数学大师陈省身的最后岁月

世界数学大师陈省身1994年6月8日，在中国科学院第7次院士大会上，陈省身教授作为对中国科学技术做出重要贡献、在国际上具有很高学术地位的美籍华人学者，被选为中国科学院首批外籍院士．这是中国学术界的最高荣誉．陈省身获此殊荣，是当之无愧的．陈省身1911年10月26日出生于浙江嘉兴．年纪小时没上学，在家里由家人教他．他从小喜欢数学，把家里的3本《笔算数学》中的习题全做过了，打下良好的数学基础．9岁时以优异的数学成绩考入高小一年级．12岁时随父亲去天津，进入当地中学，15岁时中学毕业，考进南开大学数学系．大学二年级课程由姜立夫博士讲授．姜先生课讲得非常好，专业知识广博，基础知识扎实，一人讲了七、八门课程，在师生中享有极高声誉，对陈省身影响极深，姜先生不但教给他高等数学基础，也培养了他的数学兴趣和良好的学习习惯．当时南开大学图书馆数学藏书全国第一，他读了许多名著，得益匪浅．19岁时他大学毕业，得到理学学土学位，并能阅读德、法、英文书籍．他20岁时考入清华大学研究院，在孙光远博士指导下，从事数学研究并初获成果，发表了第一篇论文．他受到孙光远等人的影响，确立微分几何学为终生研究方向．他23岁时毕业于清华大学研究院，获硕士学位．在北京大学数学系原主任江泽涵教授的教导启发下．他潜心研究拓扑学并把它引入微分几何学．后由清华大学资助，赴德国汉堡大学留学2年，跟随著名几何学权威布拉希克教授研究微分几何学，24岁时获博士学位，进入世界数学家行列，接着他又获中华文化基金会资助去法国，师从当代最伟大数学家嘉当1年，这一年他获益极大，并对其一生的研究工作有着最大最深的影响．他26岁时回国，在昆明西南联合大学教书6年．时值抗日战争期间，生活条件极其困苦，图书馆的书都装了箱，以备敌人一来就随时运走，没有书可读，他只好认真苦读自己从德国、法国带回来的数学书复印本，研讨很多没有人想过的数学问题，不断发表论文，硕果累累．他31岁时应美国普林斯顿高级研究院邀请去美国从事研究．他和那里一些杰出的数学家一起研究，十分勤奋．在这里他取得有生以来最丰硕、最重要的成果．35岁时他重返祖国担任中央研究院数学研究所研究员，主持该所实际工作，不但本身做研究，而且还培养了一批优秀数学人才．由于当时国内环境问题，37岁时他又去美国，其后在芝加哥大学担任教授11年．除了教学和研究外，他还应邀到许多国家的大学和研究所讲学和访问．49岁时他被聘为美国加州大学教授．50岁时当选为美国国家科学院院士．52-54岁担任美国数学会副会长．1981年出任美国数学研究所所长．陈省身对微分几何学作出了伟大的贡献．他的研究工作范围极广，遍及几何学各分支，影响很深．他奠基了“纤维丛理论”这个理论物理学场论的基础．他证明了十分重要的高斯-波耐公式．他的“示性类”是近代数学的基本理论，对当代数学、物理有重大影响．他把拓扑学和微分几何学引入新境界，著名物理学家杨振宁称这些成果是划时代的贡献和十分美妙的构思，推动了物理学的发展．陈省身在世界数学界享有极高的荣誉．他是美国、法国、意大利、巴西等国科学院的院士，英国皇家学会会员，世界几十个大学、研究所的名誉教授、研究员和博士．他荣获了美国数学会乔文夫特奖、斯蒂尔奖、德国的洪堡特奖和全球最高数学奖——以色列的沃尔夫奖．美国数学界推崇他是“最有影响的第一号权威人物”“世界数学大师”．他是本世纪伟大的几何学家．陈省身千方百计地支持祖国的数学事业．他应我国政府聘请担任南开大学数学研究所所长，并把所得的沃尔夫奖金全部捐给南开大学．他的办所宗旨是“立足南开，面向全国，着眼世界”．多年来他邀请几十位世界一流的数学大师来中国讲学，组织多次国际微分几何、微分方程、偏微分方程会议，从全国各地选拔几百名优秀青年学者和教师来听课，通过扎实的训练，培养出成批高水平的青年数学家．他还组织中国数学研究生赴美国留学以培养高级人才．著名数学家吴文俊教授称他为“中国数学界青年学子的总教练”．这并非虚泛的溢美之词，而是千真万确的．陈省身说：“我把最后一番心血献给祖国，我的最后事业也在祖国．我要为中国数学的发展鞠躬尽瘁，死而后已．”他认为，中国人是有数学天才的．他寄希望于青年一代，愿几十年后的中国数学家夺得世界现代数学的“金牌”．我们相信，在他的帮助、关怀和鼓舞下，经过全国青少年和全体数学工作者的努力奋斗，他的最大心愿——中国在21世纪成为世界数学大国——一定会实现！。

