，∵OB＝5，∴OA＝OB＝5，∵AB＝8，∴△AOB的周长是AB+OA+OB＝8+5+5＝18，故选：C．4．解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．故选：D．5．解：∵中转仓到A、B两地的距离相等，∴中转仓的位置应选在边AB的垂直平分线上，同理，中转仓的位置应选在边AC、BC的垂直平分线上，∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上，故选：A．6．解：由尺规作图可知，线段BC的垂直平分线交AB于D，∴DC＝DB，∴∠DCB＝∠B＝30°，∵∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝75°，故选：B．7．解：∵线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，∴三个小区到公园距离相等，公园最适当的建造位置是在△ABC三边垂直平分线上，故选：B．8．解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，连接BD，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝AB＝，∠DEB＝90°，AD＝BD，设AD＝BD＝x，则CD＝4﹣x，在Rt△DCB中，由勾股定理得：CD2+BC2＝BD2，即（4﹣x）2+32＝x2，解得：x＝，即BD＝，在Rt△DEB中，由勾股定理得：DE＝＝＝，故答案为：．9．解：如图，连接OB，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠A，∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO，∵OE垂直平分BC，∴OC＝OB，∴∠CBO＝∠C，∴∠COB＝180°﹣2∠CBO，∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，∴∠AOC＝360°﹣（180°﹣2∠CBO+180°﹣2∠ABO）＝2（∠CBO+∠ABO）＝2∠ABC ＝2×50°＝100°，故答案为：100°．10．解：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，设∠CAD＝∠BAD＝x°，∵EF垂直平分AD，∴F A＝FD，∴∠FDA＝∠F AD，∵∠F AC＝65°，∴∠F AD＝∠F AC+∠CAD＝65°+x°，∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，∴65°+x°＝∠B+x°，∴∠B＝65°，故答案为：65°．11．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC＝2，∵BD是∠ABC的平分线，∠A＝90°，DE⊥BC，∴DE＝AD＝1，∴BE＝＝，故答案为：．12．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AB＝2AE＝2×1＝2cm；DB＝DA∴△ABC的周长为BA+AC+CD+DB＝BA+（AC+CD+DA）＝2+12＝14cm．△ABC的周长是14cm．故填14．13．解：设CD＝x，则BD＝4x，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，AD＝BD＝4x，∴△AED的面积＝△BED的面积＝S△ADB，∵S△ACD＝＝，S△ADB＝＝，∴S△ACD＝S△ADB，∴S△AED：S△ABC＝（S△ADB）：（S△ADB+S△ADB）＝2：5，故答案为：2：5．14．解：相等，理由是：∵P是线段AB和线段AC的垂直平分线的交点，∴AP＝BP，AP＝CP，∴AP＝BP＝CP，即三角形两边的中垂线的交点到三个顶点的距离的大小关系是相等，故答案为：相等．15．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．16．解：（1）设∠P AQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ，∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，∵∠BAC＝80°，∴∠B+∠C＝100°，即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，∴x＝20°，∴∠P AQ＝20°；（2）∵△APQ周长为12，∴AQ+PQ+AP＝12，∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ+PQ+PB＝12，即CQ+BQ+2PQ＝12，BC+2PQ＝12，∵BC＝8，∴PQ＝2．17．解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝P A，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．18．解：（1）△DBC是等腰直角三角形，理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD，∴△DBC是等腰直角三角形；（2）∵BE⊥AC，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵∠BFD＝∠CFE，∴∠DBF＝∠ACD，在△BDF与△CDA中，，∴△BDF≌△CDA，∴BF＝AC；（3）∵BE是AC的垂直平分线，∴CE＝AC，∴CE＝BF．19．（1）证明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB，∵AD＝DB，∴DF是线段AB的垂直平分线；（2）解：∵∠A＝46°，∴∠ABE＝∠A＝46°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝21°，∠F＝90°﹣∠ABC＝23°．20．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠F AD＝∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠F AD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD ＝∠EDA，∴∠EAC＝∠B．21．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm；（2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB+OC+BC＝16cm，∴OA＝0B＝OC＝5cm；（3）∵∠BAC＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°．22．解：∵DE垂直平分BC，∴EB＝EC．∴∠B＝∠ECB＝50°．∵在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣50°＝70°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝70°﹣50°＝20°．∵△AEC的周长为13，∴AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝13．∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝13+6＝19，答：∠ACE为20°，△ABC的周长为19．23．解：∵△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，∴AE＝BE，AG＝CG，∵BC＝BE+EG+CG＝8，∴AE+EG+AG＝8，则△AEG的周长为8．24．解：（1）MN垂直平分AB．理由：连接AM，AN，BM，BN，根据题意得：AN＝BN，AM＝BM，∴点N在线段AB的垂直平分线上，点M在线段AB的垂直平分线上，∴MN是线段AB的垂直平分线，∴MN垂直平分AB．（2）∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵△ADC的周长为10，AB＝7，∴AC+AD+CD＝10，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝AB+AC+CD+BD＝AB+（AC+CD+AD）＝10+7＝17．…25．解：（1）如图，由于“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，分别作AB、BC、CA边的垂直平分线，相交于P，P即为所求．（2）如图，由于“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作∠ABC、∠BCA、∠CAB的平分线相交于P1，∠IAE和∠DCA的平分线相交于P2，∠ECB和∠FBC的平分线相交于P3，∠HAB和∠GBH的平分线相交于P4．故加油站Q的位置有4处．。

