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2013年“华约”自主招生数学试卷解析
2013年“华约”自主招生数学试卷解析，考试吧为大家整理归纳，希望对大家有所帮助。
以下内容来源于网友及考生考场回忆，仅供参考
今年的自主招生刚刚考完，“华约”数学试题的整体结构做了较大的改变，从去年的“10 道选择+5 道解答”题直接变成了“7 道解答”的形式。
今年“华约”考试题中没有选择题只有解答题等题型，因此今年的部分解答题难度比去年稍简单，整体难度与去年相比持平。
“华约”自主招生考试命题权和阅卷权都已经移交给考试院，从今年命题情况看，今年“华约”自主招生数学试题仅有第六题不属于高中知识点(数论)背景之内，其余试题均以高考知识点为背景，只需从高考知识点基础上进行知识拓展延伸，因此也能看出今年自主招生“华约”试题命题超出高考考试说明要求但是以高考知识背景为依托。
同时今年数学试题综合性不强，应用性也有所减弱，着重于数学知识的分析能力，而且试卷也没有出现跨学科综合、现实问题分析(唯一接近的是第三题，即概率统计中的取球问题，不过这也属于经典较简单的数学模型)等题型。
自主招生的自主性已经遭到了极大削弱。
但是这不得不说，对于当前的优秀学生而言，自主招生选拔已然成为当前高考的必备补充。
2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ） （A ）2 （B（C ）1 （D3．已知平面α//平面β，直线,m n αβ⊂⊂，点,,A m B n AB ∈∈与平面α的夹角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 的夹角为 度 （A ）60 （B ）45 （C ）30 （D ）22.54.正四棱锥P-ABCD 中，B 1为PB 的中点，D 1为PD 的中点， 则两个棱锥A-B 1CD 1与P-ABCD 的体积之比11A B CD P ABCDV V --（A ）1：6 （B ）1：5 （C ）1：4 （D ）1：35．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为（ ） （A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B （C ）e2（D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。
2013年华约自主招生数学试题1.已知集合A={x|x≥10,x∈N}，B⊆A，且B中的每个元素同时满足：（a）各数位上的数字互不相同；（b）任意两个数位上的数字之和不为9。
求：（1）B中有多少个两位数?多少个三位数？（2）B中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B中的元素从小到大排列后，第1081个元素是多少？2.已知实数x,y满足{sin x+sin y=13cos x+cos y=15,求sin(x−y),cos(x−y).3.已知k>0,在y轴的同侧的两点A,B分别在直线y=kx, y=-kx上，且满足|OA|•|OB|=1+k²，其中O是坐标原点.设线段AB的中点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)若抛物线x²=2px(p>0)与曲线C相切于两点，求证：这两点各在一条定直线上，并求出两条切线的方程。
4.有7个红球和8个黑球，从中任取4个.(1)求恰有一个红球的概率；(2)设取出的4个球中黑球的个数为X，求X的分布列及数学期望E（X）;(3)求当取出的4个球同色时，颜色为黑色的概率.5.已知数列{a n}满足a1>0,a n+1=a n+ca n2，n=1,2,…,其中c>0.(1)求证：∀M>0,∃N∗∈N，使得当n>N∗时，a n>M；(2)设b n=1ca n+1，S n是数列{b n}的前n项和，证明：S n有界，且∀d>0,∃k∈N，当n>k时，0<|S n−1ca1+1|<d6.设x,y,z是三个两两不等且都大于1的正整数，若xyz整除（xy-1）•(xz-1)•(yz-1),求x,y,z的所有可能值.7.(1)设f(x)=(1-x)e x-1,求证：当x>0时，f(x)<0;(2)若数列{x n}满足x1=1,x n e x n=e x n−1，求证：数列{x n} 单调递减，且x n>12n。
2013自主招生“华约”数学试卷解析今年的自主招生刚刚考完，“华约”数学试题的整体结构做了较大的改变，从去年的“10道选择+5道解答”题直接变成了“7道解答”的形式。
今年“华约”考试题中没有选择题只有解答题等题型，因此今年的部分解答题难度比去年稍简单，整体难度与去年相比持平。
“华约”自主招生考试命题权和阅卷权都已经移交给考试院，从今年命题情况看，今年“华约”自主招生数学试题仅有第六题不属于高中知识点（数论）背景之内，其余试题均以高考知识点为背景，只需从高考知识点基础上进行知识拓展延伸，因此也能看出今年自主招生“华约”试题命题超出高考考试说明要求但是以高考知识背景为依托。
同时今年数学试题综合性不强，应用性也有所减弱，着重于数学知识的分析能力，而且试卷也没有出现跨学科综合、现实问题分析（唯一接近的是第三题，即概率统计中的取球问题，不过这也属于经典较简单的数学模型）等题型。
就像去年学而思自主招生研究中心邓杨老师说的，自主招生的自主性已经遭到了极大削弱。
但是这不得不说，对于当前的优秀学生而言，自主招生选拔已然成为当前高考的必备补充。
从今年“华约”数学试题看，前三道题难度略简单，分别是排列组合、三角函数、概率统计题型。
第一题是以集合为背景的排列组合问题，第一问与第二问尤其简单，对于考生而言只要懂得排列组合基本原理就可以秒杀。
第二题分别用两式平方和与三角函数中的和差化积公式就可以秒杀，此题近乎是学而思自主招生S 类课程的原题。
第三题考到概率统计中的超几何分布模型，即使不懂超几何分布通过对取球过程分析依然能很快得出答案，但是第三问需要用到概率统计学中的贝叶斯公式（也称逆概率公式）。
几乎没有运算量：（2013“华约”自主招生数学试题 3 抢先版）一个袋子中有15个球，其中8个黑球，7个红球，从中取出4个球。
（1） 取出的4个球中有1个球是红球的概率。
（2） 求取出的4个球中黑球个数X 的分布列与期望。
（3） 如果取出的4个球是同色的，求该颜色为黑色的概率。
2013年华约自主招生数学试题1. （10分）集合{|10,}A x x x N *=≥∈，B 为A 的子集，若集合B 中元素满足以下条件：①任意数字都不相等；②任意两个数之和不为9．（1）B 中两位数有多少？三位数有多少？（2）B 中是否有五位数？六位数？（3）若将集合B 的元素按从小到大的顺序排列，第1081个数为多少？2. （15分）1sin sin 3x y +=，1cos cos 5x y -=，求sin()x y -与cos()x y +的值．3. （15分）直线y kx =与y kx =-上两点(,)A A A x y 、(,)B B B x y ，2||||1OA OB k ⋅=+．（1）求AB 中点M 的轨迹C ；（2）若曲线C 与22x py =相切于两点，求证两个切点在定直线上，并求过两切点的切线方程．4. （15分）7个红球，8个黑球，从中任取4个球．（1）求取出的球中恰有1个是红球的概率；（2）求所取出球中黑球个数X 的分布列及期望()E X ；（3）若所取出的4个球颜色相同，求恰好全黑的概率．5. （15分）21n nn a ca a +=+，10a >，0c >，求证： （1）对0M ∀>，总存在正整数N ，使n N >满足n a M >；（2）11n n b ca =+，12n n S b b b =+++…，对任意0d >总存在k 使得n k >时，110||n S d ca <-<．6. （15分）,,x y z 是两两不相等且大于1的正整数，若|(1)(1)(1)xyz xy xz yz ---，求,,x y z 的所有值．7. （15分）已知()(1)1x f x x e =--，求证：（1）对0x ∀>，()0f x <；（2）若11n n x x n x e e +=-，求证：{}n x 单调递减且12n nx >．。
