四川省南江四中高一数学初高中衔接教材 平行线分线段成比例定理

平行线分线段比例定理平行线分线段比例定理是初中数学中的一个重要定理，也是应用比例关系解决几何问题的基础。

它是指在平行线上，一条线段被另外两条平行线所截断，那么这两个截断线段的比等于两条平行线与截断线段的比。

为了更好地理解这个定理，我们可以通过一个简单的实例来说明。

假设有两条平行线AB和CD，它们被一条截断线段EF所截断，如下图所示。

由于AB和CD是平行线，根据平行线内角对应定理，我们知道∠A＝∠D，∠B＝∠C。

如果我们连接线段AD和BC，根据三角形内角和定理，我们知道∠D＋∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠B＋∠A＝180°。

根据平行线分线段比例定理，我们可以得到以下结论：1. 如果线段EF与线段AB的比等于线段EF与线段CD的比，即EF/AB=EF/CD，那么线段EF与线段AB、CD的比都相等。

2. 如果线段EF与线段AB的比等于线段CD与线段EF的比，即EF/AB=CD/EF，那么线段EF与线段AB、CD的比都相等。

3. 如果线段EF与线段CD的比等于线段AB与线段EF的比，即EF/CD=AB/EF，那么线段EF与线段AB、CD的比都相等。

根据上述结论，我们可以用平行线分线段比例定理来解决一些几何问题。

例题1：如图所示，AB//CD，EF是AB的一半，求EF与CD的比。

解：设EF=x，根据平行线分线段比例定理，有EF/AB=EF/CD，即x/1=1/x，解方程得到x=√2/2。

所以EF与CD的比为√2/2:1。

例题2：如图所示，AB//CD，EF与AB的比为2:3，求EF与CD的比。

解：设EF=x，根据平行线分线段比例定理，有EF/AB=CD/EF，即x/3=2/x，解方程得到x=√6/3。

所以EF与CD的比为√6/3:1。

通过以上例题，我们可以看出平行线分线段比例定理的应用十分灵活。

它不仅可以解决截断线段之间的比例关系问题，还可以应用于求解角度的比例关系问题。

在实际生活中，平行线分线段比例定理也有一些应用。

平行线分线段成比例定理引言在平面几何中，平行线分线段成比例定理是指当两条平行线与一条横截线相交时，它们所截取的线段之间的比例保持不变。

这个定理在很多几何证明和应用中都有重要的地位。

本文将介绍平行线分线段成比例定理的定义、证明以及应用，以及一些相关的例题。

定理描述设有两条平行线l1和l2，横截线AB与l1和l2相交于点C和D，若线段AC与线段DB所截取的部分成比例，即：AC/DB = AE/EB其中，E为AB的任意一点。

示意图示意图证明为了证明平行线分线段成比例定理，我们可以利用相似三角形的性质。

由于线段AC与线段DB所截取的部分成比例，可设AC = k • AE，DB = k • EB。

考虑△ACD和△EBD，根据平行线的定义，我们知道∠ACD = ∠EBD（对顶角）。

又因为∠CDA = ∠EDB（平行线与横截线交角），所以△ACD与△EBD相似。

根据相似三角形的性质，我们知道线段AC与线段DB的比例等于其余对应边的比例，即：AC/DB = AD/DE。

而根据比例的传递性，AD/DE = AE/EB。

综上所述，我们可以得到AC/DB = AE/EB，即平行线分线段成比例定理成立。

应用平行线分线段成比例定理在实际问题中有很多应用，以下是其中一些常见的应用场景：1. 三角形分线段在三角形中，如果有一条平行线与两边相交，根据平行线分线段成比例定理，我们可以利用已知的线段长度，求解未知的线段长度。

这在解题中经常用到。

2. 相似三角形在相似三角形中，如果有两条平行线各自与两个相似三角形的对应边相交，并且已知其中一个对应边的长度，根据平行线分线段成比例定理，我们可以求解另一个对应边的长度。

这对于解决相似三角形问题非常有用。

3. 求解比例问题平行线分线段成比例定理可以作为解决比例问题的一种工具。

当我们遇到线段的比例问题时，可以利用此定理来寻找线段之间的比例关系，从而求解未知线段的长度。

例题现给出一个例题来进一步理解平行线分线段成比例定理的应用：例题：在△ABC中，AD是BC的平分线，E是AB上的一点，DE与AC延长线交于F，若AB = 12cm，BC = 8cm，AD = 6cm，求EF的长度。

平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例。

推论:平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。

定理定义三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。

这一定理被称为"平行线分线段成比例定理"。

如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB:BC=DE:EF;AB:AC=DE:DF;BC:AC=EF:DF。

