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Re vd
LT 1 L Re 2 1 1 LT
4
无量纲的量在实验和分析中占有重要地位.
三. 量纲和谐原理
量纲和谐原理是量纲分析的基础. 凡正确反映客观规律的物理方程, 其 各项的量纲一定是一致的.
如, 总流的伯努利方程:
2 p1 1v1 z1 g 2g 2 p2 2v2 z2 hl g 2g
速度:
功:
v LT 1
加速度:
a LT 2
力: F MLT2
W ML2T 2
1 1 动力粘度: ML T
运动粘度:
du dy
L2T 1
的量纲:
F / L2 L F T ML T 2 2 2 ML1T 1 L/T L T L
3
q6 a b c q1 3 q23 q33
…… n 3
qn a b c q1 n3 q2n3 q3n3
4. 满足 为无量纲的量, 按量纲和谐条件决定各 项的指数 a、b、c .
5. 整理方程式.
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例5. 一个球形物体在黏性流体中运动所受阻力FD ,经实验发现与球体的直径、 球体的运动速度、流体的密度及粘度有关,试用量纲分析法(定理)推导阻力FD 的公式. 将函数关系设为: f FD , d , v , , 0 解: 选取基本物理量d, v, 则
其各项的量纲是长度.(水头) 气体用的伯努利方程:
2 v12 v2 gz1 p1 gz 2 p2 pl 1 2 2 2
其各项的量纲是应力.
如果由实验观测得出的公式不满足量纲和谐原理, 则此公式肯定不能反 映正确的客观规律, 是需要修正或重新建立的.
5
由量纲和谐原理可以得出下面两个重要观点:
FD Kd a v b c e
由量纲和谐原理
MLT K L LT ML ML T
2 a 1 b 3 c 1
1 e
M: 比较两边可得: L: T:
1 ce
1 a b 3c e
2 b e
c 1 e b 2e
的量纲:
M L3 L2T 1 LT M
3
上面可以看出:在力学范围内, 任何一物理量的量纲[q](导出量纲) , 都 可由3个基本量纲的幂的乘积来表示.
q LT M
当 0 , = 0, = 0 , q为几何量; 当 0, 0 , = 0 , q 为运动学量; 当 0, 0, 0, q为动力学量. 二. 无量纲的量(纯数) 当 = 0 , = 0, = 0 , 上式中[q] = [ 1 ] , 我们说 q 为无量纲的量. 相对伸长(正应变) = l/l , 是无量纲的量, 雷诺数Re 也是无量纲的量. 达西因子、相对粗糙度K/d 也是无量纲的量.
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二. 定理(Buckingham定理) 设某物理过程存在n个物理量的变量关系
f q1 , q,2 ...qn 0
其中,有m个是互相独立的基本量 则该物理过程可由n – m 个无量纲的量构成的函数式来表达. 即为:
F 1、 2 ... nm 0
式中用 1 、2 …n – m 表达无量纲的量, 故称 定理.
6
§6 – 2 量纲分析法
在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种: 一种称之为瑞利 ( Rayleigh) 法, 此法适用于较简单的问题. 另一种称之为 定理或白金汉 (Buckingham)定理, 是一种具有普遍性的方法.
一. 瑞利法 瑞利法的基本原理是, 设描述某一物理现象同n个物理量有关 若其物理方程表达为
比较两边可得:
M:
0ac
求解可得: a 1
b4
L: 3 2a b c T: 1 2a c
c 1
所以有
p 4 1 Q K r l
K由实验获得.
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例4. 一个球形物体在黏性流体中运动所受阻力FD ,经实验发现与球体的直径、 球体的运动速度、流体的密度及粘度有关,试用量纲分析法(瑞利法)推导阻力FD 的公式. 设阻力与各有关物理量的关系式为:
根据输水管路计算所用的方程, (波努利方程和流量方程) 可设水泵功率表达式为:
N K g Qb H c
a
由量纲和谐原理
WT K ML LT L T L MLT LT K ML LT L T L ML T K ML T L T L
1
a d b vc
1 1 1
FD 2 a2 b2 c2 d v
各 是纯数 , 无量纲, 或是说量纲为1. 原物理量关系式可表示为
F 1、 2 0
1 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ :
ML T ML L LT
1 1 3 a1 b1
a d b vc
长度l q3
v LT 11
L3 1M
1 3 1 1 0 0 0 1 1 0
L 11
3. 基本物理量依次与其余物理量组成n – 3 个 项.
