图形变换与裁剪.共23页

错切变换是指图形在水平或垂直方向上倾斜，产生错位效果。
总结词
错切变换常用于创建倾斜角度或斜切效果，使图形更加生动和富有动态感。在计算机图形学中，错切变换可以通过应用错切矩阵运算来实现。
详细描述
03
CHAPTER
图形裁剪技术
基本裁剪方法
总结词
窗口裁剪是最基本的裁剪方法，通过定义一个矩形窗口，只显示窗口内的部分图形。
图形变换与裁剪课件
目录
图形变换基础图形变换技术图形裁剪技术图形变换与裁剪的实践应用图形变换与裁剪的优化技巧案例分析
01
CHAPTER
图形变换基础
01
02
图形变换在计算机图形学中广泛应用于图像处理、动画制作、游戏开发等领域。
图形变换是指对图形进行旋转、平移、缩放、镜像等操作，以改变图形的位置、大小和方向。
交互设计
通过图形变换和裁剪技术，实现虚拟现实和增强现实的实时跟踪，提高虚拟物体的真实感和动态效果。
实时跟踪
05
CHAPTER
图形变换与裁剪的优化技巧
在图形处理中，尽量减少不必要的变换操作，特别是那些不会改变图像内容的变换。
减少不必要的变换
选择高效的变换算法，如矩阵乘法、仿射变换
01
02
03
04
绕某一点旋转图形。
沿某方向移动图形。
改变图形的大小。
以某轴为对称轴翻转图形。
02
CHAPTER
图形变换技术
总结词
平移变换是指图形在水平或垂直方向上移动而不发生旋转或缩放。
详细描述
平移变换通常用于调整图形位置，使其符合特定的布局或设计需求。在计算机图形学中，平移变换通常通过在图形数据的坐标系中添加一个偏移量来实现。

18
基本几何变换——比例变换
比例变换是指对P点相对于坐标原点沿x方向放 缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。 其中Sx和Sy称为比例系数。
Y
P'(4,3) P(2,1)
X
比例变换(Sx=2,Sy=3)
以坐标原点为缩放参照点 不仅改变了物体的大小和形状，也改变了位置(离原点的距离 )
19
基本几何变换——比例变换
21
基本几何变换——旋转变换
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度 （逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p’ 的重定位过程。
P' r θ r
α
图 旋转变换
22
Y
P X
基本几何变换——旋转变换
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P' r P X
推导: α x r cos y r sin 极坐标: 逆时针旋转θ 角
P P T
27
规范化齐次坐标——平移变换矩阵
平移：
x 'y ' x y T xT y

1 0 0 x' y' 1x y 1 0 1 0 T T 1 x y
28
规范化齐次坐标——比例变换矩阵
比例:
S 0 x x ' y ' x y 0 S y
16
基本几何变换——平移变换
平移 将P点从一个坐标位置 移到另一个坐标位置的 重定位过程。
T P Tx
P' Ty
Y
X
图 平移变换
17
基本几何变换——平移变换
推导：
x' x Tx y ' y Ty

第一位为1：端点处于上边界的上方 第二位为1：端点处于下边界的下方 第三位为1：端点处于右边界的右方 第四位为1：端点处于左边界的左方 否则，相应位为0
11
1001 0001
xL
A
B
C
1000 0000 E 裁剪窗口 0100
xR
第4讲 图形裁剪算法
1010 D yT 0010
7
第4讲 图形裁剪算法
直线裁减的效率策略
首先，通过方法来快速判断完全在窗口内和完全 在窗口外的直线 若是部分在窗口内的情况，则设法减少直线的求 交次数和每次的求交计算量
8
第4讲 图形裁剪算法
直线裁剪算法
Cohen-Sutherland裁剪算法 中点分割算法 梁友栋-Barsky裁剪算法
9
第4讲 图形裁剪算法
Cohen-Sutherland裁剪算法(编码裁剪法)
基本思想：对于每条待裁剪的线段P1P2分三种情 况处理
若P1P2完全在窗口内，则显示该线段 若P1P2完全在窗口外，则丢弃该线段 若线段不满足上述条件，则求线段与窗口边界的交点， 在交点处把线段分为两段，其中一段完全在窗口外， 可舍弃之，然后对另一段重复上述处理
P1
P1
P1
A
Pm
A Pm A B B P2
B Pm
18
P2
P2
第4讲 图形裁剪算法
算法特点
对分辨率为2N×2N的显示器，上述二分过程至多 进行N次 主要过程只用到加法和除法运算，适合硬件实现， 它可以用左右移位来代替乘除法，这样就大大加 快了速度
19
第4讲 图形裁剪算法
梁友栋-Barsky裁剪算法
13
第4讲 图形裁剪算法

