八年级数学实数

第1节 实数、平方根【基本知识】1、 有理数 包括有限小数和循环小数，有理数都可以表示为分数形式；2、 无限不循环小数，成为 无理数 ；3、平方根：（1）定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。

（2）性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（3）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 。

（4）一个非负数x 有两个平方根a 和b ，则a+b = 0（5）运算：2a = ||a 2)(a = a ；2)(a -= a类型1A ：【求下列各数的平方根】（1）324 （2）9624 （3）3.61 （4）971 （5）289【答案】（1）18± （2）21± （3）9.1± （4）34± （5）17±类型1B ：【求下列各数的算术平方根】（1）64 （2）2)3(- （3）49151（4） 21(3)- 【答案】（1）8 （2）3 （3）78 （4）31类型2：【已知平方数或平方根，求数】（1）平方等于256的数是 16±（2）若3是x 的一个平方根，则x = 9（3）若一个正数的平方根为12-a 和a -4，则a = －3 ，这个正数为 49 .（4）一个数的平方等于9，则这个数是 3±（5）一个负数的平方等于100，则这个负数是 10-（6）已知2a －1的平方根是3±，3a+b －1的平方根是4±，则a = ，b = 2 5类型3：【开平方，求下列各式中x 的值】（1）09252=-x （2）x 2－144 = 0 （3）（2x ）2 = 16【解】 （1）53±=x （2）12±=x （3）2±=x（4）32-=x （5）32=x （6）225360x -=【解】（4）无实根 （5）3±=x （6）56±=x（7）9x 2－1= 0 （8）16)1(2=+x （9）（21x ）2 = 1【解】（7）31±=x （8）35或-=x （9）2±=x类型4：【计算】（1）= 3= 5= 7（2） =-2)4( 4 =2)182( 91 =2)5( 5（3）94±=32±-169.= －1.3102-=101（4）81±= 9± 16-= －4 259= 53（5）44.1= 1.2 36-= －6 4925± =75±（6）2)25(-= 25 2)4(-= 4类型5：【化简】（1）已知｜x －4｜+y x +2= 0，那么x =_______4_，y =________－8（2）=________π-4,)2x ≤=________x -2类型6：【根式的意义】1、如果1-x ＋x -9有意义，那么代数式|x －1|＋2)9(-x 的值为 8.类型6：【平方数与平方根相关训练】（1）21++a 的最小值是 ________2，此时a 的取值是 ________－1（2）如果一个正数的两个平方根为1a +和27a -，则这个正数是 9（3）若2+x = 2，则2x + 5的平方根是 3±（4）若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为 0类型7：【能力提升训练】（1）已知501.6=x ，650.12 = 422630，则x = 42.263（2）已知2+x ＝3，则2)2(+x 等于 81（3）已知12++-b a ＝0，则a ＋b 的值是 1（4）一个自然数的算术平方根是x（5）一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是 22+m（6）自由下落物体的高度h （米）与下落时间t （秒）的关系为29.4t h =，有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要 2 秒（7）若一个数a 的平方根等于它本身，数b 的算术平方根也等于它本身，则a b +的平方根 为 0或1±类型8：【比较实数大小】1、平方法：（1; （2）534< 11; （3） 2、求差法:215- < 13、求商法：23平方根 (作业)一、写出下列各数的平方根：（1）2)6(- （2）2)36(- （3）8116（4）16 （5）2)7(-【解】（1）6± （2）6± （3）94±（4）2± （5）7± 二、已知平方数或平方根，求数：（1）一个数的平方为719，这个数为 34±（2）一个数x 的平方根为9±，则x = 81（3）若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则a = －1 ，这个正数是 9三、开平方，求下列各式中x 的值：（1）2732=x （2）2516902x -= （3）()12892-=x【解】（1）3±=x （2）513± （3）1816或-=x（4）（x +5）2 = 144 （5）009.02=-x【解】（4）177-=或x （5）3.0±=x（6）（x +1）2=36 （7）27(x +1)3=64【解】（6）75-=或x （7）31=x四、化简：1、若x ＜2，化简|3|)2(2x x -+-的正确结果是 x 25-2、当21≤a 时，化简|12|4412-++-a a a = a 42-3、已知实数a 、b 在数轴上表示的点如上图，b a ++2)1(+-b a = 12-b化简五、平方数与平方根相关训练：（1）若2m －10与3m 是同一个数的平方根，则m 的值是 2（2）使3+-x 有意义的x 的取值范围是 3≤x。

