公共基础(力学)精讲班第六章流体力学(二)

第二章 流体运动学只研究流体运动, 不涉及力、质量等与动力学有关的物理量。

§2.1 流体运动的描述 两种研究方法:(1)拉格朗日(Lagrange)法: 以流场中质点或质点系为研究对象, 从而进一步研究整个流体。

理论力学中使用的质点系力学方法，难测量，不适用于实用理论研究。

(2)欧拉(Euler)法: 将流过空间的流体物理参数赋予各空间点（构成流场），以空间各点为研究对象，研究其物理参数随时间t ，位置（x ，y ，z ）的变化规律。

易实验研究，流体力学的主要研究方法。

两种研究方法得到的结论形式不同，但结论的物理相同。

可通过一定公式转换。

1. 拉格朗日法有关结论质点： r=r （t ） dtd r V = dtd dtd V r a==22x=x （t ） dt dx u=22dtx d a x=y=y （t ） dtdy v=22dty d a y=p=p （t ） T=T （t ） .. .. .. .. .. .. .. .. 质点系：x=x （t,a,b,c ） p=p （t,a,b,c ） T=T （t,a,b,c ） .. .. .. .. .. .. .. ..(a, b, c)是质点系各质点在t ＝t 0时刻的坐标。

(a, b, c)不同值表不同质点2. 欧拉法物理量应是时间t 和空间点坐标x, y,z 的函数u ＝u(x, y, z, t) p ＝p(x, y, z, t) T ＝T(x, y, z, t) 3. 流体质点的随体导数！！流体质点的随体导数：流体质点物理参数对于时间的变化率。

简称为质点导数。

例：质点速度的随体导数（加速度）dtd V 质点分速度的随体导数dtdu质点压力的随体导数dtdp 质点温度的随体导数dtdT.. .. .. .. .. .. 质点导数是拉格朗日法范畴的概念。

流体质点随体导数式---随体导数的欧拉表达式dt d V =zw yv xutt ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V V V V V V Vdt du =zu wyu v xu ut u u t u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂VdtdT =zT wyT vxT utTT tT ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V普遍形式：dtdF =zF wyF vxF utF F tF ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂VFt)(∇⋅+∂∂=V证其一： dt d V =VV V ∇⋅+∂∂t由dtd V =tt ∆-→∆VV 'lim因 V=V （x ，y , z,t ）V ’=V （x+Δx ，y+Δy ,z+Δz,t+Δt ）所以 V ’=V++∆∂∂x xV +∆∂∂y yV z z∆∂∂V tt∆∂∂+V代入上式得dtd V ==∆∆∂∂+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆→∆ttzz yxxt tV V yV V limV V V zV yV xV tV ∇⋅+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=twvu可见, 在欧拉法中质点速度的随体导数(即加速度)由两部分组成。

流体力学第1节流体主要物理性质及力学模型流体主要物理性质：能够对流体静止和机械运动产生影响的性质一、流动性二、质量、密度三、粘性四、压缩性与膨胀性流体的主要物理性质一. 流体的流动性流体具有易流动性，不能维持自身形状，静止流体几乎不能承受拉力和剪切力。

流体的流动性受粘滞性制约。

二. 流体的质量和密度对于匀质流体，单位体积流体所具有的质量为流体的密度。

4℃水的密度为：流体的重度：三. 流体的粘滞性1）粘滞性定义：流体在运动状态下，抵抗剪切变形的能力。

平板试验说明了流体的粘滞性:两相邻液流层静止状态：两相邻液流层相对运动状态每个流体层，受到的摩擦力均与本身的相对运动方向相反，内摩擦力的作用：阻碍流体的相对运动(2) 牛顿内摩擦定律由内摩擦力的特征整理出牛顿内摩擦力的数学表达式：式中：T——内摩擦力，N；τ——单位面积上的内摩擦力（即粘滞切应力）N/m2 ；μ——动力粘滞系数，与流体种类、温度有关， Pa·s；du/dy——速度梯度，s；A——接触面积, m2 。