co s
0
xp(1co )sypsinxpsinyp(1co )s1
显然,当xp=0,yp=0时,即为对原点的旋转变换.
例2：对任意直线的对称变换〔直线方程为 Ax + By + C = 0〕
直线在X轴和Y轴上的截距分别为–C/A和–C/B,直线与X轴的夹角 为α,α =arctg<–A/B>.
y
yA
A’
C’
20
B’ 600
10 B
C
旋转60°的结果
x -20 -10 0 10 20
5. 平移变换
平移变换矩阵为：
1 0 0
1 0 0
T
=
0
1
0
，则[x
y
1]
0
1
0
=
[x+l
y+m
1] = [x'
y'
1]
l m 1
l m 1
例如,令l = 10,m = 10,对图中的三角形ABC作平移变
最基本的图形变换可以分别用矩阵形式表示为：
平移变换 P′＝P＋Tm X方
Tm＝[Mx My] Mx、My分别为
平移量.
Ts＝
向和Y方向的
比例变换 P′＝P×Ts 比例因子.
Sx 0
Tr＝
0 Sy
Sx、Sy分别表示
四. 齐次坐标 从形式上来说,用一个有n+1个分量的向量去表示一个有n
个分量的向量的方法称为齐次坐标表示. 例如二维平面上的点<x,y>的齐次坐标表示为<h×x,h×y,
上述错切方向均是对指第Ⅰ象限的点而言,其余象限的点 的错切方向应作相应的改变.

k a11
k A k a21
k k
a3 1 a4 1
k a12 k a22 k a32 k a42
k a13 k a23 k a33 k a43
k a14 k a24
k k
aa3444
（3）矩阵的乘法
矩阵A的列数和矩阵B的行数相同时可以相乘.设A为
m*n矩阵,B为n*p矩阵,c为乘积矩阵,则c为m*p阶
UU U
8
4.1.2 矢量-矢量的点乘
(5)矢量的点乘
矢量 U和 的V 点乘表示为 。UV定义如下：
U Vuxvxuyvyuzvz
夹角的余弦定义如下： cos UV
Uห้องสมุดไป่ตู้
U V
θ
点乘的几何意义如图4.3所示
V
图4.3 U·V即U在V上的投影乘
以V的模
由以上可得点乘的如下性质: U V0 U V
也就是说两个互相垂直的矢量(一般称为矢量正交) 的点乘为0。
24
2.放大和缩小变换
设点(x, y, z)经缩放变换后得点 (x,y,z)。两点坐标间的关系
为
x sx x
y sy y
z sz z
其中sx,sy和sz 分别为沿x, y和z轴方向
放缩的比例。
其矩阵形式是
x sx 0 0x
y
0
sy
0 y
z 0 0 sz z
（4.3）
25
以图形中心为中心的缩放
红色为新坐标系ouvw31则axayaz为z轴方向不必变换坐标系ow轴的指向和axayaz的指向一致ou轴可取在经过o点并和ow轴垂直的任一直线上则ow轴方向的单位向量为绕过原点的轴旋转的具体计算32从坐标系oxyz至坐标系ouvw的变换为由于向量uvw是互相正交的单位向量可知矩阵a的逆矩阵就是a的转臵矩阵a33231332221231211133变换公式由以上各式可得变换公式为

4
三维图形显示的基本问题（3/5）
3. 如何反映遮挡关系？

物体之间或物体的不同部分之间存在相互遮挡关系 遮挡关系是空间位置关系的重要组成部分 解决方法----消除隐藏面与隐藏线
5
三维图形显示的基本问题（4/5）
4. 如何产生真实感图形
何谓真实感图形？ 逼真的 示意的 人们观察现实世界产生的真实感来源于
y
0 0 Tw 0 0 0 0 0 cos90 sin 90 1 0 0 sin 90 cos90 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x L 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
3
三维图形显示的基本问题（2/5）
2. 如何表示三维物体？