线段的垂直平分线练习题线段的垂直平分线是指将一条线段垂直平分的直线。

其性质是，垂直平分线将线段分成两个相等的部分。

也就是说，如果一条线段的垂直平分线为AD，那么AB=AC。

这个性质可以用来解决一些几何问题。

判定线段的垂直平分线的方法是，如果一条直线通过线段的中点，并且垂直于这条线段，那么这条直线就是这条线段的垂直平分线。

举例来说，如果在△ABC中，AD垂直平分BC，且AB=5，那么AC=5，因为AD是BC的垂直平分线。

在△ABC中，如果AB的中垂线交BC于点E，且BE=2，则AE的长度为3.这个问题可以通过应用垂直平分线的性质来解决。

如果AB垂直平分CD，且AC=1.6cm，BC=2.3cm，则四边形ABCD的周长为4.6cm。

这个问题可以通过计算各边长度来解决。

如果NM是线段AB的中垂线，则①AB⊥MN，③MN⊥AB，⑤AB是MN的垂直平分线。

这个问题可以通过应用垂直平分线的性质来解决。

正确的说法有三个：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点。

解答问题时，可以利用垂直平分线的性质和判定方法来解决问题。

例如，在△ABC中，如果DE是AB边的垂直平分线，AE平分∠BAC，且∠B=30，则∠C的度数为60度。

另一个例子是，在直线AB上找一点P，使PC=PD。

可以通过画出垂直平分线来解决这个问题。

最后一个例子是，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点。

根据给定条件，可以求出BE的长度，BC的长度以及△BEC的周长。

1.角平分线上的性质角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的线段。

对于一个角ABC，它的平分线可以记作BD，其中D是BC上的一点。

那么，BD到AB和BD到AC的距离是相等的，因为BD 将角ABC平分成了两个相等的角。

同样地，如果一个点在角ABC的平分线上，那么它到AB和AC的距离也是相等的。

1题A B E C 2题D A B C 3题D AB EC 4题A B C O 5题D A BE C 11题D A B E C O 12题D A B E C 13题D A B E C 14题D A B E C 15题D A B E C6题D A BE C 8题D A B E C 7题D A B E C 10题'9题《垂直平分线》练习题1.如图，△ABC 的边AB 的垂直平分线交AC 于点E,若AE=23，则BE= 。

2.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D, △ABC 和△DBC 的周长分别为60㎝和38㎝，则△ABC 的腰长为 ，底边长为 。

3.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,垂足为E ，①若∠B=20°，则∠ADC 的度数为 ；②若△ADC 的周长为14，AC=4，则AB= ；③若AB=8㎝，则CD= 。

4.如图，△ABC 中，∠A=52°，AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为 。

5.如图，∠ABC=50°，AD 垂直平分线段BC ，交BC 于点D ，∠ABC 的角平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数为 。

6.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ，△ABD 的周长为12㎝，AC=5㎝，则△ABC 的周长为 。

7.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D, ∠EBC ∶∠EBA=1∶2，则∠A 的度数为 。

8.如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂直平分线交AD 与点E,则△CDE 的周长为 。

9.如图，某广告公司为一厂家设计的商标图案，AD 垂直平分线段BC ，E 、F 都在线段AD 上，若AB=5，BC=6，则图中阴影部分面积为 。

10.如图，△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D 为BC 的中点，且它关于AC 的对称点D ’,则 BD ’= 。

垂直平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于点D，交BC于点E，AC=AD=BD，请你猜想∠C的度数并证明．2．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC 于点M，求证：BN=CM．3．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC 交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．6．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．7．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P．（1）求证：PA=PB=PC；（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，求BD的长．9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．11．如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF 的理由．12．如图所示，在△ABC中，AB=AC=16cm，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于E，△BCE的周长为26cm，求BC的长．13．如图，在△ABC中，EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，BC=8cm．求△AED的周长．14．如图，在△ABC中，0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∠ABO=20°，∠ABC=45°，求∠BAC和∠ACB的度数．15．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则BF=CG吗？说明理由．16．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？17．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．（1）求∠PAQ的度数；（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．①若∠BAC=130°，则∠PAQ=_________°，若∠BAC=α，则∠PAQ用含有α的代数式表示为_________；②当∠BAC=_________°时，能使得PA⊥AQ；③若BC=10cm，则△PAQ的周长为_________cm．18．如图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，求BC 的长度．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=32，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D．（1）若△DBC的周长为56，求BC的长；（2）若BC=21，求△DBC的周长．20．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE 的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．21．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q．（1）若BC=10，求△APQ周长是多少？（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数是多少？24．已知，如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：（1）∠ABD=∠ACD；（2）DE=DF．25．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．求证：AD垂直平分EF．26．如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，BM=CN 试证明：点D在∠BAC的平分线上．27．如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．28．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．29．已知，如图，DE为△ABC的边AB的垂直平分线，CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，求证：AN=BM．30．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．（1）求证：BE=CF；（2）求AE的长．参考答案：1．解：∠C=90°．证明：如图，连接AE，在Rt△AED和Rt△BED中，，∴△AED≌△BED（HL），∴∠DAE=∠B，又∵∠BAC=2∠B，∴∠DAE=∠CAE，在△AED和△BED中，，∴△ACE≌△ADE，∴∠C=∠ADE=90°．2．证明：连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．3．（1）证明：如图，连接BD，∵DH垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDE中，，∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠CDE=∠BDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠BAC=80°，∴∠EDF=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∴∠BDC=100°，∵BD=CD，∴∠DCB=（180°﹣100°）=50°4．解：∵AB=AC，∠A=52°，∴∠ABC=∠ACB==64°，∵AB的垂直平分线MN，∴AD=BD，∠A=∠ABD=52°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=64°﹣52°=12°5．证明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，∴∠DAH=∠DCA，∵∠BAC=90°，BE∥AC，∴∠CAD=∠ABE=90°．又∵AB=CA，∴在△ABE与△CAD中，∴△ABE≌△CAD（ASA），∴AD=BE，又∵AD=BD，∴BD=BE，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，故∠ABC=45°．∵BE∥AC，∴∠EBD=90°，∠EBF=90°﹣45°=45°，∴△DBP≌△EBP（SAS），∴DP=EP，即可得出BC垂直且平分DE6．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，∴∠BAF=∠ACF7．证明：（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等8．解：因为CE垂直平分AD，所以AC=CD=5cm．所以∠ACE=∠ECD．因为CD平分∠ECB，所以∠ECD=∠DCB．因为∠ACB=90°，所以∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°．所以∠A=90°﹣∠ACE=60°．所以∠B=90°﹣∠A=30°．所以∠DCB=∠B．所以BD=CD=5cm9．证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B10．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE=DE，∴∠EAD=∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠FAD=∠CAD，∴∠FDA=∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵∠EAC=∠EAD﹣∠CAD，∠B=∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠B11．解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF12．解：∵点D中AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的中垂线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=26，∴BC=26﹣AC=26﹣16=10cm13．解：∵EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，∴BE=AE，CD=AD，14．解：连接AO并延长，交BC于点D，∵0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∴OB=OA，OC=OA，∴OC=OB，∠ABO=∠BAO=20°，∠CBO=∠BCO，∠CAO=∠ACO，∵∠ABC=45°，∴∠CBO=∠BCO=25°，∴∠BOC=180°﹣∠CBO﹣∠BCO=130°，∵∠BOD=∠ABO+∠BAO，∴∠BOD=40°，∠COD=90°．∵∠COD=∠CAO+∠ACO，∴∠CAO=45°，∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=65°，∠ACB=∠BCO+∠ACO=70°15．解：BF=CG；理由如下：因为点E在BC的垂直平分线上，所以BE=CE．因为点E在∠BAC的角平分线上，且EF⊥AB，EG⊥AC，所以EF=EG，在Rt△EFB和Rt△EGC中，因为BE=CE，EF=EG，所以Rt△EFB≌Rt△EGC（HL）．所以BF=CG16．解：∵BC边的垂直平分线DE，∴BE=CE=5，∵BE+CE+BC=18，∴BC=18﹣5﹣5=8，答：BC的长是817．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；（2）①∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=α，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣α，∴∠BAP+∠CAQ=180°﹣α，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°；②当∠PAQ=90°，即2α﹣180°=90°时，PA⊥AQ，解得：α=135°，∴当∠BAC=135°时，能使得PA⊥AQ；③∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∵BC=10cm，即BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=10cm，∴△PAQ的周长为10cm．故答案为：①80，2α﹣180°；②135；③1018．解：在△ABE中，∵D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，∴AE=BE；在△ABC中，∵AB=AC=14cm，AC=AE+EC，又∵CE+BE+BC=24cm，∴BC=10cm19．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD=AC，∵△DBC的周长为56，AC=32，∴BC=56﹣32=24；（2）∵AD=BD，AC=32，∴AD+CD=BD+CD=AC=32，∵BC=21，∴△DBC的周长=BD+CD+BC=32+21=53．故答案为：24；5320．解：（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，∴BC=6cm；（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA=OC=OB，∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，∴OC+OB=16﹣6=10，∴OC=5，∴OA=OC=OB=5．21．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDA=180°﹣∠AED﹣∠EAD，∠FDA=180°﹣∠AFD﹣∠FAD，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF（已证），∴DG垂直平分EF（三线合一），即AD垂直平分EF．22．证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B23．解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，∴AP=BP，AQ=CQ，∴△APQ周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC，∵BC=10，∴△APQ周长=10；（2）∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵AP=BP，AQ=CQ（已证），∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=∠BAC﹣∠B﹣∠C=110°﹣70°=40°24．证明：（1）∵AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，∴∠ABD=∠ACD；（2）∵AB=AC，AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF25．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（HL），∴AE=AF，又∵AD平分∠BAC，∴AD垂直平分EF26．证明：如图，连接BD、CD，∵DE⊥BC，E是BC边上的中点，∴BD=CD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN（HL），∴DM=DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．27．解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．故答案为：728．解：连接DB．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC；∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF；∵∠DFC=∠DEB=90°，在Rt△DCF和Rt△DBE中，，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE（全等三角形的对应边相等）．29．证明：∵DE为△ABC的边AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，∴DN=DM，在Rt△ADN和Rt△BDM中，，∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），∴AN=BM．30．（1）证明：连结BD，CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE=CF；（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴AE=AF．∵AB=AE+BE，∴AB=AF+EB，∴AB=AC+CF+EB．∵AB=8，AC=4，∴8=4+CF+EB，∴CF+EB=4，∴2EB=4，∴EB=2．∴AE=8﹣2=6．答：AE的长为6．。

