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群论基本概念
群论是数学中的一个分支，主要研究群及其性质。
群是一个集合，它满足以下四个基本性质：
1. 封闭性：群中的任意两个元素进行运算后得到的结果仍然属于群中。
2. 结合律：群中任意三个元素a、b、c进行运算时，括号的不同组合得到的结果是相同的，即：(a·b)·c=a·(b·c)。
3. 单位元：存在一个元素e，满足对于群中的任意元素a，e·a=a·e=a。
4. 逆元：群中任意元素a都存在一个元素a’，使得a·a’=a’·a=e。
此外，群还满足以下性质：
5. 唯一性：群中的单位元和逆元各自唯一。
6. 可逆性：群中任意两个元素的运算结果也属于群，且任意元素在群中都存在逆元。
7. 交换律：对于群中任意两个元素a和b，满足a·b=b·a，则称该群为交换群或阿贝尔群。
8. 子群：若群G中的一个非空子集H也满足对于群的四个基本性质，则称H为群G的子群。
9. 同态：若两个群之间存在一个映射，满足相应元素的运算关系保持不变，则称这两个群是同态的。
10. 同构：若两个群之间存在一个双射的同态映射，则称这两个群是同构的，即它们的结构完全相同。
群论基本知识及⼀些重要定理群论⼀.基本定义群：给定⼀个集合G={a,b,c...}和集合上的⼆元运算"·"，要求满⾜下⾯四个条件①.封闭性：对于任意a,b\in G，⼀定存在c\in G，使得a·b=c②.结合律：对于任意a,b,c\in G,有(a·b)·c=a·(b·c)③.单位元：存在e\in G，使得对任意a\in G,有a·e=e·a=a④.逆元：对任意a\in G，均存在b\in G,使得a·b=e，其中b称作a的逆元，记作a^{-1}=b如果⼀个集合满⾜这个条件，那么就称这个集合是在运算·下的⼀个群⼦群：设G是⼀个群，H是G的⼀个⼦集，且H在相同意义下仍然构成⼀个群，那么称H是G的⼀个⼦群接下来将运算a·b简记为ab⼆.基本性质：①.⼀个群的单位元是唯⼀的②.群中任意元素的逆元是唯⼀的③.对a,b,c\in G，若ab=ac，则b=c④.(abcd...m)^{-1}=m^{-1}l^{-1}...a^{-1}（这⾥做⼀个说明：群的定义及性质中均没有要求交换律，因此不要想当然地在群运算中进⾏交换操作！）三.置换群：（接下来的内容有个⼈理解成分在内，如果有不准确的部分请及时指出，谢谢！）1.置换的定义：记⼀个序列{a_{n}}={a_{1},a_{2}...a_{n}}是1~n的⼀个排列定义⼀个置换p=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}其含义是⽤a_{1}取代原来的元素1，⽤a_{2}取代原来的元素2...⽤a_{n}取代原来的元素n置换的运算定义如下：设两个元素p_{1}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix},p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n} \end{pmatrix}，则运算p_{1}p_{2}过程如下：p_{1}p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&...&a_{n}\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}}\end{pmatrix}同理可以看出：如果我们计算p_{2}p_{1}，则得到的结果应当是\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{b_{1}}&a_{b_{2}}&...&a_{b_{n}} \end{pmatrix} 2.置换群的定义：那么定义置换群G={p_{1},p_{2}...p_{m}}不难发现，n个元素的⼀个置换与1~n的⼀个排列相对应，因此由1~n的全排列所对应的n!个置换可以构成⼀个群，记作S_{n}，称S_{n}为n 个⽂字的对称群（|S_{n}|=n!）3.循环的定义：但是我们发现，每次写⼀个置换太复杂了，因此我们给出⼀个简单记法：记(a_{1},a_{2}...a_{m})=\begin{pmatrix} a_{1}&a_{2}&...&a_{m}\\a_{2}&a_{3}&...&a_{1} \end{pmatrix}稍微解释⼀下：原本的⼀个置换可以写作\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}，那么我们可以把这个置换群写成这个形式：\begin{pmatrix} 1&a_{1}&...&n\\a_{1}&a_{p}&...&a_{q} \end{pmatrix}也就是说我们直接把⼀个置换连续相接，就能得出⼀个循环，这样得出的循环就是上⾯那个形式但是，⼀个循环中不⼀定会出现所有n个元素，⽽且⼀个置换可能需要由⼤量这种循环来构成举个例⼦：S_{3}={(1)(2)(3),(2 3),(1 2),(1 3),(1 2 3),(1 3 2)}可以发现，每个元素不⼀定会出现在每个循环之中，原因是如果⼀个元素i满⾜i=a_{i}，那么这个元素就不必（也⽆法）写⼊循环了⽽且，如果对于每个i都有a_{i}=i，那么肯定不能全都省略，因此对于这种由多个循环组成的置换我们⼀般把它写成⼀个循环乘积的形式。
