近世代数练习题(附答案)

近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）.A. 0B. 1C. －1D. 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）.A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。

G对这个乘法来说作成一个群;B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群;C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ).A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）.A. Z没有生成元.B. 1是其生成元.C. －1是其生成元.D. Z是无限循环群.5. 下列叙述正确的是（）。

A. 群G是指一个集合.B. 环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.二. 计算题(每题10分，共30分)1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，的阶.2. 试求出三次对称群{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明.三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分).1. 证明: 在群中只有单位元满足方程2.x x=2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：:2n bn aϕg a是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1ab=.3．设S是环R的一个子环.证明: 如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题(每题5分，共25分)1. A2. D3. D 4 . A 5 . C二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 解：易知 c 的阶无限， (3分)d 的阶为2. （3分）但是 11,01cd ⎛⎫=⎪-⎝⎭（2分）的阶有限，是2. （2分） 2. 解：3S 的以下六个子集{}{}{}123(1),(1),(12),(1),(13),H H H ==={}{}4563(1),(23),(1),(123),(132),H H H S === （7分）对置换乘法都是封闭的，因此都是3S 的子集. （3分） 3. 解： e 是R 的单位元。

近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。

答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。

答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。

答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。

答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。

答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。

答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。

正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。

2. 请解释什么是群的同态和同构。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。

群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。

3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。

如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。

近世代数复习题及答案1. 群的定义是什么？请给出一个例子。

答案：群是一个集合G，配合一个运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元的存在性、逆元的存在性。

例如，整数集合Z在加法运算下构成一个群。

2. 什么是子群？如何判断一个子集是否为子群？答案：子群是群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下满足群的四个条件。

判断一个子集是否为子群，需要验证它是否在群运算下封闭，是否包含单位元，以及每个元素是否有逆元。

3. 什么是正规子群？请给出一个例子。

答案：正规子群是群G的一个子群N，对于G中任意元素g和N中任意元素n，都有gng^-1属于N。

例如，整数集合Z在加法运算下的子群2Z（所有偶数的集合）是一个正规子群。

4. 什么是群的同态？请给出一个例子。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数φ，使得对于G中任意两个元素a和b，都有φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

例如，函数φ: Z → Z_2定义为φ(n) = n mod 2，是整数群Z到模2整数群Z_2的一个同态。

5. 什么是群的同构？请给出一个例子。

答案：群的同构是两个群G和H之间的双射同态。

这意味着G和H不仅满足相同的群运算规则，而且它们之间存在一一对应关系。

例如，群Z_3（模3整数群）和群{1, -1}在乘法下构成的群是同构的。

6. 什么是环？请给出一个例子。

答案：环是一个集合R，配合两个运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群，(R, *)满足结合律，且乘法对加法满足分配律。

例如，整数集合Z在通常的加法和乘法运算下构成一个环。

7. 什么是理想？如何判断一个子集是否为理想？答案：理想是环R的一个子集I，满足以下条件：I在加法下封闭，对于R中任意元素r和I中任意元素i，都有ri和ir属于I。

判断一个子集是否为理想，需要验证它是否在加法下封闭，以及是否满足吸收性质。

8. 什么是环的同态？请给出一个例子。

答案：环的同态是两个环R和S之间的函数φ，使得对于R中任意两个元素a和b，都有φ(a+b) = φ(a) + φ(b)和φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