(第2题）E D C A 线段的垂直平分线1、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、钝角三形C 、直角三角形D 、不能确定2、线段的垂段直平分线上的点和这条线段两个端点的_________相等。

3、和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的__________________上。

4、三角形三边垂直平分线的交点到_________的距离相等。

5、若△ABC 中有两边的垂直平分线的交点恰好在第三边上，则△ABC 必定为（ ）A 、锐角三角形B 、直角形C 、等腰三角形D 、等边三角形6、下列说法：①若直线PE 是线段AB 的中垂线，则EA=EB ，PA=PB ；②若PA=PB ，EA=EB ，则直线PE 垂直平分线段AB ；③若PA=PB ，则点P 必是线段AB 中垂线上的点；④若EA=EB ，则经过点E 的直线垂直平分线段AB ，其中正确的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、已知MN 是线段AB 的垂直平分线，下列说法中正确的是（ ）A 、与AB 距离相等的点在MN 上 B 、与点A 和点B 距离相等的点在MN 上C 、与MN 距离相等的点在AB 上D 、AB 垂直平分MN8、已知点D 在△ABC 的边AB 的垂直平分线上，且AD+DC=AC ，若AC=5cm ，BC=4cm ，则△BDC 的周长为（ ）A 、6cmB 、7cmC 、8cmD 、9cm9.一如图，△ABC 中，AD 垂直平分边BC ，AB ＝5，那. 么AC ＝_________（第9题） （第11题）10.如图，在△ABC 中，AB 的中垂线交BC 于点E ，若BE=2则A 、E 两点的距离是（ ）. A.4 B.2 C.3 D.1211、如图，AB 垂直平分CD ，若AC=1.6cm ，BC=2.3cm ，则四边形ABCD 的周长是（ ）cm.(第1题)A.3.9B.7.8C.4D.4.612.已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C的度数。

线段的垂直平分线练习题一、选择题1.下列命题中正确的命题是( )①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过点P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线。

A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列作图语句正确的是( )A.过点P作线段AB的中垂线B.在线段AB的延长线上取一点C,使AC=BCC.过直线α,直线b外一点P作直线MN,使MN∥α∥bD.过点P作直线AB的垂线3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900,BC的垂直平分线交斜边AB于点D,AB=12cm,AC=6cm,则图中等于600的角共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个4.△ABC中,∠C=900,AB的中垂线交直线BC于D,若∠BAD-∠DAC=22.50,则B等于( )A.37.50B.67.50C. 37.50 或67.50D.无法确定三、填空题5.三角形三边的垂直平分线交于一点,且这点到三个顶点的距离 .6.到线段两端距离相等的点在这条线段的 .7.已知线段AB外的两点P、Q，且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是。