第七章 群论基础学习指导 7.1 群的定义及性质群 如果一个含幺半群中每个元素都有逆元，即：),(⊗G G g ∈∀都有逆元，则称为一个群，称二元运算“G g∈−1),(⊗G ⊗”为乘，一般将),(⊗G 的单位元记为e 。
为简便起见，在不致混淆的情况下，将群),(⊗G 简记为，a G b ⊗简记为。
类似于半群，我们可以将群分为交换群与非交换群，有限群与无穷群等等；集合中元素的个数称为有限群G 的阶，记为。
ab G ||G 群是一种特殊的含幺半群。
因而群具有半群（或含幺半群）所有的性质。
下面是群独有的性质：定理（无零元性质） 设G 是群并且，则群无零元。
1||>G G 定理（满足消去律） 群G 满足消去律，即对,,,G c b a ∈（1）由可以推出；（2）由ba ab ac =b c =ca =可以推出b c =。
定理（单位元是幂等元） 群G 中只有单位元e 是幂等元。
定理（方程唯一解性质） 设是群，则对于G G b a ∈∀,，方程ax b =和在中均有唯一的解。
ya b =G 定理（逆元性质） 设G 是群，则（1）对于G b a ∈∀,，有11()ab b a 1−−−=。
（2）对于，有。
G a ∈∀a a =−−11)(定理（交换群判别） 群G 是交换群的充分必要条件是对G b a ∈∀,，有。
222()a b ab =元素的阶 对于群G 的元素a ，如果存在正整数使得，则的阶定义为使得上式成立的最小正整数；如果对于任何正整数n 都不成立，则定义的阶为；a 的阶记为|。
任何群的单位元的阶都是1，而且只有单位元的阶才会是1。
n e a n =a n e a n =a ∞|a 定理（元素与其逆元有相同阶） 对群中的任何元素 G G a ∈，与均有相同的阶。
a 1−a定理（元素阶的性质） 设群G 中元素 G a ∈的阶是。
则对正整数，的充分必要条件是整除。
所以，如果存在正整数使得，则a 的阶是的因子。
群论-群论基础物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐群论教材教材与参考书教材：⾃编参考书群论及其在固体物理中的应⽤参考书：群论及其在固体物理中的应⽤（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群论-群论基础第章群论基础第⼀章群的基本概念和基本性质§1.1 集合与运算§1.2群的定义和基本性质§1.3 ⼦群及其陪集13§1.4 群的共轭元素类§1.5 正规⼦群和商群§1.6 直积和半直积16§1.7 对称群§1.8 置换群§1.1集合与运算抽象代数的基本概念1集合抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表⽰“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的⼀对有序元”，也称为A和B的直乘，⽤符号表⽰即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2映射定义：设A 与B 是两个集合，若有⼀种规则f ，使得A 的每⼀个元素在B 上都有唯⼀的元素与之对应，这种对应规则f 的⼀个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) ,或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，⽽x 称为y 在A 上的原象。
对应规则函数对应规则：函数满射单射⼀⼀映射逆映射：f -1恒等映射：e变换恒等映射：体系A 的⼀个⾃⾝映射f 称为A 的⼀个变换，若f 是⼀⼀映射则称为对称变换⼀⼀变换有性质：射，则称为对称变换。
变换有性质：f f -1= f -1f = e3⼆元运算定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每⼀对a,b)A上有唯⼀确定的c与之对应，即有⼀规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的⼀个⼆元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)⼀般记为c = a·b，或c = ab。