也可以说AB:DE=BC:EF;AB:DE=AC:DF;BC:EF=AC:DF。

上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。

事实上，直线AC和直线DF可以在平行线之间相交，同样有定理成立。

定理证明设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点。

连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得:AB/BC=DE/EF由更比性质、等比性质得:AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF定理推论过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。

平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

•平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。

推广:过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

定理推论:①平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。

②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

•证明思路:该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它(用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1:过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。

初中数学“平行线分线段成比例”知识点全解析一、引言平行线分线段成比例是初中数学中的一个重要知识点，它涉及到平行线、线段比例等多个概念。

掌握这一知识点，不仅有助于学生理解几何图形的性质，还能提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

本文将详细解析平行线分线段成比例的概念、性质、定理以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

二、平行线分线段成比例的概念1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2.线段比例：如果两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，那么这四条线段是成比例的。

3.平行线分线段成比例：如果一条直线与另外两条平行线相交，且截得的线段之比相等，那么这条直线将这两条平行线分成的线段是成比例的。

三、平行线分线段成比例的性质1.基本性质：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线截得的两条线段之比是恒定的，与直线的位置无关。

2.等比性质：如果两条平行线被一条横线截得的线段之比等于另外两条平行线被同一条横线截得的线段之比，那么这四条线段是成比例的。

3.交叉相乘性质：如果两条平行线被一条横线截得的两组线段是成比例的，那么这两组线段的交叉相乘结果相等。

四、平行线分线段成比例的定理1.梅内劳斯定理：如果一条直线与一个三角形的两边相交，且截得的线段之比相等，那么这条直线也必将与三角形的第三边相交，并截得相应的成比例线段。

2.塞瓦定理：如果三条直线交于一点，且分别截得三条线段的比是相同的，那么这三条直线所在的平面内的任何一条经过该点的直线都将这三条线段分成成比例的两组。

五、平行线分线段成比例的应用1.几何证明：在几何证明中，平行线分线段成比例的性质和定理可以作为证明的依据，帮助学生理解和解决复杂的几何问题。

2.实际问题解决：在实际生活中，许多问题可以通过建立数学模型并运用平行线分线段成比例的知识进行解决。

例如，在建筑设计中，可以利用这一知识点计算建筑物的各部分尺寸和比例。

3.数学竞赛：在数学竞赛中，平行线分线段成比例的知识点经常作为难题的考点出现。

平行线分线段成比例定理推论平行线分线段成比例定理推论引言：平行线分线段成比例定理是中学数学中的一个基本定理，它是解决平面几何问题的重要工具之一。

本文将从该定理的定义、证明以及推论三个方面进行详细介绍。

一、平行线分线段成比例定理的定义平行线分线段成比例定理是指：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分，与其在另一条直线上所截取的两个部分之比相等。

二、平行线分线段成比例定理的证明1. 假设有两条平行直线AB和CD，其中有一条直线EF与CD相交于点G。

2. 作AG和BG两条射线，以及CG和DG两条射线。

3. 根据角度对应原理可知∠AGE=∠BGF，∠CGF=∠DGE。

4. 又因为AB和CD是平行的，所以∠AGE+∠CGF=180°，∠BGF+∠DGE=180°。

5. 将以上等式联立得到：∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°。

6. 四个角构成一个完整的圆周角，所以∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°=2π。

7. 根据圆周角的性质可知：∠AGE/∠CGF=AG/CG，∠BGF/∠DGE=BG/DG。

8. 将以上两个比例式联立得到：AG/BG=CG/DG。

9. 因此，平行线分线段成比例定理得证。

三、平行线分线段成比例定理的推论1. 推论一：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分之和等于这条交线所截取的另一条直线长度。

证明：设在两条平行直线AB和CD上，有一条直线EF与CD相交于点G。

则根据平行线分线段成比例定理可知：AG/BG=CG/DG因此，AG/BG+1=CG/DG+1即(AG+BG)/BG=(CG+DG)/DG化简得到：AB/BG=CD/DG因此，AB/BG×BG+CD/DG×DG=AB+CD即AB×BG/BD+CD×DG/BD=AB+CD因此，(BD-BG)×AB/BD+(BD-DG)×CD/BD=AB+CD 即(BD-GB)×AB+(BD-GD)×CD=BD×(AB+CD)因为BG=GD，所以：BD×AB=AD×BGBD×CD=DC×GD将以上式子代入上式得到：AD×BG+(DC-GD)×BG=BD×(AB+CD)AD+DC=BD因此，推论一得证。