8．底边AB=a等腰三角形有个，符合条件的顶点C在线段AB 的上。

9.如图，直线ι上一点Q满足QA=QB则Q点是直线ι与的交点。

10.在△ABC中,AB=AC=6cm,AB的垂直平分线与AC相交于E点,且△BCE的周长为10cm,则BC= cm.11.在Rt△ABC中, ∠C=900,AC＞BC,AB的垂直平分线与AC相交于E 点, 连结BE,若∠CBE:∠EBA=1:4,则∠A= ,∠ABC= .三、解答题12. 如图, △ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.求证:AO⊥BC13. 如图,某住宅小区拟在休闲场地的三条公路上修建三个凉亭A、B、C，凉亭用长廓两两相通，如果A、B的位置已经选定，那么凉亭C建在什么位置，才能使工程造价最低？请用尺规作出图形（不写作法，但保留作图痕迹，并简要说明理由.14.如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠B=900, ∠ADC=1350,CD的垂直平分线交BC于N,交AB的延长线于F,垂足为M,求证:AD=BF.。

初中数学线段的垂直平分线的性质练习题AC的长为半径作弧，两弧相交1. 如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12于M，N两点，作直线MN，交AC于点E，AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长是( )A.16B.17C.18D.192. 已知锐角三角形△ABC中，∠A=65∘，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是( )A.25∘B.30∘C.35∘D.40∘3. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（）A.5B.4C.3D.24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A.3 2B.76C.256D.25. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90∘，分别以点A，B为圆心，大于12AB为半径作弧，相交于点M，N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连结CD，下列结论错误的是（）A.MN是线段AB的中垂线B.CD=12ABC.∠A＝∠BEDD.∠ECD＝∠EDC6. 如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定7. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点C，若BG=1,AC=4，则△ACG的面积是（）A.1B.32C.2 D.528. 如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．对于以上两种作法，可以做出的判定是（）A.甲正确，乙错误B.甲、乙均正确C.乙正确，甲错误D.甲、乙均错误9. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E，AE=2cm，△ABD的周长为9cm，则△ABC的周长为( )A.11cmB.13cmC.14cmD.15cm10. 下列命题是假命题的是( )A.n边形(n≥3)的外角和是360∘B.矩形的对角线互相平分且相等C.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等D.相等的角是对顶角11. 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50∘，则此等腰三角形的顶角为________.12. 如图：已知DE垂直平分AB，如果△BCD的周长是30，BC=12，则AC=________.13. 如图，在△ABC中，∠A＝35∘，∠B＝90∘，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝________度．14. 如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为________．15. 已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F．若AB=8，AC=4，则AE=________．16. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①AD和EF互相垂直平分；②AE＝AF；③当∠BAC＝90∘时，AD＝EF；④DE是AB的垂直平分线．其中正确的是________（填序号）．17. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，BC=12，DE垂直平分BC，点P是DE上的动点，则△APC周长的最小值是________．18. 如图，∠C=80∘，DE垂直平分AB于点E，交BC于点D，且∠CAD:∠CAB=1:3，则∠B=________．19. 如图，在△ABC中，AB+AC=7cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为________cm．20. 如图，△ABC中，∠C＝90∘，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若∠B＝37∘，求∠CAD的度数．21. 如图，已知锐角∠MPN，点A在射线PN上．（1）尺规作图：在射线PM上求作点B，使得BP＝BA；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在射线AN上截取AC＝PB，试判断∠BCP和∠MPN的数量关系，并说明理由．22. 作图与计算(1)已知：∠α，∠AOB求作：在图2中，以OA为一边，在∠AOB的内部作∠AOC=∠α（要求：直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在同一平面内，过点O分别引射线OA，OB，OC且∠AOB=65∘，∠BOC=30∘，求∠AOC的度数．参考答案与试题解析初中数学线段的垂直平分线的性质练习题一、选择题（本题共计 10 小题，每题 5 分，共计50分）1.【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质【解析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，∴DA=DC，AE+EC=6，∵AB+AD+BD=13，∴AB+BD+DC=13，∴△ABC的周长是AB+BD+DC+AC=13+6=19.故选D.2.【答案】A【考点】线段垂直平分线的性质角平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意画图可知：设AB，AC与垂直平分线的交点分别为D，E，∴AD=BD，∠ADC=∠BDC=90∘∵DC为公共边，∴△ADC≅△BDC(SAS)，∴∠A=∠DBC=65∘∴∠DCB=90∘−65∘=25∘，故选A.3.【答案】A【考点】线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】勾股定理线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设CE=x，连接AE，如图所示，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE=BC+CE=3+x，∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即(3+x)2=42+x2，，解得x=76∴CE=7．6故选B.5.【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质作图—基本作图【解析】利用基本作法对A进行判断；根据斜边上的中线性质对B进行判断；根据等角的余角相等可对C进行判断；利用等腰三角形的性质和∠ECD＝∠EDC可推出∠A＝60∘，由此可对D进行判断．【解答】由作法得MN垂直平分AB，所以A选项的结论正确；∵CD为斜边AB上的中线，∴CD=1AB，所以B选项的结论正确；2∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90∘，∵∠B+∠BED＝90∘，而∠B+∠A＝90∘，∴∠A＝∠BED，所以C选项的结论正确；∵CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝2∠ECD，而∠EDC+∠ADC＝90∘，若∠ECD＝∠EDC，则∠ADC＝60∘，∠A＝60∘，而已知条件没有给定∠A＝60∘，所以D选项的说法错误．6.【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质【解析】根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质解答．【解答】解：如图，CA，CB的中点分别为D，E，CA，CB的垂直平分线OD，OE相交于点O，且点O落在AB边上，连接CO，∵OD是AC的垂直平分线，∴OC=OA.同理OC=OB，∴OA=OB=OC，∴A，B，C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上，∴C是直角，即这个三角形是直角三角形.