极坐标

极坐标系的性质与极坐标方程的应用极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，它使用极径和极角来唯一确定一个点的位置。

极坐标系具有一些与直角坐标系不同的性质，同时，极坐标方程也有着广泛的应用。

本文将探讨极坐标系的性质以及极坐标方程在不同领域的应用。

一、极坐标系的性质在极坐标系中，一个点的位置可以由极径和极角来确定。

极径表示该点到原点的距离，而极角表示该点与极轴的夹角。

极坐标系的性质如下：1. 原点：极坐标系的原点即为极坐标的起点，表示为O。

2. 极轴：极轴是极坐标系中的一条直线，通过原点O，并与x轴方向相同。

极轴的角度为0或360度。

3. 极径：极径表示一个点到原点O的距离，通常用r表示。

极径的取值范围可以是非负实数，即r≥0。

4. 极角：极角表示一个点与极轴的夹角，通常用θ（读作西塔）表示。

极角的取值范围可以是[0, 2π) 或[0, 360°)。

5. 制正：在极坐标系中，负极径和负极角并不常见。

一般来说，极径为负表示该点位于极轴的反方向，而极径为正表示该点位于极轴方向。

极角为负表示该点位于极轴的逆时针方向，而极角为正表示该点位于极轴的顺时针方向。

二、极坐标方程的应用极坐标方程是一种通过极坐标表示点的坐标的方程形式。

极坐标方程在各个领域有着广泛的应用，以下将介绍几种常见的应用。

1. 极坐标方程与图形绘制：极坐标方程可以描述各种图形的形状，例如圆、椭圆、双曲线等。

通过调整极坐标方程中的参数，可以绘制出不同形态的图形，实现对图形的变换和调整。

2. 极坐标方程与物体运动：在物体运动的描述中，极坐标方程可以提供更直观的表达方式。

例如，在天文学中，行星绕太阳运动的轨迹可以使用极坐标方程来描述。

3. 极坐标方程与工程设计：在工程设计中，极坐标方程可以用来描述物体的形状和运动规律。

例如，在风力发电机的设计中，可以使用极坐标方程来描述风轮的叶片形状，以实现最大的能量转化效率。

4. 极坐标方程与电磁场分布：在电磁学和电路设计中，极坐标方程可以用来描述电场和磁场的分布情况。

直角坐标和极坐标
一、组成不同
1、直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点的数轴。

2、极坐标系：极坐标系（polar coordinates）是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。

二、形状不同
1、直角坐标系：其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。

这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。

还分为第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。

从右上角开始数起，逆时针方向算起。

2、极坐标系：在平面上取定一点O，称为极点。

从O出发引一条射线Ox，称为极轴。

再取定一个单位长度，通常规定角度取逆时针方向为正。

§1.3.1极坐标系在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。

对于平面上的一个点M ，连接极点O 与M ，线段OM 之长ρ叫作M 点的极径（或矢径、或向径），极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M 点的极坐标。

当M 在极点时，它的极径ρ=0，极角θ可取任何实数。

在极坐标系中，若无特殊声明，ρ是非负实数，[)+∞∈,0ρ，),(+∞-∞∈θ。

当[)πθρ2,0,0∈>时，平面上的点与极坐标一一对应。

事实上，对给定的ρ与θ，由极坐标（ρ，θ）可以唯一地确定一个点M ，但是反过来，平面上给定一点，却可以写出这个点的无数多个极坐标。

根据点的极坐标（ρ，θ）的定义，对于给定的点，它的极径ρ是唯一确定的，但极角却可以有无穷多种，如果我们写出了它的极坐标（ρ，θ），则（ρ，πθn 2+）也是这个点的极坐标，其中n 是任意整数，当0>n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 逆时针转动了n 圈又回到原处，当0<n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 顺时针转动了n 圈又回到原处。

三、范例讲解例1、在极坐标系中，画出点A （1，4π），B （2，23π）C （3，4π-）D （4，49π） 解析：在极坐标系中，先按极角找到极径所在的射线，即4π线，23π线，4π-线，49π线，4π线和49π线是同一条射线，然后在相应的射线上按极径的数值描点。

指出：我们也可以允许0<ρ，此时极坐标（ρ，θ）对应的点M 的位置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ角的射线的反向延长线上，它到极为O 的距离|ρ|，即规定当0<ρ时，点M （ρ，θ）就是点M （πθρ+-,）例2、如图在极坐标系中，写出点A ，B ，C ，的极坐标，解析：在极坐标系中，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，然后按照极径所在的射线的位置求出极角。

