线性时变周期系统的能控性分析

线性系统的能控性判据分析摘要：能控性是线性系统的一个基本结构特征，它的出现对于系统控制和系统估计问题的研究具有重要意义。

本文主要讨论线性系统的能控性判据。

其中，能控性的判据分析有很多种方法，最常用的及时约旦标准型方法。

一：问题的提出设计一个线性系统，我们总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。

因此，判断一个系统能控性问题就显得尤为重要。

能控性是从状态的控制能力方面来揭示了控制系统的一个基本属性。

现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性为存在条件的。

1. 能控性定义 能控性的直观讨论从状态空间的角度进行讨论：输入和输出构成系统外部变量,状态为系统内部变量。

能控性主要看其状态是否可由输入影响。

每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,由任意的始点到达原点,为能控,反之为不完全能控。

具体来说就是指外加控制作用u(t) 对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。

二：问题的解决我们利用线性系统的能控性判据来判断其能控性。

设线性定常系统状态方程为：能控性判据：1.格拉姆矩阵判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 ，使如下定义的格拉姆（Gram ）矩阵其中，该判据的证明用到了范数理论中的矩阵范数，在此不再赘述。

2.秩判据线性定常系统（1）为完全控的充分必要条件是3.PBH 秩判据.,,,,)1(0,)0(,0常阵为维输入向量为维状态向量为p n n n B A p u n t x x Bu A ⨯⨯≥=+=x x x01>t 为非奇异⎰--=tt A T At c dte BB e t W T],0[.][,][11阵称为系统的能控性判别的维数为矩阵其中B A AB B Q A n nB A AB B rank n c n --==线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵A 的所有特征值4. PBH 特征向量判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是A 不能有与B 的所有列相正交的非零左特征向量。

能控性的定义1.连续系统的能控性(Controllability)定义：对于线性（定常、时变）连续系（常）系统，若对状态空间中的任意状态和另一状态存在一个有限的时间)(0t x，存在一个有限的时间和一个分段连续输入，能在)(1t x),(1tt)(tu),(1tt 内使状态转移到，则称此状态是能控的否则称为不能控的)(1t x能控的，否则称为不能控的PnP 0若系统所有状态都是能控的，则称此系态完全能控的简称系系统是状态完全能控的，简称系统是能控的能控的。

2离散系统的能控性2.离散系统的能控性在有限采样间隔[0T]内若存在无约在有限采样间隔[0，nT]内，若存在无约束的阶梯控制序列，能)1(,),0( n u u 使系统从任意初态转移到任意终则称该系统是状态完全能控的)0(x 态，则称该系统是状态完全能控的，简称是能控的。

)(n x不失一般性，可以把终端状态规定为状态空间不失般性，可以把终端状态规定为状态空间中的原点。

也可以把初始状态规定为状态空间常中的原点，第二种情况通常称为系统的能达性。

对于线性定常（连续离散）系统能对于线性定常（连续、离散）系统，能控性和能达性是等价的能控性判别准则线性定常（连续离散）系统{A B}状线性定常（连续、离散）系统{A，B}状态完全能控的充分必要条件是，由A，B构成的满秩。

即21n c rankS rank B AB A B A B n -⎡⎤== ⎣⎦⎥⎤⎢⎡⎥⎤⎢⎡-0221 ux x ⎥⎥⎦⎢⎢⎣+⎥⎥⎦⎢⎢⎣--=10331020⎤⎡-820B A 解:[]⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣-==11310002AB B Sc 23c rankS n =<=所以，系统不（完全）能控。

所，系不（）能控⎤⎡⎤⎡0010 u x x ⎥⎥⎥⎢⎢⎢+⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢---=106116100解⎦⎣⎣⎤⎡100解:⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣--=2561610cS ==nrankS c 3所以系统状态完全能控所以，系统状态完全能控。

系统的能控性能观测性稳定性分析1. 能控性（Controllability）能控性是指系统输出能否通过适当的输入方式对系统进行控制。

如果一个系统是能控的，意味着通过控制器的输入信号，我们能够将系统的输出发展到我们所期望的状态。

对于一个线性时不变（LTI）系统，能控性可以通过判断其控制矩阵的秩来确定。

控制矩阵（也称为控制可达矩阵）是由系统的状态方程和控制器的输入方程组成的。

如果控制矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能控的；否则，系统是无法被完全控制的。

能控性的分析可以帮助我们选择合适的控制策略和控制器设计。

当系统的能控性差时，我们可能需要通过增加或修改系统的状态变量或控制器的输入方式来提高系统的能控性。

2. 能观测性（Observability）能观测性是指系统的内部状态能否通过系统的输出信号来判断。

一个能观测的系统意味着我们可以通过观测系统的输出来估计系统的状态。

对于一个线性时不变系统，能观测性可以通过判断其观测矩阵的秩来确定。

观测矩阵（也称为观测可达矩阵）是由系统的状态方程和输出方程组成的。

如果观测矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能观测的；否则，系统的一些状态是无法通过输出来观测到的。

能观测性的分析可以帮助我们选择合适的观测器设计，以实现对系统状态的估计。

当系统的能观测性差时，我们可能需要增加或改变系统的输出方程来提高系统的能观测性。

3. 稳定性（Stability）稳定性是指系统在受到扰动后是否会逐渐恢复到原来的状态。

对于线性时不变系统，稳定性可以分为几种类型：零状态稳定、有限状态稳定和无限状态稳定。

零状态稳定（Zero-state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到零。

有限状态稳定（Finite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到一些有限值。

无限状态稳定（Infinite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在无限时间内收敛到一些有限值。

3.1 线性定常系统的能控性线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。

当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。

这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。

并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。

还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。

并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。

能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态空间结构的关系。

第一节线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。

状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一、离散系统的状态可控性引例设单输入离散状态方程为：初始状态为：用递推法可解得状态序列：可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。

系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。

可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。

下面来进行一般分析。

设单输入离散系统状态方程为：(3-1)式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩阵：表示离散瞬时，为采样周期。

初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方便，且不失一般性地假定。

单输入离散系统状态可控性定义如下：在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，,，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。

线性时变周期系统的能控性分析摘要:本文讨论了线性时变系统研究现状及研究意义，介绍了线性时变周期系统的概念，并举出了几种应用实例。

从线性时不变系统能控性的两个充要条件入手，分别提出了两种类似线性时不变系统能控性的判定时变周期系统能控性的必要条件的假设并加以证明。

该判别条件的优点是不必计算系统的状态转移矩阵, 使判别时变周期系统能控性与能观性简单、高效、易于实现。

并对两个判定线性时变系统的能控性的必要条件的应用进行讨论。

关键词: 时变周期系统; 能控性; 状态转移矩阵;必要条件Problem on controllability and stabilizability of linear time-varying periodic systemAbstract: The present research situation and research significance of linear time-varying periodic system are discussed. The basic application instances are introduced. Two necessary conditions to judge the controllability of time-varying periodic systems are hypothesized from two necessary and sufficient conditions to judge the controllability of linear time invariant system. The determinant condition has such a merit of not calculating the system state transition matrix that it is simple and easy to judge the controllability and observability of time-varying periodic system. And application of the two necessary conditions to judge the controllability and observability of time-varying periodic systems are discussed.Keywords: time-varying periodic system; controllability; state transition matrix; necessary conditions1 引言线性时变系统也称为线性变系数系统，其特点是，表征系统动态过程的线性微分方程或差分方程中,至少包含一个参数为随时间变化的函数。