故选B．7.【答案】C【考点】作图—基本作图线段垂直平分线的性质角平分线的性质【解析】【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，所以△ACG的面积=12×4×1=2．故选C.8.【答案】B【考点】正方形的判定与性质作图—复杂作图矩形的性质【解析】直接利用基本作图方法得出对应边以及对应角的关系，进而结合正方形的判定方法分析得出答案．【解答】由甲的作法可得：DF＝AD＝AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB // DC，∠A＝90∘，∵DF=∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∵∠A＝90∘，∴平行四边形AEFD是矩形，∵AD＝AE，∴矩形AEFD是正方形；故甲的作法正确；∵四边形ABCD是矩形，∠CDA＝∠DAB＝90∘，由乙的作法可得：∠ADN＝∠MDN＝∠DAM＝∠NAM＝45∘，则AD＝AN＝DM，在△MDA和△NAD中{∠MDA=∠DANAD=AD∠DAM=∠ADN，∴△MDA≅△NAD(AAS)，∴DM＝AN，∴DM=∥AN，∴四边形ANMD是平行四边形，∵∠DAB＝90∘，∴平行四边形ANMD是矩形，∵AD＝AN，∴矩形ANMD是正方形；故乙的作法正确．9.【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质【解析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，求出AC和AB+BC的长，即可求出答案. 【解答】解：∵ DE是AC的垂直平分线，AE=2cm，∴ AC=2AE=4cm，AD=DC，∵ △ABD的周长为9cm，∴ AB+BD+AD=9cm，∴ AB+BD+DC=AB+BC=9cm，∴ △ABC的周长为AB+BC+AC=9cm+4cm=13cm.故选B.10.【答案】D【考点】命题与定理多边形的外角和线段垂直平分线的性质矩形的性质【解析】根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和矩形的性质判断即可．【解答】解：A，n边形(n≥3)的外角和是360∘，该选项为真命题；B，矩形的对角线互相平分且相等，该选项为真命题；C，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，该选项为真命题；D，相等的角不一定是对顶角，该选项为假命题.故选D.二、填空题（本题共计 9 小题，每题 5 分，共计45分）11.【答案】40∘或140∘【考点】等腰三角形的性质线段垂直平分线的性质【解析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．【解答】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时，∵∠ADE=50∘，∠AED=90∘，∴∠A=40∘；如图，当等腰三角形为钝角三角形时，∵∠ADE=50∘，∠DAE=40∘，∴∠BAC=180∘−40∘=140∘.综上所述，此等腰三角形的顶角为40∘或140∘.故答案为：40∘或140∘.12.【答案】18【考点】线段垂直平分线的性质【解析】根据等腰三角形的判定，可由∠ABC=∠C，得到AB=AC=6，再由线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，即可得到△BCD的周长．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴BD=AD，∵△BCD的周长是30，∴BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=30，又∵BC=12，∴AC=18.故答案为：18.13.【答案】20【考点】直角三角形的性质线段垂直平分线的性质【解析】根据直角三角形的性质可得∠ACB＝55∘，再利用线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，根据等边对等角可得∠A＝∠ACD＝35∘，进而可得∠BCD的度数．【解答】∵∠A＝35∘，∠B＝90∘，∴∠ACB＝55∘，∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝35∘，∴∠BCD＝20∘，14.【答案】19cm【考点】线段垂直平分线的性质【解析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AC=2AE=6cm，又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．故答案为：19cm．15.【答案】6【考点】全等三角形的性质与判定线段垂直平分线的性质角平分线的性质【解析】首先连接PB，PC，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，易得PE=PF，PB=PC，继而证得△PBE≅△PCF，AE=AF，又由AB=8，AC=4，即可求得答案．【解答】解：连接PB，PC，如图，∵ 点P 在BC 的垂直平分线上，∴ PB =PC .∵ AP 平分∠BAC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴ PE =PF ，∠PEB =∠PFC =90∘，∴ ∠APE =∠APF ，∴ AE =AF .在Rt △PBE 和Rt △PCF 中，{PB =PC,PE =PF,∴ Rt △PBE ≅Rt △PCF(HL)，∴ BE =CF .∵ AB =AE +BE ，AF =AC +CF ，∴ AB =AC +CF +BE .∵ AB =8，AC =4，∴ BE =CF =2，∴ AE =AC +CF =6．故答案为：6．16.【答案】②③【考点】角平分线的性质线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】13【考点】线段垂直平分线的性质【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质.【解答】解：连结CD .∵ DE是线段BC的垂直平分线，∴ BD=CD，即BD+AD=CD+AD=AB，∵ AB=8，AC=5，∴当点P与点D重合时，△APC的周长最小，最小值为AB+AC=13，故答案为：13.18.【答案】40∘【考点】线段垂直平分线的性质三角形内角和定理【解析】设∠CAD=x，则∠DAB=2x．根据垂直平分线性质，∠B=∠DAB=2x．根据三角形内角和定理求解．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．设∠CAD=x，则∠DAB=2x．∵∠C=80∘，∴3x+2x+80∘=180∘，x=20∘，∴2x=40∘．即∠B=40∘．故答案为40∘．19.【答案】7【考点】线段垂直平分线的性质【解析】本题考查线段垂直平分线的性质.【解答】解:∵ BC的垂直平分线交AC于D∴ BD=CD∵ AB+AC=7cm∴ AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=7cm故答案为：7.三、解答题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）20.【答案】如图所示，点D即为所求；在△ABC中，∵∠C＝90∘、∠B＝37∘，∴∠CAB＝53∘，由（1）知DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝37∘，则∠CAD＝∠CAB−∠DAB＝16∘．【考点】线段垂直平分线的性质作图—基本作图【解析】（1）根据“到A，B两点的距离相等”可知点D在线段AB的中垂线上，据此作AB中垂线与BC交点可得；（2）先根据直角三角形的性质得∠CAB＝53∘，再由DA＝DB知∠B＝∠DAB＝37∘，从而根据∠CAD＝∠CAB−∠DAB可得答案．【解答】如图所示，点D即为所求；在△ABC中，∵∠C＝90∘、∠B＝37∘，∴∠CAB＝53∘，由（1）知DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝37∘，则∠CAD＝∠CAB−∠DAB＝16∘．21.【答案】如图，点P即为所求．如图，点C即为所求．结论：∠MPN＝2∠BCP．理由：∵BP＝BA＝AC，∴∠MPN＝∠BAP，∠ABC＝∠ACB，∵∠BAP＝∠ABC+∠ACB，∴∠MPN＝2∠CBP．【考点】等腰三角形的性质作图—复杂作图线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】解：(1)如图所示，∠AOC即为所求；(2)当OC在∠AOB的内部时，∠AOC=∠AOB−∠BOC=65∘−30∘=35∘；当OC在∠AOB的外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=65∘+30∘=95∘；综上，∠AOC的度数为35∘或95∘．【考点】作图—复杂作图【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)如图所示，∠AOC即为所求；(2)当OC在∠AOB的内部时，∠AOC=∠AOB−∠BOC=65∘−30∘=35∘；当OC在∠AOB的外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=65∘+30∘=95∘；综上，∠AOC的度数为35∘或95∘．。