凡符合牛顿内摩擦定律的流体，即τ与du/dy呈过坐标原点的正比例关系的流体称为牛顿流体。

(3)粘滞系数动力粘滞系数μ：是一个反映液体粘滞性大小的量。

运动粘滞系数ν：因为ν具有运动学量纲，故称为运动粘滞系数。

题6-1 运动粘滞系数与动力粘滞系数的关系，两个系数的单位例6-1（2005年）已知空气的密度为ρ为 1.205kg/m3 , 动力粘度（动力黏滞系数）μ为1.83×10-5Pa •s，那么它的运动粘度（运动黏滞系数）v 为（）A 2.2 × 10-5 s/ ㎡B 2.2 × 10-5㎡ / sC 15.2 × 10-6s/ ㎡D 15.2 × 10-6㎡ / s解：运动黏度答案：D例题（2011年）空气的粘性系数μ与水的粘性系数μ分别随温度的降低而（）A 降低、升高B 降低、降低C 升高、降低D 升高、升高解：液体的粘性系数μ随温度的变化规律与我们日常生活中粘滞性和流动性的概念是一致的，例如：油的温度降低，流动性变差，粘滞性增大；这一特性是大家都了解到生活常识，由此可以判断：液体温度降低粘滞性增大、流动性降低；而气体的粘性特征与液体相反，即使不了解粘滞性的机理，也可以通过常识性知识去判断选择。

解 按题意，活塞底面上的压力可按静力平衡条件 来确定
pB
pa
油h1
水h2
4F
d 2
105 7840 0.5 9800 0.3 5788 4
0.42
1.53105
(N / m2)
第五节 压力的单位和压力的测量方法
一、 压力的单位
1. 应力单位－－ Pa(=N/m2)， MPa， kgf/cm2
作用在流体上的力 流体的静压力及其特性 流体的平衡微分方程式 重力场中流体静力学基本方程 压力的单位和压力的测量方法 流体的相对平衡 静止流体作用力
第一节 作用在流体上的力
作用于流体上的力按作用方式可分为表面力和质量 力两类。 一、 表面力
表面力指作用在所研究的流体表面的力。它是由所研 究流体的表面与相接触的物体的相互作用而产生的。 单位是N/m2（Pa） 。
Xdx Ydy Zdz p dx p dy p dz
x y z
dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)
流体静平衡方程 式，也称压力差 公式
二、等压面
在平衡流体中，压力相等的各点所组成的面称为等 压面。
在等压面上dp=0。因流体密度ρ≠0，可得等压面微分 方程：
Xdx+Ydy+Zdz=0
(2-4)
第四节 重力场中流体静力学基本方程
在重力场中：X=0, Y=0, Z=-g
dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)
dp gdz dz
dz dp 0
对于不可压缩流体，γ=常数。
z p c
z1
p1
z2
p2
c
流体静力学基 本方程式
z
p
c＝z0
p0

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2.1.1拉格朗日方法
流体力学第二章
✓ 拉格朗日方法是着眼于流体质点来描述流体的运动状态. 如何区别流体的质点呢?
➢ 质点标识----通常是用某时刻各质点的空间坐标（a,b,c） 来表征它们。
➢ 某时刻一般取运动刚开始的时间.以初始时刻流体质点 的坐标作为区分不同流体质点的标志.
拉格朗日方法的一般表达:
流体力学第二章
第二章
流体运动学基础
2021/6/29
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第二章 流体运动学基础
流体力学第二章
✓ 流体运动学是运用几何的方法来研究流体的运动，通常不 考虑力和质量等因素的影响。
✓ 流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动规律，是 流体力学的一个组成部分。
✓ 本章的学习目标：
➢ 掌握描述流动的两种方法（拉格朗日法及欧拉法）， 结合迹线，流线，流管，流体线等显示流动特性的曲 线研究流动特性。
Vr
Vr r
V r
Vr
Vz
Vr z
V
2
r
ddVt
V t
Vr
V r
V r
V
Vz
V z
VrV r
dVz
dt
Vz t
Vr
Vz r
V r
Vz
Vz
Vz z
可得平面极坐标中加速度的表达式
Vz 0
ddVtr
Vr t
Vr
Vr r
V r
Vr
V
2
r
dV dt
V t
Vr
V r
V r
V
VrV r
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流体力学第二章