2013年高中自主招生考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（每小题3分，共24分）ABDC CABC 二、填空题：（每小题4分，共32分）9. 0 10. 161 11. 26 12. ﹙0，1﹚ 13. 1 14.28 15. 22 16. 6, n (n +1) 三、解答题：（10大题，共94分）17. （5分）解：原式=919)3(2)3()9)(9(2+•-+•++-a a a a a a =32+a ………………………………………3分 当33-=a 时，原式=332 …………………………………………………………5分 18.（5分）解：由|1-a |+2+b =0，得a =1，b =-2. ……………………………………………2分由方程x 1-2x =1得2x 2+x -1=0解之，得x 1=-1，x 2=21.…………………………………………4分 经检验，x 1=-1，x 2=21是原方程的解. …………………………………………………………5分 19.（6分）(1) 被抽查的居民中，人数最多的年龄段是21~30岁 ……………………………1分(2)总体印象感到满意的人数共有400×83%=332 (人)31~40岁年龄段总体印象感到满意的人数是：332(5412653249)66-++++=(人) 图略 ……………………………………………………3分(3) 31~40岁年龄段被抽人数是2040080100⨯=(人) 总体印象的满意率是66100%82.5%83%80⨯=≈ ； 41~50岁被抽到的人数是1540060100⨯=人,满意人数是53人, 总体印象的满意率是5388.3%88%60=≈ ； ∴41~50岁年龄段比31~40岁年龄段对博览会总体印象的满意率高. ………………………6分20.（6分）解：过D 作DE ⊥BC 于E ，作DF ⊥AB 于F ，设AB =x 米，在Rt △DEC 中，∠DCE =30°，CD =200，∴DE =100，CE =1003.在Rt △ABC 中，∠ACB =45°，∴BC=x 米.则AF =AB －BF =AB －DE =x －100，DF =BE =BC ＋CE =x ＋1003.在Rt △AFD 中，∠ADF =30°，tan30°=FD AF ， ∴333100100=+-x x . ∴473)33(100≈+=x （米）.……………………………………5分答：山AB 的高度约为473米.……………………………………………6分21．（6分）解：（1）画树状图得：∴点Q 所有可能的坐标有6个：（0，﹣2），（0，0），（0，1），（﹣2，，﹣2），（﹣2，0），（﹣2， 1）.………………………2分（2）∵点Q 在y 轴上的有：（0，﹣2），（0，0），（0，1），∴点Q 在y 轴上的概率为：21.…4分 （3）∵⊙O 的半径是2，∴在⊙O 外的有（﹣2，1），（﹣2，﹣2），在⊙O 上的有（0，﹣2），（﹣2，0）. ∴过点Q 能作⊙O 切线的概率为：3264=.…………………………………………………6分 22．（7分）解：（1）由图象知：线段BC 经过点（20，500）和（40，600），∴设解析式为：Q =kt +b ， ∴⎩⎨⎧=+=+6004050020b k b k ，解得⎩⎨⎧==4005b k ，∴解析式为：Q =5t +400（20＜t ＜40）……………2分 （2）设乙水库的供水速度为x 万m3/h ，甲为y 万m 3/h ， ∴⎩⎨⎧-=--=-600400)2(40500600)(20y x y x ，解得⎩⎨⎧==1015y x ， ∴乙水库供水速度为15万m 3/h 和甲水库一个排灌闸的灌溉速度10万m 3/h ；………… 5分（3）∵正常水位的最低值为a =500-15×20=200，∴（400-200）÷（2×10）=10h ，∴10小时后降到了正常水位的最低值．……………………………………………………… 7分23．（8分）（1）∵∠B 、∠F 同对劣弧AP ，∴ ∠B =∠F∵BO =PO ，∴∠B =∠BPO ∴∠F =∠BPF ，∴AF ∥BE …………………………3分（2）∵∠C PE = ∠B PO =∠B =∠EA P ，∠C =∠C ，∴△P C E ∽△ACP ，∴APAC PE PC =. ∵∠EA P =∠B ，∠E P A =∠A P B =90°，∴△EA P ∽△A B P ， ∴APAB PE AE =. 又∵AC =AB ，∴PEAE PE PC = ∴CP =AE ． …………………………………………………8分 24.（8分）解：（1）BE ＝GH ； ……………………………………………………………………1分（2）EF ＝GH ； …………………………………………………………………………………………2分（3）过点A 作m 的平行线交BC 于点F ′，过点D 作n 的平行线交AB 于点G ′．∵ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°．∴四边形AEFF ′是平行四边形，四边形DHGG ′是平行四边形，∴EF ＝AF ′，GH ＝DG ′，且EF ∥AF ′，GH ∥DG ′，又∵EF ⊥GH ∴AF ′⊥DG ′．∴∠BAF ′＋∠AG ′D ＝90°．又∵∠BAF ′＋∠AF ′B ＝90°，∴∠AG ′D ＝∠AF ′B ．………………………………………………5分 在△ADG ′和△ABF ′中，⎪⎩⎪⎨⎧='∠='∠︒=∠=∠AB AD B F A D G A ABC DAB 90∴△ADG ′≌△ABF ′ ，∴AF ′＝DG ′ ，∴EF ＝GH ．…8分25.（9分）解：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+．…………………………2分（2）当4.55.49.02=+-x x 时，即0544592=+-x x ，21=x ，32=x .从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建2公顷大棚． ………………………5分（3）方法一：设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+………………………8分∴不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．………………9分 方法二：设三年的收益为W （万元）W =225.99)5.10(9.09.189.0)3.039.07.2(5.73222+--=+-=⨯---⨯x x x x x x ………8分 ∴不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益． ……………9分26. （12分）解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点O 、A 、C ，可得c =0，∴⎩⎨⎧=+=+1242b a b a ，解得a =，b =，∴抛物线解析式为x x y 27232+-=． （2）设点P 的横坐标为t ，∵PN ∥CD ，∴△OPN ∽△OCD ， 可得PN =2t ，∴P （t ，2t ）， ∵点M 在抛物线上，∴M （t ，t t 27232+-）． 如解答图1，过M 点作MG ⊥AB 于G ，过P 点作PH ⊥AB 于H ，AG =y A ﹣y M =2-（t t 27232+-）=227232+-t t ，BH =PN =2t ． 当AG =BH 时，四边形ABPM 为等腰梯形，∴227232+-t t =2t ， 化简得3t 2﹣8t +4=0，解得t 1=2（不合题意，舍去），t 2=32， ∴点P 的坐标为（32，31），∴存在点P （32，31），使得四边形ABPM 为等腰梯形． （3）如解答图2，△AOB 沿AC 方向平移至△A ′O ′B ′，A ′B ′交x 轴于T ，交OC 于Q ，A ′O ′交x 轴于K ，交OC 于R ．求得过A 、C 的直线为y =﹣x +3，可设点A ′的横坐标为a ，则点A ′（a ，﹣a +3），易知△OQT ∽△OCD ，可得QT =2a ， ∴点Q 的坐标为（a ，2a ）． 解法一：设A B 与OC 相交于点J ，∵△ARQ ∽△AOJ ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴AJQ A OB HT /=. ∴HT =a a a OB AJ Q A -=⨯---=⋅21212213/， KT =)3(2121/a T A -=， a a a y y Q A Q A 2332)3(//-=-+-=-=． S 四边形RKTQ =S △A ′KT ﹣S △A ′RQ =KT •A /T ﹣A /Q •HT=)2)(233(21)3(2321+----⋅-⋅a a a a =83)23(2143232122+--=-+-a a a ∵＜0，∴在线段AC 上存在点A /（，），能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH③则KT=④由△A′KT∽△A′O′B′，得，由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，∴点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+.∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（x Q﹣x R）=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．。