线段的垂直平分线与角平分线一、例1、如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm 针对性练习：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，如果BC=8cm ， 那么△EBC 的周长是3)如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28度， 那么∠EBC 是4、如图，△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，则∠B∠BAE ，∠C ∠GAF ， 若∠BAC=1260，则∠EAG= 。

例2. 已知：如图所示，AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

针对性练习：已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。

针对性练习：1. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B 的大小为________________。

例4、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B ，证：BD ＝AC ＋CD.BACON图1课堂练习：1.如图，AC =AD ，BC =BD ，则（ ） A.CD 垂直平分AD B.AB 垂直平分CD C.CD 平分∠ACB D.以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部， 那么，这个三角形是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形 3.如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC =5 cm ，BC =4cm ，那么△DBC 的周长是（ ） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm4.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线 MN 分别交BC 、AB 于点M 、N . 求证：CM =2BM .二、角平分线例1、 已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC ， PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。

(第2题）E D C B A 线段的垂直平分线一、根底知识：1、线段垂直平分线的性质因为，所以AB ＝AC.理由：2、线段垂直平分线的判定因为 ，所以点A 在线段BC 的中垂线上.理由：1、如图，△ABC 中，AD 垂直平分边BC ，AB ＝5，那么AC ＝_________.2、如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 于点E ，假设BE=2那么A 、E 两点的距离是〔 〕.A.4B.2C.3D.123、如图，AB 垂直平分CD ，假设AC=1.6cm ，BC=2.3cm ，那么四边形ABCD 的周长是〔 〕cm.4、如图，NM 是线段AB 的中垂线,以下说法正确的有： . (第1题) C D A Bl C B A①AB⊥MN,②AD=DB，③MN⊥AB，④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线.1、：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，假设∠B=300，求∠C的度数。

二．解答：1、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。

2.如以下图,在直线AB上找一点P,使PC =PD.3.如右图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点. 〔1〕当AE=13cm时，BE=cm；〔2〕当△BEC的周长为26cm时，那么BC=cm；〔3〕当BC=15cm，那么△BEC的周长是cm.角平分线练习题1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．2、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，那么M到OB的距离为_________.3、如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，那么∠DOC=_________.4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，那么BC=_____cm.第3题第4题5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。

《线段的垂直平分线》练习一、选择题(1)如图，已知：BD BC AD AC ==,，那么( )(A )CD 垂直平分AB (B )AB 垂直平分CD(C )CD 与AB 互相垂直平分 (D )以上说法都正确(2)如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形是( )(A )直角三角形 (B )锐角三角形(C )钝角三角形 (D )以上都有可能二、填空题(1)和线段两个端点距离相等的点的集合是________.(2)在ABC ∆中，AC AB =，AD 为角平分线，则有AD ______BC (填⊥或//)，=BD _____.如果E 为AD 上的一点，那么=EB _______.如果︒=∠120BAC ，8=BC ，那么点D 到A D 的距离是______.(3)已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120BAC ，DE 垂直平分AB ，且交CA 的延长线于D ，则DBC ∠的度数为_______.(4)在等腰三角形ABC 中，8cm AB AC ==，腰AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D ，若BCD ∆的周长为10cm ，则底边BC 的长为______.(5)如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，BC 的垂直平分线交AB 于D ，垂足为E . ①若︒=∠60A ，则=∠DCB ______，=∠ADC ________.②若︒=∠30B ，5=BD ，则ACD ∆的周长为______.(6)如图，在ABC ∆中，BC AC >，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，8=AC ，BCE∆的周长为12，则=BC _____.(7)如图，在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠65ABC ，DE 是AB 的垂直平分线，则=∠CBE _______.5. 6. 7.(8)如图，在ABC ∆中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，ABD ∆的周长为12cm ，5cm AC =，则ABC ∆的周长为_______cm .(9)如图，已知在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，︒=∠15B ，DE 垂直平分AB ，交BC 于E ，5=BE ，则=AC ______.(10)在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120BAC ，AC 的垂直平分线交BC 于D ，交AC 于E ，若5cm DE =，则BC 的长度为______cm .8. 9.。

