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华约自主招生试题一、数学部分1. 有一个集合A={1,2,3,4,5}，请列举出A中的所有子集。
2. 设集合A={a, b, c}，集合B={1, 2, 3}，则集合A与集合B的笛卡尔积为什么？3. 已知函数f(x) = 3x + 4，求f(-2)的值。
4. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则集合A与集合B的交集为什么？5. 求方程3x^2 - 2x + 1 = 0的解。
6. 在一个等边三角形ABC中，BC=x，求三角形ABC的面积。
7. 已知函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x，求f'(x)。
二、英语部分1. 根据所给的短文，回答以下问题：The Great Wall is one of the most famous sights in the world. It is more than 20,000 kilometers long and is known as one of the Seven Wonders of the World. The Great Wall was built over 2,000 years ago to protect the Chinese Empire from invasions. It attracts millions of tourists from all over the world every year.a) How long is the Great Wall?b) Why was the Great Wall built?c) What does the Great Wall attract every year?2. 根据所给的对话，填写空缺处的单词：A: Can you help me with my math homework?B: Sure, what's the problem?A: I can't solve this equation. _______ you show me how?B: Of course, let me take a look. ________ the equation for me.A: It's 3x^2 + 4x - 5 = 0.B: Alright, first we need to find the _______ of the equation. Then we can use the quadratic formula.A: How do we find the _______?B: We look at the coefficient of the x^2 term, which is 3 in this case. Now let's plug the values into the quadratic formula...三、逻辑思维部分1. 莉莉、爱丽丝、汤姆和鲍勃是四个朋友。
华约自主招生试题及答案一、选择题1. 根据题目所给的选项，选择最符合题意的一项。
A. 选项一B. 选项二C. 选项三D. 选项四答案：C2. 请从下列选项中选出正确答案。
A. 选项AB. 选项BC. 选项CD. 选项D答案：B二、填空题3. 请在横线上填写正确的内容。
题目：地球的自转周期是______。
答案：24小时4. 根据题目要求，填写相应的信息。
题目：______是中国古代四大发明之一。
答案：指南针三、简答题5. 请简述牛顿第二定律的内容。
答案：牛顿第二定律指出，物体的加速度与作用在其上的合外力成正比，与物体的质量成反比。
6. 请简要说明什么是光的折射现象。
答案：光的折射现象是指光线从一种介质进入另一种介质时，光线传播方向发生改变的现象。
四、论述题7. 论述中国传统文化对现代社会的影响。
答案：中国传统文化对现代社会有着深远的影响。
它不仅体现在人们的日常生活习惯、价值观、道德观等方面，还对现代教育、艺术、科技等领域产生了积极的推动作用。
8. 请分析全球化对世界经济的影响。
答案：全球化促进了世界经济的一体化，加强了各国之间的经济联系，提高了生产效率，但也带来了诸如文化冲突、经济不平衡等问题。
五、计算题9. 已知一个物体的质量为5千克，受到的重力加速度为9.8米/秒²，求该物体所受的重力大小。
答案：根据公式G = m * g，可得G = 5 * 9.8 = 49牛顿。
10. 若一个物体以10米/秒的速度做匀速直线运动，求其在5秒内通过的路程。
答案：根据公式s = vt，可得s = 10 * 5 = 50米。
六、实验题11. 请设计一个实验来验证阿基米德原理。
答案：实验步骤如下：a. 准备一个弹簧秤、一个物体和水。
b. 使用弹簧秤测量物体在空气中的重力。
c. 将物体浸入水中，并记录此时弹簧秤的读数。
d. 计算物体在水中所受的浮力，验证阿基米德原理。
12. 描述如何使用显微镜观察细胞结构。
清北学长精⼼打造——北约华约卓越⾃主招⽣物理⼒学部分模拟训练题及参考答案“北约”“华约”“卓越”⾃主招⽣⼒学部分模拟试题⼀．选择题（以下每题中有⼀个或⼀个以上选项符合题意，每⼩题3分，共30分）1．如图所⽰，⼀质量为m 的质点在半径为R 的半球形容器中，由静⽌开始⾃边缘上的⼀点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压⼒N 。
