收敛数列的性质

§2.2 收敛数列的性质本节主要教学内容：收敛数列的性质；运算法则；子列及其收敛性。

教学方法与设计：性质的证明以保序性为重点，以训练)(N -ε定义为主要目的；多以例题讲解运算法则（包括迫敛性）；子列及其收敛性为本节的难点，以子列的概念和)(N -ε定义突破之。

一、收敛数列的性质1、极限的唯一性：若}{n a 收敛，则它的极限是唯一的。

证明：设b a a a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ，则由N -ε定义及P 3例2和P 4习题3知a=b 。

2、有界性：若}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列。

即N n M ∈∀>∃,0有M a n ≤。

证明：设.l i m a n =∞→取N n N N >∀∈∃=,,1ε有.1<-a a n 即a a n +≤1，取{}N a a a a M ,,,,1m a x 21 +=，则N n ∈∀有.M a n ≤注意：有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。

例如数列{}n)1(-有界但不收敛。

当然：无界⇒发散。

3、保序性：若b b a a n n n n ==∞→∞→lim .lim .且b a <，则N n >∀有n n b a <。

证明：取,0)(21>-=a b ε由N -ε定义有： ε<-⇒>∀∃a a N n N n 11,，即)(21b a a n +<； （1）ε<-⇒>∀∃b b N n N n 22,，即n b b a <+)(21。

（2）取},m ax {21N N N =，则N n >∀有n n b a <。

1o 、推论1：若.lim b a a n n <=∞→则b a N n N n <⇒>∀∃,.2o 、推论2：若0lim <=∞→a a n n ,则.0,<⇒>∀∃n a N n N3o 、推论3：（不等式定理）。

§1.2 收敛数列的性质收敛数列有如下一些重要性质：定理1（唯一性）： 数列 n x 不能收敛于两个不同的极限。

即数列收敛，则它只有一个极限。

证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。

由极限的定义，对0>∀ε，必分别∃自然数21,N N ，当1N n >时，有ε<-a x n (1)当2N n >时，有 ε<-b x n (2)令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）同时成立。

现考虑： εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒，所以n x 的极限只能有一个。

定理2 （有界性）： 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。

即存在一个正数M ，使得对一切正整数n 有||n a M ≤。

证明：设lim n n a a →∞=。

取1ε=，则存在正数N ，对一切n N >有||1n a a -<即11n a a a -<<+。

记12max{||,||,,||,|1|,|1|}N M a a a a a =-+ ，则对一切正整数n 有||n a M ≤。

定理3（保不等式性）： 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列。

若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则limlim n n n n a b →∞→∞≤。

证明： 设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==。

0ε∀>，分别存在正数1N 与2N ，使得当1n N >时有n a a ε-<，使得当2n N >时有n b b ε<+。

取012max{,,}N N N N =，则当n N >时有n n a a b b εε-<≤<+。

由此得到2a b ε<+。

收敛数列的性质
唯一性、有界性定义、保号性。

收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。

收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。

一个函数收敛则该函数必定有界，而一个函数有界则不能推出该函数收敛。

要说明的是，数列有界是全域有界，而函数有界仅仅是在去心邻域内局部有界。

如果数列收敛，那么它的极限唯一；如果数列收敛，那么数列一定有界；保号性；与子数列的关系一致.发散的数列有可能有收敛的子数列.子数列收敛于不同的极限，则数列发散.
数列趋于稳定于某一个值即收敛，其余的情况，趋于无穷大或在一定的跨度上摆动即发散。

收敛数列是求和有个确定的数值，而发散数列则求和等于无穷大没有意义。

使得n>N时，不等式|Xn-a|<q都成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。

若数列{xn}收敛于a，且a>0, 则存在正整数N，使得当时n>N时，有xn>0.。

第二章数列极限2 收敛数列的性质定理2.2(唯一性)：若数列{ a n }收敛，则它只有一个极限.证：设a=，对任何b≠a，取ε0=，则在(a;ε0)之外有{ a n }的有限个项，从而，在(b;ε0)之内至多只有{ a n }的有限个项，所以b不是{ a n }的极限。