群论的基本概念和运算群论是数学中的一个重要分支，研究的是集合上的一种代数结构，称为群。
群具有丰富的数学性质和广泛的应用，是现代数学中不可或缺的基础工具。
本文将介绍群论的基本概念和运算。
一、群的定义和基本性质群是一个非空集合G，配上一种二元运算"·"，如果满足下列四个条件：1.封闭性：对于任意的a，b∈G，a·b也属于G。
2.结合律：对于任意的a，b，c∈G，有(a·b)·c = a·(b·c)。
3.单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a·e = e·a = a。
4.逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a'∈G，使得a·a' = a'·a = e。
群的基本性质如下：1.单位元唯一性：群中的单位元只有一个。
2.逆元唯一性：群中的元素的逆元唯一。
3.消去律：若a·b = a·c，则b = c；若b·a = c·a，则b = c。
二、群的示例下面以一些常见的群为例介绍群的概念。
1.整数加法群（Z，+）：整数集合配上加法运算构成一个群。
单位元为0，每个元素的逆元为其相反数。
2.整数乘法群（Z*，×）：整数集合去掉0后，配上乘法运算构成一个群。
单位元为1，每个非零整数的逆元为其倒数。
3.矩阵群（GL(n，R)）：n阶实数矩阵集合中，可逆矩阵配上矩阵乘法运算构成一个群。
单位元为单位矩阵，每个可逆矩阵的逆矩阵存在且唯一。
4.置换群（Sn）：由n个元素的全排列组成的集合，配上排列的乘法运算构成一个群。
单位元为恒等排列，每个排列的逆排列存在且唯一。
三、群的运算群的运算包括闭包性、结合律、单位元和逆元。
群运算的一些性质如下：1.闭包性：群的运算必须满足封闭性，即群中的任意两个元素的运算结果仍然属于群。
2.结合律：群的运算必须满足结合律，即对于群中的任意三个元素a，b，c，有(a·b)·c = a·(b·c)。
第1章群论基础11.1基本概念..........................................11.1.1群的定义......................................11.1.2群的乘法......................................11.1.3群的生成元....................................21.1.4更多例子......................................31.1.5半群,环和域*...................................41.2群的分拆..........................................41.2.1集合的分拆....................................51.2.2共轭类.......................................51.2.3子群和陪集....................................61.2.4Lagrange 定理...................................71.2.5不变子群和商群..................................71.2.6双陪集*......................................81.3群的分类..........................................81.3.1同态和同构....................................81.3.2同态基本定理...................................91.3.3其它的同态定理*.................................101.4群在集合上的作用.....................................111.4.1置换群.......................................111.4.2置换可表示为轮换的乘积............................131.4.3置换群的共轭类..................................141.4.4置换表示......................................141.4.5轨道........................................161.5群的直积..........................................171.5.1直积........................................171.5.2半直积.......................................171.6有限群的分类定理*....................................181.6.1Abel 