练习题参考答案一、 判断题1. R 是A 的元间的等价关系.（错 ）见教材第27页习题2（2）2. 则G 是交换群.（正确）见教材第37页习题63、则该群一定为有限群.（错 ）见教材第39页例44、则G 与整数加群同构.（正确）见教材49页定理1（1）5、那么G 也是循环群.（错 ）三次对称群S 3的真子群为循环群，但S 3不为循环群.6、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为1,g G g Hg H -∀∈⊆.（正确）见教材84页定理17、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为，对Hg gH G g =∈∀,.（正确）见教材83页定义18、那么R 必定没有右零因子.（正确）见教材139页推论9、则N G /也是循环群.（正确）见教材95页定理310、那么R 的单位元一定是非零元.（正确）由于|R|≥2，故R 中存在非零元a ,由于a 0=0≠a ，说明零元不是单位元.11、整数环与偶数环同态.（错误）设Z Z 2:→ϕ为同态满射，且k 2)1(=ϕ，则24)1()1()11()1(k ==⨯=ϕϕϕϕ，即 242k k =，所以02=k 或12=k ，后者不可能，因此有02=k ，则0)1(=ϕ，得0)(=n ϕ，与ϕ为满射矛盾.12、剩余类环}5,4,3,2,1,0{6------=Z ,47Z 均是整环.（错误）根据教材149页定理2，6Z 有零因子，不是整环，47Z 是整环.13、素数阶群一定是交换群.（正确）根据教材69页推论1，该群中的元素除了单位元，其余元的阶等于群的阶，再根据教材50页推论1知该群为循环群，从而为交换群.二、单项选择题1、指出下列哪些运算是给定集合上的代数运算（ ④ ）2、设 是正整数集上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），关于运算 ，下列结论不正确的是（ ④ ）3、设G 是实数集,在其上规定运算k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数，那么() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（④ ）4、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （①）5、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分解G HaH bH cH =，如果6=H ，那么G 的阶=G （② ）6、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（③ ）7、设},),{(为实数y x y x M =，对任意实数a ，规定)),((),0,(),(:M y x a x y x a ∈∀+→τ，}{为实数a G a τ=,下列说法错误的是（③ ）三、填空题1、三次对称群3S 关于子群)}12()1{(，=H 的所有左陪集为__H,(13)H,(23)H___.2、Kayley 定理说：任何群都同一个__双射变换________群同构.3、G auss 整环},{][Z b a bi a i Z ∈+=中的所有单位是 __±1，±i _______.4、设)57)(134(),234)(1372(==στ，则||τ=___6__,=-1στσ)241)(3452(.5、设R 是有单位元的环，且理想I =<a >，那么I 中的元素可以表示为x 1ay 1+…+x m ay m ,x i ,y i ∈R ,m 为整数.6、已知---++=253)(3x x x f ，---++=354)(2x x x g 为域6Z 上的多项式，则=+)()(x g x f 544323+++-x x x ，)(x g 在6Z 上的全部根为 3,1. 7、设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha H ba ∈-1.8、设G =><a 是12阶循环群，则G 的生成元有 a ,a 5,a 7,a 11 .9、实数域R 的全部理想是 0, R .10、模8的剩余类环8Z 的全部零因子是6,4,211、阶大于1、有单位元且无零因子的交换 的环称为整环.四、计算与证明题1.解：（2）单位元为,1π414313212111,,,ππππππππ====----；（3）1阶子群：}{1π；2阶子群：},{},,{},,{},,{41313121ππππππππ，4阶子群：},,,{4321ππππ=G .（1）乘法表如下： 4321ππππ43211πππππ34122πππππ21433πππππ12344πππππ4. 设Z 为整数环，证明：（1）利用理想的定义验证，略（2）设有理想K 包含N ，即,R K N ⊆⊆由于Z 为主理想整环，所以K 为主理想，即有整数正k ，使>=<k K ，由于K N ⊂，且,p N ∈故,k p >=<∈K 从而,kn p =由于p 为素数，所以1k =或p k =，若k=p ，则K=N ；若k=1，则K=R ，所以除了Z 和N ，没有其它理想包含N .5.设R 是可交换的有限环,且含有单位元1，证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子.证明：设，},,,{21n a a a R =},,,{021n a a a R a =∈≠∀，且a 不是可逆元，令},,,,{21n aa aa aa S =由乘法封闭性，知 ,R S ⊆又元素a 不是可逆元，所以 n aa aa aa ,,,21 均不等于单位元1，所以S 为R 的真子集，又,n R =从而,1-≤n S 从而一定存在,j i ≠使,j i aa aa =即,0=-）（j i a a a 所以a 为环R 的零因子.6、设环R 含单位元1，证明：首先有N ⊆R ，又R a ∈∀，有1⋅=a a ，由于N 是R 的一个理想且1∈N ，根据理想的吸收性，有N a a ∈⋅=1，所以R ⊆N ，因此N=R.7、设K 是一个有单位元的整环，证明：K=<a >当且仅当a 是K 的可逆元. 证明：必要性 由于K 有单位元且可交换，故<a >={a r |任意r ∈K}，如果K=<a >，则1∈<a >,所以存在r ∈K ，使a r =1，因此a 是K 的可逆元； 充分性 a 是K 的可逆元，则存在r ∈K ，使a r =1，所以1∈<a >，任意s ∈K,由理想的吸收性，可知>∈<⋅=a s s 1,得K ⊆<a >，又显然<a >⊆ K ，所以K=<a >19、设环R 的特征char R=n 为合数，且|R|>1，证明环R 存在零因子.祝大家考试取得好成绩！。