则质点⾃A 滑到B 的过程中，摩擦⼒对其所做的功为（A ）1(3)2R N mg - （B ）1(3)2R mg N - （C ）1()2R N mg -（D ）1(2)2R N mg -2．有⼀“不倒翁”，由半径为R 的半球体与顶⾓为60o的圆锥体组成（如图），它的重⼼在对称轴上。
为（A ）34R。
（B ）2R 。
（C ）R 3 。
（D ）条件不⾜，⽆法确定。
3. θ⾓的光滑斜⾯上的物块相对于斜⾯向下的加速度a′=13 gsinθ，由此可以推断车厢在⽔平⾯上的加速度为 (A)a0=23gtgθ； (B) a0=23gctgθ (C) a0=23gsinθ：(D) a0=23gcosθ4．将质量为2m 的⽊板静⽌地放在光滑⽔平⾯上，⼀质量为m 的⽊块以⽔平初速v 0由⽊板左端恰能滑⾄⽊板的右端与⽊板相对静⽌。
⽊块运动过程中所受摩擦⼒始终保持不变。
现将⽊板分成长度与质量相等的两段（a 、b ）后紧挨着仍放在光滑⽔平⾯上，让⽊块仍以相同的初速度v 0由⽊板a 的左端开始滑动，则（A ）⽊块仍能滑到⽊板b 的右端并与⽊板保持相对静⽌。
（B ）⽊块滑到⽊板b 的右端后飞离⽊板。
（C ）⽊块滑到⽊板b 的右端前就与⽊板保持相对静⽌。
（D ）后⼀过程产⽣的热量⼩于原来过程产⽣的热量。
5．如图所⽰，⼀半径为R 、质量为M 的1/4光滑圆弧槽D ，放在光滑的⽔平⾯上，有⼀质量为m 的⼩球由A 点静⽌释放，在下滑到B 点的过程中，下述说法正确的是（A ）以地⾯为参考系，⼩球到达B 处时相对于地的速度v 满⾜12mv2＝mgR（B ）以槽为参考系，⼩球到达B 处时相对于槽的速度v ’满⾜12mv ’2＝mgR（C ）以地⾯为参考系，以⼩球、槽和地球为系统，机械能守恒（D ）不论以槽或地⾯为参考系，以⼩球、槽和地球为系统的机械能均不守恒6.空中有⼀⽓球，下⽅连⼀绳梯，它们的总质量为M ，在梯上站⼀质量为m 的⼈。
“华约”7校联考部分试题：上午科目：“阅读与写作”阅读部分（50分）一、现代文阅读：杨福家的《哥本哈根精神》二、现代文阅读：老舍的《五九》三、古代诗文阅读1.辛弃疾《清平乐校检山园，书所见》2.《南齐书良政》断句3.翻译《论语泰伯》《韩非子外储说右下》写作部分（50分）你对忧患意识是怎样认识的？请写一篇文章，谈谈你的思想和认识，角度自选，立意自定，标题自拟；不要编造虚假事实论据，不要套作，不得抄袭。
二、英文和中英文综合：试卷总分100分，包括的题型有完形填空、英语(论坛)翻译与写作。
完形填空：一篇。
选词填空：6选5，在6个短句中选择5个，完成整篇文章。
英语翻译与写作：先将一篇中文材料，内容与理想的受教育者有关，先将中文翻译成英文，再一篇150字左右的短文。
下午清华7校自主招生进行了数学和“自然科学”或“人文与社会”的考试，高考(微博)网赴现场了解到了考生考试的一些情况。
下午科目：数学数学总分100分，包括选择题和解答题，其中选择题10个，每个3分，解答题5个，涉及到的知识点包括概率、函数、三角函数、数列、解析几何等。
考生普遍反映题量大，时间紧，来不及做完。
题很难，相当于竞赛难度，前五道选择题和后五道选择题难度相差很大，前五道在课本内都可以找到，后五道来自课本之外。
自然科学理综总分100分，物理题量较大，比化学占的分值要多，物理题包括10个选择题，每个3分，有不定向选择题，解答题；化学题包括选择题10个，填空题、解答题。
物理题比较有深度，与课本结合紧密，但只要参加过竞赛，这些题基本都能解答出来。
大题中，有一道机械能的题。
部分物理题：物体x在平面上做简谐运动，AB两点相距16厘米，物体x由A运动到B用时一秒，并在AB两点有相同的速率，物体x在1秒后再次通过B，求周期与振幅。
（单选）一个氢原子外电子吸收一个光子后，______化学题有部分竞赛题，特别难，很多题都没见过，题量大，没做完，考到一个关于石墨烯、分子结构、轨道理论的题。
华约自主招生试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是华约自主招生的选拔标准？A. 学术成绩B. 领导能力C. 体育特长D. 政治面貌答案：D2. 华约自主招生的报名截止日期是每年的什么时候？A. 1月1日B. 3月1日C. 5月1日D. 7月1日答案：B3. 华约自主招生的面试环节主要考查哪些方面？A. 学术知识B. 个人陈述C. 团队合作D. 所有选项答案：D4. 华约自主招生的笔试科目包括哪些？A. 语文、数学、英语B. 物理、化学、生物C. 政治、历史、地理D. 语文、数学、英语、物理、化学、生物答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 华约自主招生的笔试成绩占总成绩的____%。
答案：402. 华约自主招生的面试成绩占总成绩的____%。
答案：603. 华约自主招生的申请材料需要包括个人简历、成绩单、推荐信以及____。
答案：个人陈述4. 华约自主招生的选拔流程包括报名、初审、笔试、面试以及____。
答案：录取三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述华约自主招生选拔流程中初审阶段的主要任务是什么？答案：初审阶段主要任务是审核申请者的资格，包括学术成绩、竞赛获奖情况、领导能力等，以确定是否符合自主招生的基本条件。
2. 描述一下华约自主招生面试环节中，面试官通常会询问哪些问题？答案：面试官通常会询问申请者的学术背景、个人兴趣、未来规划、团队合作经验以及对所申请专业的认知和理解。