二维形体的表示----直线段,折线,曲线段,多边形区域 二维形体的输入----简单（图形显示设备与形体的维数一致）
三维形体的表示----空间直线段、折线、曲线段、多边形、
曲面片 三维形体的输入、运算、有效性保证----困难 解决方法----各种用于形体表示的理论、模型、方法
10
平面几何投影（4/15）
投影线 从投影中心向物体上各点发出的射线 直线—光线 曲线—喷绘 平面几何投影
投影面是平面
投影线为直线 投影变换
投影过程
投影的数学表示
11
平面几何投影（5/15）
投影分类
投影中心与投影平面之间的距离为有限
投影中心与投影平面之间的距离为无限 是透视投影的极限状态
R yx
1 0 T R yx 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0

xh hx, yh hy, h 0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线
xh hx
yh
hy
zh h
7
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法。
2. 便于表示无穷远点。
例如：（x h, y h, h)，令h等于0
25
3 规格化设备坐标系 用于用户的图形是定义在用户坐标系里，
而图形的输出定义在设备坐标系里，它依赖于 基体的图形设备。由于不同的图形设备有不同 的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽 相同， 例如：分辨率为1024*768的显示器其屏幕坐标的 范围：x方向为0~1023，y方向为0~767，分辨 率为640*480的显示器，其屏幕坐标范围为：x 方向0~639，y方向0~479
y 1)，则
1 0 0
P'x' y' 1 x y 1 0 1 0 x
Tx1
Ty1
1
y 1Tt1
经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
P * x *
y * 1 x'
y'
1
1 0
0 0 1 0
Tx
2
Ty 2
1
1 0 0 1 0 0
x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1 Tt1Tt2
44
关于透视投影
一点透视投影
两点透视投影
三点透视投影
45
内容
二维变换 三维变换 裁剪
二维线裁剪 二维多边形裁剪 文本裁剪 三维裁剪 关于三维变换与裁剪
46
三维变换流程图