2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ） （A ）2 （B（C ）1 （D3．已知平面α//平面β，直线,m n αβ⊂⊂，点,,A m B n AB ∈∈与平面α的夹角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 的夹角为 度 （A ）60 （B ）45 （C ）30 （D ）22.54.正四棱锥P-ABCD 中，B 1为PB 的中点，D 1为PD 的中点， 则两个棱锥A-B 1CD 1与P-ABCD 的体积之比11A B CD P ABCDV V --（A ）1：6 （B ）1：5 （C ）1：4 （D ）1：35．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为（ ） （A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B （C ）e2（D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。
2013年自主招生数学试题一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ）A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(x x x x -=+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1x x-的值是（ ）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（ ）A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m nm n m n -=+，那么51*22＝（ ）A.54B.5C.3D.96、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且θ=，则角θ所对的弦长等于（ ）A.8B.10C. D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。
2013“华约”自主招生试题2013-03-16(时间90分钟,满分100分)1.(10分)集合{|10,}A x x x N *=≥∈,B 为A 的子集,若集合B 中元素满足以下条件:①任意数字都不相等;②任意两个数之和不为9(1)B 中两位数有多少？三位数有多少？ (2)B 中是否有五位数？六位数？(3)若将集合B 的元素按从小到大的顺序排列,第1081个数为多少？【解】将0,1,2,…,9这10个数字按照和为9进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6), (4,5),B 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.(1)两位数有22215242272C A C ⨯⨯-⨯=个; 三位数有333222534222432C A C A ⨯⨯-⨯⨯=个;(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与B 中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于矛盾,因此不存在六位数;(3)四位数共有4443335443221728C A C A ⨯⨯-⨯⨯=个,因此第1081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有3334332576C A ⨯⨯⨯=个,因此第1081个元素是4012.2.(15分)1sin sin 3x y +=,1cos cos 5x y -=,求sin()x y -与cos()x y +的值 【解】由1sin sin 3x y +=……①,1cos cos 5x y -=……②,平方相加得208cos()225x y +=;另一方面由①可得12sincos 223x y x y +-=……③ 由②式可得12sin sin 225x y x y +--=……④,由③/④式得3tan 25x y -=-,也所以22tan152sin()171tan 2x y x y x y --==--+即求.3.点A 在y kx =上,点B 在y kx =-上,其中0k >,2||||1OA OB k ⋅=+,且A B 、在y 轴同侧. (1)求AB 中点M 的轨迹C ;(2)曲线C 与22(0)x py p =>相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程. 【解】(1)设1122(,),(,)A x y B x y ,(,)M x y ,则1212121122(),,,222x x y y k x x y kx y kx x y ++-==-===, 由2||||1OA OB k ⋅=+得,121x x =,显然22121212()()44x x x x x x +--==,于是得2221(0)y x k k-=>,于是AB 中点M 的轨迹C是焦点为(,实轴长为2的双曲线.(2)将22(0)x py p =>与2221(0)y x k k-=>联立得22220y pk y k -+=,由曲线C 与抛物线相切,故242440p k k ∆=-=,即1pk =,所以方程可化为2220y ky k -+=,即切点的纵从标均为y k =,代入曲线C 得横坐标为.因此切点分别在定直线x x ==,两切点为),()D k E k ,又因为xy p'=,于是在)D k处的切线方程为y k x -=,即1y x p=-;同理在()E k处的切线方程为1y x p p=--. 4. (15分)7个红球,8个黑球,从中任取4个球.(1)求取出的球中恰有1个是红球的概率;(2)求所取出球中黑球个数X 的分布列及期望()E X ; (3)若所取出的4个球颜色相同,求恰好全黑的概率;【解】(1)由题知恰有一个红球的概率为137841556195C C C =; (2)易知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,则由古典概型知,474155(0)195C P X C ===,137841540(1)195C C P X C ===,227841584(2)195C C P X C ===,137841556(3)195C C P X C ===, 4841510(4)195C P X C ===,即X 的分布列为:所以其数学期望为 540845610320123419519519519519515EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为83241515EX =⨯=,无须繁杂计算) (3)取出四个球同色,全为黑色的概率为48447823C C C =+即求. 5. (15分)数列{}n a 均为正数,且对任意*n N ∈满足21(0n nn a ca a c +=+>为常数).(1) 求证:对任意正数M ,存在N *N ∈,当n N >时有n a M >; (2)设11n n b ca =+,n S 是数列{}n b 的前n 项和,求证:对任意0d >,存在*N N ∈,当n N >时,110||n S d ca <-<. 【证明】:(1)因为对任意的*n N ∈满足0n a >,所以21n n n n a ca a a +=+>,又因为0c >, 所以22111121()n n n n n n n n a a c a a a a a a a a +----=-+->->>-,所以2112211211()(1)()(1)n n n n n a a a a a a a a n a a n a ---=-+-++-+>--=-故对任意的正整数M ,存在*21{1,[]2}MN N a =+∈,当n N >时有n a M >; (注:21M a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过21Ma 的最大正整数.)(2)由21(1)n n n n n a ca a a ca +=+=+可得,111n n n a ca a +=+,所以211111111n n n n n n n n n n ca a a ca ca a ca a ca ca ++++-===-+; 也所以11111nn i i n S b ca ca =+==-∑,即11110n n S ca ca +-=> 且由(1)知211n a na +>,所以21111n ca nca +<, 即对任意0d >,存在211max 1,N dca ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭,当n N >时,有110||n S d ca <-<. 