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人教版七年级上册数学知识点梳理汇编含说课稿及答案（实用必备！）一. 教材分析人教版七年级上册数学知识点梳理汇编含说课稿及答案，本书主要面向七年级学生，帮助他们系统地学习和掌握数学知识。
本册内容主要包括有理数、方程、不等式、平面几何等基础知识。
这些知识不仅是初中数学的基础，也是高中数学的基础，对于学生未来的数学学习具有重要意义。
二. 学情分析七年级的学生已经初步掌握了小学数学的基本知识，对于一些简单的数学运算和概念有一定的了解。
但是，他们对于一些抽象的数学概念和理论的理解还比较薄弱，需要通过实例和实际操作来帮助他们理解和掌握。
此外，学生的学习习惯和方法也需要进一步的引导和培养。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握有理数、方程、不等式、平面几何等基本知识，能够熟练运用这些知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例和实际操作，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和热情，培养他们积极学习数学的态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：有理数、方程、不等式、平面几何等基本知识的掌握和运用。
2.教学难点：对于一些抽象的数学概念和理论的理解，以及数学思维能力的培养。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、实物模型等辅助教学，增强学生的学习兴趣和参与度。
六. 说教学过程1.导入：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考和探究。
2.新课导入：介绍本节课的主要内容和知识点，引导学生了解和掌握。
3.实例讲解：通过具体的实例，解释和说明数学概念和理论，让学生理解和掌握。
4.学生练习：让学生进行相关的练习题，巩固和加深对知识的理解和运用。
5.小组讨论：让学生进行小组讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
6.总结与拓展：对本节课的知识进行总结和拓展，引导学生思考和探究。
人教版初一数学（七年级）课程讲义第一章：有理数的意义（解析版）【例题1】体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0（1） 这8名男生有百分之几达到标准？（2） 他们共做了多少引体向上？【答案】（1）62.5%；（2）56个【解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：； 答：这8名男生有62.5%达到标准.（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）答：他们共做了引体向上56个.讲解用时：3分钟解题思路：解题时要注意对正负数的意义准确理解教学建议：一定要先引导学生弄清“基准”是什么.难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019【练习1.1】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）A ．支出20元B ．收入20元C ．支出80元D ．收入80元【答案】C5100%62.5%8⨯=【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．故选：C．讲解用时：2分钟解题思路：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．教学建议：解题关键是引导学生理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2019【例题2】如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是 ( )A．(1)(2)(3) B．(2)(3)(4) C．只有(2) D．(1)(2)(3)(4) 【答案】C【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.讲解用时：3分钟解题思路：数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．教学建议：对学生强调数轴的三要素难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2019【练习2.1】填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个．【答案】±5；5个.【解析】画出数轴，即可观察出离原点5个单位长度的点表示的数是±5，同时可以数出-3与3之间的整数有5个讲解用时：2分钟解题思路：准确画出数轴，即可得出答案教学建议：熟练掌握数轴的画法及数轴的三要素难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019【例题3】如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示2的相反数的点是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】A【解析】解：∵表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2分别位于原点的左右两侧，∴在A ，B ，C ，D 这四个点中满足以上条件的是A ．