1
q4 a b c q1 1 q21 q31
2
q5 a b c q1 2 q22 q32
a2 b2 c2
FD d v
2 3 a2
MLT ML L LT
b2
1 c 2
M: 1 a2 比较两边: L: 1 3a2 b2 c2 T: 原物理过程可表为:
1. 凡能正确反映客观规律的物理方程, 一定可表示成无量纲的方程, 因为方程 中各项的量纲相同, 只须用其中某一项去除其余各项,便可得一无量纲的方程. 但此方程仍旧保持了原方程的物理性质. 2. 量纲和谐原理表达了一个物理过程中相关物理量的确定关系, 如力与质量和加 速度的关系, 应力与应变和弹性模量之间的关系, 水头(长度)与应力和质量密度及 加速度之间的关系等.量纲分析法便由此而来.
3 1 b
c
比较两边可得:
M: a 1 L: T:
2a 3b c 2
2a b 3
b1
于是可得:
a1
c1
a N K g Qb H c KgQH
K值由实验确定
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例3. (书上例6 – 2 ) 试求圆管流量关系式 由已有的资料可知, 流量与管端的压力差成正比,与管长成反比, 同时,可知 流量还与截面面积,(变数为半径r ) 粘性系数 有关.
f q1 , q,2 ...qn 0
则其中的一个物理量可以表达成其它物理量的幂的乘积形式
a b p qi Kq1 q2 ...qn1
根据量纲和谐原理,确定指数ab…p, 就可得到该物理过程的方程式.
例1. 求单摆的振动周期表达式
7
设, 小球振动周期
T kla mb g c
l
由量纲和谐原理 比较两边可得:
第六章 量纲分析与相似原理
对于流体力学, 连续性方程、伯努利方程、动量定理等由理论方法得出的 客观规律使我们能准确地求解一些较简单的工程流体力学的问题.但是,由于流 体运动的复杂性, 当今大多数实际的工程流体力学问题往往需要依靠实验或理 论与实验相结合的方法来解决.如前面提到的各种条件下的水头损失问题, 因子 的确定, 的确定,目前就是主要依靠实验的方法进行研究.而量纲分析和相似原 理, 就为有效地设计实验,处理实验数据提供正确的指导思想. 对于一个复杂的流动现象进行实验研究, 实验中可变的因素有很多, 另外,受 实验条件的限制, 多数不可能在实物上进行, 需要模拟. 而量纲分析和相似原理 为这些问题的解决提供了理论依据.例如, 可以根据量纲分析对某一流动现象中 的若干变量进行组合, 选择能方便操作和测量的变量进行实验, 这样可以大幅度 地减少实验的工作量,并且可使实验的数据整理和分析变得比较容易.
定理的应用步骤如下: 1. 找出对某物理过程有影响的物理量
f q1 , q,2 ...qn 0
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2. 从上面n个物理量中选取m个量纲互相独立的基本量, 对于不可压缩的流 体运动, 一般选m = 3 个. 设q1 、q2 、q3 为所选的基本物理量, 由量纲公式
q1 L T1 M1 1 q2 L T2 M2 2 q3 L T3 M3 3
量纲分析和相似原理不仅在流体力学中有许多应用, 而且也广泛地应用于 其它工程领域的研究. 所以, 懂得和掌握量纲分析和相似原理,对于一个工程 技术人员是十分必要的.
2
§6 – 1 量纲及量纲和谐原理
一. 量纲
什么叫量纲? 简单的讲就是, 表示物理量本质属性的度量标准, 就是量纲.
量纲分为基本量纲和导出量纲. 基本量纲是互相独立的量纲, 而导出 量纲是由基本量纲组合的其它物理量的量纲. 在力学范围内, 基本量纲有三个: 长度、时间和质量. 即L、T、M. 而导出的量纲有:
e
3个方程4个未知数, 设e为待定, 则有:
a 2e
FD Kd 2e v 2e 1e e
dv FD Kd 2 v 2
12
2 2 dv FD Kd v
Kd 2v 2 Re e
1 1 1 2 2 2
3
3
3
满足所选的3个基本物理量独立的条件是, 量纲式中的指数行列式不为零
即
1 2 3
1 1 2 2 0 3 3
对于不可压缩的流体运动, 通常选取的基本物理量是:
速度v q1 密度 q2
长度l q3
15
速度v q1
密度 q2
mg