四、论述题（20分）1. 论述华约自主招生选拔标准中，为什么需要重视学术成绩以外的其他能力？答案：华约自主招生选拔标准中重视学术成绩以外的其他能力，是因为高等教育不仅需要学术知识，还需要学生的创新能力、领导能力、团队协作能力等综合素质。
这些能力有助于学生在大学期间更好地适应学术和社交环境，为未来的职业发展打下坚实的基础。
高水平大学自主选拔学业水平测试
数学与逻辑（华约）
一、（本小题满分10分）
1x ,2x ,3x ,4x ,5x 为五个正整数，任取四个其和组成的集合为{}44,45,46,47，求i x （1i =，2， (5)
． 二、（本小题满分15分）
乒乓球比赛，甲胜的概率是1()2
p p >，若采用五局三胜制，甲获胜的概率是q ，求p 为多少时，p q -取得最大值．
三、（本小题满分15分） 1()f x -是()f x 的反函数，定义：()()(())f g x f g x =．
（Ⅰ）求证：11()()()()f g x f g x --=；
（Ⅱ）()()F x f x =-，1()()G x f
x -=-，若1()()F x G x -=，求证：()f x 为奇函数．
四、（本小题满分15分）
函数1()(cos sin )sin()2sin 242
f x x x x a x b π=-+-+-的最大值为1，最小值为4-，求a ，b ． 五、（本小题满分15分） 已知椭圆22
221x y a b
+=与圆222x y b +=，过椭圆上一点P 作圆的两条切线，切点弦所在直线与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ，求EOF ∆面积的最小值．
六、（本小题满分15分）
已知数列{}n a 满足：10a =，1n n n a np qa +=+．
（Ⅰ）若1p =，求n a ； （Ⅱ）若1p <，1q <，求证：数列{}n a 有界．
七、（本小题满分15分）
已知n N +∈，x n ≤，求证：2(1)n x x
n n e x n --≤．。
2014年“北约”“华约”自主招生模拟试题数学（满分150分）第一部分：填空题（共5小题 每题10分）1. 若tan 2α=,则224sin 3sin cos 5cos αααα--= 1 .2. 在复数集C 内,方程22(5)60x i x --+=的解为 .3. 设8219)22015()22015(+++=x ，求数x 的个位数字.4. 设{|100600,}A n n n N =≤≤∈，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______70_______.5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 9y ²-12x-4=0 . 第二部分：解答题（共5小题 每题20分）1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值范围-1≤a ＜0或0＜a ≤32. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量(3,1)a =-,13(,2b =.若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-, 使向量2(tan 3)c a b =+-,tan d ma b θ=-+,且c d ⊥.(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A b a ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、 选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22 +⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.二、 解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由AB ≠∅得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅得1a >-； 当0a =时，{}20B x x =<=∅，与AB ≠∅不符． 综上所述，()()1,00,3a ∈-2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
2013年“华约” 高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟1数学与逻辑A 1/2B 2/5C 3/5D 4/73．正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系（ ） （A ）θγβα<<<（B ）γθβα<<<（C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<< 4. 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2007|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2007|（x ∈R ），且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)．