第六章流体力学基础基本概念一、流体的粘滞性流体流动时，由于流体与固体壁面的附着力及流体本身的分子运动和内聚力，使各流体层的速度不相等。

在两个相邻流体层之间的接触面上，将产生一对阻碍两层流体相对运动的等值反向的摩擦力，叫做内摩擦力。

流体的粘滞性：流体流动时产生内摩擦力的性质。

二、理想流体与实际流体粘性流体：具有粘性的流体（实际流体）。

理想流体：忽略了粘滞性的流体。

三、流体流动的基本概念1．稳定流动与非稳定流动(1)稳定流动运动流体内任意点的速度u和压力p仅仅是空间坐标()z,的函数，而不x,y随时间变化而变化。

()zu,=,uyx()z,p,=xyp(2)非稳定流动运动流体内任意点的速度u和压力p不仅是空间坐标()z,的函数，也随x,y时间而不同。

()t z,,=u,yxu()t z,,=pp,yx2．迹线与流线(1)迹线流体质点的运动轨迹。

(2)流线流场：流体流动的空间。

流线：是流场中某一瞬间绘出的一条曲线，在这条曲线上所有各流体质点的流速矢量与该曲线相切。

流线的性质：①稳定流动时，流线形状不随时间而变化；②稳定流动时，同一点的流线始终保持不变，且流线上质点的迹线与流线重合，即流线上的质点沿流线运动；③流线既不会相交，又不能转折，只能是光滑的曲线。

假定某一瞬间有两条流线相交于M点或转折。

M处就该有两个速度矢量，这是不符合流线的定义。

3．流管、微小流速及总流(1)流管在流场中取出一段微小的封闭曲线，过这条曲线上各点引出流线，这些流线族所围成的封闭管状曲面。

(2)微小流束及总流流束：在流管中运动的流体。

微小流束：断面无穷小的流束称为微小流束。

微小流束断面上各点的运动要素相等。

流管内的流体只能在流管内流动，流管外的流体也只能在流管外流动。

伯努利方程一、理想流体的伯努利方程仅在重力作用下作稳定流动的理想流体gu g p Z g u g p Z 2//2//22222111++=++ρρ=常数1Z 和2Z ：过流断面1-1和2-2距基准面0-0的高度，1u 和2u ：断面1-1和2-2的流速，1p 和2p ：断面1-1和2-2的压力，ρ：为流体密度。