八年级数学上册实数教案北师大版一、教学目标：1. 理解实数的定义，掌握实数的分类及性质。

2. 学会实数的运算方法，包括加、减、乘、除、乘方等。

3. 能够运用实数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

二、教学内容：1. 实数的定义与分类：有理数、无理数、实数。

2. 实数的性质：实数的加减法、乘除法、乘方运算。

3. 实数的应用：解决实际问题，如长度、面积、体积等计算。

三、教学重点与难点：1. 重点：实数的定义、性质及运算方法。

2. 难点：实数运算的灵活应用，解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解实数的定义、性质及运算方法。

2. 运用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用实数解决。

3. 开展小组讨论，让学生互动交流，巩固所学知识。

五、教学过程：1. 导入新课：回顾七年级学习的有理数，引出实数的定义。

2. 讲解实数的分类：有理数、无理数、实数。

3. 讲解实数的性质：实数的加减法、乘除法、乘方运算。

4. 运用案例分析，让学生体会实数在实际问题中的应用。

5. 课堂练习：布置有关实数运算的练习题，巩固所学知识。

6. 总结本节课内容，布置课后作业。

六、教学评价：1. 课堂问答：通过提问学生，了解学生对实数定义、性质及运算方法的掌握情况。

2. 课后作业：布置有关实数的练习题，评估学生对知识的应用能力。

3. 阶段测试：进行实数知识的测试，全面了解学生掌握情况。

七、教学拓展：1. 介绍实数在科学研究中的应用，如物理、化学、计算机科学等。

2. 探讨实数与生活中的实际问题，提高学生的数学素养。

八、教学资源：1. 教材：八年级数学上册，北师大版。

2. 教案：实数教案。

3. PPT：实数相关内容。

4. 练习题：实数运算练习题。

九、教学时间安排：1. 第一课时：实数的定义与分类。

2. 第二课时：实数的性质与运算。

3. 第三课时：实数的应用与拓展。

十、课后作业：1. 复习实数的定义、性质及运算方法。

2. 完成练习题，巩固所学知识。

八年级数学上册期末复习+典型例题解析第四章实数1、平方根：⑴定义：一般地，如果x2=a(a≥0)，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

⑵表示方法：正数a的平方根记做“a±”，读作“正、负根号a”。

⑶性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②零的平方根是零；③负数没有平方根。

2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

3、算术平方根：⑴定义：一般地，如果x2=a(a≥0)，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

⑵表示方法：记作“a”，读作“根号a”。

⑶性质：①一个正数只有一个算术平方根；②零的算术平方根是零；③负数没有算术平方根。

⑷注意a的双重非负性：.0,0≥≥aa⑸()()()()0,0,0222≤-=≥=≥=aaaaaaaaa4、立方根：⑴定义：一般地，如果x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。

⑵表示方法：记作“3a”，读作“三次根号a”。

⑶性质：①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③零的立方根是零。

⑷注意：33aa-=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

⑸()aaa==33235、开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。

6、实数定义与分类：⑴无理数：无限不循环小数叫做无理数。

理解：常见类型有三类：①开方开不尽的数：如7,39等；②有特定意义的数：如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等；③有特定结构的数：如0.1010010001……等；(注意省略号)⑵实数：有理数和无理数统称为实数。

⑶实数的分类：①按定义来分②按符号性质来分整数(含0) 正有理数有理数分数正实数正无理数实数实数0无理数负实数负有理数负无理数7、实数比较大小法：理解：⑴正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；⑵数轴比较：数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；⑶绝对值比较法：两个负数，绝对值大的反而小。

⑷平方法：a、b是两负实数，若a2＞b2，则a＜b。

北师大版八年级数学上册：2.6《实数》教学设计1一. 教材分析《实数》是北师大版八年级数学上册第二章第六节的内容，本节主要介绍了实数的概念、分类和性质。

通过本节的学习，使学生能够理解实数的概念，掌握实数的分类和性质，为后续的函数、方程等知识的学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了有理数的概念和运算，对数的概念和运算也有一定的了解。

但实数的概念对学生来说是一个全新的概念，需要通过实例和讲解使其理解和接受。

同时，实数的分类和性质也需要通过大量的练习来巩固。

三. 教学目标1.知识与技能：理解实数的概念，掌握实数的分类和性质。

2.过程与方法：通过实例和讲解，使学生理解和接受实数的概念，通过练习巩固实数的分类和性质。

3.情感态度与价值观：培养学生的抽象思维能力，提高学生对数学的兴趣。

四. 教学重难点1.实数的概念和分类。

2.实数的性质。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和练习法进行教学。

通过问题引导学生思考，通过案例分析让学生理解实数的概念，通过练习巩固实数的分类和性质。

六. 教学准备3.练习题。

七. 教学过程导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾有理数和数的概念，为新课的学习做好铺垫。