故选A ．讲解用时：3分钟解题思路：考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据定义，结合数轴进行分析．教学建议：引导学生观察总结互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离相等．难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019【练习3.1】51-的相反数是（ ） A ．5 B ．51 C ．51-D.-5 【答案】B【解析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案为B讲解用时：3分钟解题思路：解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.教学建议：熟练掌握相反数的定义.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无年份：2019 【例题4】当a≠0时，请解答下列问题：（1）求a a的值；（2）若b≠0，且0=+b b a a ，求ab ab的值．【答案】 （1）1±；（2）1-.【解析】解：（1）当a ＞0时，a a=1；当a ＜0时，a a=﹣1；（2）∵0=+b ba a，∴a ，b 异号，当a ＞0，b ＜0时，ab ab=﹣1；当a ＜0，b ＞0时，ab ab=﹣1；讲解用时：3分钟解题思路：（1）利用绝对值的代数意义化简即可求出值；（2）根据有理数的乘法法则和绝对值的代数意义化简即可求出值；教学建议：利用绝对值的代数意义化简是解本题的关键． 难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019【练习4.1】计算：已知|x|=32，|y|=21，且x ＜y ＜0，求6÷（x ﹣y ）的值．【答案】﹣36．【解析】解：∵|x|=32，|y|=21，且x ＜y ＜0，∴x=﹣32，y=﹣21，∴6÷（x ﹣y ）=6÷（﹣32+21） =﹣36．讲解用时：4分钟解题思路：直接利用绝对值的性质结合有理数混合运算法则计算得出答案． 教学建议：利用绝对值的性质和有理数混合运算，正确得出x ，y 的值是解题关键．难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019【例题5】如图，数轴上的三点A ，B ，C 分别表示有理数a,b,c ，化简|a ﹣b|﹣|a+c|+|b ﹣c|．【答案】2c【解析】解：由数轴得，c＞0，a＜b＜0，因而a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0．∴原式=b﹣a+a+c+c﹣b=2c．讲解用时：3分钟解题思路：由数轴可知：c＞0，a＜b＜0，所以可知：a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c ＜0．根据负数的绝对值是它的相反数可求值．教学建议：此题主要是考查学生对数轴和绝对值的理解，要求学生要对这些概念性的东西牢固掌握．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2019【练习5.1】已知|a﹣1|=9，|b+2|=6，且a+b＜0，求a﹣b的值．【答案】0或﹣12．【解析】解：∵|a﹣1|=9，|b+2|=6，∴a=﹣8或10，b=﹣8或4，∵a+b＜0，∴a=﹣8，b=﹣8或4，当a=﹣8，b=﹣8时，a﹣b=﹣8﹣（﹣8）=0，当a=﹣8，b=4时，a﹣b=﹣8﹣4=﹣12．综上所述，a﹣b的值为0或﹣12．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键．教学建议：引导学生掌握绝对值的性质，熟记运算法则和性质并判断出a、b的对应情况是解题的关键．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2019【例题6】有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，a+b0，c﹣a0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．【答案】（1）＜，＜，＞；(2)﹣2b．【解析】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案为：＜，＜，＞；（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|=（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a=﹣2b．讲解用时：3分钟解题思路：（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．教学建议：必须让学生熟记三种位置角的形状.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2019【练习6.1】已知a、b、c都是负数，且0-+-+-=，则x + y + z______0．