周传辉zhou3126com第三章一元流体动力学基础第一节描述流体运动的两种方法第二节恒定流动和非恒定流动第三节流线和迹线第四节一元流动模型第五节连续性方程第六节恒定元流能量方程第七节过流断面的能量方程第三章一元流体动力学基础第八节恒定总流的能量方程第九节能量方程的应用第十节总水头线和测压管水头线第十一节恒定气流能量方程第十二节总压线和全压线第十三节恒定流动量方程流场
1 2
Q1 Q2 v1 A1 v 2 A2
——不可压缩流体恒定总流的连续性方程
综合：
表明：在不可压缩流体一元流动中,平均流速与断面面积成反比.
第六节 恒定元流能量方程
假设条件：
不可压恒定流体、只有重力作用。在某一恒定流场中，任取一个元流，在元流上 任取两个过流断面1－1，2－2。
设:断面面积为dA1,dA2, 速度为u1,u2, 压强为p1,p2, 位置高度z1,z2
第二节 恒定流动与非恒定流动
非恒定流动：运动不平衡的流动，各点的流速随时间变化， 由流速决定的压强，粘性力和惯性力也随时间变化。
ux
u
x
(
a
,
b
,
c
,
t
)
uy uy (a,b,c, t)
uz
uz (a,b,c, t)
恒定流动：运动平衡的流动，各点的流速不随时间变化， 由流速决定的压强，粘性力和惯性力也不随时间变化。
的直线）。长而直的管道内的流动就是均匀流。 非均匀流：过流断面沿流程变化。比如：弯管、变径管，由于过流断面
的变化，引起流速的大小或方向发生变化。
第七节 过流断面的压强分布
2、渐变流与急变流 渐变流：流速沿流动方向变化极为缓慢地非均匀流。渐变流的流线趋近
于平行的直线，因此渐变流的过流断面可以近似的认为是平面 （过流断面有时是曲面）。 急变流：流速沿流程变化显著的流动

流体力学一、流体静力学基础 包括内容三部分：01流体主要物理特性与牛顿内摩擦定律 02流体静压强 03流体总压力01流体主要物理特性与牛顿内摩擦定律 水银的密度13.6g/cm 3重度γ（也成为容重，N/m3），单位体积流体所具有的能量。

=g γρ流体的压缩系数：1=pa d dV V dp dpρρβ-=-（单位:） ，β值越大，流体的压缩性也越大。

压缩系数的倒数成为流体的弹性模量，用表示，21()dpdV V β=-k=单位:pa=N/m流体的体膨胀系数a ：1=(:)d dVV a T dT dTρρ--=单位质量力：大小与流体的质量成正比（对于均质流体，质量与体积成正比，故又称为体积力）表面力：作用在流体表面的力，大小与面积成正比，它在隔离体表面呈连续分布，可分为垂直于作用面的压力和平行于作用面的切力。