6. (15分)已知,,x y z 是互不相等的正整数,|(1)(1)(1)xyz xy xz yz ---,求,,x y z . 【解】本题等价于求使(1)(1)(1)1()xy xz yz xy yz zx xyz x y z xyz xyz---++-=-+++为整数的正整数,,x y z ,由于,,x y z 是互不相等的正整数,因此|1xyz xy yz zx ++-,不失一般性不妨设x y z >>,则13xyz xy yz zx yx ≤++-<,于是3z <,结合z 为正整数,故1,2z =,当1z =时,|1xy xy y x ++-,即|1xy y x +-,于是12xy xy y x x ≤++-<,所以2y <, 但另一方面y z >,且为正整数,所以2y ≥矛盾,不合题意.所以2z =,此时2|221xy xy y x ++-,于是2221xy xy y x ≤++-,即221xy y x ≤+-,也所以224xy y x x <+<,所以4y <,又因为2y z >=,所以3y =; 于是6|55x x +,所以655x x ≤+,即5x ≤,又因为3x y >=,所以4,5x =, 经检验5x =符合题意,于是符合题意的正整数,,x y z 有(,,)x y z =(2,3,5)、(2,5,3)、(3,2,5)、(3,5,2)、(5,2,3)、(5,3,2)注:该题与2011年福建省高一数学竞赛试题雷同. 7. (15分)已知()(1)1x f x x e =-- 求证:(1)当0x >,()0f x <;(2)数列{}n x 满足111,1n n x x n x e e x +=-=,求证:数列{}n x 单调递减且12n nx >. 【解】(1)当0x >时,()0xf x xe '=-<,所以()f x 在(0,)+∞上递减,所以()(0)0f x f <=. (2)由11n nx x n x ee +=-得11n n x x ne ex +-=,结合11x =,及对任意0,1xx e x >>+,利用数学归纳法易得0n x >对任意正整数n 成立,由(1)知()0n f x <,即1n n xxn e x e -<, 即1n n x x n n x ex e +<,因为0n x >,所以1n n x x e e +<,即1n n x x +>,所以数列{}n x 递减,下面证明12n n x >,用数学归纳法证,设1()x e g x x -=,则221()()x x xe e f x g x x x -+'==-,由(1)知当0x >时,()0f x <,即()0g x '>,故()g x 在(0,)+∞递增,由归纳假设12n n x >得1()()2n n g x g >,要证明1112n n x ++>只需证明1112n n xe e ++>,即112()n n g x e +>,故只需证明1121()2n n g e +>,考虑函数2()()x h x xg x xe =-,因为当0x >时212x x e >+,所以222()(1)[(1)]022x x xxx x h x e e e e =-+=-+>,故()h x 在(0,)+∞上递增,又102n >,所以1()02n h >,即1121()2n n g e +>,由归纳法知,12n n x >对任意正整数n 成立.注:此题的函数模型与2012年清华大学保送生考试试题的函数模型相似.2013“北约”自主招生试题2013-03-16(时间90分钟,满分120分)一、选择题(每题8分,共48分)1.和1( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6【解】由1x =可知22x =,同理由1x 可知3(1)2x -=; 所以方程23(2)[(1)2]0x x ---=的次数最小,其次数为5,故选C.2.在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车只占一格,共有 种停放方法.A. 720B. 20C. 518400D. 14400 【解】红色车选3列有3620C =种方法,再从这三列中选三行有3620C =种方法,另外将红色车放在已选好的三列三行中有326⨯=种方法,同理黑色车只能从剩下的三行三列九个格中选,也有326⨯=种方法,因此方法数有(20206)614400⨯⨯⨯=种.故选D.3.已知225x y =+,225y x =+(x y ≠),则32232x x y y -+值为( ) A. 10- B. 12- C. 14- D. 16-【解】由225x y =+与225y x =+两式作差得2()x y x y +=-≠,代入两式中分别化出 2210x x +-=、2210y y +-=,所以,x y 是方程2210t t +-=的两个不等实根,于是 2,1x y x y +=-=-,也所以 3223222()[()3]2()(2)7216x x y y x y x y x y x y -+=++--=-⨯-=-.故选D. 4.在数列{}n a 中,11a =,142n n S a +=+(1n ≥),则2013a 值为( )A. 201230192⨯B. 201330192⨯C. 201230182⨯D. 无法确定 【解】由11a =,142n n S a +=+(1n ≥)……①可知,当1n =时,2142S a =+,所以25a =;当2n ≥时,有142(2)n n S a n -=+≥……②,由①-②式得,1144(2)n n n a a a n +-=-≥,即1122()(2)n n n n a a a a n +--=-≥,且2123a a -=所以11232n n n a a -+-=⨯(*n N ∈),同除以2n 得,113222n n n n a a +--=,且1012a =;所以13122n n a n +=+,故令2012n =时,得2012201323019a =⨯,故选A. 5.在ABC ∆中,D 为BC 中点,DM 平分ADB ∠交AB 于点M ,DN 平分ADC ∠交AC 于N ,则BM CN +与MN 的关系为( ) A.BM CN MN +> B.MN CN MN +< C.BM CN MN +=D.无法确定【解】如图,在DA 取DE DB =,连接,,ME NE MN则显然可证,ME MB EN NC ==,且有ME NE MN +≥,即BM CN MN +≥, 上述不等式当且仅当180MED DEN ∠+∠=, 也即180B C ∠+∠=,这显然与三角形内角和定理矛盾,故等号取不到, 也即选A.6.模长都为1的复数,,A B C 满足0A B C ++≠,则BC AC ABA B C++++的模长为( )A. 12- B. 1 C. 2 D. 无法确定 【解】由题知1AA BB CC ===,所以2BC AC AB BC AC AB BC AC ABA B C A B C A B C ++++++=⨯++++++,也即2BC AC AB BC AC AB BC AC ABA B C A B C A B C++++++=⨯++++++313BA C A AB CB AC BCAB AC BA BC C A CB++++++==++++++,故选B.二、解答题(每题18分,共72分)7.最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数,并证明你的结论.【解】:至多有4个.首先可以取1,3,7,9这四个数,它们任意三个数之和分别为11,13,17,19符合质数定义.下面再证明5个正整数是不符合题意的.若有5个正整数,则考虑质数被3除的余数,如果有一个数的余数为0,那么考虑余下的4个数被3除的余数,如果余数既有1也有2,那么这两个数与前面余数为0的数的和刚好为3的倍数,故不符合题意,如果余下四个数的余数均相等,显然取余下四个数中的三个数,则这三个数的和为3的倍数不是质数,也不符合题意,如果这5个数被3除的余数都不等于3,则由抽屉原理,至少有3个数被3除的余数相同,这三个数的和是3的倍数不是质数,也不符合题意.综上可知,不存在5个正整数符合题意,即至多有4个正整数符合题意. 8.已知12320130a a a a ++++=,且122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-证明:12320130a a a a =====.