则a 的值有（ ）.（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个5.平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y=2x对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两面三刀点的距离为（ ）A ．556 B ．5512 C ．538 D ．53166. 若m 、n ∈{x |x ＝a 2×102＋a 1×10＋a 0}，其中a i ∈{1，2，3，4，5，6，7}，i ＝0，1，2，并且m ＋n ＝636，则实数对(m ，n )表示平面上不同点的个数为（ ）．（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个 7．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++L n n n n na a a a a n n n 201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为( ). A 4025 B 4250 C 3650 D 4425 8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为9,,2,1Λ的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且1 2 3 4 5 6 7 89“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( ) A 96 B 108 C 112 D1209．设a n =2n，b n =n ，（n=1，2，3，。
华约自主招生模拟试题说明：(1)考试时间:90分钟；(2)第1--2题每题15分,第3--8题每题20分,试卷总分为150分. 1.求所有的实数[0,]2x π∈,使得(2sin 2)sin()14x x π-+=.2.如图,已知O 分别与等边三角形ABC 的三边,,AB BC CA 相切于点,,D E F ,设劣弧DF 上的点P 到三边,,AB BC CA 的距离依次为123,,d d d ,求证:132d d d +=.3.求最小的正实数k ,使得111()9ab bc ca k a b c+++++≥对所有的正实数,,a b c 都成立.4.已知非直角三角形ABC 的最小边长为5,且tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++,其中符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数,求ABC ∆的面积？d 1d 3d 2F DOEABCP5.已知函数()bf x ax c x=++(0)a >的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. (1)将,b c 用a 表示出来；(2)若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围； (3)求证:对所有正整数n ,都有1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++ .6.已知复数z x yi =+,,x y 均为有理数,且||1z =,求证:对任意的*N n ∈,2|1|nz -都是有理数.7.如图,O 是边长为1的正六边形ABCDEF 的中心,一条路径是指从点O 出发,沿着线段又回到点O ,求长度为2013的路径条数.8.已知函数n mx x x f ++=2)(,其中{1,2,3,,2014}m ∈ ,且{1,2,3,,2014}n ∈ ,求所有的有序数对),(n m ,使得}0))((|{==x f f x P 是单元素集.OFABCED华约自主招生模拟试题答题纸1. 2.d 1d 3d 2FDOEABCP4.6.7.8.OFA BCE D华约自主招生模拟试题--参考答案1.求所有的实数[0,]2x π∈,使得(2sin 2)sin()14x x π-+=. 解:设t x =+)4sin(π,则t x x 2cos sin =+,122sin 2-=t x ,从而有1)23(2=-t t ,即01323=+-t t ,解得1=t ,或1231>+=t (舍),或0231<-=t (舍).于是,有唯一的实数4π=x 符合题意. 2.如图,已知O 分别与等边三角形ABC 的三边,,AB BC CA 相切于点,,D E F ,设劣弧DF 上的点P 到三边,,AB BC CA 的距离依次为123,,d d d ,求证:132d d d +=.证明:如图,以O 为原点,OA 所在直线为y 轴建立坐标系,不妨设O 的半径为1,则点P 坐标为(cos ,sin )θθ(30150)θ︒≤≤︒,则由题意可得:直线AC 的方程为:cos30cos3010x y ︒+︒-=； 直线AB 的方程为:cos150cos15010x y ︒+︒-=； 直线BC 的方程为:01=+y .