极坐标的引入与应用极坐标是描述平面上点的一种坐标系统，它将点的位置与距离和角度相关联。

相比于笛卡尔坐标系，极坐标更适用于描述圆形或对称结构的点。

本文将介绍极坐标的基本概念、引入背景以及其在不同领域的应用。

一、极坐标的基本概念极坐标系统中，一个点的坐标由两个值确定：极径(r)和极角(θ)。

极径表示点到原点的距离，极角表示点与参考方向的夹角。

极径通常为非负数，而极角则可以大于360度或小于0度。

二、极坐标的引入背景极坐标最早的记载可追溯到公元前3世纪的希腊数学家阿基米德。

他用极坐标描述了圆的面积和弧长，并研究了螺旋线等曲线。

随后，极坐标开始广泛应用于天文学、物理学等领域。

在欧拉18世纪的工作中，极坐标得到了更为系统和完善的理论阐述，进一步加深了人们对极坐标的认识。

三、极坐标在数学中的应用1. 曲线方程的表示：极坐标可以简化描述和计算对称图形的方程。

常见的极坐标方程包括圆的方程(r=a)、直线的方程(θ=b)以及常见曲线如阿基米德螺旋线、心形线等。

2. 曲线的长度和曲率：极坐标可以轻松计算曲线弧长和曲率。

通过对极坐标方程求导并计算积分，可以得到曲线的长度和曲率。

3. 极坐标的复数表示：极坐标可以将复数用幅度和辐角来表示，并方便进行复数运算。

特别地，极坐标下的乘法和除法运算非常简便。

四、极坐标在物理学中的应用1. 力学和动力学：在描述物体运动和旋转的问题中，极坐标可以使得方程简化，并更好地展示问题的几何特征。

2. 电磁学：极坐标可方便描述电场或磁场的分布情况，并帮助分析电场或磁场与点电荷或点磁荷之间的作用关系。

3. 流体力学：极坐标在描述圆对称流体力学问题时非常有用，例如旋转流体、涡旋、气旋等。

五、极坐标在工程与技术中的应用1. 工程绘图：在建筑、机械和电子等工程领域中，极坐标可用于绘制和设计对称结构，如轮胎、圆盘齿轮等。

2. 雷达和导航系统：在雷达和导航系统中，极坐标可以精确地描述目标的方位角和距离，从而方便地实现目标追踪和导航引导。

高三数学极坐标知识点在数学学科中，极坐标是一种描述平面点位置的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。

相比直角坐标系，极坐标能够更加简洁地描述点的位置，对于一些特定的问题具有独特的优势。

在高三数学学习中，掌握极坐标知识点对于解题非常重要。

本文将从极坐标的基本概念、坐标转换、曲线方程以及应用问题等方面进行探讨。

一、极坐标的基本概念极坐标是由两个参数构成的坐标系，其中极径表示点到极点的距离，极角表示点与极轴的夹角。

通常将极径记作r，极角记作θ。

在平面直角坐标系中，点P的坐标可以表示为（x，y），而在极坐标系中，点P的坐标表示为（r，θ）。

二、坐标的转换在解题过程中，有时需要将极坐标转换为直角坐标，或将直角坐标转换为极坐标。

这种转换可以通过一些数学公式进行实现。

1. 极坐标转直角坐标已知极坐标（r，θ），要将其转换为直角坐标（x，y），可以使用以下公式：x = r * cosθy = r * sinθ2. 直角坐标转极坐标已知直角坐标（x，y），要将其转换为极坐标（r，θ），可以使用以下公式：r = sqrt(x² + y²)θ = arctan(y / x)三、极坐标方程和曲线在极坐标系中，曲线的方程通常以极径r和极角θ的关系表示。

不同类型的曲线的极坐标方程有所不同，下面介绍几种常见的曲线方程。

1. 极轴极轴是极坐标系中的X轴，对应于直角坐标系中的Y轴。

极轴的极坐标方程为r = 0。

2. 极坐标圆极坐标圆的极坐标方程为r = a，其中a是常数，表示圆的半径。

3. 极坐标直线极坐标直线的极坐标方程为θ = α，其中α是常数，表示直线与极轴的夹角。

4. 极坐标双曲线极坐标双曲线的极坐标方程为r² = a² * cos 2θ 或r² = a² * sin 2θ，其中a是常数。

四、极坐标的应用问题极坐标具有一些特殊的性质，使得它在一些问题中具有便利的应用，尤其是与圆相关的问题。

极坐标系的基本概念与性质极坐标系是一种非常常见的坐标系，其在物理、数学、工程等领域都有着广泛的应用。

在极坐标系中，每一个点可以由其距离原点的距离 r 和与 x 轴的夹角θ 来唯一确定。

本文将介绍极坐标系的基本概念与性质，帮助读者更好地理解它的应用。

一、坐标系定义极坐标系由一个原点 O 和一个极轴（通常选择 x 轴）共同确定。

从原点 O 出发，以极轴上的一个点作为起点，沿极轴反时针旋转一个角度，到达一个点 P，P 的位置可以用极坐标表示成(r,θ)。

其中，r 表示点 P 到原点 O 的距离，θ表示 OP 与极轴正方向的夹角。

二、坐标变换极坐标系和直角坐标系之间可以进行坐标变换。

在直角坐标系中，一个点的位置可以用其在 x、y、z 三个轴上的坐标来表示。

假设有一个点 (x,y)，它在极坐标系中的位置如下：x = r cosθy = r sinθ反过来，如果我们知道一个点在极坐标系中的坐标(r,θ)，它在直角坐标系中的坐标可以表示为：x = r cosθy = r sinθ由此可见，在极坐标系和直角坐标系之间进行坐标变换只需要进行简单的数学运算即可。