（填x a y b z c“>”、“<”、“=”）．【答案】<【解析】利用绝对值的非负性，可得出x=a，y=b，z=c，则x+y+z=a+b+c<0讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了绝对值的性质，准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．教学建议：利用绝对值的非负性去掉绝对值符号是解此题的关键．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2019【例题7】已知：a=3，|b|=2，求（a+b）3的值．【答案】125或1．【解析】解：∵|b|=2，∴b=±2，当b=2时，（a+b）3=（3+2）3=125；当b=﹣2时，（a+b）3=（3﹣2）3=1，综上所述，（a+b）3的值为125或1．讲解用时：3分钟解题思路：利用绝对值的代数意义求出b的值，代入原式计算即可求出值．教学建议：熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2019【练习7.1】数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是．②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为．③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|的最小值=．④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x﹣2|=5，则满足条件的所有整数x的是．⑤若x表示一个有理数，当x为，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为．若﹣1＜x＜4，化简|x+1|+|4﹣x|．【答案】① 3，4；②|x+2|，|5﹣x|；③4；④﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；⑤3，7；【解析】解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2=3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）=4，故答案为：3，4；②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|=|x+2|，数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为|5﹣x|，故答案为：|x+2|，|5﹣x|；③当x＜﹣3时，|x﹣1|+|x+3|=1﹣x﹣x﹣3=﹣2x﹣2，当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|=1﹣x+x+3=4，当x＞1时，|x﹣1|+|x+3|=x﹣1+x+3=2x+2，在数轴上|x﹣1|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到﹣3及到1的距离之和，所以当﹣3≤x≤1时，它的最小值为4，故答案为：4；④当x＜﹣3时，|x+3|+|x﹣2|=﹣x﹣3+2﹣x=﹣2x﹣1=5，解得：x=﹣3，此时不符合x＜﹣3，舍去；当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|=x+3+2﹣x=5，此时x=﹣3或x=﹣2或0或1或2；当x＞2时，|x+3|+|x﹣2|=x+3+x﹣2=2x+1=5，解得：x=2，此时不符合x＞2，舍去；当x=0时，|x+3|+|x﹣2|=5；当x=1时，|x+3|+|x﹣2|=5；当x=﹣1时，|x+3|+|x﹣2|=5；故答案为：﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；⑤∵设y=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|，i、当x≥5时，y=x+2+x﹣3+x﹣5=3x﹣6，∴当x=5时，y最小为：3x﹣6=3×5﹣6=9；ii、当3≤x＜5时，y=x+2+x﹣3+5﹣x=x+4，∴当x=3时，y最小为7；iii、当﹣2≤x＜3时，y=x+2+3﹣x+5﹣x=10﹣x，∴此时y最小接近7；iiii、当x＜﹣2时，y=﹣x﹣2+3﹣x+5﹣x=6﹣x，∴此时y最小接近8；∴y的最小值为7．故答案为：3，7．讲解用时：4分钟解题思路：①②在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|，依此即可求解；④根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解；③首先将原式变形为y=|x﹣1|+|x+3|，然后分别从当x≥1时，当﹣3≤x＜1时，当x＜﹣3时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值；④当x＜﹣3时，当﹣3≤x≤2时，当x＞2时，当x=﹣1，当x=1，当x=0去分析，根据一次函数的增减性，即可求得答案；⑤当x≥5时，当3≤x＜5时，当﹣2≤x＜3时，当x＜﹣2时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值．