3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为（）A．6 cm B．5 cmC．4 cm D．3 cm第1题图第2题图2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是（）A．3.9 cm B．7.8 cmC．4 cm D．4.6 cm3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC ＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11C．16 D．17第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB第6题图第7题图7．如图，已知△ABC，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是（）A．P是AC的垂直平分线与AB的交点B．P是BC的垂直平分线与AB的交点C．P是∠ACB的平分线与AB的交点D．P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上．9．在△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C的度数为．10．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE是线段AB的垂直平分线；③若EA＝EB，则直线EP是线段AB的垂直平分线；④若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6 cm，且△ABD的周长为13 cm，则△ABC的周长为（）A．13 cm B．19 cmC．10 cm D．16 cm第11题图第12题图12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．第13题图第14题图14．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC＝．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(点D与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD垂直平分BC；(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．第2课时三角形三边的垂直平分线1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定（）A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点3．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形4．如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线．若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时，点O始终在（）A．直线MN上B．直线MN的左侧C．直线MN的右侧D．直线MN的左侧或右侧5．下列作图语句正确的是（）A．过点P作线段AB的垂直平分线B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝ACC．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥bD．过点P作直线AB的垂线6．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，分别与AC ，BC 交于点D ，E ，连接AE ，则：(1)∠ADE ＝ ；(2)AE EC ；(填“＝”“＞”或“＜”)(3)当AB ＝3，AC ＝5时，△ABE 的周长等于 ．8．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇A 村、B 村、C 村所属的村委会所在地的距离都相等(A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．9．在平面内，到三点A ，B ，C 距离相等的点（ ） A ．只有一个B ．有两个C ．有三个或三个以上D ．有一个或没有10．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＞AC.按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；②作直线MN ，与边AB 相交于点D ，连接CD. 下列说法不一定正确的是（ ）A ．∠BDN ＝∠CDNB ．∠ADC ＝2∠B C ．∠ACD ＝∠DCB D ．2∠B ＋∠ACD ＝90°A 村 ·B 村 ·C 村 ·11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则（）A．点P在三角形内B．点P在三角形外C．点P在三角形底边上D．点P的位置与三角形的边长有关12．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案．13．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；(2)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；(3)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度数；(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．参考答案：第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为(D)A．6 cm B．5 cmC．4 cm D．3 cm第1题图第2题图2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是(B)A．3.9 cm B．7.8 cmC．4 cm D．4.6 cm3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC ＝5，则△ACE的周长为(B)A．8 B．11C．16 D．17第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为30°．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB.∴∠EAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAB ＋∠B ＝90°. 又∵∠AED ＋∠EAB ＝90°， ∴∠CAB ＝∠AED.6．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有(A) A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACB第6题图 第7题图7．如图，已知△ABC ，AB ＞AC ＞BC ，边AB 上存在一点P ，使得PA ＋PC ＝AB.下列描述正确的是(B)A ．P 是AC 的垂直平分线与AB 的交点 B ．P 是BC 的垂直平分线与AB 的交点 C ．P 是∠ACB 的平分线与AB 的交点D ．P 是以点B 为圆心，AC 长为半径的弧与边AB 的交点8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D.求证：点D 在AB 的垂直平分线上．证明：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠ABC ＝90°－30°＝60°. ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°.∴∠A ＝∠ABD. ∴DA ＝DB.∴点D 在AB 的垂直平分线上．9．在△ABC 中，AB ＝AC ，边AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C 的度数为20°或70°．10．下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA ＝EB ；②若PA ＝PB ，EA ＝EB ，则直线PE 是线段AB 的垂直平分线；③若EA ＝EB ，则直线EP 是线段AB 的垂直平分线；④若PA ＝PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上．其中正确的有(C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AC ＝6 cm ，且△ABD 的周长为13 cm ，则△ABC 的周长为(B)A ．13 cmB ．19 cmC ．10 cmD ．16 cm第11题图 第12题图12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，将AB 边沿AD 折叠，发现B 点的对应点E 正好在AC 的垂直平分线上，则∠C ＝30°．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为76．第13题图 第14题图14．(2020·南京)如图，线段AB ，BC 的垂直平分线l 1，l 2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC ＝78°．15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 延长线上一点，E 是BD 的垂直平分线与AB 的交点，DE 交AC 于点F.求证：点E 在AF 的垂直平分线上．证明：∵E 是BD 的垂直平分线上的一点， ∴EB ＝ED. ∴∠B ＝∠D.∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.∴∠CFD＝∠A.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AFE＝∠A.∴EF＝EA.∴点E在AF的垂直平分线上．16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(点D与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD垂直平分BC；(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．∴AD垂直平分BC.(2)选择A，证明：由(1)，得AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠CAF＝∠ADE.∴∠BAF＝∠ADE.∴DE＝AE.选择B，线段DE，AC，BE之间的等量关系为DE＝BE＋AC.证明：由(1)，得AF⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAF.∴∠BAF＝∠EDA.∴AE＝DE.∵AE＝EB＋AB，AB＝AC，∴DE＝BE＋AC.第2课时三角形三边的垂直平分线1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定(D)A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形(C)A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点3．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是(D) A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形4．如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线．若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时，点O始终在(A)A．直线MN上B．直线MN的左侧C．直线MN的右侧D．直线MN的左侧或右侧5．下列作图语句正确的是(D)A．过点P作线段AB的垂直平分线B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝ACC．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥bD ．过点P 作直线AB 的垂线6．如图，点E ，F ，G ，Q ，H 在一条直线上，且EF ＝GH ，我们知道按如图所作的直线l 为线段FG 的垂直平分线．下列说法正确的是(A)A ．l 是线段EH 的垂直平分线B ．l 是线段EQ 的垂直平分线C ．l 是线段FH 的垂直平分线D ．EH 是l 的垂直平分线第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，分别与AC ，BC 交于点D ，E ，连接AE ，则：(1)∠ADE ＝90°；(2)AE ＝EC ；(填“＝”“＞”或“＜”) (3)当AB ＝3，AC ＝5时，△ABE 的周长等于7．8．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇A 村、B 村、C 村所属的村委会所在地的距离都相等(A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．解：已知：A ，B ，C 三点不在同一直线上． 求作：作一点P ，使PA ＝PB ＝PC. 如图所示，点P 即为所求的点．9．在平面内，到三点A ，B ，C 距离相等的点(D) A ．只有一个B ．有两个C ．有三个或三个以上D ．有一个或没有10．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＞AC.按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD.下列说法不一定正确的是(C)A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B＋∠ACD＝90°11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则(B)A．点P在三角形内B．点P在三角形外C．点P在三角形底边上D．点P的位置与三角形的边长有关12．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案③．13．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．解：作法：(1)作线段AD＝a；(2)过点D作直线MN⊥AD于点D；(3)以点A为圆心，b为半径画弧，交MN于B，C两点，连接AB，AC，△ABC即为所求，如图所示．14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；(2)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；(3)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．解：(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，CN＝BN.∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.∴∠MCN＝180°－(∠CMN＋∠CNM)＝180°－(2∠A＋2∠B)＝180°－2(180°－∠ACB)＝60°.(2)∵AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.∵△CMN的周长为15 cm，∴AB＝15 cm.(3)∵∠MFN＝70°，∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD＋∠BNE＝∠NMF＋∠MNF＝110°.∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝70°.又∵∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝40°.【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度数；(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．解：(1)设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ.∴∠B＝∠BAP＝x＋z，∠C＝∠CAQ＝x＋y.∵∠BAC＝80°，∴∠B＋∠C＝100°，即x＋y＋z＝80°，x＋z＋x＋y＝100°.∴x＝20°.∴∠PAQ＝20°.(2)∵△APQ周长为12，∴AQ＋PQ＋AP＝12.∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ＋PQ＋PB＝12，即BC＋2PQ＝12.∵BC＝8，∴PQ＝2.。

垂直平分线的性质和判定的大题练
习(总3页)
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1、AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，求证：①AB=AC=CE②DE
=AB+BD
2、如图，已知：线段CD垂直平分AB，AB平分DAC
∠. 求证：BC
AD//.
3、如图，已知：︒
=
C，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交BC于E，
∠90
CE=.
=. 求证：DE
AC
AB2
4、如图所示：△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE ＝3cm ，△ABD 的周长为13cm ，求△ABC 的周长。

5、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N. 求证：CM=2BM.
6、如图在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于 点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.
(1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数.
A
B C D E M N。