三、极坐标系的特征极坐标系不同于其他坐标系的一个显著特点是它的弧长不等于直线距离。

例如，在极坐标系中，一个圆的方程可以写作 r = a，其中 a 表示圆的半径。

实际上，这个圆的长度并不等于2πa，而是2aπ。

这是因为在极坐标系中，弧长是沿着曲线走的路程，而距离则是两点之间的直线距离。

因此，在极坐标系中，弧长会因为曲率发生变化，这是需要注意的。

极坐标系也具有周期性。

由于极角θ 只有在 360 度之后才会开始重复，因此在极坐标系中，一个点 P 的位置(r,θ) 可以和(r,θ+2πk) 相等，其中 k 是任意整数。

根据这个特征，我们可以把极坐标系中的点想象成在一个环上运动的点，每一个完整的圈都对应着2π 的角度。

四、曲线方程在极坐标系中，我们可以用方程来描述各种曲线。

极坐标系通俗解释
极坐标系是一种二维坐标系，它使用极径和极角来描述平面上的点。

极径表示点到坐标系原点的距离，极角表示点在坐标系中的方向。

极坐标系通俗解释就是通过极径和极角来确定平面上的点的位置。

极坐标系常用于描述圆形、对称图形和极坐标方程的图形。

在极坐标系中，极径通常用正数表示，表示点到坐标系原点的距离，而极角通常用弧度表示，以x轴正方向为0度，逆时针方向为正，顺时针方向为负。

在极坐标系中，我们可以很容易地描述圆形。

一个圆的极坐标方程为r=a，其中a为圆的半径。

如果我们想画一个以坐标系原点为圆心，半径为2的圆，我们可以将它的极坐标方程写成r=2，然后在极坐标系中画出来。

极坐标系还可以用来描述对称图形。

例如，如果我们想画一个六边形，我们可以先确定一个顶点的极坐标，然后通过对称性不断地旋转这个顶点来确定其他顶点的极坐标。

总之，极坐标系是一种非常有用的坐标系，可以用来描述平面上的点的位置，特别是圆形和对称图形。

（一）极坐标概念确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置是极坐标的基本思想。

极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。

1.1极坐标系定义在平面上选一定点O，由O出发的一条射线OX，规定一个长度单位和角的正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。

其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（ρ，θ）。

1.2平面内的点与极坐标系的关系平面内有一点P，|OP|用ρ表示，ρ称为P点的极径；OX到OP的角θ叫极角，P（ρ，θ）为极坐标。

(1)有一组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯一的点与其对应；(2)在极坐标系中有一个点P，则有无数组极坐标与其对应。

①P点固定后，极角不固定。

（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表示同一点坐标；②P点固定后，ρ的值可正、可负。

ρ＞0时，极角的始边为OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0时，极角为任意角，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表示同一点。

∴极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。

例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（）A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C.重合D.关于直线（ρ∈R）对称分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表示同一点，它与点P（ρ，θ）关于直线（ρ∈R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。

故选D。

例2.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是，，那么C的坐标可能是（）A. B.C. D.（3，π）分析：∵,极径相同，极角相差π，A、B以极点对称，又|AB|=4，△ABC为等边△，，，C对应极角为.∴或故选B 。

例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则|AB|=______________________________。

极坐标的正确求法极坐标是用极径和极角来描述平面上的点的坐标系。

在极坐标系中，点的位置是由极径和极角确定的。

极径与点到极点的距离有关，极角是从固定的极轴方向开始，按逆时针方向测量的角度。

求出一个点的极坐标有两种方法：直角坐标系转换和三角函数。

方法一：直角坐标系转换步骤一：确定极点，极轴和平面上的点首先，需要确定极点P和极轴L。

然后，在平面上选择一个点Q来描述其坐标。

在找到P和L之后，需要找到Q的两个直角坐标值。

我们将它们称为x和y。

步骤二：计算极径Q点到P点之间的距离就是Q的极径。

使用勾股定理，计算出Q的直角坐标，即：r = √(x² + y²)r就是点Q的极径。

它是点Q到原点P的距离。

Q点到L点的线段与极轴之间的夹角就是Q点的极角。

为了确定极角，我们需要使用反正切函数：θ = arctan(y/x)注意：当Q点位于极轴正方向上时，由于x = 0，无法计算反正切函数。

在这种情况下，可以根据y的正负性来确定Q点的极角：- 若y > 0，则Q点在极轴正半轴上，极角为π/2；- 若y < 0，则Q点在极轴负半轴上，极角为-π/2；- 若y = 0，则Q点在极轴上，无法确定极角。