数学家的墓碑和墓志铭董雄杰邱强2011年6月17日如同国际数学大师陈省身生前设想的那样，一面“黑板”立在他的埋骨之地，上面写着他最爱的数学公式。

在诞辰100周年之际，陈省身终于叶落归根，葬在其母校南开大学的校园里。

没有葬礼，只有一个简单的揭幕仪式——6月18日，在南开大学出席“理论物理前沿讨论会”的诺贝尔奖得主杨振宁等众多著名学者将来到这面“黑板”前，向陈先生致意。

一些数学家生前献身于数学，他们的墓碑上往往只是刻着一个图形或写着一个数，这些形和数，展现着他们一生的执著追求和闪光的业绩。

1.最古老的数学墓志铭“过路的人！这儿埋葬着丢番图。

请计算下列数目，便可知他一生经过了多少寒暑。

他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。

再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。

五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。

晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。

请你算一算，丢番活到多大，才和死神见面？”请你算一算，丢番图到底活到多少岁？解：设丢番x 岁。

答：丢番图的寿命为84岁。

古希腊的大数学家丢番图（246—330），大约生活于公元246年到公元330年之间，距现在有二千年左右了。

他对代数学的发展做出过巨大贡献。

丢番著有《算术》一书，共十三卷。

这些书收集了许多有趣的问题，每道题都有出人意料的巧妙解法，这些解法开动人的脑筋，启迪人的智慧，以致后人把这类题目叫做丢番问题。

这里要计算的是丢番的寿命，不可能会有小数点的出现。

前面有几个很显眼的分数出现“六分之一”、“十二分之一”、“七分之一”，要想用这些数求出整数，只能求他们的公倍数。

其实丢番所活的寿命就是这些数的最小公倍数。

至12=3×2×2，6=2×3，7是素数，相乘就是2×2×3×7=842.阿基米德是物理家？不，他认为他是数学家阿基米德是物理家？不，他认为他是数学家。

陈省身R.帕勒滕楚莲陈省身 1911年10月28日诞生于浙江嘉兴．美国科学院院士、南开数学研究所所长．微分几何、拓扑学．早年陈省身的父亲陈宝桢是晚清秀才，后毕业于浙江法政专门学校，在司法界服务．母亲韩梅，弟陈家麟，姊陈瑶华，妹陈玉华．因为祖母钟爱，不放心陈省身进小学，由他的姑母在家教他国文．他的父亲在外地做事，不常在家．有一年，父亲回来，教他认阿拉伯数字，学四则运算．父亲走后，陈省身做了很多数学习题．因此，他虽然没有上过初小，却能在9岁时轻易地通过考试进入秀州中学附属小学五年级．1922年，陈宝桢在天津供职，决定把全家接到天津．陈省身进天津扶轮中学，仍然喜欢数学，觉得它既容易又有趣，做了霍尔(H.S.Hall)及奈特(S.R.Knight)的高等代数及温特沃思(G.A.Wentworth)和史密斯(D.E.Smith)的几何学和三角学书中的大量习题．他也喜欢看小说和写文章．1926——1930，南开大学15岁时，陈省身考入天津南开大学学习数学．他的老师姜立夫对他的读书态度有很大影响．姜立夫是哈佛大学的数学博士(指导教授是库利奇(J.L.Coolidge))．当时全中国只有几个数学博士，而姜立夫的教学态度很严谨，总是布置很多习题，并且亲自批改作业，使学生获益极多，觉得数学非常有趣又有前途．1930——1934，清华研究院30年代，很多在国外获得博士学位的留学生陆续回国任教．虽然各大学的数学系的水准有提高，但陈省身觉得那时的教学颇像学徒制，很少鼓励学生自己创新，所以要在数学上有长进，必须出国深造．因陈省身的父母无法供他出国念书，只有考公费．当时清华研究院规定，毕业后成绩优异者可以公费留学．所以陈省身在1930年从南开大学毕业后考进清华研究院．那时研究院的四位教授是熊庆来、孙光远、杨武之(杨振宁的父亲)和郑之蕃(后来成为陈省身的岳父)．陈省身随孙光远念投影微分几何．陈省身在南开大学时上过姜立夫开的空间曲线、曲面论的课，用的是布拉施克(W.J.E.Blaschke)的书．他觉得这门课深奥奇妙，所以当布拉施克在1932年到北平访问时，陈省身听了他的全部六个关于网络几何的演讲．陈省身在1934年从清华研究院毕业时得到两年的留美公费．因受布拉施克的影响，陈省身要求清华研究院让他去德国汉堡大学．当时数学系的代理系主任杨武之帮他安排去德国留学．当时正值希特勒当权，驱逐大学里的犹太籍教授．因汉堡大学刚成立不久，幸而比较安静，成为一个研究数学的好地方．1934——1936，汉堡大学陈省身在1934年9月到达汉堡大学，随布拉施克研究几何，论文的内容是嘉当方法在微分几何中的应用，在1936年2月得到科学博士学位．因为布拉施克时常外出旅行，故陈省身和布拉施克的助手克勒(E.Kahler)的讨论最多．当时对陈省身在数学上影响最大的可能是克勒的讨论班“微分方程组论”，其中的主要定理现称为嘉当-克勒定理．