【证明】:观察可知12320130a a a a ++++=,即21322013201212013(2)(2)(2)(2)0a a a a a a a a -+-++-+-=……① 又122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-,不妨设12|2|a a t -=,M ACDBE则①可写为(2013)0(02013,)kt k t k k N --=≤≤∈,即(22013)0k t -=, 又显然220130k -≠,则有0t =,于是有122320122013201312,2,,2,2a a a a a a a a ====,所以2013112a a =,即10a =.也所以12320130a a a a =====,即证.9.对于任意θ,求632cos cos66cos415cos2θθθθ---的值. 【解】632cos cos66cos415cos2θθθθ--- 31c o s 232()c o s 66c o s 415c o s 22θθθθ+=--- 3234(1c o s 23c o s 23c o s 2)(3c o s 24c o s 2)6c o s 415c o s2θθθθθθθ=+++---- 2412c o s 26c o s 446(1c o s 4)6c o s 410θθθθ=+-=++-=即求. 10.有一个m n ⨯的数表,已知每一行的数均是由小到大排列.现在将每一列的数由小到大重新排列,则新的数表中每一行的数满足什么样的关系？请证明你的结论.〖原题叙述〗:已知有m n ⋅个实数,排列成m n ⨯阶数阵,记作{}ij m n a ⨯,使得数阵中的每一行从左到右都是递增的,即对意的1,2,3,,i m =,当12j j <时,都有12ij ij a a <.现将{}ij m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的m n ⨯阶数阵,记作{}ijm n a ⨯',即对任意的1,2,3,,i n =,当12i i <时,都有12i ji j a a ''<.试判断{}ijm n a ⨯'中每一行的n 个数的大小关系,并说明理由. 【解】:数阵{}ijm n a ⨯'中每一行的n 个数从左到右都是递增的,理由如下: 显然,我们要证明数阵{}ijm n a ⨯'中每一行的n 个数从左到右都是递增的,我们只需证明, 对于任意1,2,3,,i m =,都有(1)iji j a a +''<,其中1,2,3,,(1)j n =-. 若存在一组(1)pq p q a a +''>,令(1)(1)k k q i q a a ++'=,其中121,2,3,,,{,,,}{1,2,,}k k m i i i m ==,则当t p ≤时,都有(1)(1)(1)t t i q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(1,2,,)iq a i m =中,至少有p 个数小于pq a ',也即pq a '在数阵{}ij m n a ⨯'中的第q 列中,至少排在第1p +行,与pq a '排在第p 行矛盾.所以对于任意的1,2,,i m =,都有(1)iji j a a +''<,即数阵{}ij m n a ⨯'中每一行的n 个数从左到右都是递增的.2013年高水平大学（华约）自主选拔学业能力测试物理探究注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,且分PA所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .第二部分：解答题（共5小题 每题20分） 1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B xx a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅ ，求实数a 的取值范围2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量1)a =- ,1(,)22b = .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+- ,tan d ma b θ=-+ ,且c d ⊥ .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=.则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2.设x a bi=+,,a b R∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-.3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题. 4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=. 二、解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<．当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得03a <<；当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅ 不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
2013年“华约”自主招生数学试题1. 已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件： （a ）数字两两不等;(b)任意两个数字之和不等于9;试求： （1）B 中有多少个两位数？多少个三位数？ （2）B 中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？ 2. 已知实数,x y 满足sin x +sin y =13， cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos().x y +3. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，满足21OA OB k =+，其中O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程.4. 有7个红球8个黑球，从中任取四个. ⑴求恰有一个红球的概率；⑵设四个球中黑球个数为X ，求X 的分布列及数学期望Ex ； ⑶求当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率. 5. 已知数列{}n a 满足10a >，21n n n a a ca +=+，1,2...n =,，其中0c >， ⑴证明：对任意的0M >，存在正整数N ，使得对于n N >，n a M >；⑵设11n n b ca =+，n S 为n b 前n 项和，证明:{}n S 有界，且对0d >，存在正整数k ，当n k >时，110.n S d ca <-< 6. 已知,,x y z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(1)(1)(1),xy yz xz ---求,,x y z 的所有可能值.7. 已知()(1)1xf x x e =--， ⑴证明：当0x >时，()0f x <； ⑵若数列{}n x 满足11x =，11n n x x n x ee +=-.证明:数列{}n x 递减,且12nn x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.2013年“华约”自主招生数学试题解析1.【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。
2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ）（A ）2 （B （C ）1 （D 3。
缺4。
缺5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为（ ） （A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ） （A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B （C ）e2（D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ） （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。