近世代数测试题（A）参考答案一、填空题（每题3分，共30分）:一、二、 3、或,或, 或4、五、或六、特点(或特点数) 7、没有八、一个极大理想九、不含真子域 10、代数元二、选择题（每题4分，共20分）:一、D 二、 D 3、B 4、D 五、D三、证明题（每题5分,共50分）:一、证明:显然是非空集合上的代数运算., 那么有即, 对此运算知足结合律.又, 即是的左单位元; 又, 有且, 即是在中的左逆元. 因此,对此运算作成一个群.二、证明: 第一易知,中的单位是.第二, 假设, 那么必是环的不可约元.事实上, 假设是的任一因子, 那么有, 使, 故或.但不可能, 故只有或.当时,是可逆元; 当时, 与相伴. 因此, 只有一般因子, 即是不可约元.故, 是的不可约元.但, 而且又不与中的任一个相伴, 即9不能惟一分解.3、证明:1), 那么, 于是.再任取, 由知,. 故.2) 不成立.因为, 例如, 但.事实上,. 即是由8生成的主办想.4、证明：方式(一):因为,是满同态，故.令.下证是商群到的一个同构映射. 1) 是映射: 设, 那么.因是同态满射,故.从而, 即是商群到的一个映射. 2) 是满射: , 因是同态满射, 故有使. 从而在之下有逆象, 即是满射. 3) 是单射: 设, 那么.因是满射, 故有使,其中是的单位元. 于是故. 从而, 即是单射.又显然在之下有,故是商群到的一个同构映射. 因此.方式(二):利用群同态大体定理因为,是满同态，故.设是群到商群的映射. 因为又是满射(因是满射),故是群到商群的满同态映射.又, 据群同态大体定理, .五、证因为G不是循环群，故G没有6阶元.从而由Lagrange定理知，G必有2阶元或3阶元.除外G中元素不能都是2阶元：假设不然，G为互换群.于是在G中任取互异的2阶元，那么易知.这与Lagrange定理矛盾.又除外G中元素不能都是3阶元：假设不然，那么在G中任取3阶元，可知G有子群，且.于是,这与矛盾.因此，G必有2阶元和3阶元.由此可知：，且易知是G到的一个同构映射，故G.近世代数测试题（B）参考答案一、填空题（每题3分，共30分）：一、适合二、(未全对者,不给分) 3、4、五、8 六、是 7、2 八、主办想整环九、(未全对者,不给分) 10、扩域二、选择题（每题4分，共20分）：一、D 二、 D 3、D 4、B 五、A三、证明题（每题10分,共50分）：一、证明: 设是由互换群中所有有限阶元素作成的集合. 显然, , 故非空. 假设，设. 因可换, 故, 从而。