这是一个崭新而复杂的理论．讨论班刚开始时研究院里每个人都来参加了，但到最后只剩下陈省身一个人．陈省身觉得他也因此而受益最多．1936年夏天陈省身的公费期满，就接到清华大学与北京大学的聘约，同时又得到中华文化基金会的一年资助．所以他由布拉施克推荐去巴黎随当代几何大师嘉当(E.Cartan)工作一年．1936——1937，巴黎陈省身在1936年9月到达巴黎．当时嘉当的学生众多，要会见他得在他的办公时间排队等候．幸而两个月后嘉当邀请陈省身每隔一周到他家去讨论一小时．陈省身在巴黎这段时间工作很勤奋、很快乐，全部精力花在准备这每两周一次与嘉当的面谈上．他学到了活动标架法和等价方法，以及更多的嘉当-克勒理论．更重要的是，陈省身觉得他学到了嘉当的数学语言及思考方式．他感到和嘉当工作10个月所得益处甚多，在那时所写的三篇文章只是研究成果的一小部分．1937——1943，西南联大1937年夏天，陈省身受聘于清华大学．不幸，未离巴黎就发生了卢沟桥事变，日本侵华战争爆发．清华大学要陈省身暂时先去长沙临时大学任教．1938年1月日军逼近长沙，陈省身随大学搬到昆明西南联合大学．西南联大是战时由北京大学、清华大学、南开大学三校合并而成的，师资力量很强．譬如华罗庚当时也在西南联大任教．陈省身在西南联大有很多好学生，不少后来在数学及物理学上有杰出贡献，例如数学家王宪钟和物理学诺贝尔奖获得者杨振宁．因战争之故，昆明与外界完全隔绝，且物资匮乏，幸而陈省身带了不少嘉当的论文研读，将自己完全投入了研究工作．他在这段困难时期开始的研究工作后来对于现代数学的发展具有极大的启示性．陈省身的家庭陈省身与郑士宁的婚姻是由杨武之促成的，他们于1937年在长沙订婚，1939年结婚．郑士宁是东吴大学生物学理学士．1940年她由昆明去上海待产，生下长子陈伯龙．但因战事，她无法回昆明，直到6年后的1946年才得以团聚．他们尚有一女陈璞(女婿朱经武是高温超导体研究的主要贡献者之一)．陈省身的家庭美满，夫人一向陪伴在旁，陈省身非常感谢她为他创造了一个平静的气氛进行研究．在郑士宁60岁生日时，陈省身特别为她写下一首诗：三十六年共欢愁，无情光阴逼人来．摩天蹈海岂素志，养儿育女赖汝才．幸有文章慰晚景，愧遗井臼倍劳辛．小山白首人生福，不觉壶中日月长．1978年陈省身在“我的科学生涯与著作梗概”中写下了如下的话：“在结束本文前，我必须提及我的夫人在我的生活和工作中所起的作用．近40年来，无论是战争年代抑或和平时期，无论在顺境抑或逆境中，我们相濡以沫，过着朴素而充实的生活．我在数学研究中取得之成就实乃我俩共同努力之结晶．”1943——1945，普林斯顿高级研究院此时陈省身已是中国著名的数学家，他的工作也逐渐受到国际上的重视．但他对自己的成就并不满足，所以当维布伦(O.Ve-blen)在1942年邀请他去普林斯顿高级研究院做研究员时，他不顾世界大战正在进行中，毅然决定前往．(他坐军用飞机花了7天才由昆明到达美国！) 这是陈省身一生中最重要的决定之一，因为在普林斯顿这两年里进行的研究是最创新的工作，具有最深远的影响．他给出了“高斯-邦尼公式一个新的内蕴证明”，进而发现了“陈示性类”．霍普夫(H.Hopf)曾说：“推广高斯-邦尼公式是微分几何最重要和最困难的问题，纤维丛的微分几何和示性类理论……更将数学带入一个新纪元．”1946——1948，中央研究院陈省身在1946年春天回国．当时中央研究院决定成立数学研究所，由姜立夫任筹备处主任．姜立夫聘陈省身为兼任研究员，但姜立夫很快离国去美，故筹备工作落在陈省身的身上．战后复员，筹备处确定在上海工作．陈省身着重于“训练新人”，他从全国各大学选了最好的大学毕业生集中到上海，由他每周讲12个小时的拓扑学．由此培养了一批新的拓扑学人才，如吴文俊、廖山涛、陈国才、张素诚、杨忠道等．1948年研究所迁到南京．该年秋天中央研究院举行第一届院士选举，共选出81人，陈省身是其中最年轻的一位．陈省身专心于研究及教学，完全没有注意到内战的状况．一天，他忽然接到普林斯顿高级研究院院长奥本海默(R.Oppen-heimer)的电报，说：“如果我们可做什么事便利你来美，请告知．”陈省身这才开始阅读英文报刊，了解南京的局面不能长久，所以决定带全家去美国．在去美国前，印度孟买的塔塔(Tata)研究院曾邀请他去那里工作，但那时他已不能接受．陈省身全家于1948年12月31日离开上海，在普林斯顿高级研究院度过了春季学季．1949——1960，芝加哥大学陈省身知道他无法很快返回中国，需要一个长期职位哺养家室．此时正值芝加哥大学斯通(M.Stone)教授揽才网罗最好的数学家，将芝加哥发展成世界上最好的数学研究中心．当时，陈省身的好友、著名数学家韦伊(A.Weil)就在那里．1949年夏，陈省身被聘为芝加哥大学教授．在芝加哥大学11年陈省身指导了10个杰出的博士生．他于1960年离开芝加哥去伯克利加州大学，一直到1979年退休．陈省身与杨振宁陈省身在1946年发表示性类的论文，1949年在普林斯顿讲了一个学期的联络论．杨振宁和米尔斯(ls)在1954年发表了杨-米尔斯场论．