方法二：三角函数Q点到P的距离可以用三角函数计算。

考虑到随着极角的变化，点在直角三角形中的位置会改变，所以需要使用三角函数来计算Q的极径。

tan为正切函数，在计算笛卡尔坐标和三角函数之间进行转换时非常有用。

注：需要注意的一点是，极角的单位是弧度，不是度数。

如果要将极角从度数转换成弧度，需要乘以π/180。

总结极坐标可以通过直角坐标系转换或三角函数来确定。

本文讲解了两种计算方法，并详细阐述了求解极径和极角的步骤。

无论选择哪种计算方法，都需要明确极点、极轴和平面上的点，并熟练掌握反正切函数和三角函数的用法。

极坐标系知识点：1．极坐标系：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．2．极坐标：设M 是平面内一点，OM 的长叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对()ρθ，叫做点M 的极坐标． 在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合{ (x,y )|x 、y ∈R}一一对应，而在极坐标系内平面点集与有序实数对的集合{ (ρ,θ)|ρ、θ∈R}不是一一对应的，()()(),,2,2()k k k Z ρθρθπρθππ+-++∈、、表示同一个点.3．极坐标与直角坐标的互化：把直角坐标的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标为()x y ，，极坐标为()ρθ，， 有cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，也有222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 若0ρ<时，则0ρ->，我们规定点()M ρθ，与点()P ρθ-，关于极点对称．4.极坐标中的弦长公式：1122A(,),B(,)AB ρθρθ=设，三角形的面积公式12121sin()2AOB S ρρθθ∆=-.5.常用的极坐标方程： 直线方程：圆的方程：一、极坐标的概念知识精讲：（1）极坐标系：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系． （2）极坐标：设M 是平面内一点，OM 的长叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对()ρθ，叫做点M 的极坐标． 在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合{ (x,y )|x 、y ∈R}一一对应，而在极坐标系内平面点集与有序实数对的集合{ (ρ,θ)|ρ、θ∈R}不是一一对应的，()()(),,2,2()k k k Z ρθρθπρθππ+-++∈、、表示同一个点.1.__________________.(1),,(2),,(3)0,[0,2),ρθπ>∈（一星）下列判断正确的有在极坐标平面中给定一个点的极坐标则能确定该点的位置在极坐标平面中一个点的位置确定则其极坐标唯一确定若规定可使极坐标与平面内的点一一对应答案：（1）（3）2.(3,)(,)4M R πρθ∈写出点的所有极坐标规定答案：略4.2,3,32.A B O AOB ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（二星）已知两点的极坐标，，为极点，求两点间的距离及三角形的面积2.(5,),(5,),(),623.ABC A B C πππ∆-已知的三顶点的极坐标分别为判断三角形的形状并求出面积 备注：套距离公式就可以了.二、极坐标与直角坐标互化()2:2,0:1.1,3)2(32,5)1.(3πθπθπρπ≤≤<-≥--⎪⎭⎫⎝⎛若限定；变若限定变化成极坐标的直角坐标将点化为直角坐标；的极坐标将点M M答案：略3.（二星）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()1,1-，若取原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P 极坐标的是（ ）A ．3π,4⎫⎪⎭ B．5π,4⎫-⎪⎭ C．11π,4⎫⎪⎭ D．π,4⎫-⎪⎭备注：极坐标的多种表示方法5.（一星）将极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方程为． 备注：圆的极坐标的应用6.（一星）圆的极坐标方程为sin 2cos ρθθ=+，将其化成直角坐标方程为，圆心的直角坐标为．27.4sin 5.2θρ=（三星）判断极坐标方程表示的曲线，求其准线极坐标方程 备注：抛物线方程互化、直线化极坐标221cos 4sin 54522cos 522252555()455cos .22x x y x x θθρρρρθρθ-=∴=-==+=+=-=-解：由，，即：平方整理：，表示抛物线准线方程：，即2.（二星）（2015广东理）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为 .解：依题已知直线：可化为：和，所以点与直线的距离为，故应填入．9.（二星）（2015江苏）已知圆C的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C的半径.1.（二星）（2016北京）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点，则______. 解：转化成直角坐标做，答案为2.l 24sin(2=-）πθρA 74A π⎛⎫⎪⎝⎭A l l 2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭l 10x y -+=()2,2A -A l 2d ==cos sin 10ρθθ-=2cos ρθ=||AB =三、常用的直线与圆的极坐标4.（一星）已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆心的直角坐标是 ；半径长为 ． 备注：圆的极坐标的应用7.cos sin .ρθρθ==求极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距离10.（二星）（2012陕西）直线与圆相交的弦长为 . 备注：极坐标的简单应用解：是过点且垂直于极轴的直线，是以为圆心，1为半径的圆，则弦长=.4．（二星）（2013安徽理）在极坐标系中,圆=2cos ρθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）A ．0()cos 2R θρρθ=∈=和B ．()cos 22R πθρρθ=∈=和C ．()cos 12R πθρρθ=∈=和D ．0()cos 1R θρρθ=∈=和备注：极坐标系的直接应用2cos 1ρθ=2cos ρθ=2cos 1ρθ=⎪⎭⎫⎝⎛0,212cos ρθ=()0,1321122=⎪⎭⎫⎝⎛-四、极坐标的应用(1)2cos (2)2cos()(3)2cos()66(4)sin 1(5)sin()1(6)sin() 1.66ππρθρθρθππρθρθρθ==-=+=-=+=9.（三星）画出以下图形：；备注：注意常用的旋转技巧答案：（1）略；（2）（1）的图形逆时针旋转6π；（3）（1）的图形顺时针旋转6π；（4）略；（5）（4）的图形逆时针旋转6π；（6）（4）的图形顺时针旋转6π.10.()sin().4πρθ+三星直线的极坐标方程为求极点到该直线的距离解：sin 2ρθ=绕极点顺时针旋转4π单位即可.答案：25.极坐标系中(3)6P π-，，若规定0,[,)ρθππ>∈-，（1）求点P 关于极点对称的点的极坐标；（2）求点P 关于极轴对称的点的极坐标；（3）过极点作垂直于极轴的直线l ，求点P 关于直线l 对称的点的极坐标. 答案：略.)(43sin 2cos 4.6对称的曲线方程关于极点、极轴、直线分别写出曲线R ∈=+=ρπθθθρ备注：代入转移法10.（二星）已知曲线1C ，2C 的极坐标方程分别为πcos 34cos 0,02ρθρθρθ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，≥≤，则曲线1C 、2C 交点的极坐标为． 备注：极坐标的直接应用23.（三星）(2015全国1卷)在直角坐标系xOy 中.直线1C :2x ＝－，圆2C ：22(1)(2)1x y －＋－＝，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN的面积.备注：极坐标的简单应用解：（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=。