使用CAD进行图形裁剪和修剪的方法步骤CAD（计算机辅助设计）软件是一种广泛应用于工程设计和绘图的工具。

在使用CAD软件进行设计时，图形裁剪和修剪是常见的操作之一。

这些操作可以帮助我们从大型绘图中提取所需的部分或者改变图形的形状。

本文将介绍使用CAD软件进行图形裁剪和修剪的方法步骤。

步骤一：打开CAD软件并导入图形文件首先，打开CAD软件并选择“打开文件”的选项。

在文件浏览器中找到所需要的图形文件，点击“打开”导入文件。

导入后，我们可以在CAD中看到所选文件的图形内容。

步骤二：选择“裁剪”命令在CAD软件的工具栏或菜单栏中，找到“编辑”或“修改”选项。

在下拉菜单中选择“裁剪”命令。

一旦选择了该命令，我们可以看到屏幕上鼠标光标的形状发生了变化。

步骤三：选择裁剪区域在进行裁剪操作前，我们需要指定裁剪的区域。

移动鼠标光标到图形上，点击鼠标左键选择裁剪区域的边界点。

选择完毕后，可以看到所选区域被高亮显示。

步骤四：完成裁剪操作裁剪区域选择完毕后，点击鼠标右键选择“完成”。

此时，我们会发现所选区域以外的图形内容被裁剪掉，只剩下了所选区域的内容。

步骤五：使用“修剪”命令进行图形修剪有时候，我们不仅需要裁剪整个图形，还需要对图形的某些部分进行修剪。

在CAD软件中，我们可以使用“修剪”命令来实现这一操作。

选择“编辑”或“修改”选项，在下拉菜单中选择“修剪”命令。

步骤六：选择修剪的对象一旦选择了“修剪”命令，鼠标光标的形状会发生变化。

我们需要移动光标到要修剪的对象上，并点击鼠标左键选择该对象。

选中的对象会被高亮显示。

步骤七：完成修剪操作选择完要修剪的对象后，点击鼠标右键选择“完成”。

此时，我们会发现所选对象以外的部分被修剪掉，只剩下了所选对象的部分。

使用CAD软件进行图形裁剪和修剪可以帮助我们迅速提取需要的图形内容或者修改图形的形状。

在操作过程中，需要注意选择正确的命令以及精确选择要裁剪或修剪的区域或对象。

掌握这些方法和步骤后，将能够更加灵活和高效地处理CAD图形。

则以点（x0，y0）为中心，放大系数分别为Sx、Sy的复 合变换矩阵为： T=T1·T2·T3=
sx 0 x0 (1 − sx ) 0 0 sy 0 y0 (1 − s y ) 1
同理，当图形绕坐标原点以外的任意点（x0，y0）作旋 转时，也可以通过三种基本变换复合而成，即将旋转中心 平移到坐标原点，其变换矩阵为T1；然后使图形绕坐标原 点旋转α角，变换矩阵为T2 ；最后将旋转中心平移回原来 的位置，其变换矩阵为T3。则绕坐标原点以外的任意点旋 转α角的复合变换矩阵为：
a b c d m n p q s
4．二维复合变换： 二维复合变换： 实际上，上述介绍的几种基本变换一般不单独出现，通 常出现的都是复合变换。有的图形须经过多次基本变换才 能完成，这种由两个以上基本变换构成的变换称为复合变 换。设各次变换的变换矩阵分别为T1，T2，…，Tn，则复 合变换矩阵是各次变换矩阵的乘积。 例：当图形要对画面中的某一点(x0,y0)作放大时，可通 过如下三种基本变换复合而成： (1) 首先将坐标原点（0,0）平移至（x0,y0） (2) 然后图形以（x0,y0）为中心作放大 (3)最后将坐标原点自（x0,y0）的位置移回原处（0,0）
正轴测投影图是工程上应用广泛的二维图形。其变换矩 阵为：
cos θ − sin θ 0 0 0 − sin θ sin φ 0 − cos θ sin φ 0 cos φ 0 0 0 0 0 1
T正轴测 =
（4-1）
在上述所示的正轴测投影变换矩阵中，只要给θ、φ不 同的值，就可得到不同的正轴测投影图。
小区域在裁剪区域之左，即x<xmin，则c1=1，否则c1=0； 小区域在裁剪区域之右，即x>xmax，则c2=1，否则c2=0； 小区域在裁剪区域之下，即y<ymin，则c3=1，否则c3=0； 小区域在裁剪区域之上，即y>ymax，则c4=1，否则c4=0；

➢ 假定条件
➢ 矩形裁剪窗口：[xmin,xmax]X[ymin,ymax]
➢ 待裁剪线段： P0 ( x0 , y0 )P1 ( x1 , y1 )
2020/10/12
12
直线段裁剪
➢ 待裁剪线段和窗口的关系
（1）完全落在窗口内，线段完全可见 （2）完全落在窗口外，显然不可见 （3）与窗口边界相交，线段至少有一端点在窗口之外，但非
2020/10/12
23
III 若Xl<=X<=Xr
3
线段的起点坐标可能位于1 4 区和2区。
而新起点的坐标可能在 直线y= yb和线段的交点上 直线y= yt和线段的交点上
5 xl
1
6
yt
0
7 (x1,y1)
yb
2
8
xr
2020/10/12
24
第一种情况：
xs ys
x0 yt
( x1
x0 )(
➢ 用窗口的四条边界的直线将窗口分为9个区。
3
1
6
yt
(x2,y2)
4
0
7
(x1,y1)
yb
5
2
8
2020/10/12
xl
xr
18
➢ 排斥性测试
若线段满足下述四个条件之一时：
max(x1,x2)≤xl min(x1,x2)≥xr max(y1,y2)≤yb min(y1,y2)≥yt 则线段必定位于窗口之外，无输出线段。
1.屏幕域(DC)： 设备输出图形的最大区域，是有限的整数域。如图形显示器
分辨率为1024768→DC[0..1023][0..767]
2.视图区：任何小于或等于屏幕域的区域 • 视图区用设备坐标定义在屏幕域中 • 窗口区显示在视图区，需做窗口区到视图区的坐标转换。 • 视图区可以有多种类型：圆形、矩形、多边形等。 • 视图区也可以嵌套。

设变换矩阵为：
同理，后截面的角坐标(±1,±1, 1)经M变换仍为(±1,±1,1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 -1 1 1 1 = -1 1 1 1 · 0 1 0 0 1 -1 1 1 1 -1 1 1 0 0 i r -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 0 0 n s 由此得：i=1/(1-zf)、r=1、n=zf/(1-zf)、s=0 ∴ Tv4= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1/(1-zf) 1 0 0 zf/(1-zf) 0 其中：zf=-(zFront-zprp)/(zBack-zprp) 三维物体A经Tv4变换，在x，y方向产生了反比于z坐标的不等 比的比例变换(x/z,y/z)，即z小，x，y方向放大；反之缩小。
8
观察平面
前截面 (a)
后截面
前截面 (b)
zv
zv
观察平面
图5 观察平面及前后截面的位置安排
斜投影和透视投影可以受到观察窗口、投影中心的 影响。在斜投影中，令斜投影方向平行于参考点与窗 口中心的连线，若参考点不动而移动观察窗口改变会 改变观察空间两侧的倾侧度（如图a） 。
观察窗口 vp 观察窗口 观察平面 观察平面
右上角点（ xwmax，ywmax，Zvp）
参考点：（xprp，yprp，zprp）
前后截面：Z=Zfront，Z=Zback 观察平面：Z=Zvp
27
(1)Tv1：将投影中心平移到观察坐标系原点，窗口坐标为： (xWmin-xprp,yWmin-yprp,Zvp-zprp)，(xWmax-xprp,yWmax-yprp,Zvpzprp)。 xcw ( xwmin xwmax ) / 2 x prp 窗口中心点的坐标：