流体的黏性：流体内部质点间或流层间因相对运动而产生内摩擦力以反抗相对运动的性质叫做黏性。

此内摩擦力成为黏制力。

du d T AA dy dtθμμ== 式中：T 流体的内摩擦力μ为流体的动力黏度，单位Pa s •。

A 为流体与管壁的接触面积dudy为速度梯度，表示速度沿垂直于速度y 轴方向的变化率 d dtθ为角变形速度 气体动力黏度随温度的升高而增加。

液体动力黏度随温度的升高而降低，例如：油。

运动黏度v （单位：2/m s ）（相对黏性系数）：v μρ=理想流体：假想的无黏性的流体，即理想流体流过任何管道均不会产生能量损失。

[推导过程]：tan()dudt d d dy θθ≈=，即：d dudt dyθ=。

02流体静压强流体净压强的特性：①流体静压强方向与作用面垂直；②各向等值性：静止或相对静止的流体中，任一点的静压强的大小与作用面方向无关，只于该点的位置有关。

帕斯卡定律：0P P gh ρ=+式中：P 为液体内某点的压强0P 为液面气体压强 h 为某点在液面下的深度等压面：流体中压强相等的点所组成的面成为等压面。

第六章 不可压缩理想流体平面流动实际工程中，很多问题可以简化为平面流动问题。

对于二维平面流动问题, 除直接应用二维平面流的基本方程进行数学求解外,在一些条件下, 引入流函数并利用流函数的特性, 进行数学求解,可以更深入地认识、分折流场。

此外, 对于某些工程问题, 引入流函数进行求解, 可避免直接解基本方程时出现的不收敛问题, 即假解问题。

§6.1 平面流动的流函数及其性质 一． 二维平面流函数对于定常、可压缩、无源、二维平面流动，连续方程为0)(=⋅∇V ρ即0=∂∂+∂∂yvx u ρρ （2） 由上式可得 0)(=+-⨯∇j i u v ρρ （3）证明： 二维情况下，直角坐标系下的哈密顿算子为j i yx ∂∂+∂∂=∇ 所以=+-⨯∇)(j i u v ρρ⨯∂∂+∂∂)(j i y x =+-)(j i u v ρρk )(yvx u ∂∂+∂∂ρρ 以方程(2)代入上式得到 0)(=+-⨯∇j i u v ρρ 证毕 方程（3）表明矢量a 场（j i a u v ρρ+-=）无旋，据前述理论,矢量a 存在数学势函数Ψ,由于这里矢量a 是与速度和密度的乘积相关联的量, 因此流体力学中把它的数学物理势Ψ称之为密流函数。

此即定常、可压缩、无源、二维平面流动下存在密流函数Ψ。

Ψ和密流的关系为v a xx ρψ-==∂∂ u a y y ρψ==∂∂ =∇ψj i u v ρρ+- 对于不可压缩、无源、二维平面流动, 连续方程为 0=⋅∇V仿上可以得出流函数Ψ(这里流函数我们也用字母Ψ表示,因为流函数较密流函数更多地被应用)。

同样有流函数Ψ和速度的关系为v x-=∂∂ψu y =∂∂ψ =∇ψj i u v +- k v ⨯∇=ψ（自证！）二、 流函数Ψ的性质1. 等密流函数值线(或等流函数值线)为流线 证明：在等密流函数值线上 Ψ＝c 即 d Ψ＝0也就是 0=∂∂+∂∂=dy ydx x d ψψψ 当Ψ为密流函数时，上式为 -ρvdx ＋ρudy ＝0 Ψ＝Const 当Ψ为流函数时则为 -vdx ＋udy ＝0 由它们均可以得到vdyu dx =上式正是二维平面流的流线方程, 即等密流函数值线(或等流函数值线) 为流线。

h2 图6.10中合成波列 h1 的外廓线就是此种波形，这也
是式(6-73)的图形，称作合成 波列波幅的包迹线。由式(6-73) 图6.10 两列波的叠加合成 知，波幅包迹线是在移动的， d (6-74) ,上列包迹线移速又称作群速。 c 其移速为： g
k dk
为什么称包迹线移速为群速呢？ 首先分析波列相速与波长或波数间的关系。由于叠加前后 (6-75) 波列的相速为：
cg
速度在各个波中的传输。下面以重力表面波
为例来定义流体波动能量的计算。
u
取一个水深为H，波长为 Lx 的单位宽流体块，其波动速度为 ，由于波动时自由面离开平衡位置很微小，其垂向流速
w
对动能贡献很小，因此它所含有的波动动能定义为：
K
Lx
0
1 2 u Hdx 2
(6-68)
另外，相对于平静水面， dx 长度和单位宽度的波形水面和平 静水面间的流体体积为 h 1 dx ，其重心为 h / 2 ，因而相
2 h 2 h gH t 2 x 2
(6-50) (6-51) (6-52)
设其解的形式为： hx, t Asin k x ct
2 2 2 以此代入式(6-50)，则有 k c h gHk h 或 c gH
当该式关系 c gH
满足时，该形式解就是方程(6-50)的解。
2 h 1 2 h gH 1 2 2 t 2 x
1 c gH 1 2
(6-60) (6-61)
上式为流体界面受扰后的界面波方程。 当 1 2
其相速度为 时，式(6-60)和(6-61)退化为水表面重力波的问题。

yc

Ic yc A
作用在曲面上的力
Px ghc Ax
Pz gV
上节回顾
拉格朗日法 跟踪
跟踪追击
欧拉法 布哨 守株待兔
dx dy dz dt ux uy uz
1、迹线；2、流线
dx ux