*§7.5 极坐标预备知识∙坐标的概念∙曲线与方程重点∙极坐标的概念∙直角坐标与极坐标的转换∙极坐标方程表示的曲线的基本认识难点∙接受极坐标的概念∙曲线的极坐标方程学习要求∙理解极坐标的概念∙掌握直角坐标与极坐标之间的转换∙了解曲线的极坐标方程的表示形式解析几何的本质，是几何的数字化；数字化的关键，是把最基本的几何元素——点以坐标形式表示，把几何形视为元素的集合，从而得到形的数学表示．坐标的本质，在平面情况又是点P 与有序实数对(x ,y )之间的一一对应．至今为止，x ,y 一直是点P 在一个已经建立的直角坐标系中的坐标，即P 在x ,y 轴上垂足所对应的实数，因为以这么一对有序实数来与平面上的点之间建立一一对应关系，可谓得心应手，因此你也不会想到，是不是还可能有其它意义的有序数对来作为它的坐标．但是得心应手未必就是完美无缺．你仔细想想，以这种直角坐标就表示形而言，例如表示一条最简单的曲线—半径为r 的圆，尽管可以把坐标原点选在圆心，得到它的并不复杂的方程x 2+y 2=r 2，但是毕竟不能表示成y =f (x )这样最便于研究的函数形式．这不能不说是一个缺憾．在这节中，我们将引进一种有全新意义的有序实数对，它除了一点之外，同样也能与平面上的点建立一一对应关系，但在不少情况下，可以弥补直角坐标的上述这种缺憾．这就是极坐标． 1.极坐标的概念 (1)极坐标的定义平面上取一个定点O ，以O 为始点引一条射线Ox ，并在其上规定了一个长度单位，则平面上除O 以外的任一点P ，与向量OP 一一对应；而向量又与r =||∈R *={x |x >0}、θ=^Ox ∈[0,2π)一一对应(见图7-88)，注意这里的角θ总是取弧度制而不是角度．如 果规定以r 在前、θ在后的顺序书写，那么P 与有 序实数(r ,θ)∈R *⨯[0,2π)建立起了一一对应的关系， 其中的‘⨯’号表示交叉，即r 在R *中、θ在[0,2π)中． 既然如此，这样的有序实数对，当然有资格作为平面上点的坐标．只要定点O 取定、在其上已经规定了长度单位的一条射线Ox 取定，这种对应关系即可确立，因此，称定点O 与射线Ox 组成了一个极坐标系(这就像取定了原点、两条规定了长度单位及正方向的直线后，组成了一个直角坐标系一样)．称定点O 为极点，射线Ox 为极轴，r =OP 为极径，θ=∠POx 为极角；称(r ,θ)为极坐标，也就是说，点的极坐标，是在极坐标系中，以极径r ∈R *、极角θ∈[0,2π)作为坐标的一种对应法则．现在还有一个问题需要解决：定点O 本身的极坐标是什么？当P 在O 处，自然r =0，但极角却因为是零向量而无意义，因此严格意义讲，极点O 本身不存在极坐标．好在P 在O 处 ⇔ r =0，因此我们还是规定O 有极坐标(0,θ)，只是θ可取任意值．这么一个小小的不足，不会使极坐标失去价值．这样，r 的取值范围将扩充到非负实数． 例1 在极坐标系中，标出下列极坐标的点：•xP (r ,θ) O θ∙ r图7-88A (1,0),B (2,π),C (2,4π), D (2,47π), E (2,23π), F (23,611π)． 解 画出极坐标系如图7-89． A ：r =1, θ=0，在极轴上距O 为1处； B ：r =2, θ=π，在极轴的延长线反向距 O 为2处；C ,D ：r C =r D =2, θC =4π,θD=47π，C ,D 是等腰Rt ∆OAD , Rt ∆OAC 的顶点；E ：r =2, θ=23π，在极轴于极点O 的垂线的下侧、距O 为2处；同理，从r =1.5, θ=611π可得到F 的位置 ▌例2 (1)以边长为2的正方形OBCD 的顶点O 为极点、射线OB 为极轴建立极坐标系，求顶点B ,C ,D 及各边中点E , F , G , H 的极坐标； (2)以单位圆的圆心为极点，任意一条射线Ox 为极轴，圆周上各点的极坐标有什么特点？(3)写出在极轴上方、与极轴平行且与极轴距离为1的直线l 上的点的极坐标．解 (1)画出极坐标系如图7-90． 求B 的极坐标：r =||=OB =2,θ=OB ^Ox =0，所以B (2,0)；求C 的极坐标：r =|OC |=22,θ=^Ox =4π，所以C (22,4π)； 同理，可求出D (2,2π), E (1,0), H (1,2π)；求F 的极坐标：r =||=5, θ=arctan 21，所以F (5,arctan 21)； 同理G (5,arctan2) ▌(2)过圆心O ，任取一条射线Ox 为极轴．建立 极坐标系如图7-91．圆周上任何一点P ， |OP |=1，若θ=OP ^Ox ，则P 的极坐标为(1,θ),θ∈[0,2π)．所以圆周上任意点的极坐标r =1,(θ∈[0,2π)) ▌ (3)画出极坐标和l 如图7-92．在l 上任取点P ， 设 θ=OP ^Ox ∈(0,π)， 则 r =||=|csc θ|= csc θ．D图7-90图7-91图7-89所以直线l 上的点的极坐标为 (csc θ, θ),θ∈(0,π) ▌ 课内练习11. 在极坐标系中，标出下列极坐标的点： A (3,0), B (3,4π), C (2,2π), D (2,43π), E (1,π),F (1,45π),G (3,23π), H (3,35π), I (3,611π)． 2. (1)以边长为a 的正三角形∆OAB 的顶点O 为极点，射线OA 为极轴建立 极坐标系，求顶点A , B 及各边中点D ,E ,F 的极坐标；(2)以半径为R 的圆的圆心为极点，任意一条射线Ox 为极轴，圆周上各 点的极坐标有什么特点？