则ω可以表示为（ ）（A ）στστσ （B ）στστστ （C ）τστστ （D ）στσστσ二、解答题 11．在ABC ∆中，已知22sincos 212A BC ++=，外接圆半径2R =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值． 12．设A B C D 、、、为抛物线24x y =上不同的四点，,A D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l ．设D 到直线AB ，直线AC 的距离分别为12,d d ，已知12d d AD +=． （Ⅰ）判断ABC ∆是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； （Ⅱ）若ABC ∆的面积为240，求点A 的坐标及直线BC 的方程． 13．（Ⅰ）正四棱锥的体积V =，求正四棱锥的表面积的最小值； （Ⅱ）一般地，设正n 棱锥的体积V 为定值，试给出不依赖于n 的一个充分必要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值． 14．假定亲本总体中三种基因型式：,,AA Aa aa 的比例为:2:u v w (0,0,0,21)u v w u v w >>>++=且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个． （Ⅰ）求子一代中，三种基因型式的比例；（Ⅱ）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由． 15．设函数()1x m f x x +=+，且存在函数()1(,0)2s t at b t a ϕ==+>≠，满足2121()t s f t s-+=． （Ⅰ）证明：存在函数()(0),t s cs d s ψ==+>满足2121()s t f s t +-=； （Ⅱ）设113,(),1,2,.n n x x f x n +===证明：1123n n x --≤．2010年五校合作自主选拔通用基础测试数学参考答案一、选择题AD C ABDBD 二、解答题11．解：（Ⅰ）由22sincos 212A BC ++=得 22cos 1cos 2,2C C -=- 所以2cos (2cos 1).C =-- 即22cos cos 10C C +-=(2cos 1)(cos 1)0C C -+=因为C 为ABC ∆内角 所cos 10C +≠，1cos 2C =， .3C π=（Ⅱ）32sin 42 3.2c R C === 又由余弦定理得2222cos ,c a b ab C =+-， 即2212,a b ab =+-又222,a b ab ab ab ab +-≥-=， 所以12.ab ≤有1sin 1233,244ABCSab C ab ==≤=， 当且仅当a b =即ABC 为等边三角形时，ABC 的面积取得最大值12．解： （Ⅰ）设222001122111(,),(,),(,),444A x xB x xC x x 则2001(,)4D x x - 由'12y x =可知的斜率01,2k x =- 因此可以设直线BC 方程为01.2y x x b =-+把214y x =代入，整理得20240,x x x b +-= 所以1202x x x +=-因为,AB AC 都不平行于y 轴， 所以直线,AB AC 斜率之和为222210*********11()()44(2)0AB ACx x x x k k x x x x x x x --+=+=++=--可知直线,AB AC 的倾角互补，而AD 平行于x 轴， 所以AD 平分.CAB ∠作,,,DE AB DF AC E F ⊥⊥为垂足 则ADE ADF 可得DE DF =由已知DE DF +=，可得,DE =，所以45DAE DAF ∠=∠= 所以90,CAB ∠=ABC 为直角三角形（Ⅱ）如图，根据的结果，可以设直线的方程分别为22000011(),,44y x x x y x x x -=---=-把214y x =分别代入，得22220000440,440,x x x x x x x x +--=--+=所以002, 2.AB AC =+=- 由已知可知1240,2AB AC =， 所以20184240,2x ⨯-=解得8,x =±， 所以(8,16)A 或(8,16)A -当取(8,16)A -时，求得(4,4)B ，又BC 斜率014,2x -=， 所以直线BC 方程为44(4)y x -=-, 即4120.x y --=同理，当取(8,16)A 时，直线BC 方程为4120.x y ++=13．解：（Ⅰ）设正四棱锥的底面正方形的边长为2a ，高为h ．则正四棱锥的体积2433V a h ==正四棱锥的表面积24(S a =+从而33229S S V=238()(1.a h=+令2(),h t a=设31()(1,0f t t t=>则2'()2f t t =-- 令'()0,f t =解得8.t =当08t <<时，'()0,f t <当8t >时，'()0.f t >()f t 当8t =时取得最小值(8)8f =正四棱锥的表面积的最小值为4.（Ⅱ）一般地，设正n 棱锥的底面正n 边形的中心到各边的距离为a ，高为h ，则n 正边形的体积正棱锥的表面积由（Ⅰ）知，当时，正棱锥的表面积取得最小值。
由于正棱锥的表面积与底面机之比为可知使正棱锥的表面积取得最小值得一个充分必要条件是正棱锥的表面积是地面积的4倍。
解：（Ⅰ）参与交配的两个亲本（一个称为父本，一个称为母本）的基因型式的情况，及相应子一代的基因型式为的概率为 22211111224()224p u uv uv v u v =⨯+⨯+⨯+⨯=+. 由对称性知子一代的基因型式为aa 的概率为23()p v w =+.子一代的基因型式为Aa 的概率为222111112124212222222()p uv uw uv v vw uw vw uv uw v vw =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++…2()().u v v w =++若记p u v =+，q v w =+，则0p >，0q >， 1p q +=，子一代三种基因型式：AA ，Aa ，aa 的比例为22:2:p pq q .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知子二代的基因型式为AA ，Aa ，aa 的比例为22:2:ααββ，其中2p pq α=+，2pq q β=+.由1p q +=，可得p α=，q β=.故子二代三种基因型式AA ，Aa ，aa 的比例为22:2:p pq q ，与子一代基因型式的比例相同.15解法一： （Ⅰ）令2121()t s f t s-+=，代入s at b =+化简得 2(4)[(4)3](1)0a m t b m a t b -+-+-++=由于等式对所有12t >成立，可知 10(4)30(4)0b b m a a m +=⎧⎪-+-=⎨⎪-=⎩解得1,4,3b m a =-==4()1x f x x +=+ 令2121()s t f s t+-=，代入t cs d =+，化简得31cs d s +=+ 所以存在()31(0)t s s s ψ==+> 使得2121()s t f s t+-=（Ⅱ）令11111,()314s t s s ψ===+=1()31n n n s t t ϕ+==-111()31,1,2,n n n t s s n ψ+++==+=注意到11121s x s +=，由（Ⅰ）知， 2122121,,1,2,n n n n n ns t x x n s t -+-===13192n n n s t s +=-=+化为1119()44n n s s ++=+ 可知221(531)4n n s -=⋅-21131(531)4n n n t s -=+=⋅+从而21221422531n n n x s --=+=+⋅- 2211422531n n n x t -=-=-⋅+ 统一写为1142(1),1,2,53(1)n n n nx n +-=+-=⋅+-从而有11141|2|43[3(1)]3n n n n n x ----=≤⋅++-解法二：（Ⅰ）同解法一，可求出1,4,3b m a =-==4()1x f x x +=+ 取31t s =+则13t s -=所以2142121211()()21111t s t t t f f t s t t t ++++--===+-+-（Ⅱ）由4()1x f x x +=+，1()n n x f x += 得141n n n x x x ++=+ （1） 把（1）式两边都加上2得：13(2)21n n n x x x +++=+ （2）把（1）式两边都减去2得：1221n n n x x x +--=-+ （3） 若存在()k k N +∈，使2k x =，由（3）可知 1212k k x x x --====与13x =矛盾所以不存在()k k N +∈，使2k x = （2）式除以（3）式得1122322n n n n x x x x ++++=---因为13x = 