近世代数模拟试题一、单项选择题每题5分,共25分1、在整数加群Z,＋中,下列那个是单位元;A 0B 1C －1D 1/n,n是整数2、下列说法不正确的是;A G只包含一个元g,乘法是gg＝g;G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是;A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是;A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性S的共轭类;5、下列哪个不是3A 1B 123,132,23C 123,132D 12,13,23二、计算题每题10分,共30分S的正规化子和中心化子;1.求S＝{12,13}在三次对称群32.设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶;3.设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,求出其右零因子;三、证明题每小题15分,共45分1、设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0是其零因子;2、设Z 是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3;证明：Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元;3、证明由整数集Z和普通加法构成的Z,＋是无限阶循环群;近世代数模拟试题答案一、单项选择题每题5分,共25分1． A2． D3． C4． D5． B二、计算题每题10分,共30分1． 解：正规化子NS ＝{1,23};;;;;;;;;;;;6分中心化子CS ＝{1};;;;;;;;;;;;;;;;;;4分2． 解：群G 中的单位元是1;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分1的阶是1,－1的阶是2,i 和－i 的阶是4;;;;4×2分3． 解：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,xb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;3分因为x 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分因此右零因子为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分三、证明题每小题15分共45分 1．证明：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;5分 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;8分同理设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;12分 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;14分因此零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分2．明：首先该代数运算封闭;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分其次我们有：a ·b ·c ＝a ＋b －3·c ＝a ＋b －3＋c －3＝a ＋b ＋c －3－3＝a ·b ·c,结合律成立;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;6分令e ＝3,验证a ·e ＝a ＋e －3＝a,有单位元;;;;7分对任意元素a,6－a 是其逆元,因为a ·6－a ＝3;;;8分因此,Z 对该运算作成一个群;显然,单位元是e ＝3;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分3．证明：首先证明Z,＋是群,+满足结合律,对任意的Z x ∈,x x x =+=+00,0是运算+的单位元又由于： ()()0=+-=-+x x x x所以 ,1x x -=-从而Z,＋为群;;;;;;;;;2分由于+满足交换律,所以Z,＋是交换群;;;;4分Z,＋的单位元为0,对于1Z ∈,由于 1+-1=0,所以111-=-,;;;5分于是对任意Z k ∈,若0=k ,则：010=；若0>k ,则k k =+++=1111 ;;;;;;;;;;;8分若0<k ,则()()()k k k k ------===111111)1()1()1(---++-+-=个k))(1(k --= k = ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分综上,有k k =1,对任意的Z k ∈. 因而,{}Z k Z k ∈=1,从而Z,＋是无限阶循环群;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分。

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解：S3显然有以下子群：本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}；（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}；（（123））={（123），（132），（1）}若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。

同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。

这个子群也必然是S3。

用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。

7．试求高斯整环的单位。

解设 () 为的单位, 则存在 , 使得 , 于是因为 , 所以 . 从而 , , 或 . 因此可能的单位只有显然它们都是的单位. 所以恰有四个单位:5．在中, 解下列线性方程组:解: 即 , .12. 试求的所有理想.解设为的任意理想, 则为的子环，则 , , 且 .对任意的 , , 有 ,从而由理想的定义知, 为的理想. 由此知, 的全部理想为且 .13、数域上的多项式环的理想是怎样的一个主理想。

解由于，所以，于是得。

14、在中, 求的全部根. 解共有16个元素: , , , , 将它们分别代入 ,可知共有下列4个元素, , , 为的根.20.设R为偶数环.证明：问：是否成立？N是由哪个偶数生成的主理想？解：：故另外故总之有另方面，由于且而且实际上N是偶数环中由8生成的主理想，即，但是因此，.实际上是22、设,求关于的所有左陪集以及右陪集.解 , 的所有左陪集为:;;．的所有右陪集为:;;.1．在群中, 对任意 , 方程与都有唯一解.证明令 , 那么 , 故为方程的解。