1949年陈省身、杨振宁均在芝加哥，1954年又同在普林斯顿．他们是好友，时常谈论自己的工作，却不知道他们的工作有密切的关系．20年后才知道两者的重要性，也才知道他们所研究的是同一个“大象”的两个不同的部分．下面是杨振宁送陈省身的一首诗：天衣岂无缝，匠心剪接成．浑然归一体，广邃妙绝伦．造化爱几何，四力纤维能．千古寸心事，欧高黎嘉陈．1960——1979，伯克利加州大学陈省身曾说他去加州大学原因有二：一是加州大学正在发展阶段，有建成几何学中心的潜力；二是加州的天气暖和．在加州大学，陈省身有很多学生，有31人随他完成博士学位．陈省身也是许多到加州大学做讲师的年轻博士们的良师(本文作者之一曾在芝加哥大学做讲师，另一位曾在加州大学做讲师，均受教于陈省身)．陈省身在加州大学将数学系建成世界著名的几何学中心．他对人友善、益谈、多鼓励，再加上他的论文和讲稿从50年代起已成为学习微分几何的经典，因此可以说世界各地的几何学家几乎都受到他的影响．当他在1979年从加州大学退休时，学校为他举行了一个数学讨论会(Chern Symposium)，历时一周，300多人出席．其实陈省身并没有真正退休，而是继续在加州大学教到1984年，并且到“山顶”成为伯克利数学科学研究所首任所长．1981年以后，三个研究所1981年，陈省身、穆尔(C.Moore)、辛格(I.Singer)以及旧金山海湾地区的几位数学家向美国国家科学基金会提出在伯克利成立数学研究所的计划．经过激烈的竞争，国家科学基金会宣布成立两个所，其中一个就是在伯克利的数学科学研究所(MSRI)，陈省身为首任所长，任期三年．此所办得很成功，陈省身的影响是显著的．陈省身一共办过三个研究所：中央研究院数学研究所(1946——1948，上海，南京)，数学科学研究所(1981——1984，伯克利)，南开数学研究所(1984年以后，天津)．陈省身一向不愿意让琐碎的行政工作缠身，总是把老子的无为哲学用得恰到好处．陈省身一直希望中国数学能跻身于世界数学领导地位．他觉得要达此目的必须做到下面两点：第一，要培养出一批年轻、有抱负、有信心、不求个人名利、且要“青出于蓝而胜于蓝”的数学工作者．第二，要有足够的经费支持，充实的图书，完善的研究室以及国内外的数学交流．(陈省身觉得这些资源对于数学研究的重要性不亚于仪器对于实验科学的重要性．)为了促使中国早日成为数学强国，陈省身1946年回国，办中央研究院数学研究所．以后又在1984年从伯克利数学科学研究所退休后回到天津办南开数学研究所．1966——1976年的“文化大革命”使中国损失了整整一代的数学工作者．从1972年起，陈省身常回中国讲学，培养中国年轻一代的数学家．南开研究所成立于1985年，在这里建有宿舍，常年有中外学者来访．研究所仿普林斯顿高级研究院的模式，其目的之一是让中国各大学里的教师和研究生可以到这里专心致志进行研究，并且有机会与中外数学家进行讨论和交流．另一个目的是希望创造一个好的研究环境吸引在国外获得博士学位的留学生回国工作．荣誉陈省身曾应邀在国际数学家大会上作过三次报告．第一次是在战后第一次大会上(1950年，麻省剑桥)作一小时报告，第二次在苏格兰的爱丁堡(1958年)，第三次在法国尼斯(1970年)也是一小时报告．国际数学家大会每四年开一次．同一个人被邀请作两次以上的演讲是罕见的．在这个大会上还要颂发数学界的最高荣誉奖——菲尔兹(Fields)奖．这个奖颁给40岁以下、且在数学上做出卓越的奠基性研究工作的数学家．陈省身的学生丘成桐在1982年得到过这项菲尔兹奖．许多著名大学授予陈省身荣誉博士学位；他在1961年当选为美国国家科学院院士，1975年得到美国国家科学奖，1983年获得沃尔夫(Wolf)奖．“沃尔夫奖”是1978年由以色列沃尔夫基金设立的，颁给在科学领域内做出杰出贡献的学者．陈省身将他的奖金全数捐给了南开数学研究所．陈省身也是英国皇家学会、意大利国家科学院及法国科学院等的国外院士．较完全的简历请参阅．陈省身的研究工作总论陈省身的数学兴趣很广泛，对古典的及近代的几何学均有重要的贡献，其中主要的有：·几何结构及等价问题·积分几何·欧氏微分几何·极小子流形·全纯映射·网·外微分系统和偏微分方程·高斯-邦尼公式·示性类因为篇幅限制，不能够对陈省身的所有论文和成就一一进行解释，这里将着重介绍最重要的、影响最深远的文章，比较详细而完整的资料请阅，特别是第一卷所附的A．韦伊及格列菲斯(P．Griffiths)对陈省身的工作的评论，以及陈省身自述的科学生涯与著作梗概．陈省身的研究工作有一共同的风格：他精通微分形式的运算技巧并将它巧妙地用到几何问题上．这是他的老师——几何大师E．嘉当传给他的魔杖，使他能以此进入数学上旁人难以进入的新领域．微分形式是探讨局部几何与整体几何的理想工具，原因是它有两个互补的运算：外微分和积分，且两者由斯托克斯定理相联系．几何结构及等价问题陈省身的早期工作主要是研究各种不同的等价问题，也就是如何有效地决定两个同种的几何结构是局部等价的．例如：两条空间曲线是否全等(即它们在空间的旋转和平移下互相重合)，或两个黎曼结构是否局部等距．