所以11252x x +=- 所以125(3)2n n n x x -+=⨯--所以1425(3)1n n x -=+⋅-- 所以14|2||5(3)1|n n x --=⋅--1111444|5(3)|15314331n n n n ----≤==⋅--⋅-⋅+- 1141433n n --≤=⋅解法三：（Ⅰ）由解法一得4()1x f x x +=+，()31s t t ϕ==- 由2121()t s f t s-+=（1） 易看出（1）式中t s =-即得2121()s t f s t+-=所以存在3()1t s -=--，即31t s =+ （Ⅱ）用数学归纳法（1）当1n =时，显然成立 （2）易得13()111n n n x f x x +==+>+， 111111(2)22(2)31313f f s s s s s+=-⇒-+=<⨯++（※）假设当n k =时，命题成立即11|2|3k k x --≤则当1n k =+时， 13|2||2()||1|1k k k x f x x +-=-=-+ 当2k x >时，111|2||2(2(2))||2|33k k k k x f x x +-=-+-<-< 当2k x ≤时，13|2|11k k x x +-=-+ 只需证31113k k x -≤+ 即证33113k k k x +≤+即证13331kk k x +≥+ 即证33131kk kx ⋅≥-+ 即证333233131k k k k x ⋅-≥-=-++ 即133123133k k k k x --≤<=+，而此式是假设成立的 所以（2）成立由（1），（2）可知，原命题成立2011年“华约”自主招生试题解析一、选择题1.设复数z满足|z|<1且15||2zz+=则|z| ＝( )4321 A B C D 5432解：由15||2zz+=得25||1||2z z+=，已经转化为一个实数的方程.解得|z| ＝2（舍去），12.2.在正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为P A、PB的中点，.则异面直线DM与AN所成角的余弦为( )1111A B C D36812[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素.本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等.然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起.解法一：如图1，设底面边长为2.如图建立坐标系，则A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，)，则1111(,(,2222M N-，31213(,,),(,2222DM AN=-=-.设所成的角为θ，则1cos 6DM AN DM ANθ==. 解法二：如图2，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为2.平移DM 与AN 在一起.即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q .于是QN ＝ DM ＝ AN .而P A ＝ PB ＝ AB ＝ 2，所以QN ＝ AN ＝3，而AQ ＝5，容易算出等腰ΔAQN 的顶角1cos 6ANQ ∠=.解法三：也可以平移AN 与DM 在一起.即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q .以下略.3.已知1223+--=x x x y ，过点(－1, 1)的直线l 与该函数图象相切，且(－1, 1)不是切点，则直线l 的斜率为 ( )A 2B1C 1D 2 - -解：显然(－1, 1)在1223+--=x x x y 的图象上.设切点为)12,(020300+--x x x x ， 2232--='x x y ，所以22302--=x x k .另一方面， )1(1)12(002030---+--=x x x x k )2(00-=x x 223020--=x x .所以x 0＝1,所以1-=k .选C. 4.若222cos cos 3A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为 ( ) 33133312A1,B ,C1,1D ,12222 --+ + [分析]首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个. 解：221cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)222A B A B A B +++=+=++ 11cos()cos()1cos()2A B A B A B =++-=--，可见答案是B[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱.我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，O O 1、O O 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A ＝ O 1C ，O 2B ＝ O 2C .解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221OO O OO O πα∠+∠=-，111212O AC O CA OO O ∠=∠=∠，222112O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故1212211()22O CA O CB OO O OO O πα-∠+∠=∠+∠=， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2αβ=. 解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212OO O OO O πα-∠=∠=，1212124O CA O CB OO O πα-∠=∠=∠=，12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=， sin cos2αβ=.6.已知异面直线a ，b 成60°角.A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 ( )A.有且只有一个B.有且只有两个C.有且只有三个D.有且只有四个[分析]已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了.因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系.于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线.答案是4个. 7.已知向量3131(0,1),(,),(,),(1,1)2222a b c xa yb zc ==--=-++=则222x y z ++ 的最小值为()43A1B C D 232解：由(1,1)xa yb zc ++=得1()122211222y z y z y z y z x x ⎧⎧-+=--=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩， 由于222222()()2y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y + z ，y －z 三个变量，变形2(1)y z y z x ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩，代入222222()()2y z y z x y z x ++-++=+222228242(1)343()3333x x x x x =+-+=-+=-+，答案B 8.AB 为过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为 ( )424222A 22BCD 533解法一：焦点F （1，0），C （－1，0），AB 方程y ＝ x – 1，与抛物线方程y 2 ＝ 4x 联立，解得2222)2222)A B (3+,2+ (3-,2- ，，于是222222222222CA CB k k 2+2-==4+4-=，=-，tan 221CA CB CA CBk k ACB k k -∠==+，答案A 解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠BAD ＝ 45°，EF ∥DA ，EF ＝ 2，AF ＝ AD ，BF ＝ BC ，求∠AEB .2tan tan DE GF AEF EAD AD AF ∠=∠===.