近世代数试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 群的元素a的阶是指最小的正整数n，使得a^n=e，其中e是群的（）。

A. 单位元B. 零元C. 负元D. 逆元答案：A2. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R 是（）。

A. 交换环B. 非交换环C. 整环答案：A3. 向量空间V中，如果存在非零向量α，使得对于V中任意向量β，都有α⊥β，则称α是V的一个（）。

A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案：C4. 有限域F中，如果存在元素a∈F，使得a^p=a对于所有a∈F 成立，则称F是（）。

A. 素域B. 特征域C. 完全域答案：B5. 群G的一个子群H，如果对于任意的h∈H，g∈G，都有ghg^-1∈H，则称H是G的一个（）。

A. 正规子群B. 非正规子群C. 子群D. 群答案：A6. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R是（）。

A. 交换环B. 非交换环C. 整环答案：A7. 向量空间V中，如果存在一组向量α1，α2，…，αn，使得V中任意向量都可以表示为这些向量的线性组合，则称这组向量是V的一个（）。

A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案：A8. 群G的一个子群H，如果H=G，则称H是G的一个（）。

A. 正规子群B. 非正规子群C. 子群答案：C9. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a-b=b-a，则称R 是（）。

A. 交换环B. 非交换环C. 整环D. 除环答案：A10. 向量空间V中，如果存在一组向量α1，α2，…，αn，使得这些向量线性无关，并且V中任意向量都可以表示为这些向量的线性组合，则称这组向量是V的一个（）。

A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案：A二、填空题（每题4分，共40分）1. 群G中，如果对于任意的a，b∈G，都有ab=ba，则称G是________。

答案：交换群2. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=0，则称R是________。

《近世代数》练习题及参考答案1．设A={a ，b ，c ，d}试写出集合A 的所有不同的等价关系。

2．证明：:实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。

3．证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.4．设G=。

⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,a R a a a a a 证明：G 关于矩阵的乘法构成群。

5．证明：所有形如n m 32的有理数（m ，n ∈Z ）的集合关于数的乘法构成群。

参考答案1． 设A= 试写出集合A 的所有不同的等价关系。

解2．证明：:实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。

证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。

（2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。

（3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。

（4）零元是零矩阵。

∀A ∈Mn(R),A+0=0+A=A 。

（5）∀A ∈Mn(R),负元是-A 。

A+(-A)=(-A)+A=0。

∴（Mn(R),+）构成一个Abel 群。

3．证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.证：（1）由于E ∈On (R),∵On (R)非空。

(2 ) 任意A,B ∈On (R)，有（AB ）T=B T A T =B -1A -1=(AB) -1,∴AB ∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。

(3) ∵矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。

（4）对任意A ∈On (R)，有AE=EA=A ．∴E 为On (R)的单位元。

（5）对任意A ∈On (R)，存在A T ∈On (R)，满足AA T =E=AA -1, A T A=E=A -1A ．∴A T 为A 在On (R)中的逆元。

∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。

{}d c b a ,,,4．设G=。

近世代数期末考试试卷附标准答案近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。

A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,≤）B、（Z,≥）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),?)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则()[]=-aff1----------。

3、区间[1，2]上的运算},{min baba=的单位元是-------。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z8的零因子有-----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

9、设群G中元素a的阶为m，如果ea n=，那么m与n存在整除关系为--------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。

近世代数模拟试题及答案一、选择题1. 下列哪个集合不是群？A. 自然数集NB. 整数集ZC. 有理数集QD. 实数集R答案：A2. 在群G中，若a, b属于G，且a*b=b*a对所有a, b成立，则称G 为交换群。

以下哪个不是交换群？A. 整数加法群B. 奇数乘法群C. 偶数乘法群D. 所有实数的加法群答案：C二、填空题1. 一个环R，如果满足乘法交换律，则称R为_________。