在古典几何里我们常设法找出几何结构的较易了解又简单的不变量及其关系，然后证明这些不变量是完全的，即两个同种的几何结构等价的充要条件是其不变量相同．最终目的是得到类似于平面几何中三角形全等判定定理的结论．光滑空间曲线的等价问题在上世纪初已解决，它在刚体运动群下的完全不变量组是其曲率和挠率．欧氏空间中曲面的等价问题较复杂，但在19世纪末也得到完满的解决，它的完全不变量组是两个二次型，第一个二次型(即度量张量)是正定的，而且这两个二次型须满足高斯-科达奇方程．黎曼度量的局部等价问题也由克里斯托费尔(E．B．Christoffel)和李普希茨(R．Lipschitz)解决，它的解更复杂，且从表面上看与上面的例子无关．在陈省身开始做研究工作的初期，寻找上述个别例子的共性，及如何有系统地解决等价问题是当时几何学家面临的主要挑战．嘉当用他的活动标架方法已朝这个方向迈了一步．他将一般的等价问题演化成微分形式组的等价问题．具体地说，就是在给定R n上的一个几何结构之后，可以选取1)GL(n，R)的一个子群G；2)在R n上的n个线性无关的一次形式θ1，…，θn，使得几何结构的等价问题变成形式的等价问题．至于R n上结构为一个G-结构，它是陈省身为了系统地整理和解释嘉当的等价方法是显而易见的，但是多数自然的几何结构可以表成适当的G-结构．嘉当不仅将几何结构的等价转换成G-结构的等价，而且也发展了一套方法找出完全不变量组．可是他的方法需要运用困难的普法夫方程组理论及其拓展方法，以致至今仍未广为人知．事实上，嘉当在晚年虽被认为是卓越的几何学家，但是同时代的学者认为他的文章难读，因而充其量也只有极少数的数学家真正了解他在几何学上的创新和贡献．例如韦尔(H．Weyl)在评嘉当的书时曾说：“嘉当是当今最伟大的几何学家……但我必须承认我觉得他的书和他的文章一样难读……”在大家都觉得嘉当的文章难懂的情形下，可以想象他在等价问题上的重要见解会被埋没．幸而命运的安排并非如此．因陈省身随克勒及嘉当学习，故他成为能对等价问题有更深一层了解的自然人选．在他头20年的研究工作中有许多篇关于等价问题的好文章，而且他对等价问题给了详尽的解释．纤维丛及主丛上的联络理论在此20年间发展起来绝非偶然．这些理论是许多人多年研究工作的结晶，在几何学、拓扑学上均有很大的启发性．陈省身在等价问题方面的工作以及相关的示性类理论是此20年数学的主要进展之一．为要了解陈省身在等价问题上的重要贡献，下面先解释由陈省身引进的定义：用现代语言来说，所谓的n维流形M上的一个G-结构是指M上由余切GL(n，R)-主丛约化的G-主丛．假定这个G-主丛是π∶P→M，其中P 是全空间，由允许的余切标架θ=(θ1，…，θn)组成．在P上有n个自然的一次微分形式ωi，使得ωi｜θ=π*(θi)．令V表示dπ的核，则V是切丛TP的子丛，称为纵子丛，且ωi在V上的值为零．因为G作用在P的右边，而且在纤维上的作用是单可迁的，所以在点θ的纵子空间Vθ可以看作G的李代数L(G)(由G上的左不变向量场组成)．那么P上的G-联络是TP上的一个横子丛，也就是与V互补、并且在G的作用下不变的子丛H．给定H与给定从TP到V上的射影是一样的，后者相当于在P上给定一个L(G)-值的一次形式ω，称为联络形式．用Rg表示元素g∈G在P上的右作用，则H在G的作用下不变的条件写成关于ω的条件就是R g*(ω)=ad(g-1)·ω(其中ad是G在L(G)上的伴随表示)，简称ω满足等变条件．由于L(G)是L(GL(n，R))的子代数，故ω可表示成n×n矩阵，其第i行、第j列的元素ωij是P上的一次微分形式．令σ：[0，1]→M是M上从点p到点q的一条光滑曲线，σθ是P中通过点θ的、曲线σ的唯一的横提升．用πσ表示从纤维P p到纤维Pq的映射，其定义为πσ(θ)=σθ(1)．πσ称为沿曲线σ的平移．一般说来，此平移与所取的曲线σ有关．如果联络ω的平移只与σ的同伦类有关，则称ω是平坦的．联络ω是平坦的充分必要条件是横子丛H是可积的，或者量ω平坦与否的测度，郎dω=ω∧ω—Ω．因ω是等变的，故Ω也是等变的．将Ω作外微分，得到比安基恒等式dΩ=Ω∧ω—ω∧Ω．把P上的局部截面θ：U→P称为允许的局部余切标架场．若是P在U上的另一个截面，则存在唯一的一个光滑映射g：U→G，使得(x)=R g(x)θ(x)．令ψ=θ*(ω)，=*(ω)，=θ*(Ω)，=*(Ω)，则有=dg·g-1+g·ψ·g-1，=g·Ψ·g-1．但是联络与等价问题的联系在哪里？嘉当的等价方法用于一般的G-结构是复杂的，除非G成为平凡子群{e}(e是群的单位元素)．他发现，有时可以添进对应于群G的坐标的“新变量”得到一个新的流形，使得M 上的G-结构成为新流形上的{e}-结构．陈省身看出这个新流形只是G-主丛的全空间P，嘉当的约化方法恰好是探测P上是否有“内蕴联络”的方法，而G-结构的完全不变量组可以由这个联络的曲率形式算出来．最重要的黎曼度量的等价问题即可以用此法来解，其内蕴联络当然是它的列示M上由e i决定的法坐标，则g和g*在此坐标下是相同的．