(3)写出过极坐标为(2,0)的点的极轴的垂线l 上的点的极坐标． (2)极坐标的推广为了确保平面上点P 与极坐标(r ,θ)之间的一一对应，我们限制了r 的取值范围为非负实数集，θ的取值范围为[0,2π)．这种限制在具体应用中，会带来某些不便．因此在不影响点与坐标之间对应的前提下，对r , θ的取值范围，作一些推广．首先是极角θ的扩充．设极坐标为(r ,θ)对应的点为P ，其中r ≥0,θ∈[0,2π)；现保持r 不变，从极轴到极径的角再逆时针或顺时针加转几圈(见图7-93)，点P 的位置并没有改变，但 原来[0,2π)范围内的极角θ，现在变成 θk =θ+2k π(k ∈Z )．这样的θk因为它已经违反了点与坐标之间一一对应的原 则，然而就由(r ,θk )确定P 在平面上位置而言， 却仍然有效．既然如此，我们也把它作为极坐标的极角看待．这样极坐标中的极角θ的取值范围扩充到了整个实数集R ． 其次是极径r 的取值范围的扩充．点P (r ,θ)与点P 1(r ,θ+π)是关于极点对称的 两个点(见图7-94)，我们允许以(-r ,θ)表 示P 1的极坐标，即关于极点对称的两 点的极坐标，有相同的极角，而极径符 号相反．因此极坐标为(r ,θ)的点P ，若r >0，点P 是极径为r 、极角为θ的点；若r <0，点P 是极径为-r 、极角为θ+π的点．如此，极径r 的取值范围不再是非负实数集，而是整个实数集R.小结这段，得到的结论是：平面上点的极坐标(r ,θ)的取值范围为R ⨯R ；在r ∈R *,θ∈[0,2π)范围内，除了极点外，点与极坐标是一一对应的．1图7-94P图7-92图7-93例3 在建立了极坐标的平面上，标出下列极坐标所表示的点： A (2,4π), B (-2,4π), C (1.5,-25π), D (-1.5,-25π), E (-1,-6π), F (-2,65π)．解 把各点的极坐标化为r ∈R *、θ∈[0,2π)范围内的形式： A (2,4π) → A (2,0)； B (-2,0) → B (2,π)；C (1.5,-25π) → C (1.5,23π)； D (-1.5,-25π) → D (-1.5,23π) → D (1.5,2π)；E (-1,- 6π) → E (-1,611π) → E (1,65π)；F (-2,65π) → F (2,611π)．据最后得到的极径、极角，在平面上标出各点(见图7-95) ▌ 课内练习21. 在建立了极坐标的平面上，标出下列极坐标所表示的点： A (2,5π), B (-2,4π), C (4,25π),D (-4,-25π), E (-2,-3π), F (2,-34π)．2. 极坐标与直角坐标的互化 (1)极坐标与直角坐标的互化公式若在平面上同时建立了一个直角坐标系和一个极坐标系，那么平面上的同一个点，既能以直角坐标表示，又能以极坐标表示，这两个不同的坐标之间有关系吗？若有关系，关系又是怎样的？要回答这个问题，必须要先回答一个问题：两个不同的坐标系有怎样的关系？若随便建立两个坐标系，它们之间风马牛不相及，那么尽管是同一个点，在两个不同坐标系中的坐标肯定也是风马牛不相及的．因此我们规定在两个坐标系的下述情况下，讨论同一点的不同的坐标之间的关系：直角坐标系的原点与极坐标系的极点是同一点，且极坐标系的极轴与直角坐标系的横轴x 的正半轴重合(见图7-96)．在建有满足上述关系的两种坐标系的平 面上，任取一点P ，它的直角坐标和极坐标 分别为(x , y )和( r , θ)．从图7-96立即可以得 得到它们之间的如下换算关系：x =r cos θ, y =r sin θ，r =22y x +tan θ=xy ,(x ≠0) (或sin θ=r y ,cos θ=r x )图7-95图7-96(7-5-2)(7-5-1)其中(7-5-1)是换算极坐标为直角坐标，r ,θ∈R (能说出为什么吗？)；(7-5-2)是换算直角坐标为极坐标．在后一组公式具体演算时，要说明几点： (1)应限制r ,θ的取值范围，r ≥0, θ∈[0,2π)； (2)直角坐标(0,0) → 极坐标r =0,θ为任意值； (3)当直角坐标的x =0时(P 在y 轴上，θ为界限角) 若y >0，则θ=2π；若y <0，则θ=23π； (4)当直角坐标的y =0时(P 在x 轴上，θ为界限角) 若x >0，则θ=0；若x <0，则θ=π；(5)在其余情况，θ∈[0,2π)的取值取决于P 所在的象限：例4 写出下列以极坐标表示的点的直角坐标： A (2,-π), B (-3,3π), C (-9,-35π), D (5,411π)．解 A ：r =2, θ=-π，直角坐标为 (2⋅cos(-π),2⋅sin(-π))=(-2,0)； B ：r =-3,θ=3π，直角坐标为 (-3⋅cos 3π,-3⋅sin 3π)=(-23,-23)；C ：r =-9,θ=-35π，直角坐标为 (-9⋅cos(-35π),-9⋅sin(-35π))=(29,239)；D ：r =5,θ= 411π，直角坐标为 (5⋅cos 411π,5⋅sin 411π)=(-225,225) ▌ 例5 写出下列以直角坐标表示的点的极坐标： A (-2,0), B (0,-3), C (-3,-4), D (5,-4), E (0,1), F (-1,2)． 解 A ：r =22y x +=2；因为y =0且x <0，θ=π． 