由点到直线的距离公式可得:13|cos cos30sin cos301||cos cos150sin cos1501|d d θθθθ+=︒+︒-+︒+︒-222sin (15)2sin (75)2[sin(15)sin(75)]2222θθθθ=-︒+-︒=-︒--︒2sin 12cos 2sin )2cos 2)(sin15sin 15(cos 2d =+=+=+︒-︒=θθθθθ.故,132d d d +=成立.3.求最小的正实数k ,使得111()9ab bc ca k a b c+++++≥对所有的正实数,,a b c 都成立. 解:首先令1a b c ===,则有2k ≥. 其次,证明:1112()9ab bc ca a b c+++++≥对所有的正实数,,a b c 都成立. 由于3111133ab ab a b a b ++≥⋅⋅⋅=,同理可得:113bc b c ++≥,113ca c a++≥. 以上三式相加即得:1112()9ab bc ca a b c+++++≥. y xd 1d 3d 2FDOEABCP综上可知,所求k 的最小值为2.4.已知非直角三角形ABC 的最小边长为5,且tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++,其中符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数,求ABC ∆的面积？解:由题意知对所有实数x ,都有[]x x ≤,故tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≥++.结合题目条件可知tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++=++,其中tan ,tan ,tan A B C 均为整数.不妨设tan ,tan ,tan A x B y C z ===(,,x y z 均为非零整数,且x y z ≤≤),则由tan tan()C A B =-+可得xyz x y z =++,而,,A B C 中最多一个钝角,即,y z 必为正整数,03xyz x y z z <=++≤,故3xy ≤,从而1,1x y ==,或1,2x y ==,或1,3x y ==. 当1,1x y ==时,由xyz x y z =++知无解； 当1,2x y ==时,由xyz x y z =++知3z =；当1,3x y ==时,由xyz x y z =++知2z =,这与x y z ≤≤不符.故,在ABC ∆中,tan 1,tan 2,tan 3A B C ===,且5BC =.过点B 作高BD ,则在Rt BCD ∆中可求得1021,1023==CD BD ,在Rt ABD ∆中可求得3102AD =,故210AC =,故ABC ∆的面积为15. 5.已知函数()bf x ax c x =++(0)a >的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-.(1)将,b c 用a 表示出来；(2)若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围； (3)求证:对所有正整数n ,都有1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++ . 解:(1)求导得2'()bf x a x =-,再由题意得'(1)1(1)0f a b f a b c =-=⎧⎨=++=⎩,解得112b a c a =-⎧⎨=-⎩(0)a >.(2)由(1)可知1()12a f x ax a x-=++-(0)a >. 令1()()ln 12ln a g x f x x ax a x x -=-=++--,[1,)x ∈+∞,则211'()(1)()a g x a x x a x-=--⋅.当102a <<时,11a a ->,若1(1,)a x a -∈,则'()0g x <,故()g x 在区间1(1,)aa-上单调递减.所以,当1(1,)ax a-∈时,()(1)0g x g <=,即()ln f x x <,不合题意. DBAC当12a ≥时,11a a-≤,若1x ≥,则'()0g x ≥,故()g x 在区间(1,)+∞上单调递增.所以,当[1,)x ∈+∞时,()(1)0g x g ≥=,即()ln f x x ≥,符合题意.综上可知,实数a 的取值范围为1[,)2+∞.(3)由(2)的结论知:当12a ≥时,()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立. 取12a =时有11()()ln 2f x x x x =-≥在[1,)+∞上恒成立,当1x >时,11()()ln 2f x x x x=->.依次令2341,,,,123n x n += 可得:212111ln ln 20()(1)121222=-<-=+；3132111ln ln 3ln 2()()2223223=-<-=+；4143111ln ln 4ln 3()()3234234=-<-=+；……111111lnln(1)ln ()()2121n n n n n n n n n n ++=+-<-=+++. 将以上n 个等式相加,整理可得:1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++ . 6.已知复数z x yi =+,,x y 均为有理数,且||1z =,求证:对任意的*N n ∈,2|1|nz -都是有理数.