注意到g在法坐标下的麦克劳林展开式的系数可以表为它在点p的曲率及其共变导数的通用多项式．因此，黎曼度量的完全不变量组是在法坐标系下的曲率张量及其各阶共变导数在一点的值．线性标架的G-主丛P可以扩充为仿射标架的相配N(G)-主丛N(P)．在[1-43]里，陈省身发现如果能在N(P)上找到内蕴N(G)-联络，则与上例类似的结果仍成立．N(G)-联络的曲率形式Ω是L(N(G))-值的二次微分形式．然而L(N(G))=Rn+L(G)，故Ω也有相应的分解．Ω中相应于R n的部分τ称为此联络的挠率．陈省身发现，如果在τ上加适当条件，可以定义内蕴的N(G)-联络．例如，列维-奇维塔联络是τ=0的唯一的N(O(n))-联络．事实上，在[1-43]中陈省身证明：若L(G)满足一个代数条件(“性质C”)，则内蕴N(G)-联络存在．他更进一步证明：若G是一紧群，则L(G)必满足性质C．在该文中他还用嘉当的伪群观点来解释为何有些G-结构上不存在内蕴联络．G-结构(π：P→M)的伪群是由所有保持P不变的M上局部微分同胚组成的，所以当G-结构上有一内蕴联络时，该联络必在上述伪群作用下不变．但是在P上保持一个固定联络不变的丛自同构成为一个有限维李群，而确实存在其伪群是无限维的G-结构：例如当n=2m时取G=GL(m，C)，这时G-结构恰好是殆复结构，其自同构群是一个无限维伪群．陈省身还解决了许多具体的等价问题．例如，[1—6]，[1—13]关于三阶常微分方程式定义的轨道几何，此时G结构是关于R2的单位切向量的切触流形定义的，G是保圆切触变换的群．在[1—10]，[1—11]中他把上述考虑推广到n阶常微分方程组的轨道几何．在[1—23]中他考虑广义的射影几何，即R n中k维子流形的(k+1)(n-k)-参数族的几何；[1—20]和[1—21]是关于R n中超曲面的(n—1)-参数族定义的几何．在[1—105](与莫泽(J．Moser)合作)及[1—107]中他考虑C n中的实超曲面，此二文成为CR 流形理论的经典著作．积分几何R n的刚体运动群G可迁地作用在各种各样的几何对象组成的空间S上(例如：点、直线、有某一固定维数的仿射子空间、有固定半径的球面，等等)，所以S可以看作一个齐性空间G/H，G上的不变测度诱导出S上的一个不变测度，此即首先由庞加莱(J．H．Poincarè)引进的“运动学密度”．积分几何的基本问题是将各种几何上有意义的量关于运动学密度的积分用已知的积分不变量表示出来(参看[1—84])．最简单的例子是关于平面曲线C的克罗夫顿公式：∫n(l∩C)dl=2L(C)，其中n(l∩C)是平面上的直线l与C的交点数，dl是直线组成的空间的运动学密度，L(C)是C的长度．此公式可解释为平面上直线与一条曲线相交的平均次数是C的弧长的两倍．在[1—18]中，陈省身为广义的积分几何奠定了基础．A．韦伊在评论这篇文章时说：“它把布拉施克学派的工作一举推进到更高的水平．我对文章所显现的非凡才能和深刻见解有极深的印象．”在该文中陈省身首先把经典的“关联”概念推广到同一个群G的两个齐性空间G/H，G/K，设aH∈G/H，bK∈G/K，若aH∩bK≠，则他称aH和bK是关联的．这个定义在蒂茨(J．Tits)的厦(building)理论中起重要作用．在[1—48]和[1—84]中陈省身分别得到了R n中两个子流形的基本运动学公式．陈省身的公式中用到了韦尔的管体积公式中的积分不变量．设Tρ是R n中围绕k维子流形X的半径为ρ的管，则的李代数上的伴随不变多项式，Ω是关于X上的诱导度量的曲率张量．陈省身的公式是(同时由费德勒[H．Federer]独立发现)其中M1、M2分别是R n中的p维、q维子流形，e是偶数，0≤e≤p+q-n，c i是依赖于n，p，q，e的常数．格列菲思在评论陈省身关于积分几何的工作时说：“陈省身的证明显示了许多典型的特征．当然，一是用活动标架……另一个特征是通过直接的计算，而非建立一个复杂的概念框架；事实上，仔细观察会发现，确实存在一个如[1—18]所描述的框架，然而陈省身并未将它孤伶伶地提出来，而是让读者通过做一个不太简单的问题来理解它．”欧氏微分几何经典微分几何的一个主要课题是研究欧氏空间中子流形在刚体运动群作用下的局部不变量，即子流形的等价问题．这在30年代已经解决了．实际上，子流形的第一、第二基本形式Ⅰ、Ⅱ以及子流形的法丛上的诱导联络0满足高斯、科达奇、里奇方程，且它们构成R n中子流形的完全不变量组．具体地说，这些不变量是：a)Ⅰ是在M上的诱导度量．b)Ⅱ是M上在法丛ν(M)中取值的二次型，设u是在点p的单位切向量，ν是单位法向量，则Ⅱν(u)=〈Ⅱ(u)，ν〉是M与u，ν所张平面相交而成的平面曲线σ在点p的曲率．c)若s是光滑法向量场，则ν(s)是微分ds在法丛v(M)上的正交投影．Ⅱν=〈Ⅱ，v〉称为沿v方向的第二基本形式，对应于Ⅱν的自对偶算子A v称为M沿v方向的形状算子．陈省身在欧氏微分几何上的工作主要是研究子流形的整体几何与其局部不变量之间的关系．他在这方面写了多篇重要论文，因篇幅所限这里只提出下面两项：(1)极小曲面。