教学建议：本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想的运用．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2019课后作业【作业1】下列说法正确的是（）A. 一个数的绝对值一定比0大B. 一个数的相反数一定比它本身小C. 绝对值等于它本身的数一定是正数D. 最小的正整数是1【答案】D【解析】A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；D、最小的正整数是1，正确．讲解用时：4分钟难度： 2 适应场景：练习题例题来源：无年份：2019【作业2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】108【解析】小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) ．小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) ．讲解用时：4分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2019【作业3】同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|=．（2）若|x﹣3|=|x+1|，则x=．【答案】（1）7；（2）1.【解析】解：（1）|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，故答案为：7；（2）由题意得：x﹣3+x+1=0，解得：x=1，故答案为：1；讲解用时：5分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2019。
1.1正数和负数(1)正数: 大于0的数;负数: 小于0的数；(2)0既不是正数, 也不是负数；(3)在同一个问题中, 分别用正数和负数表示的量具有相反的意义;(4) — a不一定是负数, +a也不一定是正数；(5)自然数: 0和正整数统称为自然数;(6) a>0 a是正数；a>0 a是正数或0 a是非负数；a< 0 a是负数；a< 0 a是负数或0 a是非正数.1.2有理数(1)正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式, 这样的数称为有理数;(2)正整数、0、负整数统称为整数;(3)有理数的分类:第一章有理数正有理数正整数正整数整数有理数零有理数负有理数负整数分数负整数正分数(4)数轴: 规定了原点、正方向、单位长度的一条直线；(即数轴的三要素)(5) 一般地, 当a是正数时, 则数轴上表示数 a的点在原点的右边, 距离原点点在原点的左边, 距离原点 a个单位长度;(6)两点关于原点对称: 一般地, 设 a是正数, 则在数轴上与原点的距离为a的点有两个, 它们分别在原点的左右, 表示-a和a,我们称这两个点关于原点对称；(7)相反数: 只有符号不同的两个数称为互为相反数；(8) 一般地, a的相反数是一a；特别地, 0的相反数是0;(9)相反数的几何意义: 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称；(10)a、b互为相反数a+b=0 ;(即相反数之和为0)a ,b ,(11)a、b互为相反数一1或一1;(即相反数之商为—1)b a(12)a、b互为相反数|a|=|b| ;(即相反数的绝对值相等)(13)绝对值: 一般地, 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做 a的绝对值；([a|R)(14)一个正数的绝对值是其本身；一个负数的绝对值是其相反数；0的绝对值是0;a (a 0)(15)绝对值可表示为: a 0 (a 0)a (a 0)(16) —1 a 0 ；— 1 a 0;a a(17)有理数的比较: 在数轴上表示有理数, 它们从左到右的顺序, 就是从小到大的顺序。
数学学习效率低的三种情况及解决方法很多同学，上课一听就会，但做题确实一做就错；更有很多同学，会做的题总因为粗心出错；还有些同学，学习心态不端正。
以上三种情况，就是导致学习效率低下的最主要原因。
现象一：一听就会，一做就错，总是在看到答案后恍然大悟很多学生在看到题目时觉得面熟，能肯定自己以前做过原题或类似的题目，但就是想不起来该怎么做，越是回忆以前做过的类似题目越是没有思路，等到答案时才大喊一声，哇，原来是这样的啊。
于是再做，发现还是不能独立的把题目完整的做出来，于是再看答案，在做。
原因：原来在做题目时没有真正理解题目的解法，只能是跟着老师的思路吧题目抄下来，没有自己动手整理，导致自己觉得会做了，其实只是在当时把题目背过了，一段时间以后就只记得题目不记得的解法了。
所以，“背题”是万万要不得的，考试的题目千千万万，背得过来吗？解决方法：在做完一道题目后，让孩子讲解给家长听，也可让同学帮你检查你对这个题目的理解还有什么欠缺，发现问题立即问老师，力争当堂把题目理解透彻。
家长可以在一两周之后把这道题目的数据换一下，在让孩子做一遍，这样就能做到让孩子彻底的掌握这种类型题目的解法，海能达到举一反三的效果。