群的分类...................................191.6.2非Abel 群的分类..................................191.6.3小阶群表.......... (19)文件生成时间:2007年10月3日试用讲义.请不要在网上传播.您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文§1.1基本概念§1.1.1群的定义定义1(群)设G 是一些元素的集合,G ={g ,h ,···}.在G 中已经定义了二元运算·,如果G 对这种运算满足一下四个条件,•封闭:∀f ,g ∈G ,f ·g ∈G ;•结合率:∀f ,g ,h ∈G ,(f ·g )·h =f ·(g ·h );•存在唯一的单位元素:∃e ∈G ,∀f ∈G ,e f =f e =f ;•有逆:∀f ∈G ,∃唯一的f −1∈G ,f ·f −1=f −1·f =e ,则称代数结构(G ,·)是一个群,二元运算“·”称为群的乘法.二元运算是一种映射,ϕ:G ×G →G ,ϕ(f ,g )=h⇐⇒f ·g =h .在不引起歧义的情况下,我们会省略乘法符号.群G 的元素个数称为群的阶,记为|G |.根据群的元素个数,可以将群分为有限群(元素的数目有限)和无限群(元素的数目无限).在无限群中,连续群可以用一个或多个实参数来标记群的元素.另一种对群的分类方式,是按照群的乘法是否可以交换位置.定义2(Abel 群)G 是群,并且满足∀a ,b ∈G ,ab =ba ,(1.1.1)则称群G 是Abel 群.Abel 群的乘法一般又称为加法.例1实数的集合按数值加法运算(R ,+)构成Abel 群.例2非零实数的数值乘法(R \{0},*)构成Abel 群.例3n -维非奇异复矩阵按矩阵乘法构成非Abel 群GL(n,C ).§1.1.2群的乘法有限群的乘法规则可以用乘法表来表示.一元群{e }的乘法规则为ee =e .对于二元群G ={e ,a },有ee =e ,ea =a ,ae =a .a 2def=aa 有两种可能,•a 2=e ;•a 2=a ,两边同时乘以a −1,得a =e .于是可得乘法表1.1.三元群G ={e ,a ,b }的乘法规则同样可以用定义群的四个条件确定.其中a 2有三种可能,您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文e e a aae表1.1:二元群的乘法表a ab e bbe a表1.2:三元群的乘法表–ab =e b =a −1=a , ;–ab =a b =e , ;–ab =b a =e , .•a 2=a a =e , .•a 2=b ,ab =e ,ba =e ,b 2=a . 所以三元群只有一种,其乘法表列于表1.2中.很明显,以这种方式来确定乘法表非常不方便.后面讲述的一系列定理将帮助我们有效地研究群的性质.从刚才的乘法表中可以看出,群的各个元素在每一行都出现了一次,在每一列中也出现了一次.这是一个普遍性质,定理1(重排定理)群G 的乘法表的每一行(或列)都含有所有元素,只是排列顺序改变了:a ∈G , aG =G ,Ga =G .(1.1.2)证明G 封闭⇐⇒∀g ∈G ,ag ∈G ⇐⇒aG ⊆G .同样可得a −1∈G ,a −1G ⊆G ,G ⊆aG .故aG =G .重排定理1.1.2对所有的群都成立,包括无限群.连续群的乘法无法列表,例如U (1)def= g (θ)|g (θ)def =e i θ,θ∈[0,2π](1.1.3)其乘法规则为g (θ3)=g (θ1)g (θ2),(1.1.4)θ3=θ1+θ2(1.1.5)其中ϕ(θ1,θ2)=θ1+θ2(1.1.6)称为连续群的结合函数,对应有限群的乘法表.§1.1.3群的生成元先来看一种特殊的有限群.定义3(循环群)C n def={e ,g ,g 2,···,g n −1|g n =1}.(1.1.7)您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文§1.1基本概念·3·其中g k 表示k 个g 相乘.