dy uy

dz uz
ax

u x t
ux
u x x
二、层流与湍流、雷诺数
流体粘性的稳定作用与扰动造成的失稳： 层流受到扰动，若粘性的稳定作用占主导地位，扰动会受到粘性的阻滞而衰减下来，
呈现稳定的层流；当扰动占上风时，粘性的稳定作用无法使扰动衰减下来，流层不断掺混， 最后发展为湍流。
【真题练习】
-的切应力
注意三个伯努利方程的表 达式异同及其适用条件。
F Q(2v2 1v1 ) 使用相对压力；矢量运算，注意方向
流动阻力与能量损失
一、沿程损失和局部损失 二、层流与湍流、雷诺数 三、圆管中的层流流动 四、湍流运动的特征和湍流阻力 五、尼古拉兹实验 六、工业管道湍流阻力阻力计算 七、非圆管的沿程阻力损失 八、管道流动的局部损失 九、减小阻力的措施
总之，流体粘性是造成流动损失的根本原因。
能量损失的表示及分类 液体：单位重量流体的能量表示——符号hl ， 因次m 气体：单位体积内流体的能量表示——符号pl ，因次Pa
按流动边界情况，分为沿程损失和局部损失。
一、沿程损失和局部损失
1、沿程损失hf
据实验得出：沿程水头损失与管段长度、管径、流速、流体粘度、密度以及管壁粗糙度等
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公共基础精讲班课程——流体力学
It’s

注册环保师公共基础知识-流体力学(二)(总分：50.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}单项选择题{{/B}}(总题数：50，分数：50.00)1.闸下出流如图6-34所示，平板闸门宽B=2m，闸前水深h1=4m，闸后水深h2=0.5m，出流量Q=8m3/s，不计摩擦阻力，水流对闸门的作用力为{{U}} {{/U}}。

∙ A. 120kN∙ B. 69kN∙ C. 98kN∙ D. 78kN（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：2.有一断面为等腰直角三角形的渠道，已知正常水深h0=1.4m，n=0.025，i=0.03，渠道的流量Q为{{U}} {{/U}}。

∙ A. 3.21m3/s∙ B. 7.42m3/s∙ C. 5.84m3/s∙ D. 6.61m3/s（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：3.当水的压强增加1个大气压时，水的密度增大约为{{U}} {{/U}}。

∙ A. 1/20000∙ B. 1/10000∙ C. 1/4000∙ D. 1/2000（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：4.如图6-10所示，用突然扩大使管道的平均流速由v1减到v2，若直径d1及流速v1一定，当直径d2变化时，最大的测压管液面差矗为{{U}} {{/U}}。

（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 突然扩大的局部水头损失计算公式为 [*] 将上式代入伯努利方程中 [*] 则 [*] 则该题的正确答案为(A)。

5.水从A水箱通过直径d=10cm的孔口流入B水箱，孔口流量系数为0.62，如图6-41所示。

设A水箱的作用水头H1=3m保持不变，其自由液面压力为2000Pa，同时B水箱水面与大气相通且H2=2m，则通过孔口的流量为{{U}} {{/U}}。

∙ A. 28.2L/s∙ B. 36.9L/s∙ C. 22.1L/s∙ D. 24.0L/s（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：6.某供水系统的流量为0.005m3/s，总水头损失为5mH2O，现在要把流量增加到0.0085m3/s，此时水泵应供给的压头为{{U}} {{/U}}。

140第六章、 流體動量分析（Momentum analysis offlow systems ）牛頓第二定率 – 動量守衡牛頓第二定律： ∑===F dtV m d dt V d m a m)({}⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧)(viscous pressure forcces surface force body system the of m om entum the of change of rate tim e⎰∑=syssys F V d V Dt Dρ 假設系統與控制容積於時間 t 時互相重疊，如下圖所示：∑∑=CVcoincident the of contents sys F F則由雷諾轉換定理，∑∑⎰⎰⎰⎰-+∂∂=∙+∂∂=in in in in out out out out CVCS CVsys V A V V A V V d V t dA n V V V d V t V d V Dt D ρρρρρρ)(或141⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧....V C the of out m om entum of flow of rate net V C coincident the of m om entum the of change of rate tim e system coincident the of m om entum the of change rate tim e 故以控制容積而言∑∑∑⎰⎰⎰=-+∂∂=∙+∂∂CVtheof contents in in in in out out out out CV CS CVF V A V V A V V d V t dA n V V V d V t ρρρρρ)( （注意：上式中，每一項單位均為 kg.m/s ，並為一向量方程式，故有三分量。