平行线分线段成比例定理1. 问题介绍在平面几何学中，平行线分线段成比例定理是一个重要的定理，它描述了平行线所分割的线段之间的比例关系。

本文将介绍平行线分线段成比例定理的定义、原理、证明以及应用。

2. 定理定义给定一条直线上的两个点A、B，以及与该直线平行的另外一条直线CD，如果直线CD与直线AB相交于点E，那么线段AE与线段EB的比例等于线段CE与线段ED的比例，即：AB / CD = AE / CE = BE / ED其中，AB代表线段AB的长度，CD代表线段CD的长度，AE代表线段AE的长度，CE代表线段CE的长度，BE代表线段BE的长度，ED代表线段ED的长度。

3. 定理原理平行线分线段成比例定理的原理可以通过平行线的性质来进行推导。

根据平行线的性质，我们知道平行线分割两条平行线之间的线段时，这些线段之间的比例关系是不变的。

在给定的情况下，我们可以得到以下等式：∠ADE = ∠CDE （对应角）∠AED = ∠CED （对应角）根据三角形内角和定理，我们知道：∠ADE + ∠AED = 180°∠CDE + ∠CED = 180°因此，我们可以得到以下等式：∠ADE + ∠AED = ∠CDE + ∠CED根据等式的基本性质，我们可以得到：∠ADE = ∠CDE∠AED = ∠CED根据角度对应定理，我们知道∠DAE与∠DCE相等。

由此，我们可以得到以下相似三角形关系：△DAE ~ △DCE （相似三角形）△BDE ~ △BEC （相似三角形）根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：AE / CE = DE / DE = AE / DE （对应边）BE / CE = DE / DE = BE / DE （对应边）由此，我们可以得到以下等式：AB / CD = AE / CE = BE / DE这就是平行线分线段成比例定理的原理。

4. 定理证明平行线分线段成比例定理的证明可以通过几何推理和相似三角形的性质来完成。

平行线分线段成比例定理的定理定义
在几何学中，平行线分线段成比例定理是关于平行线和线段的一个重要定理。

根据这个定理，当一条线段被两条平行线分割时，所得到的线段长度之比与其对应的平行线长度之比相等。

具体来说，我们假设有两条平行线l₁和l₂，它们分别与一条线段AB相交于点C和D。

根据平行线分线段成比例定理，我们可以得出以下结论：
如果AC:CB = AD:DB，那么线段AB被平行线l₁和l₂分割成的两个线段AC和CD的长度之比等于线段AB与平行线l₁和l₂的长度之比。

这个定理可以用于解决一些几何问题，例如计算线段的长度、证明一些图形的相似性等。

它在实际应用中也具有一定的重要性。

比如在工程测量中，我们可以利用平行线分线段成比例定理来计算难以直接测量的距离，从而提高测量的准确性。

总结一下，平行线分线段成比例定理是几何学中关于平行线和线段的重要定理。

它指出，当一条线段被两条平行线分割时，所得到的线段长度之比与其对应的平行线长度之比相等。

这个定理在几何问题的解决以及实际应用中有着重要的作用。

了解和掌握这个定理对于学习几何学和解决相关问题都是非常有帮助的。

平行线分线段成比例判定定理基本模型【摘要】本文将介绍平行线分线段成比例判定定理的基本模型。

在我们将引入该定理的重要性和应用背景。

在首先对定理进行详细说明，然后逐步解释证明步骤，解释相关概念，提供应用举例，并讨论推论拓展。

结论部分将总结归纳所学内容，探讨定理在实际应用中的作用，并展望未来研究方向。

通过本文的阐述，读者将能全面了解平行线分线段成比例判定定理，为进一步的数学学习和应用提供基础。

【关键词】平行线分线段成比例判定定理、引言、定理说明、证明步骤、相关概念解释、应用举例、推论拓展、总结归纳、实际应用、未来研究方向1. 引言1.1 引言平行线分线段成比例判定定理是几何学中的重要定理之一，它解决了平行线与线段之间的关系，为我们在解题过程中提供了便利。