循环群的所有元素都可以由g 自乘得到,所以我们把它称为循环群的生成元,并记成C n = g |g n =e .(1.1.8)一般的群可能有多个生成元,这些生成元的集合称为群的生成元组.例如G = p ,q |p 3=e ,q 2=e ,(qp )2=e(1.1.9)有2个生成元,生成元的乘法满足如下的“对易关系”,(qp )2=q (pq )p =e pq =q −1p −1=qp 2,(1.1.10)于是,生成元的任意乘积可以写成标准的形式q m p n ,从而|G |=6.群的乘法见表1.3.e p p 2q qp qp 2ee p p 2q qp qp 2p p p 2e qp 2q qp p 2p 2e p qp qp 2q q q qp qp 2e p p 2qp qp qp 2q p 2e p qp 2qp 2qqppp 2e表1.3: p ,q 群的乘法表e a b c df e e a b c d f a a e d f b c b b f e d c a c c d f e a b d d c a b f e ffbcaed表1.4:D 3群的乘法表对有限群,必有∀g ∈G ,∃n ,m ∈N ,n >m ,g n =g m .(1.1.11)记k def=n −m ∈N ,那么g k =e ,(1.1.12)称使上式满足的最小自然数k 为元素g 的阶.有限群的生成元的数目是有限的,其中最小的数目称为有限群的秩.§1.1.4更多例子例4(正三角形的对称群)D 3={e ,a ,b ,c ,d ,f },如图1.1所示,乘法规则列于表1.4中.例5(四元群)除了循环群C 4外,还有一个四元群–反演群(Klein 群)V 4,其乘法规则如表1.5所示.其中P 表示空间反射,T 表示时间反演,PT =T P .V 4是Lorentz 群的分立子群.1P T PT 11P T PT P P 1PT T T T PT 1P PTPT T P 1表1.5:反演群的乘法表例6(二维Euclid 群)二维空间的转动及平移变换g (θ,a ,b ) x 1x 2def =cos θsin θ−sin θcos θ x 1x 2 + ab (1.1.13)您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文·4·第1章群论基础e 不动,a 绕1轴转180◦,b 绕2轴转180◦,c 绕3轴转180◦,d 绕z 轴逆时针转120◦,f绕z 轴逆时针转240◦.x图1.1:例7(仿射群)群元素g (α,β)对实数的作用定义为x def=g (α,β)x ≡αx +β,(1.1.14)这是一个2参数的非Abel 群.例8(SL(2,C )){A 2×2|A jk ∈C ,det A =1}.在矩阵乘法下构成群.§1.1.5半群,环和域*定义4(半群)如果一个集合S 上定义了二元运算“·”,且二元运算满足封闭性和结合率,则称代数结构(S ,·)为半群.定义5(环)在集合R 上定义两个二元运算加法“+”和乘法“·”,并且满足•(R ,+)是Abel 群(其单位元记为0);•(R ,·)是半群;•满足分配率,∀a ,b ,c ∈R ,a (b +c )=ab +ac ,(b +c )a =ba +ca ,(1.1.15)则称代数结构(R ,+,·)为环.如果环的乘法满足交换率则称为交换环;如果环的乘法有单位元素则称为含幺环.例9(多项式环)自变量x 的实系数多项式在加法和乘法构成含幺交换环.定义6(体和域)如果含幺环的非零元素都有逆,则称为体.如果含幺交换环的非零元素都有逆,则称为域.例10(四元数体)实四元数a +b i +c j +d k 构成体.例11有理数域Q ,实数域R 和复数域C .§1.2群的分拆研究群的方法和高等数学中的方法不同.一个基本的方法是把群“切开”来研究.您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不文您可以阅读、打印，但不文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文§1.2群的分拆·5·§1.2.1集合的分拆群是集合,所以我们回顾一下在集合论中怎样把集合分开.定义7(关系)集合A ×A 的一个子集又称为集合A 上的关系.设在集合A 上定义了关系R ,则a ,b ∈A 有R 关系⇐⇒(a ,b )∈R ⇐⇒a ∼b .(1.2.1)定义8(等价关系)集合A 上满足以下三个条件的关系称为等价关系:∀a ∈A ,a ∼a ;(自反)(1.2.2)a ∼b ⇒b ∼a ;(对称)(1.2.3)a ∼b ,b ∼c ⇒a ∼c .(传递)(1.2.4)例12在人际关系中,“认识”、“朋友”不是等价关系;“同学”、“同民族”是等价关系。