） 此式可以下式表示之：∑=+-CVtheof contents F S I O∑=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅ii F s m kg CV the in m om entum of rate torage S s m kg m om entum of rate nflow I s m kg m om entum of rate utflow O )/()/()/(此為控制容積法表示之動量守衡定律。

流体力学II（Viscous Fluid and Gas Dynamics）讲义第一章、粘性不可压缩流体运动基本方程组（学时数：6）1-1．绪论流体力学是力学的一个重要分支，主要研究流体介质（液体、气体、等离子体）的特性、状态，在各种力的作用下发生的对流、扩散、旋涡、波动现象和质量、动量、能量传输，以及同化学、生物等其他运动形式之间的相互作用。

它既是一门经典学科，又是一门现代学科，对自然科学和工程技术具有先导作用。

历史上，力学包括流体力学，曾经经历基于直观实践经验的古代力学、基于严密数学理论的经典力学、基于物理洞察能力的近代力学三个阶段。

在人类早期的生产活动过程中，力学即与数学、天文学一起发展。

17世纪，Newton基于前人的天文观测和力学实验，发明了微积分，并总结出机械运动三大定律和万有引力定律，发表了著名的《自然哲学的数学原理》一书。

由于原理是普适自然与工程领域的规律，从而使力学成为自然科学的先导。

从17世纪开始，人们逐步建立了流体力学的基本理论体系，从Pascal定律、Newton粘性定律、Pitot 管测速，到Euler方程和Bernoulli方程，标志着流体动力学正式成为力学的一个分支学科。

18世纪，人们着重发展无粘流体的位势理论。

到了19世纪，为了解决工程实际问题，开始注重粘性的影响，Navier-Stokes方程的建立为流体力学的进一步发展奠定了完整的理论基础，但该方程解的存在性与光滑性的证明至今仍是一大难题。

20世纪初，Prandtl凭借出色的物理洞察能力，提出边界层理论，从而开创了流体力学的近代发展阶段，使力学成为人类实现“飞天”梦想的重要理论先导。

60年代以来，由于超级计算机、先进测试技术的发展和应用，力学进一步凸显宏微观结合和学科交叉的特征，进入现代力学发展新阶段。

刚刚过去的2011年，人类遭遇了一系列极端事件：日本海底地震导致海啸和福岛核电站泄露事故；澳大利亚飓风；我国干旱洪水灾害等异常气候问题。

0 mg

0
m xyz
x

pxy


pz
y

z x

pny pny
x
c os
x
c os
sin cos

0 g

xyz

0
px pn
x , y , z 0
pz pn gz
px pz pn
与流体的属性、温度有关，与流体运动形式无关 一般液体的 随温度的升高而减小，气体的 随温度的升
高而增大。
流体的粘性影响流动的快慢，静止流体中无粘力
f dυx S 牛顿粘性定律
26
dy
f dυx 牛顿流体
S dy
三、粘滞流体的伯努利方程
b b
单位体积流体从a流到b 克服粘滞
aa