所以收敛数列只有一个极限.定理2.3(有界性)：若数列{a n}收敛，则{a n}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有：| a n |≤M.证：设=a，取ε=1，存在正数N，对一切n>N，有|a n -a|≤1；又|a n|-|a|≤|a n -a|≤1；∴|a n|≤1+|；记M=max{|a1|,|a2|,…, |a N|,1+|}，则|a n|≤M，∴{a n}为有界数列.所以收敛数列有界.定理2.4(保号性)：若=a>0(或<0)，则对任何a’∈(0,a)(或a’∈(a,0))，存在正数N，使得当n>N时，有a n>a’(或a n<a’).（注：在应用保号性时，常取a’=）证：当a>0时，取ε=a-a’>0，则存在正数N，使得n>N时，有a n>a-ε=a’；当a<0时，取ε=a’-a>0，则存在正数N，使得n>N时，有a n<ε+a=a’.所以原命题得证.定理2.5(保不等式性)：设{a n}与{b n}均为收敛数列. 若存在正数N0，使得当n> N0时，有a n≤b n，则.证：设，则∀ε，∃自然数N1 ,N2，使当n>N1时，有a n>a-ε;当n>N2时，有b n<ε+b.取N={N0,N1,N2}，则当n>N时，有a-ε<a n≤b n<ε+b，∴a<b+2ε，由ε的任意性，得a≤b，即. 所以原命题得证.注：当a n<b n时，取ε0，则∃正数N1,N2，使当n>N1时，有a< a n +ε0;当n>N2时，有b> b n-ε0. 取N=max{N0,N1,N2}，则当n>N时，有a<<b.∴a<b，即<.例1：设a n≥0(n=1,2,…). 证明=a，则.证：∀ε，∃自然数N，使得当n>N时，有|a n -a|<ε.∵a n≥0，由保不等式性可知a≥0；当a=0时，有a n<ε，则<ε，即|-0|<ε，∴.当a>0时，则有|-|=<, ∴.定理2.6(迫敛性)：设收敛数列{a n},{b n}都以a为极限，数列{c n}满足：存在正数N0时有a n≤c n≤b n，则数列{c n}收敛，且=a.证：∀ε，∃正数N1,N2，使当n>N1时，有a n>a-ε;当n>N2时，有b n<ε+a. 取N=max{ N0,N1,N2}，则当n>N时，有a-ε<a n≤c n≤b n<ε+a，即| c n -a|<ε; ∴数列{c n}收敛，且=a. 原命题得证。