U •U 0 U 0
16
第16页，共65页。
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
一、矢量运算（续）
矢量的长度
U
• 夹角
U •U
ux2
u
2 y
u
2 z
cos U •V
U •V
矢量的叉积
i jk
U V ux uy uz
vx vy vz
17
第17页，共65页。
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
• 也用来定义像素和位图
规格化设备坐标系 • 左手直角坐标系 • 用来定义视图区
• 提高了应用程序的移植性
0, 1
2.6, -3.1
1, 1
2.6, 2.6
0, 0
-3.1, -3.1
1, 0
2.6, -3.1
12 第12页，共65页。
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形输出流水线
图形输出流水线
造型变换
观察变换
造型坐标
用户坐标
观察坐标
规格化 设备坐标
规格化变换 投影坐标
投影变换
工作站变换 设备坐标
13 第13页，共65页。
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础 主要内容
✓ 矢量运算
✓ 矩阵运算
✓ 齐次坐标
14 第14页，共65页。
第二讲 图形裁剪与几何变换 图形变换数学基础
一、矢量运算
ux
第3页，共65页。
• 造型坐标系
• 用户坐标系 • 观察坐标系
• 规格化的设备坐标系
• 设备坐标系
3
第二讲 图形裁剪与几何变换
造型坐标系
z
z

图形的拼剪和变换图形的拼剪是几何变换中的一种常见体现，要想顺利地实现图形的拼剪，就需要我们在熟悉和掌握常见的几何原理的前提下，进一步挖掘图形的特点，综合使用守恒、以及图形的对称、旋转、平移等手段来解决问题。

因此，多思考图形的拼剪，能够增加“图感”，提升几何能力。

例1.5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，请将这个图形转化为跟它等面积的正方形。

如图2所示，大家能知道具体的操作方法吗？如何想到该方法？变形：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ，那么该平行四边形MNPQ面积的大小是多少？（3）能否将图5所示的5个正方形转化为和它等面积的正方形？（4）如果上述正方形个数变为10个呢？你发现了什么规律？例2. 在下面所给的图形中，若连接BC，则四边形ABCD是矩形，四边形CBEF是平行四边形．（1）请你在图1中画出两条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等（不写画法）；（2）请你在图2中画出一条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等．简要说明你的画法．思考：这个图形体现了平行四边形的哪些性质？如何利用这些性质？变化（1）：如图，水渠旁有一大块L形耕地，要画一条直线为分界线，把耕地平均分成两块，分别承包给两位农民，BC边是灌溉用的水渠的一岸.每块土地都要有水渠，怎么平分土地才能满足每个人的需要？你有几种方法？（2）两位农民看到这三种平分方案后，还是不满意：“你这三种方法只是把地平分了，但是靠近水源的BC边并没有被平分. 两个人为了灌溉方便，都想把靠近水源的BC边平分，谁愿意要水源少的那块地呢？这三种分地的方法不公平. 我们不在乎分得的土地是什么形状的，但是靠近水源的BC边必须平分.”有什么办法呢？有几种方法？在图1、2、3这三个图的基础上，继续利用中心对称的性质就可以解决问题了. 首先，分别在三个方案中找到分界线的中点S ，再找出BC 边的中点T ，画出直线ST ，如图4、5、6中的粗实线即为分界线.练习：如图，将矩形沿图中虚线（其中x y ）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能．．拼成一个．．．．正方形．（1）画出拼成的正方形的简图；（2）xy的值等于 .例3：已知：在等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 的中点，点G 为直线BC 上一动点．当点G 在CB 延长线上时，证明：在直线EF 上存在一点H ，使得△DGH 是等边三角形。