S1l1 v1
h1
S2
经△t 时间流动到a b 位置
l2
v2
V1 S1l1 S1v1t
h2
V2 S2l2 S2v2t 不可压缩 V1 V2
能量变化 E E(ab) E(ab)
E(bb) E(aa)
E

m2 gh2
二、牛顿粘性定律
速度梯度 vx
y
y
S f
v2 lim vx dvx
25
v
v1 x0 y
dy
作用在面元S上的粘滞力f
z
x
f dυx S
dy
f S
f dvx dy
: 粘滞系数或内摩擦系数
单位：1Pa s 1kg m1 s1

x y z
全微分的充分必要条件。
即
d v x dx v y dy v z dz
d dx dy dz x y z
函数Φ的全微分为
比较两式，得到
vx , vy , vz x y z
函数Φ(x, y, z)称为速度势函数，无旋流动又称为有 势流动 。
复速度的三角函数 式和指数式：
dW v (cos i si n ) v e i dz
α O vx
V
vx-ivy
W(z)共轭复变数:
W i f ( z )
z x iy
dW i v x ivy V dz x x
dW dW 2 2 2 vx vy v dz dz
证明： 取微元线段 d s ，过微元线段的速度为 v ，
则单位厚度的微元流量dq的表达式为
dq v d s v x dy v y dx d
通过线段AB的流量为
q dq d B A
A A
B
B
q 2 1
特性3
证明：对于平面势流，有
v x v y 0 x y v y v x x y
由数学分析知，上式正是 v y dx v x dy 成为某一函 数Ψ(x, y)全微分的充分必要条件。
即
d v y dx v x dy
d dx dy x y
函数ψ的全微分为
比较两式，得到
证明：不可压缩流体的连续性方程为 v x v y v z 0 x y z 对于有势流动 得到
vx , vy , vz x y z
2 2 2 2 0 2 2 x y z

第六章流体力学课后答案第六章孔口、管嘴出流与有压管流6-1在水箱侧壁上有一直径d?50mm的小孔口，如图所示。

在水头H的作用下，收缩断面流速为VC?6.86m/s，经过孔口的水头损失hw?0.165m，如果流量系数??0.61，试求流速系数?和水股直径dc。

Vc2解：根据伯努利方程：H??hw?2.51m2g流速系数??Vc??0.967VQ???AVcc，dc?39.71mm6-2图示一船闸闸室，闸室横断面面积A?800m2，有一高h?2m、宽b?4m的矩形放水孔。

该孔用一个速度v?0.05m/s匀速上升的闸门开启。

假设初始水头H1?5m，孔口流量系数??0.65，孔口出流时下游水位保持不变。

试求（1）闸门开启完毕时闸室中水位降低值y；（2）闸室水位与下游平齐所需要的总时间T。

解：（1）闸门完全开启所用的时间：t?h?40sv此段时间内孔口的面积可用孔的平均面积来表示：A?4m2因为T??40s所以：H2?3.796m，y?H1?H2?1.204m（2）闸门完全打开后，防水孔的面积：A??bh?8m2液面降到与下游液面平齐所需要的时间因为T???135.41s所以T?t?T??175.41s6-3贮液箱中水深保持为h?1.8m，液面上的压强p0?70kPa（相对压强），箱底开一孔，孔直径d?50mm。

流量系数??0.61，求此底孔排出的液流流量。

p0V2解：根据伯努利方程：?h??g2g46-4用隔板将矩形水池中的水体分成左右两部分，如图所示，右半部分水Q??d2V??15.9L/s面保持恒定，隔板上有直径d1?0.1m的圆形孔口，位于右半部液面下H1?4.8m处。

在左半部分的侧面与前一孔口相同的高度处开有直径d2?0.125m的圆形孔口，当水池两半部分的水面稳定后，试求左半部水面高度计孔口出流流量。

解：当水池两半部分的水面稳定时：Q1?Q2Q1??AQ2??A??0.62?h?1.395m,Q?0.0398m3/s6-5图示水平圆柱状内插式管嘴，入口锐缘状，直径d?40mm，管嘴中心线离液面的距离h?1.5m，设管嘴较短，水流在管嘴内作自由出流如图示，各容器壁面上的压强可按静压规律分布。