2007／09／24§1.3 收敛数列的性质1. 唯一性定理1 每个收敛的数列只有一个极限.证,lim ,lim b x a x n n n n ==∞→∞→又设由定义知,使得 ,, ,021N N ∃>∀ε;,1ε<->a x N n n 恒有时当;,2ε<->b x N n n 恒有时当一、收敛数列的性质{},,max 21N N N =取时有则当N n >)()(a x b x b a n n ---=-ax b x n n -+-≤.2ε=ε+ε<.时才能成立上式仅当b a =故收敛数列极限唯一.2. 有界性定义: 对数列{n x }, 若存在正数M , 使得一切自然数n , 恒有M x n ≤成立, 则称数列{n x }有界, 否则, 称为无界.例如,};1{+n n 数列}.2{n 数列数轴上对应于有界数列的点n x 都落在闭区间],[M M -上.有界无界相应的, 可以给出有上界和有下界的定义定理2 收敛的数列必定有界.证,lim a x n n =∞→设由定义,,1=ε取,1,<->∃a x N n N n 时恒有使得当则.11+<<-a x a n 即有},1,1,,,max{1+-=a a x x M N 记,,M x n n ≤皆有则对一切自然数{}.有界故n x 注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.例1.)1(1是发散的证明数列+-=n n x 证,lim a x n n =∞→设由定义,,21=ε对于,21,,成立有时使得当则<->∃a x N n N n ),21,21(,+-∈>a a x N n n 时即当区间长度为1.,1,1两个数无休止地反复取而-n x 不可能同时位于长度为1的区间内..)1(1发散所以数列+-=n n x3. 子列极限一致性定义：在数列中任意抽取无限多项并保持}{n x 这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列}{n x 的子数列，简称子列.}{ k n x 记为一子数列也收敛于}{n x 定理3如果数列收敛于a , 那么它的任.a, N K =取,时则当K k >.N n n n N K k ≥=>,|ε<-a x k n 于是｜证, }{ }{ 的任一子列是数列设n n x x k,lim a x n n =∞→由总有时使得当 , N n >. ||成立ε<-a x n ,N 0, *∈∃>∀N ε故对.lim a x k n n =∞→证得数列是发散的，通常利用此定理来证明是发散的数列}{sin n )14(P .)1( 1是发散的数列比如：+-=n n x4. 不等式性质P20证明见 ; ; ,, ,lim 14oβαβαβα<><<=∞→n n n n a a n a a a 充分大时有那么当满足设：定理; , ,lim ,lim 2 n n n n n n o b a n b a b b a a <<==∞→∞→充分大时有那么当且设. , ,lim ,lim 3 b a b a n b b a a n n n n n n o ≤≤==∞→∞→那么有有充分大时且当设定理5.0,lim )3(;][lim )2(;][lim )1(,lim ,lim ≠=⋅=⋅±=±==∞→∞→∞→∞→∞→b b a b a b a b a b a b a b b a a n n n n n n n n n n n n n 其中则设证二、极限的四则运算; )1(绝对值的三角形不等式; , , )2(绝对值不等式添加项收敛数列的有界性b b b nn 11lim ,0)3(=≠∞→时先证, . , ,0112||时当对于N n t s N b >∃>2||||b b b n <-.02||||>>b b n 且此时,1时所以当N n >.||22b b bn -≤|||||11| b b b b b b n n n -=-.11lim ,b b n n =∞→即证得.)2(易见结论成立再由.||2|11| 2ε<-≤-b b bb b n n . , 0, ,lim 2t s N b b n n ∃>∀=∞→ε对由于.2|| , 22εb b b N n n <->有时当便有时因此当 ,},max{21N N n >说明：有+无=无，无+无=不定；有=⨯⨯无=不定;无,不定无推广到有限项.例2:145432lim 22-++-∞→n n n n n 22145432lim nn n n n -++-=∞→221lim 4lim 5lim 4lim 3lim 2lim n n n n n n n n n n ∞→∞→∞→∞→∞→∞→-++-=52=例3:)...1(lim 12-∞→++++n n q q q q q q n n n ---=∞→∞→1lim 11lim n n q q q ∞→---=lim 1111 .11 q-=qq n n --=∞→11lim .)...1(lim ,1||12-∞→++++<n n q q q q 计算极限设:解三、无穷小:定义. ,,0 }{ 简称无穷小数列称为无穷小列那么这个的极限为如果收敛数列n a:6定理;}||{}{ 1 为无穷小为无穷小的充要条件是n n oa a ;)( 2仍是无穷小或差两个无穷小之和o ; }{ ,}{,}{ 3为无穷小那么为有界数列为无穷小设n n n n oa c c a;}{ ,}{,N ,0 4*也是无穷小那么为无穷小如果设n n n n o a b n b a ∈≤≤.}{lim 5为无穷小的充要条件是a a a a n n n o -=∞→....lim ,lim :421a na a a a a n n n n =+++=∞→∞→求证已知例分析：a na a a n n =+++∞→...lim 210)()()(lim 21=-++-+-∞→na a a a a a n n ⇔.0lim 21=+++∞→n n n ααα 则0)(lim lim =-⇔=∞→∞→a a a a n n n n ,a a n n -=α令,0lim =∞→n n α若证明：, a a n n -=α令,0lim =∞→n n α若.0lim 21=+++∞→n n n ααα 则:则待证结果转化为,0lim =∞→n n α由 0,>∀ε对.2 ,εα<>n N n 时当,N *∈∃N 使得所以2)(||21εααα⋅-++++<n N n n N n nN αααα+++++ 212||21εααα++++<n N ,0lim 21=+++∞→n N n ααα 而,,N 1*1N N N >∈∃所以,1时使得当N n >,2||21εααα<+++n N ,22 21εεεααα=+<+++n n 故......所以四、夹逼准则(两边夹法则)定理7 如果数列}{},{n n y x 及}{n z 满足条件:,lim ,lim )2()3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n nn n ===≤≤∞→∞→那末数列{n x }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证,,a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>∃>∀N N ε,1ε<->a y N n n 时恒有当},,max{21N N N =取恒有时当,N n >,ε+<<ε-a y a n 即,2ε<->a z N n n 时恒有当,ε+<<ε-a z a n 上两式同时成立,,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞→例5).12111(lim 222nn n n n ++++++∞→ 求解,11112222+<++++<+n nn n n n n n nn n n n n 111lim lim 2+=+∞→∞→又,1=22111lim1limnn n n n +=+∞→∞→,1=由夹逼定理得.1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n1lim : 0, 61=>∞→na a n 求证设例nn na a n a 111 , 1, :≤≤>≥我们有时当先设证明,1lim 1=∞→nn n 由于知由夹逼定理 ,.11lim 1成立对≥=∞→a a nn 于是这时再设 ,1 ),1,0(1>∈-aa .1111lim 1lim 11==⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→n na a n n)13( lim :7 --+∞→n n n 求极限例n n n n n n 434134)13( 0 :<+≤-++=--+<我们有不等式解0.)13( lim ,}4{=--+∞→n n nn 所以是无穷小因为例８.ka a a ≤≤≤≤ 210设则knnkn n n a a a a =+++∞→ 21lim证明：kn n k n n k n n n n k k a ka a a a a a →≤+++≤= 21由夹逼定理，knnkn n n a a a a =+++∞→ 21lim五、小结收敛数列的性质有界性、唯一性、子列极限一致性、不等式性质极限的四则运算无穷小夹逼准则(两边夹法则)作业(习题集)习题1-3 A：2；3（偶数）；5；6；8；9.。