八年级数学上册《第二章线段的垂直平分线》同步练习题及答案(青岛版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则( )A.BC＞PC＋APB.BC＜PC＋APC.BC＝PC＋APD.BC≥PC＋AP2.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB3.如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是( )4.如图所示，在△ABC中，AB＋BC＝10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和点E，则△BCD的周长是( )A.6B.8C.10D.无法确定5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是( )A.1对B.2对C.3对D.4对6.在锐角△ABC内的一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC( ).A.三条角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条高的交点D.三条中线的交点7.如图，∠BAC＝110°若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是( ).A.20°B.40°C.50°D.60°8.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连结AD，交BC延长线于点H.下列叙述正确的是( )A.BH垂直平分线段ADB.AC平分∠BAD＝BC·AH D.AB＝ADC.S△ABC二、填空题9.小军做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小军说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线.其中蕴含的道理是 .10.如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E.若AB＝10cm，△ABC的周长为27cm，则△BCE的周长为.11.如图，△ABC中，AB＝AC＝13cm，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若△EBC的周长为21cm，则BC＝ cm.12.如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC，若∠A＝70°，则∠PBC 的度数是______度.13.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为.三、解答题14.如图，在△ABC中，∠A>∠B.(1)作边AB的垂直平分线DE，与AB、BC分别相交于点D、E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．15.如图所示，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，∠BAD＝29°，求∠B的度数.16.如图，已知P是线段CD的垂直平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D.求证:(1)OC＝OD;(2)OP平分∠AOB.17.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求证：直线AD是线段CE的垂直平分线.18.已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD＝BC，过D作AB的垂线交AC于E. 求证：CD⊥BE.19.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等.(1)利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹.(2)若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长.20.如图1，已知△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点(与点A分别在直线BC两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于E，连接AE交BC于F.(1)求证：AD垂直BC；(2)如图1，点E在线段AB上且不与B重合时，求证：DE＝AE；(3)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE的数量关系.答案1.C.2.A3.D.4.C5.D.6.A.7.B8.A9.答案为：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线线上.10.答案为：17.11.答案为：8cm.12.答案为：2013.答案为：100°14.解：(1)如解图，DE是边AB的垂直平分线；作法提示：①分别以点A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，在线段AB两侧交于点M、N；②作直线MN，分别交AB、BC于点D、E. DE即为边AB的垂直平分线；(2)如解图，连接AE∵DE是AB的垂直平分线∴AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝50°.∵∠AEC是△ABE的外角∴∠AEC＝∠BAE ＋∠B＝100°.15.解：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAE∵∠BAD＝29°∴∠DAE＝29°∴∠BAC＝58°∵DE垂直平分AC∴AD＝DC∴∠DAE＝∠DCA＝29°∵∠BAC＋∠DCA＋∠B＝180°∴∠B＝93°.16.证明：(1)∵P在CD的垂直平分线上∴PC＝PD.又∵OP＝OP∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL).∴OC＝OD.(2)由(1)Rt△OPC≌△OPD知∠AOP＝∠BOP.17.证明：∵DE⊥AB∴∠AED＝90°＝∠ACB又∵AD平分∠BAC∴∠DAE＝∠DAC∵AD＝AD∴△AED≌△ACD∴AE＝AC∵AD平分∠BAC∴AD⊥CE即直线AD是线段CE的垂直平分线.18.证明：∵DE⊥AB∴∠BDE＝90°∵∠ACB＝90°∴在Rt△DEB中与Rt△CEB中BD＝BC，BE＝BE∴Rt△DEB≌Rt△CEB(HL)∴DE＝EC又∵BD＝BC∴E、B在CD的垂直平分线上即BE⊥CD.19.解：(1)点D如图所示；(2)∵DE垂直平分线线段AC∴AD＝DC∴△CDB的周长＝BC＋BD＋CD＝BC＋BD＋AD＝BC＋AB ∵AB＋AC＋BC＝21，BC＝5∴AB＝AC＝8∴△CDB的周长为13.20.证明：(1)∵AB＝AC，DB＝DC∴直线AD是BC的垂直平分线∴AD垂直BC；(2)证明：在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD∴∠BAD＝∠CAD∵DE∥AC∴∠EDA＝∠CAD∴∠BAD＝∠EDA∴DE＝AE；(3)DE＝AC＋BE.由(2)得，∠BAD＝∠CAD ∵DE∥AC∴∠EDA＝∠CAD∴∠BAD＝∠EDA∴DE＝AE∵AB＝AC∴DE＝AB＋BE＝AC＋BE.。

线段的垂直平分线 练习题姓名： 班级： 学号：1.如图所示，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于21AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N.作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD.若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为( )A.20B.17C.14D.72.如图所示，直线l ，m 相交于点O ，P 为这两条直线外一点，且OP=2.8.若点P 关于直线l ，m 的对称点分别是点P 1，P 2，则P 1，P 2之间的距离可能是( )A.0B.5C.6D.73.如图所示，点D 在△ABC 的边BC 上，且BC=BD+AD ，则点D 在下列哪条线段的垂直平分线上?( )A. ABB. ACC.BCD.不能确定4.如图所示，AC=AD ，BC=BD ，则有( )A.AB 垂直平分CDB.CD 垂直平分ABC.AB 与CD 互相垂直平分D.CD 平分∠ACB5.如图所示，直线AB 与直线BC 相交于点 B ，点D 是直线BC 上的一点.求作一点E 使直线DE//AB ，且点E 到B ，D 两点的距离相等.(保留作图痕迹，不写作法)八年级数学周周清9姓名：班级：学号：1.如图所示，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，则AB，AC，CE的长度关系为( )A.AB>AC=CEB.AB=AC>CECAB>AC>CE D.AB=AC=CE2.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD=DE，若△ABC的周长为26 cm，AF=5cm，则DC的长为( )A.7 cmB.8 cmC.9 cmD.10 cm3.如图所示，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+ PN最短，则点P应选在( )A.A点B.B点C.C点D.D点4.如图所示，在△ABC中，AD垂直平分BC，交BC于点E，CD⊥AC，若AB=4，CD=3，AD=5，则BE= .5.如图所示，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置.6某班举行文艺晚会，桌子摆成两条直线(OA，OB)，OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的小明先拿橘子再拿糖果，然后回到座位，如图所示.请你帮助他设计路线，使其行走的总路程最短.(保留作图痕迹)。