所以A 的极坐标为(2,π)；B ：r =22y x +=3；因为x =0且y <0，θ=23π．所以B 的极坐标为(3,23π)； C ：r =22y x +=5；因为x <0,y <0，所以 θ=π+tan -1(34--)=π+tan -134．所以C 的极坐标为(5, π+ tan -134)；D ：r =22y x +=41；因为x >0,y <0，所以θ=2π+tan -1 (54-)=2π-tan -154.所以D 的极坐标为(41,2π- tan -154)； E ：r =22y x +=1；因为x =0,y >0，所以θ=2π．所以E 的极坐标为(1,2π)；F ：r =22y x +=5；因为x <0,y >0，所以θ=π+tan -1(12-)=π-tan -12． 所以F 的极坐标为(5,π-tan -12) ▌ 课内练习31. 写出下列以极坐标表示的点的直角坐标： A (2,π), B (3,-3π), C (-9,35π), D (-5,-411π), E (20,0)．2. 写出下列以直角坐标表示的点的极坐标：A (2,-2),B (-3,0),C (-3,4),D (-2,4),E (0,2),F (0,-2),G (1,0),H (1,1)． (2)化曲线的直角坐标方程为极坐标方程有了极坐标和直角坐标转换公式(7-5-1)，以直角坐标方程F (x ,y )=0表示的曲线l ，立即可以转化为以极坐标表示的方程： l ：F (x ,y )=0 → F (r cos θ,r sin θ)=0．你可以发现，有时l 以极坐标表示的方程，远比以直角坐标表示的方程简单．例6 化圆的直角坐标方程222R y x =+为极坐标方程． 解 以x =r cos θ, y =r sin θ代入，得22222s i n c o s R r r =+θθ，2222)sin (cos R r =+θθ， r=R ．所以，以极点为圆心、半径为R 的圆的极坐标方程为r =R ,(0≤θ<2π) ▌ 课内练习41. 把下列直线或曲线的直角坐标方程，转化为极坐标方程： (1)x =0； (2)y =1； (3)y =x ； (4)y =-2x ； (5)23)(22y x +=2axy ,(其中a >0为常数)； (6)(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2),(其中a >0为常数)．例7 求椭圆2222y x +=1、双曲线2222y x -=1的极坐标方程．解 以x =r cos θ, y =r sin θ代入，得)s i n c o s (22222b a r θθ±=1，以sin 2θ=1-cos 2θ代入，化为 )c o s 1c o s (22222ba r θθ-±=1，在椭圆、双曲线情况，分别又可化为)c o s 1(222222θa b a b r --=1，)cos 1(222222θab a b r ++-=1， 以椭圆、双曲线离心率公式e =a b a 22-、e =ab a 22+代入，又有 r =θ22cos 1e b -, (0≤θ<2π) (1) r =θ22cos 1e b+-, (-tan -1ab <θ< tan -1ab 或π-tan -1ab <θ<π+tan -1ab ) (2)(1),(2)即为椭圆、双曲线的极坐标方程．在双曲线方程中极角θ的取值范围，其实就是θ在两条渐近线(即界定矩形的对角线)之间的变化范围．从方程的形式，你可以见到它们的形式是很相近的，而且离心率e 的作用更加突出了．又从这例6、例7可以见到，在直角坐标时无法表示为一个函数形式的曲线方程，在极坐标表示时，很轻松地成为r =g (θ)这样的函数形式．这就是以极坐标方程表示曲线的优点了． 课内练习51. 求椭圆2222a y b x +=1、双曲线2222b x a y -=1的极坐标方程． 2. 求抛物线y 2=2px 的极坐标方程，并标明极角θ的取值范围．能不能化曲线的极坐标方程为直角坐标形式呢？原则上讲，也不是不可能，既然能化过来，当然也能化回去．例8 化曲线的极坐标方程r =8sin θ为直角坐标方程．解 以r =22y x +，sin θ=r y 代入，得22y x +=822yx y +⋅，即 x 2+y 2-8y =0或x 2+(y -4)2=16． 这是一个圆心在(0,4)、半径为4的圆 ▌注意，进行极坐标方程向直角坐标形式这种转化，除非为了作图需要，一般是比较少的．对极坐标方程表示的曲线，我们更注重的是如何作出它的图象． 课内练习61. 将下列极坐标方程化为直角坐标方程： (1)r =4cos θ；(2)r =3cos θ-4sin θ；(3)r =5；(4)θ=4π．3. 作极坐标方程表示的曲线的图象给出极坐标形式的方程，如果把方程化为直角坐标形式后，能在直角坐标系下很方便地作出它的图象，那问题就解决了，否则，就得在极坐标系中以描点法作图．在极坐标系中的描点方式与直角坐标情况稍有不同，它是顺次取一些极角θ，求出对应的r ，然后在极角为θ的极径上量取长度r ，得到一点．最后一道步骤总是顺次光滑连接描出的点．但在要求不高的情况下，常常不必逐点地描，看出趋势，直接就能作出草图了．例9 在极坐标系内作出下列极坐标方程所表示的曲线l 的图象：(1)r cos θ =2； (2)θ =43π； (3)r=a ； (4)r =2a cos θ． 解：(1)化为直角坐标方程，即x =2 ．