类似的，有 2tan tan 2BEF EBC ∠=∠=2AEB AEF BEF AEF ∠=∠+∠=∠，tan tan 222AEB AEF ∠=∠=，答案A解：BDF BDE BDE DF S S zS DE ∆∆∆==，(1)BDE ABE ABE BDS S x S AB∆∆∆==-， ABE ABC ABC AES S yS AC∆∆∆==，于是(1)2(1)BDF ABC S x yzS x yz ∆∆=-=-. 将11y z x y z x +-=+=+，变形为，暂时将x 看成常数，欲使yz 取得最大值必须12x y z +==，于是21(1)(1)2BDF S x x ∆=-+，解这个一元函数的极值问题，13x =时取极大值1627. 10.将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）A. 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B. 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C. 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D. 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形.如图，假设ΔABC 是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF (不妨设在AC 的另一边)的(其中的边EF 有可能与AC 重合)的∠D 一定是钝角.事实上，∠D ≥ ∠ADC ，而四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠ADC ＝ 180°－∠B ，所以∠D 为钝角.这样就排除了B ，C.BG CED AF下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形.假设ΔABC 中∠B 是钝角，在AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC 的另一侧的相邻(指有公共边AC ) ΔACD ，则∠D ＝ 180°－∠B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形.所以答案是D. 二、解答题解：（I ）tan tan tan tan()tan tan 1A BC A B A B +=-+=-，整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++（II ）由已知3tan tan tan tan A C A B C =++，与（I ）比较知tan 33B B π=，=.又11222sin 2sin 2sin 23sin 3A CB π+===，sin 2sin 2sin 2sin 23A C A C +=，sin()cos()cos 2()cos 2()3A C A C A C A C +-=--+，而3sin()sin A CB +==，1cos 2()cos 22A CB +==-，代入得2cos 2()13cos()AC A C -+=-，24cos ()3cos()10A C A C ----=，1cos()14A C -=-，，6cos 124A C -=， 12.已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处. （I ）若b ＝ 3a ，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 解：不妨设水杯高为1.（I ）这时，水杯质量 ：水的质量 ＝ 2 ：3.水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为12，水的重心位置为14，所以装入半杯水的水杯的重心位置为11237242320+=+ (II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上.设装x 克水.这时，水杯质量 ：水的质FEDBCA DBCA量＝a：x.水杯的重心位置为12，水的重心位置为2xb，水面位置为xb，于是122xa x xba x b+=+，解得x a=13.已知函数21()(1)1()2xf x f fax b===+2，，3.令111()2n nx x f x+==，.(I)求数列{}n x的通项公式；(II)证明12112nx x xe+>.解由12(1)1()1()21xf f a b f xx=====+2，得，3(I)方法一：先求出123412482359x x x x====，，，，猜想11221nn nx--=+.用数学归纳法证明.当n = 1显然成立；假设n = k成立，即11221kk kx--=+，则122()121kkk k kkxx f xx+===++，得证.方法二：121+=+nnn xxx取倒数后整理得)11(21111-=-+nnxx，所以)11()21(1111-=--xxnn所以12111+=-nx(II)方法一：证明12112nex x x+>.事实上，12111112(1)(1)(1)242nnx x x+=+++.我们注意到2212(1)12(1)nna a a a+<++<+，，，（贝努利（Bernoulli）不等式的一般形式：nxx n+≥+1)1(，x),1(+∞-∈）于是122121212111112(1)2(1)2(1)2222n n nn n nnex x x-+++-+<+=+<+<方法二：原不等式en<+++⇔)211()211)(211(21)]211()211)(211ln[(2<+++⇔n1)211ln()211ln()211ln(2<++++++⇔n构造函数)0()1ln()(>-+=xxxxg1111)(<+-=-+='xxxxg，所以0)0()(=<gxg所以)0()1ln(><+xxx令n x 21=则n n 21)211ln(<+ 1211212121)211ln()211ln()211ln(22<-=+++<++++++n n n14.已知双曲线221222:1(0,0),,x y C a b F F a b-=>>分别为C 的左右焦点.P 为C右支上一点，且使21212=,3F PF F PF π∠∆又的面积为.(I)求C 的离心率e ；(II)设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.(2=为等腰三角形，c15.将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以p n 表示未出现连续3次正面的概率. (I)求p 1，p 2，p 3，p 4；(II)探究数列{ p n }的递推公式，并给出证明；(III)讨论数列{ p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.分析与解：(I)显然p 1＝p 2＝1，878113=-=p ；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故161316314=-=p . (II)共分三种情况：①如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面的概率121-⨯n P ；②如果第n 次出现正面，第n －1次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是241-⨯n P ；③如果第n 次出现正面，第n －1次出现正面，第n －2次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是381-⨯n P .综上，=n P +⨯-121n P +⨯-241n P 381-⨯n P .（4≥n ），④ (III)由(II)知=-1n P +⨯-221n P +⨯-341n P 481-⨯n P ，（5≥n ）⑤，④－12×⑤，有=n P --1n P 4161-⨯n P （5≥n ）所以5≥n 时，p n 的单调递减，又易见p 1＝p 2＞p 3＞p 4＞….3≥n 时，p n 的单调递减，且显然有下界0，所以p n 的极限存在.对=n P --1n P 4161-⨯n P 两边同时取极限可得0lim =-∞→n n p .其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于零.2012年大学自主招生学业能力测试数学试卷1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.2013年华约自主招生数学试题解析。