【高中记叙文阅读】《数学大师陈省身》阅读数学大师陈省身龙飞陈省身 1937 归国，这时芦沟桥事变已经发生。

他心情沉重地登上旅途，经香港抵达长沙，在由清华、北大、南开三校组建的临时大学授课。

陈省身从此开始了他数学大师陈省身龙飞陈省身1937归国，这时芦沟桥事变已经发生。

他心情沉重地登上旅途，经香港抵达长沙，在由清华、北大、南开三校组建的临时大学授课。

陈省身从此开始了他的西南联大生涯。

西南联大精英荟萃，师资力量强大而充裕。

陈省身、华罗庚、许宝禄等人最为出色。

陈省身有机会开设一些高深的课，这些课是为硕士生开的，但实际已达到博士课程的水平。

如“李群”“圆球几何学”“外微分方程”等。

陈省身还同华罗庚以及物理系教授王竹溪合开“李群”讨论班，这在国际上也是先进的。

在紧张的工作之余，吴大猷家每周末有两桌桥牌“牌战”。

陈省身是常客之一。

他在南开时即以善打桥牌著称。

战争期间，学校的图书设备奇缺。

所幸的是陈省身常能收到嘉当从巴黎寄来的大量论文复印件。

他可以充分苦读，把嘉当的理论搞得很熟，此理论后来成为近代数学主流之一。

陈省身每都有论文在国外发表。

这期间他的研究成果已被国际数学界所瞩目。

因此，1943美国普林斯顿高级研究院邀请他去做访问学者。

普林斯顿高级研究院是当时的世界数学中心，研究院创办之初就以数学为主要项目。

并到世界各地聘请教授，第一个目标是爱因斯坦，第二个目标则是德国大数学家韦尔。

在普林斯顿，和陈省身接触最多的是韦尔。

他到了那里仅仅两个月，就完成了高斯-邦尼公式的证明。

韦尔看完初稿，当即向他祝贺。

陈省身也自认为这是他一生最得意的文章。

他的证明有新见，解决了技术上的困难，并有许多新发展。

这在科学研究上是很难得的。

接着，他由此又引入以后被称之为“陈省身示性类”的著名工作，对数学乃至理论物理的发展都产生了极其深远的影响。

当代著名几何学家霍普夫，在一篇谈到陈省身的文章中写道：“微分几何进入了一个新时代。

”正当陈省身在普林斯顿取得辉煌研究成果的时候，抗日战争胜利了。

陈省身的故事20世纪80年代初,数学大师陈省身同意担任南开大学数学所所长。

当时,他既要为美国的数学研究所创建尽心尽力,又要为南开数学所的建立未雨绸缪,因此,陈先生虽身在伯克利处理繁重的事务,却仍然关心着南开数学所建设的各项工作,并以至事无巨细,都要过问关照。