图象见图7-97(1) ▌ (2)表示极角等于43π的直线，图象见图7-97(2) ▌ (3)曲线上任何一点的极径等于a ，图象是一个圆心在极点、半径为a 的圆(见图7-97(3)) ▌ (4)曲线上极角为θ的任何一点P ，极径r 为 一直角三角形的直角边，这个直角三角形的斜 边在极轴上，且长度为2a ．因为立在半圆上的 三角形是直角三角形，因此，P 正好在以斜边为直径的圆周上．由此可见图象是一个经过极点、圆心在极轴上、半径为a 的圆(见图7-97(4)) ▌ 课内练习71. 在极坐标系内作出下列极坐标方程所表示的曲线 的图象：(1)tan θ =-1；(2)r sin θ =1； (3)r=2； (4)r =2a sin θ．(提示：第(4)题利用几何性质：同一弧上的弦切角 与圆周角相等，见附图)用极坐标方程还可以表示一些在直角坐标系中较难表示的复杂的曲线，下面略示数例，这些曲线的作图过程不再详细描述了，曲线上的箭头表示随着极角θ的增加曲线的走向．但这些曲线本身及其名称，不论在数学还是在实际中，均有较多的应用，是你应该熟悉的．例10．在极坐标系中作出下列图象： (1)心形线 r =a (1+cos θ)，r =a (1－cos θ)； (2)双纽线 r 2=a 2cos 2θ，r 2=a 2 sin 2θ ；图7-97(1)图7-97(2) 图7-97(3)O 图7-97(4) ••θθ•第(4)题图(3)四叶玫瑰线 r =asin 2θ；(4)阿基米德螺线(等速螺线) r =a θ，r =r 0 +a θ． 解：(1)心形线(2)双纽线 (3)四叶玫瑰线 (4) 阿基米德螺线例11 车床上用来固定加工工件的部件称为的三爪卡盘．三爪卡盘正面有三圈螺纹，盘爪在这些螺纹线移动时，就能改变盘爪之间的距离，达到夹紧工件的目的．已知螺纹线是等速螺线，螺纹 到中心的最小距离是32 mm ，最远距离是68mm ，求螺纹的极坐标方程．解 如图7-98建立极坐标系，设等速螺线的 方程为 r =r 0 +a θ．因为螺纹到中心的最小距离是32，根据极坐标系 的建立方法，此时θ=0，即 32=r 0+a ⋅0，r 0=32；当螺纹达到离中心最远距离是68是，正好转过三圈，即此时的θ=6π，所以 68=32+a ⋅6π，a =π6．(a ,π)r =a (1+cos θ)2r =a (1-cos θ)r 2=a 2cos2θ))r=a sin2θr= a θ (虚线为螺 线r=r 0+ a θ )图7-98所以螺纹方程为r =32+π6θ ▌课内练习81. 一凸轮其轮廓线是由两段阿基米德螺线 AmB , BnA 构成．已知轮边上点A 离轴 心O 最近，点B 离轴心最远，且 OA=R ，OB=R+h ，求曲线弧AmB 和BnA 的极坐标方程．课外习题 A 组1．在坐标系中标出下列各点： (1)(2,4π)； (2)(1,2π)； (3)(-3,23π)； (4)(-5,6π-)．2．将下列各点极坐标化为直角坐标： (1)(6,6π)； (2)(5,0)； (3)(0,π)； (4)(-2,23π-)． 3．将下列各点直角坐标化为极坐标：(1)(-5,0)；(2)(0,2)； (3)(1,1)； (4)(-3,33)． 4．把下列方程化为直角坐标方程，判断曲线，并作草图：(1)r =4； (2)r sin θ =-3； (3) r =4sin θ； (4)r =5sec θ； (5)r =-4cos θ． 5．把下列直角坐标方程化为极坐标方程：(1)922=+y x ； (2)x =7； (3)4xy =9； (4)0622=-+y y x ； (5)222a y x =-．B 组1．证明极坐标系下(r 1,θ1),(r 2,θ2)的两点间距离公式为： )c o s (221212221θθ--+=r r r r d ． 2．在极坐标系中作图象：(1)6πθ=； (2)r =5； (3)r =-6cos θ ； (4)r =1+sin θ；(5)r =2(1+cos θ)； (6)r =4cos2θ； (7)r 2=sin2θ．B (R+h,2)m 第1题附图本章小结1. 向量2. 直线3. 圆的方程(1)已知圆心在O 1(x 0, y 0)、半径为r 的圆方程： 普通方程： (x -x 0)2+(y -y 0)2=r 2； 参数方程： x =x 0+r cos θ, y =y 0+r sin θ． 其中θ∈[0,2π)为参数，其几何意义见图． (2)x ,y 的二次方程表示圆 ⇔ 方程可化为 x 2+y 2+D x+E y+F =0，且D 2+E 2-4F >0． 3. 圆锥曲线4. 坐标轴平移若坐标系{Oxy}的原点移到O'(x0,y0)，x轴、y轴平移到O'成为x'轴、y'轴，构成一个新的坐标系{O'x'y'}．点P在原坐标系(Oxy}内的坐标为(x,y)，在新坐标系{O'x'y'}内的坐标为(x',y'}，则x'=x-x0, x=x'+x0,或y'=y-y0；=y'+y0．在原坐标系{Oxy}中方程为F(x,y)=0的曲线l，在新坐标系{O'x'y'}中的方程为F(x'+x0,y'+y0)=0；反之，在新坐标系{O'x'y'}中的方程为F(x',y')=0的曲线l，在原坐标系{Oxy}中的方程为F(x-x0,y-y0)=0．因此中心在(x0,y0)的、长轴平行于x轴(y轴)的椭圆的方程为220220)()(by y ax x -+-=1, (220220)()(bx x ay y -+-) (a >b >0)；其余依次类推． 5. 极坐标。