证明:令cos sin z i θθ=+,其中cos ,sin x y θθ==,则由题意知cos ,sin θθ都是有理数,再由棣莫弗公式得2cos 2sin 2nzn i n θθ=+,从而222|1|(cos 21)sin 222cos 22|sin |n z n n n n θθθθ-=-+=-=.以下用数学归纳法证明:对任意的*N n ∈,cos ,sin n n θθ均为有理数.(1)当1n =时,cos ,sin θθ都是有理数,结论显然成立.(2)假设当n k =时,cos ,sin k k θθ均为有理数,则由于sin(1)sin cos cos sin k k k θθθθθ+=+,以及cos(1)cos cos sin sin k k k θθθθθ+=-,因此当1n k =+时,cos(1),sin(1)n n θθ++均为有理数.由(1),(2)可知,对任意的*N n ∈,cos ,sin n n θθ是有理数. 故对任意的*N n ∈,2|1|2|sin |n z n θ-=都是有理数.7.如图,O 是边长为1的正六边形ABCDEF 的中心,一条路径是指从点O 出发,沿着线段又回到点O ,求长度为2013的路径条数.解:由题意设从点O 出发沿着线段又回到点O ,且长度为n 的路径条数为n a ,从点A 出发沿着线段到点O ,且长度为n 的路径条数为n b ,则有11162n n nn n a b b a b ---=⎧⎨=+⎩1226n n n a a a --⇒=+. 又由于6,021==a a ,故可求得1((77)(17)(77)(17))14n nn a =-⋅+++⋅-.从而可得长度为2013的路径条数2013201320131((77)(17)(77)(17))14a =-⋅+++⋅-.8.已知函数n mx x x f ++=2)(,其中{1,2,3,,2014}m ∈ ,且{1,2,3,,2014}n ∈ ,求所有的有序数对),(n m ,使得}0))((|{==x f f x P 是单元素集.解:假设存在符合题意的有序数对),(n m ,则由题意可知方程()0f x =必有两个实根12,x x (21x x ≤),故可设))(()(21x x x x x f --=.从而有))()()(())()()(())((22121212121221x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x f f -++--++-=--=. 若设0)(121212=-++-x x x x x x x 的判别式122114)(x x x +-=∆,及0)(221212=-++-x x x x x x x 的判别式222124)(x x x +-=∆,于是21∆≤∆.故要使P 是单元素集,则必有04)(22212=+-=∆x x x ,于是11242-+=-m n m )0(≥m ,整理得))112((4122-+-=m m n )0(≥m ,此时}2{m P -=.由于n m ,均为正整数,因此必有+∈+N m 12.所以,令2)12(12+=+k m )(+∈N k 可得k k m 222+=,342k k n +=.又由4362617282014+⨯=<,且4372730872014+⨯=>可知符合题意的有序数对),(n m 有以下六对:)3,4(,)32,12(,)135,24(,)384,40(,)875,60(,)1728,84(.OFA B CED。
华约自主招生物理模拟试题（一） 姓名一．选择题（每题6分）1．如图，玻璃管内封闭了一段气体，气柱长度为l ，管内外水银面高度差为h 。
若温度保持不变，把玻璃管稍向上提起一段距离，则（ ）（A ）h 、l 均变大 （B ）h 、l 均变小 （C ）h 变大l 变小 （D ）h 变小l 变大2．一定量的理想气体的状态经历了如图所示的ab 、bc 、cd 、da 四个过程。
其中bc 的延长线通过原点，cd 垂直于ab 且与水平轴平行，da 和bc 平行。
则气体体积在（ ） （A ）ab 过程中不断增加 （B ）bc 过程中保持不变 （C ）cd 过程中不断增加 （D ）da 过程中保持不变3．如图，一列沿x 轴正方向传播的简谐横波，振幅为2cm ，波速为2m/s 。
在波的传播方向上两质点a 、b 的平衡位置相距0.4m （小于一个波长），当质点a 在波峰位置时，质点b 在x 轴下方与x 轴相距1cm 的位置。
则（ ）（A ）此波的周期可能为0.6s （B ）此波的周期可能为1.2s（C ）从此时刻起经过0.5s ，b 点可能在波谷位置 （D ）从此时刻起经过0.5s ，b 点可能在波峰位置4．[PtCl 2(NH 3) 2]，化学名称为二氯二氨合铂，它有两种异构体，顺式和反式，顺式异构体商品名为“顺铂”,它是第一代抗癌药物，以下关于顺铂的说法正确的是： 。
（A) 它是一种复盐 （B) Pt 的化合价为4，两个电价，两个共价 （C) 为一四面体结构 （D) 只有它的顺式异构体具有抗癌活性。
5．某单质能跟浓硝酸反应，若参加反应的单质与硝酸的物质的量之比为1：4，则该元素在反应中所显示的化合价可能是 。
（A ） +1 （B ） +2 （C ） +3 （D ） +4 二．填空题.（每小题6分）6．如图，上端开口的圆柱形气缸竖直放置，截面积为5⨯10－3m 2.一定质量的气体被质量为 2.0kg 的光滑活塞封闭在气缸内，其压强为_________Pa （大气压强取1.01⨯105Pa ，g 取10m/s 2）。