呈现（15分钟）1.利用多媒体课件呈现实数的定义和分类，用实例解释实数的概念。

2.引导学生通过观察和思考，总结实数的性质。

操练（15分钟）1.让学生分组讨论，列举出实数的分类和性质。

2.每组选一名代表进行汇报，其他组进行评价和补充。

巩固（15分钟）1.让学生独立完成练习题，检验对实数概念、分类和性质的理解。

2.教师选取部分学生的作业进行点评，指出错误并进行讲解。

拓展（10分钟）1.让学生思考：实数和数轴之间的关系。

2.引导学生通过画数轴，分析实数在数轴上的位置与实数的性质之间的关系。

小结（5分钟）1.教师引导学生总结本节课所学的内容，实数的概念、分类和性质。

2.学生分享学习收获和感受。

家庭作业（5分钟）1.完成课后练习题。

第二章：实数【无理数】1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2. 常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如： 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。

如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。

如2π,（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π）（3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例：（1）下列各数：①、②……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。

（填序号） （2）有五个数:…,…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】：1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。

特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根。

2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。

（2）算术平方根本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个例：（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。

第二章实数目录第二章实数 (1)第一课时：实数的认识 (1)知识要点一：认识无理数 (1)知识要点二：平方根 (2)知识要点四：算术平方根 (2)拓展：随机的n (3)知识要点五：立方根 (4)知识要点五：估算无理数的大小 (5)知识要点六：实数的概念 (6)知识要点七：实数的性质 (6)知识要点八：实数与数轴 (7)知识要点九：实数的比较大小 (9)知识要点10：实数的运算 (10)总练习题 (10)C 基础巩固 (10)B 能力提升 (11)A 拔尖训练 (13)第二课时：二次根式的性质、化简与运算 (14)知识要点一：二次根式的概念 (14)知识要点二：二次根式有意义的条件 (15)知识要点三：二次根式的性质与化简 (15)知识要点四：最简二次根式 (16)知识要点五：分母有理化 (17)知识要点六：二次根式的乘除法 (18)知识要点七：同类二次根式 (19)知识要点八：二次根式的加减法 (20)知识要点九：二次根式的混合运算 (20)知识要点十：二次根式的化简求值 (21)知识要点十一：二次根式的应用 (22)总练习题 (23)C 基础巩固 (23)B 能力提升 (24)A 拔尖训练 (24)第一课时：实数的认识知识要点一：认识无理数伟大的数学家——毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m 等于多少？是整数呢，还是分数？这个问题引起了学派成员希帕斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希帕斯断言：m 既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数．希帕斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们的恐慌．为了维护学派的威信，他们残忍地将希帕斯扔进地中海．这样，无理数的发现人被谋杀了！定义1 无限不循环小数叫做无理数。

常见的无理数的类型：（1）有规律但不循环的小数；（2）有特定意义的符号，如π；（3）方开不尽的数（见知识要点二之开方的概念）。

八上数学第二章实数八年级数学上册第二章“实数”主要涉及实数的概念、性质及其运算。

以下是该章节的主要内容：1.平方根和算术平方根：非负实数a的算术平方根是满足x^2=a的实数x；非负实数a的平方根是满足x^2=a的实数x，正数有两个平方根，它们互为相反数，0只有一个平方根，即0本身，负数没有平方根。

2.无理数：无限不循环小数称为无理数。

常见的无理数包括无限不循环小数、开方开不尽的数等。

3.实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两大类。

有理数包括整数和分数，而无理数则是指不能表示为两个整数的比的数。

4.实数的运算：实数的加、减、乘、除运算与正数和0的运算规则相同，但需要注意负数的运算。

在运算过程中，需要注意运算法则和运算顺序，以免出现错误。

5.实数的应用：实数在实际生活中有着广泛的应用，例如测量、计算、工程设计等方面都需要用到实数。

在学习这一章时，学生需要理解并掌握实数的概念、性质和运算规则，同时还需要能够运用所学知识解决实际问题。

此外，学生还需要注意与之前所学有理数知识的联系和区别，以便更好地掌握数学基础知识。

实数这一章的重点内容还包括以下几个方面：1.平方根的性质：实数的平方根具有一些重要的性质，例如正实数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是算术平方根。

此外，当被开方数的小数点向右每移动两位时，其算术平方根的小数点会向右移动一位。

2.立方根的性质：实数的立方根也有其独特的性质。

例如，当被开方数的小数点每向右移动三位时，其立方根的小数点会向右移动一位。

3.实数的表示：实数可以用不同的方式来表示，例如根号形式、小数形式和分数形式等。

此外，实数还可以在数轴上表示出来，这样可以更直观地理解实数的性质和运算。

4.实数的运算性质：实数的加、减、乘、除等运算具有一些重要的性质，例如运算法则、运算律和运算顺序等。

学生需要理解和掌握这些性质，以便能够正确地进行实数的运算。

5.实数的应用：实数在实际生活中有着广泛的应用，例如测量、计算、工程设计等方面都需要用到实数。