答案：交换环2. 有限群的阶是指群中元素的个数，设群G的阶为n，则群G的拉格朗日定理表明，G的任何子群的阶都是n的_________。

答案：因数三、简答题1. 解释什么是子群，并给出一个例子。

答案：子群是指一个群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下封闭，并且包含G的单位元。

例如，整数集Z在加法运算下构成自然数集N的一个子群。

2. 描述什么是环的零因子，并给出一个例子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得a*b=0，则称a和b为零因子。

例如，在模6的剩余类环Z6中，元素3和3是零因子，因为3*3=9≡0 (mod 6)。

四、计算题1. 给定群G={1, a, a^2, a^3}，其中a^4=1，求证G是一个群，并找出它的所有子群。

答案：首先验证群的四个基本性质：- 封闭性：对于任意g, h属于G，g*h也属于G。

- 结合律：对于任意g, h, k属于G，(g*h)*k = g*(h*k)。

- 单位元：1是G的单位元，因为对于任意g属于G，1*g = g*1 = g。

- 逆元：对于任意g属于G，存在g的逆元g^(-1)，使得g*g^(-1) = g^(-1)*g = 1。

例如，a的逆元是a^3。

G的子群有：- {1}：平凡子群。

- {1, a^2}：由a^2的幂构成的子群。

- G本身：{1, a, a^2, a^3}。

2. 证明在任何交换环中，如果a和b是可逆元素，则它们的乘积ab也是可逆的。

答案：设a和b是交换环R中的可逆元素，存在a^(-1)和b^(-1)使得a*a^(-1)=1且b*b^(-1)=1。

《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案一、判断题（每题4分，共60分）1、如果循环群G=(a)中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（ √ ）2、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ × ）3、两个子群的交一定还是子群。

（ × ）4、若环R 满足左消定律，那么R 必定没有右零因子。

（ √ ）5、任意置换均可表示为若干个对换的乘积。

（ √ ）6、F （x)中满足条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极小多项式。

（ × ）7、已知H 是群G 的子群，则H 是群G 的正规子群当且仅当g G ∀∈，都有1gHg H -= （ √ ）8、唯一分解环必是主理想环。

( × )9、已知R 是交换环，I 是R 的理想，则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。

（ √ ）10、欧氏环必是主理想环。

（ √ ）11、整环中，不可约元一定是素元。

（ √ ）12、子群的并集必是子群。

（ × ）13、任何群都同构于某个变化群。

( √ )14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。

( √ )15、集合,A Z B N ==，::2f A B n n →+ 是从A 到B 的映射。

（ ×）二、证明题（每题20分，共300分）1Q 上的最小多项式。

解：令=u 32==u u .于是3223323315(32-⋅-=+-+=u u u u u u .移项后得32152(3+-=-u u u 两边平方，得到3222(152)(35)5+-=-⋅u u u .这是u 上满足的Q 上6次方程，故[():]6≤Q u Q .又3(2=u ()Q u .由[]2=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，知2|[():]Q u Q .=u (()=Q u Q u .又[]3=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，得3|[():]Q u Q .于是6|[():]Q u Q ，因而[():]6=Q u Q . 由于3222(152)(35)50+---⋅=u u u ，故6次多项式3222(152)5(35)+---x x x 是u 在Q 上的最小多项式.2、求出阶是32的循环群(a )的所有子群，这些子群是否都是不变子群。

近世代数（含答案）近世代数一、单项选择题1、6阶有限群的任何一个子群一定不是（ C ）。

A ．2阶 B ．3阶 C ．4阶 D ．6阶2、设G 是群，G 有（ C ）个元素，则不能肯定G 是交换群。

A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3、下面的代数系统(,*)G 中，（ D ）不是群。

A ．G 为整数集合，*为加法B ．G 为偶数集合，*为加法C ．G 为有理数集合，*为加法D ．G 为有理数集合，*为乘法4、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ C ）是子群。

A ．{}aB ．{},a eC ．{}3,e aD ．{}3,,e a a5、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ）A ．*a b a b =?B ．{}*max ,a b a b =C ．*2a b a b =+D ．a b a b +=?二、填空题1、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于（ 25 ）。