通过这个定理，我们可以轻松判断两条平行线上的线段是否成比例，从而简化问题的复杂度，提高解题效率。

在学习这个定理之前，我们首先需要了解一些基本概念，比如平行线、线段、比例等。

平行线是在同一平面上没有交点的直线，线段是两点之间的连线部分，比例是指两个东西之间的相对大小关系。

这些基本概念是理解平行线分线段成比例判定定理的基础。

在接下来的内容中，我们将详细介绍平行线分线段成比例判定定理的原理和证明步骤，帮助我们更深入地理解这一定理。

我们还将通过相关概念解释、应用举例和推论拓展等部分，进一步探讨这个定理在实际问题中的应用和推广。

通过对平行线分线段成比例判定定理的学习和掌握，我们可以提高解题的效率和准确性，在几何学习中取得更好的成绩。

让我们一起深入探讨这一定理的奥秘，为解决更复杂的几何问题奠定坚实的基础。

2. 正文2.1 定理说明平行线分线段成比例判定定理是初中数学中非常重要的定理之一，它可以帮助我们解决各种与平行线和比例有关的几何问题。

在学习这个定理之前，我们首先要了解什么是平行线和什么是比例。

平行线是在同一个平面内且永远不相交的两条直线，而比例则是指两个量之间的比较关系。

平行线分线段成比例定理（讲学稿）编制人：平生曜曜一、平行线分线段成比例定理（记忆倒容易，推证就难了）1、定理的证明：两条直线被一组平行线所截，得到的对应线段成比例。

如下图： 已知1l ∥2l ∥3l ，可得：EFDEBC AB =（特征：下上）。

（1）、怎样证明呢？证明：设点E 到直线AC 的距离为1h ，又设点B 到直线DF 的距离为2h ， ∵1l ∥2l ∥3l ，∴⊿ABE 与⊿DBE 是以为 “同底”，以平行线 和 之间的距离为 “等高”的两个三角形，∴DBE ABE S S ∆∆=， 即：BDE EAB S S ∆∆=， 则：212121h DE h AB •=•……①式 同理，⊿CBE 与⊿FBE 是以为 “同底”，以平行线 和 之间的距离为“等高”的两个三角形， ∴FBE CBE S S ∆∆=，即：BEF EBC S S ∆∆=， 则：212121h EF h BC •=•……②式 由“①÷②”得：221121212121h EF h DE h BC h AB ••=••，即得： 。

（2）、你认为结论DFDEAC AB =（特征：全上），成立吗？证明：成立，理由：由（1）已证EFDE BC AB =， 再由“下合比”性质可得：()+=+EF DEAB BC AB ，即为： 。

（3）、请用类似（1）的方法来证明：EFDFBC AC =（特征：下全）。

…………………请认真思考………………………………………暂时不往下阅读……………l 3l 2l 1FE D CB A…………………不要…企图…对（1）的结论…使用…“上合比”…性质…………………… ………………………………请……模仿（1）的……推导…过程……………………………… ………………供君对比的思维在上面……………… ………………供君对比的书写在下面……………… 已知：1l ∥2l ∥3l ，求证：EFDFBC AC =（特征：下全）。

平行线分线段成比例定理（第二课时）介绍在平行线的几何学中，平行线分线段成比例定理是一个重要的定理。

该定理描述了当一条直线与两个平行线相交时，它们所分割的线段之间存在着一定的比例关系。

这个定理在不同的几何推理和证明中经常被使用。

在本文档中，我们将讨论平行线分线段成比例定理的概念、原理和应用。

我们将首先介绍定理的表述，然后解释其背后的原理，最后给出一些习题和应用示例。

定理表述平行线分线段成比例定理的一般表述是：如果两条平行线L1和L2被一条直线交叉，那么它们所分割的任意两个线段的比例相等。

具体来说，如果直线AB与平行线L1和L2相交，分别在点C和D处与它们相交，那么有以下比例关系成立：AC/CD = AB/BD这里AC和CD是由直线AB与平行线L1和L2所分割的线段，而AB和BD 是直线AB的两个部分。

原理解释平行线分线段成比例定理的证明可以通过相似三角形或平行线的交错角等几何性质来进行。

这里介绍一种常见的证明方法。

首先，考虑由直线AB与平行线L1和L2所形成的三角形ABC和ABD。

根据平行线的性质，我们可以得出∠ABC = ∠ABD（对应角相等）。

而由于这两个三角形共有一个角∠B，所以它们是相似的。

根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：AC/AB = BC/BD接下来，我们观察三角形ABC和三角形BCD。

由于它们共有一个角∠B，所以它们也是相似的。

根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：BC/AB = CD/BD将以上两个比例关系结合起来，可以得到以下结果（将第一个比例关系代入第二个比例关系的分子）：CD/BD = AC/AB上式即为平行线分线段成比例定理的表述。

示例和习题示例例题1如图所示，AB//DE，且AC/CD = AE/EB。

证明BC//DE。

A------------------B/ \\ / \\/ \\ / \\C-----D------------E-----F解答：根据平行线分线段成比例定理，我们有：AC/CD = AE/EB根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：AC/AE = CD/EB而根据线段的比例关系，我们可以得到：AC/AE = CD/EB = AD/BE由于AB//DE，所以ABD和AEB是相似的三角形。