现象二：会做，但总是粗心，不是抄错题就是算错数很多家长都反映说自己的孩子很粗心，经常把会做的题目算错，甚至有家长说孩子期末考试考了96分，丢掉的那4分全是粗心算错的，并对这个成绩很满意，还有很多学生也说，这些题目我会做就可以了，这次算错了没关系，到考试时能算对就可以了。
其实，作为多年教学经验的老师，我们告诉各位家长，会做做不对才是最可怕。
原因：粗心的原因有两个，一是心态问题，这个问题后面会详细的说。
第二个原因就是对知识掌握得不牢固，模棱两可，错误总是在你掌握不牢固的地方出现，那些看似是粗心犯的错，其实都是因为在应用知识的时候不熟练，导致出错。
解决方法：有选择的多做题目，在数学学习中，我们反对搞题海战术，但是要想学好数学，不做题目不进行针对性训练是无法把学到的知识掌握牢固的。
学习必备欢迎下载人教版七年级数学上册第一章有理数主要内容：主要内容是有理数的有关概念及其运算。
首先，从实例引入负数，接着引进关于有理数的一些概念（数轴、相反数、绝对值、倒数等），在此基础上，介绍有理数的加减法、乘除法和乘方运算的意义、法则和运算律。
重点：有理数的运算。
数轴的绘画以及运用。
绝对值以及相反数的运用。
科学记数法的掌握难点：对有理数运算法则的理解，特别是对有理数乘法法则的理解。
实例： 20XX 年莆田市初中毕业升学考试中涉及到有理数中的知识1.2＝ _______.6.20XX年北京奥运会的主场馆---- “鸟巢”的建筑面积是258000 平方米，将 258000用科学记数法表示应是____________________ 。
13.解集在数轴上表示如图所示的不等式组是（）A.x2B. x2 C.x2 D.x2x1x1x1x1-20-120XX 年莆田市初中毕业升学考试中涉及到有理数中的知识1．3的相反数是．2． 20XX年莆田市参加初中毕业、升学考试的学生总人数约为43000 人，将 43000用科学记数法表示是 ___________ ．3.2x ，不等式组 4 的解集在数轴上表示正确的是（）x 10A ．1B．10202C．D．01210220XX 年莆田市初中毕业升学考试中涉及到有理数中的知识1. 2 的倒数是（）A. 2B.1C.1D.122510. 20XX 年我国全年国内生产总值约335000 亿元，用科学记数法表示为__________元18. 解不等式2 x 13x436，并把它的解集在数轴上表示出来.20XX 年莆田市初中毕业升学考试中涉及到有理数中的知识1.2011的相反数是（）1 C ． 2011 D ．1 A ． 2011 B ．201120113. 已知点 P （ a ，a 1 ）在平面直角坐标系的第一象限内，则 a 的取值范围在数轴上可表示为（ ）9. 一天有 86400 秒，用科学记数法表示为 ____________ 秒；分析 ：从 08 到 11 年试卷的试题中出现的有关有理数的知识可以看出，每年的试题类型的差不多这几种。
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第1讲 数 轴【知识要点】1、有理数都可以在数轴上表示出来，但数轴上不是所有的点都表示有理数，比如π；2、互为相反数的两点在数轴上关于原点对称；3、点A （a ）与B （b ）的中点表示的数为2a b。
1、在数轴上，到表示数3 的点距离为2个单位长度的点表示的数是__________。
2、在数轴上，5 与8 之间的距离是__________。
3、有理数,a b 在数轴上的位置如图所示，则2a b a b 化简的结果为（ ）。
A 、3b aB 、2a bC 、2a bD 、a b4、已知有理数,,a b c 在数轴上的对应点如图所示，其中,b c 在数轴上的对应点关于原点对称，化简：||||2||b a a c c b 。
5、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，化简：c c a b b a 11。
ab6、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a 化简结果为（ ）。
A 、c b a 32B 、c b 3C 、c bD 、b c7、（长郡2022年秋期中）如图，有理数,,a b c 在数轴上的位置大致如下：（1）比较大小：b _______c ，a _______b ；（2）去绝对值符号：||b c _______，||a b _______； （3）化简：||||||b c a b a c 。
8、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是_______；②数轴上表示2 和6 的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4 和3的两点之间的距离是_______；（2）归纳：一般地，数轴上表示数m 和数n 两点之间的距离等于||m n 。
（3）应用：①如果表示数a 和3两点之间的距离是7，则可记为：|3|7a ，那么a _______。
②如果数轴上表示数a 的点位于4 和3之间，求|4||3|a a 的值。
③当a 取何值时，|4||1||3|a a a 的值最小，最小值是多少？请说明理由。