经过艰苦的努力,南开数学所于1985年正式挂牌成立。

宣布陈省身为所长,胡国定为副所长。

陈省身认为,南开数学所要办成开放的数学所,使得南开的数学活动能够为全国服务。

因此,吴大任根据陈省身的建议,归纳提出南开数学所的办所宗旨是:立足南开,面向全国,放眼世界。

实行这一方针的具体措施就是组织学术活动年。

于是,每年在南开举行为期三个月到半年的学习班,研究生都可以参加。

每班选择一个主题,聘请国内外一流专家承担教学工作,为达到研究的前沿,多半由陈省身出面邀请一些国际名家来演讲,国内外专家从基础讲起,使大家迅速接近世界先进水平。

这样的学术年先后举办了10年,共12次。

连续10年举办学术年,使得南开数学所在全国数学界赢得了盛誉。

1995年,学术年活动告一段落。

学术年这一活动影响了中国的一代数学家，得到了数学界老中青各阶层的广泛欢迎。

来自国内外的数学界的专家学者,聚集在以陈省身为首的南开数学所进行学术交流,都感到兴致勃勃。

报效祖国,着眼于中国本土的数学发展,用陈先生自己的话说就是:为数学所我要鞠躬尽瘁,死而后已。

这是他的肺腑之言,也是他多年来的行动。

陈先生把他获得沃尔夫数学奖的5万美金奖全数交给了数学所;1988年,陈省身到美国休斯顿授课和研究,所得酬金两万美金也捐给了数学所;还捐了汽车5辆。

到了21世纪,他为南开数学所设立了上百万美金的基金,其中半数是他自己多年的积蓄。

至于图书、杂志以及其他的零星捐助,已无法精确统计。

作文素材积累（七）
陈省身——一生只做一件事
2004年12月3日数学大师陈省身逝世，他走完93年的人生。

不懂数学的人要要想多读陈省身是困难的，也是不自量力的。

他说，在他死后，不要修什么墓碑之类，他希望在他墓前立一个黑板，有人去墓地时，在黑板上做点数学题，他最喜欢。

在陈省身家里就挂着一块黑板，陈省身自己也喜欢在黑板上做题。

后来，他坐轮椅，不能用黑板，就由他的学生在黑板上写给他看。

陈省身还说，他爱数学，有一个原因是：数学简单，只要一张白纸和一支铅笔就行。

他说，他不喜欢复杂的关系，自己只会做一件事，就是数学！
【人生启迪】
学会放弃，是一种人生哲学；敢于放弃，是一种生存魄力，更是一种良好心态。

懂得“一生只做一件事”，确是一种大智慧。

短暂的一生中，有所弃，才能所为；有所为，才能所不为。

陈省身的认识自我的事例2004年12月3日，国际数学大师、中科院外籍院士陈省身，在天津病逝。

享年93岁。

陈省身，1911年10月26日生于浙江嘉兴。

少年时就喜爱数学，觉得数学既有趣又较容易，并且喜欢独立思考，自主发展，常常“自己主动去看书，不是老师指定什么参考书才去看”。

陈省身1927年进入南开大学数学系，该系的姜立夫教授对陈省身影响很大。

在南开大学学习期间，他还为姜立夫当助教。

1930年毕业于南开大学，1931年考入清华大学研究院，成为中国国内最早的数学研究生之一。

在孙光远博士指导下，发表了第—篇研究论文，内容是关于射影微分几何的。

1932年4月应邀来华讲学的汉堡大学教授布拉希克对陈省身影响也不小，使他确定了以微分几何为以后的研究方向。

1934年，他毕业于清华大学研究院，同年，得到汉堡大学的奖学金，赴布拉希克所在的汉堡大学数学系留学。

在布拉希克研究室他完成了博士论文，研究的是嘉当方法在微分几何中的应用。

1936年获得博土学位。

从汉堡大学毕业之后，他来到巴黎。

1936年至1937年间在法国几何学大师 E.嘉当那里从事研究。

E.嘉当每两个星期约陈省身去他家里谈一次，每次一小时。

“听君一席话，胜读十年书。

”大师面对面的指导，使陈省身学到了老师的数学语言及思维方式，终身受益。

陈省身数十年后回忆这段紧张而愉快的时光时说，“年轻人做学问应该去找这方面最好的人”。

陈省身先后担任我国西南联大教授，美国普林斯顿高等研究所研究员，芝加哥大学、伯克利加州大学终身教授等，是美国国家数学研究所、南开大学数学研究所的创始所长。

陈省身的数学工作范围极广，包括微分几何、拓扑学、微分方程、代数、几何、李群和几何学等多方面。

他是创立现代微分几何学的大师。

早在40年代，他结合微分几何与拓扑学的方法，完成了黎曼流形的高斯—博内一般形式和埃尔米特流形的示性类论。

他首次应用纤维丛概念于微分几何的研究，引进了后来通称的陈氏示性类。

为大范围微分几何提供了不可缺少的工具。

陈省身：“其影响遍及整个数学”作者：丁枪枪来源：《初中生世界·八年级读写版》2013年第06期诺贝尔物理学奖得主杨振宁曾经写过一首诗：“天衣岂无缝，匠心剪接成。

浑然归一体，广邃妙绝伦。

造化爱几何，四力纤维能。

千古寸心事，欧高黎嘉陈。

”诗中的“陈”就是著名数学家陈省身，杨振宁称赞他在数学研究上的贡献可以和欧几里得、高斯、黎曼、嘉当等数学大家并列。

陈省身1911年出生于浙江嘉兴，15岁考入天津南开大学学习数学，1931年开始攻读清华大学研究生，1934年获得硕士学位，1936年在德国汉堡大学获博士学位，后赴法国巴黎跟从埃利·嘉当研究微分几何，1937年回国，任清华大学教授，后在西南联合大学讲授微分几何。

1943年，当时的世界数学中心——美国普林斯顿高级研究院邀请陈省身去从事研究工作。

到了普林斯顿仅仅两个月，他就完成了“高斯—博内公式”的证明。

陈省身称这是自己一生最得意的文章，那年他刚刚32岁。

紧接着，陈省身又开始了后来被称为“陈省身示性类”的著名工作，为微分几何奠定了基础，也对当今数学乃至理论物理的发展产生了极其深远的影响。

1984年，陈省身获沃尔夫数学奖，这是世界数学领域的最高奖项之一，陈省身是获得这一奖项的第一位华裔数学家。

获奖证书上写着：“此奖授予陈省身，因为他在整体微分几何上的卓越成就，其影响遍及整个数学。

”晚年，陈省身将沃尔夫奖奖金等积蓄，以及藏书和4辆汽车都捐给了南开大学数学研究所。

1995年，陈省身当选为首批中国科学院外籍院士。

2000年，陈省身回到祖国，定居南开大学。

2004年12月3日，陈省身因病去世。

就在他辞世前一个月，国际天文学联合会小天体命名委员会将一颗小行星命名为“陈省身星”。

（1）过年时的陈省身（2）陈省身先生在家中（3）陈省身（4）陈省身在南开大学国际数学研究中心工地（5）陈省身与学生在一起（6）陈省身给本科生讲授微分几何史（7）陈省身正在阅读《南开大学报》（8）1977年，邓小平接见陈省身（9）2002年国际数学大会前夕，陈省身为中国青少年题词“数学好玩”（10）“陈省身星”命名仪式（11）陈省身和杨振宁（左一）在一起（12）陈省身全家福（13）陈省身和学生吴文俊（左一）。

陈省身与华罗庚作者：张奠宙；来源：文汇报陈省身和华罗庚，是中国现代数学史上的两位巨人。

十年前，2004年的一个冬夜，南开大学的学生在校园里自发地点燃了蜡烛，悼念一代数学大师陈省身。

从那时再往前推20个年头，华罗庚于1985年倒在东京大学的讲台上。

华罗庚出生于1910年，比陈省身年长一岁。

但是离世早了许多。

王元先生说过：“如果1980年代初，中国普遍能做心脏支架植入手术，华先生不至于这么早离开我们”。

是的，以今天的眼光看，华先生本可以更长寿。

华罗庚与陈省身年龄相仿，但生活的道路不同。

两人都在20世纪30年代初进入清华大学算学系，在那个数学群星灿烂的天空，他们构成明亮的双子星座。

然后两人先后出国：陈省身到了汉堡、巴黎，攀登几何学的高峰；华罗庚则由N·维纳介绍去了英国的剑桥，在解析数论的研究上达到世界的前沿。

为了发展中国的现代数学，两人都在拼命往前跑，形成了客观上的竞争。

正所谓“一时瑜亮”。

但是，他们是竞争中的朋友。

彼此尊重，礼尚往来，终生不渝。

早在1936年，陈省身在德国接待途经柏林的华罗庚一起观看奥运会。

第二年陈省身经过英国到法国时，专门到剑桥看望华罗庚。

仅此也就知道他们青年时代的友情了。

抗日战争开始，他们两人同时回到祖国在西南联大共事五年，度过了生活十分困难、但是学术上丰收的年代。

他们一度共同居住在一个房间里，彼此开开玩笑，却在煤油灯下各自做出了达到世界前沿的工作。

1943年之后，陈省身去美国普林斯顿研究整体微分几何，取得了重大的成就。

华罗庚在40年代也有新的突破，完成名著《堆垒素数论》，开始了矩阵几何、自守函数的创新工作。

1946年，陈省身回国任中央研究院数学所的代理所长。

华罗庚本来也有可能担任这一所长职务，却在同年10月到了普林斯顿。

1949年元旦，陈省身也到了美国，在芝加哥大学任教，于是邀请在伊利诺大学任教授的华罗庚来芝加哥大学演讲。

1950年，国际数学家大会在美国波士顿的坎布里奇召开。