2、一个有单位元的无零因子的（交换环）称为整环。

3、群的单位元是（唯一）的，每个元素的逆元素是（唯一）的。

4、一个子群H 的右、左陪集的个数（相等）。

5、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的（特征）。

6、设群G 中元素a 的阶为m ，如果na e =，那么m 与n 存在整除关系为（ |m n ）。

7、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则1[()]ff a ?=（ a ）。

8、循环群的子群是（循环群）。

9、若{}2,5A =，{}1,0,2B =?，则A B ×=（ {}(2,1),(2,0),(2,2),(5,1),(5,0),(5,2)?? ）。

10、如果G 是一个含有15个元素的群，那么，对于a G ?∈，则元素a 的阶只可能是（ 1,3,5,15 ）。

三、问答题 1、什么是集合A 上的等价关系？举例说明。

【答案】设R 是某个集合上的一个二元关系。

《近世代数》练习题及答案1. B u A,但B不是A的真子集，这个情况什么时候才能出现？解只有在A=B时才能出现。

证明如下：当A=B时，即有BA, A(Z B,若有' a e A而a £ B ,显然矛盾；若BuA,但B不是A的真子集，可知凡属于A的兀素不可能不属于B,故A=B2.A=(1, 2, 3, .... , 100｝,找一个AXA 到 A 的映射。

解S(a"2)= 1易证。

102都是AXA到A的映射。

3.在你为习题1所找的映射下，是不是A的每一个元都是AXA的一个元的象？解在0]下，有' A的元不是AX A的任何元的象；容易验证在啊下，A的每个元都是AXA的一个元的象。

4.A=｛所有实数｝。

O (a, b) Ta+b=aOb这个代数运算适合不适合结合律？解这个代数运算不适合结合律。

(aOb) Oc=a+2b+2c, aO (bOc) =a+2b+4c(aOb) Oc#aO (bOc)除c=05.假定巾是A与A间的一个---- 映射，a是A的一个元。

厂[0(a)] = ?,如尸(«)] = ?解厂渺(a)] = a0[户(a)]未必有意义;当巾是A的一个一一变换时(/)-' [©(a)] =。

0[厂(a)] = a.6.假定A和，对于代数运算。

和：来说同态，云和云对于代数运算：和；来说同态, 证明A和云对于代数运算。

和；来说同态。

、〒S '• a — a表示A到屈勺同态满射iiE /Il —— ». _—,©2 ：。

t。

表示A SU A的同态满射容易验证。

是A到葡满射a。

b T ONMa。

b)l =(/)2(a。

b) = a。

b所以6是A到工的关于代数运算：和；来说同态满射。

7.A={所有有理数},找一个A的对于普通加法来说的自同构(映射x<^x除外)证© : x —> 2x对于普通加法来说是A的一个同构，很容易验证。

《近世代数》作业一．概念解释1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元二．判断题1．Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。

2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。

3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。

4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。

5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。

6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是：1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。

7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。

8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。

9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。

10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。

11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。

12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。

13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。

（ ）14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。

（ ）15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。

（ ）三．证明题1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。

一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) (从下列备选答案中选择正确答案)1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。

(A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（ ）。

(A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。

(A) （2），（3） (B) （2） (C)（3）4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。

(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命题是( )。

(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分）（请将正确答案填入空格内）1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ） （a ）。

2、F 是域，则[](())F x f x 是域当且仅当 。

3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~:A ～B ⇔秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。

4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。

5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。

三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分） （请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”）1、设G 是群，∅≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （ ）2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。

( )3、商环6Z Z 是一个域。

（ ）4、设f 是群G 到群-G 的同态映射，若1()f H G -， 则H G 。

（ ）5、任意群都同构于一个变换群。

（ ）四、计算题（本题共2小题,每小题10分，共20分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、找出6Z 的全部理想，并指出哪些是极大理想。