基础巩固篇第一讲有理数思维导图重难点分析重点分析：1.回顾以前学过的关于“数”的知识，进一步理解自然数、分数的产生和发展的实际背景，通过学生身边的例子体验自然数与分数的意义和在它们计数、测量、排序、编码等方面的应用.2.从相反意义的量的表示，理解正数、负数的概念，理解有理数产生的必然性、合理性.3.有理数的分类：按有理数的整分性可以分为整数和分数；按有理数的正负性可以分为正有理数、负有理数和零.难点分析：1.分数都可以化为小数，有些小数(有限小数和无限循环小数)可以化为分数.2.相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量(必须是同一类量，数量大小可以不相等).例题精析例1、判断：(1)前进和后退是两个具有相反意义的量；(2)零上6℃的相反意义的量只有零下6℃；(3)收入50万元和亏损20万元是两个具有相反意义的量；(4)上涨100元和下降50点是两个具有相反意义的量.思路点拨：先判断意义是否相反，再看是不是有数量.解题过程：(1)前进和后退具有相反意义，但没有数量，所以错误.(2)相反意义的量中数量可以不相等，所以错误.(3)收入和支出才具有相反意义，所以错误.(4)相反意义的量中数量必须是同一类量，100元和50点不是同一类量，所以错误.方法归纳：判断是否是相反意义的量时要抓住两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量(必须是同一类量，数量大小可以不相等).易错误区：注意(3)中收入的相反意义是支出，亏损的相反意义是盈利，不要混淆.例2、火车票上的车次号有两个意义，一是数字越小表示车速越快，1～98次为特快列车，101～198次为直快列车，301～398次为普快列车，401～498次为普客列车；二是单数与双数表示不同的行驶方向，其中单数表示从北京开出，双数表示开往北京，根据以上规定，龙岩开往北京的普快列车“海西号”的车次号可能是( ). A.96 B.118 C.335 D.336思路点拨：根据普快列车的车次号在301～398之间，开往北京的列车车次号为双数作答. 参考答案：D方法归纳：本题是材料题，要仔细阅读所给信息，才能得出正确的结论. 易错误区：解题时要把火车票车次号的两个意义相结合.例3、(1)已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有15个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝 瓶矿泉水； (2)师生共52人外出春游，到达后，班主任要给每人买一瓶矿泉水，给了班长买矿泉水的钱.班长到商店后，发现商店正在进行促销活动，规定每5个空瓶可换1瓶矿泉水.班长只要买 瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶.思路点拨：(1)看15里面有几个4，再看余下的空瓶包含几个4，把个数相加即可；(2)因为5个空瓶=1个空瓶+1瓶的水，可知4个空瓶可以换1瓶的水，因此花4瓶的钱可以喝到5瓶水，所以花40瓶的钱可以喝到50瓶水，还差2瓶单买.解题过程：(1)15÷4=3……3，可先换3瓶矿泉水，喝完后还剩3+3=6个空瓶，拿出4个空瓶换一瓶矿泉水，还剩3个空瓶，找人借一个空瓶凑齐4个空瓶换一瓶矿泉水，喝完还剩一个空瓶再把这个空瓶还给那个人，故最多可以喝5瓶矿泉水. (2)52÷5=10组……2瓶；4×10+2=42瓶.答：班长只要买42瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶.方法归纳：本题考查的知识点是推理与论证，关键要抓住“5个空瓶可换1瓶矿泉水”这个条件，得出“4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶”这一结论，然后再列式计算. 易错误区：换来的矿泉水喝完又是空瓶，可以继续换.例4、分子为1的分数叫做单位分数.早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算.将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题.例如：2141424142143+=+=+=；216163616316432+=+=+==. (1)仿照上例分别把分数85和53拆分成两个不同的单位分数之和.85= ；53= ； (2)在上例中，214143+=，又因为316162616216321+=+=+==，所以31614143++=，即43可以写成三个不同的单位分数之和.按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和.根据这样的思路，探索分数85能写出哪些两个以上的不同的单位分数之和.思路点拨：(1)由单位分数的意义可知将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和，就是利用同分母分数的加法或约分的性质，把这个分数拆成两个同分母分数，使其中一个分子是1，另一个分数分子能整除分母；(2)只要根据单位分数的转化方法，把其中的一个单位分数利用分数的性质继续拆分即可.解题过程：(1)21101105110653,218184185+=+==+=+=. (2)41121618185,2112124185,31618185+++=++=++=.方法归纳：本题考查了分数性质的灵活应用、同分母分数的相加以及约分方法，也考查了学生的观察能力.易错误区：分子为1的分数叫做单位分数，最大的单位分数是11,21是整数，不是分数.例5、已知有A ，B ，C 三个数集，每个数集中所含的数都写在各自的大括号内，请把这些 数填入图中相应的部分. A.{-5，2.7，-9，7，2.1} B.{-8.1，2.1，-5，9.2，-71} C.{2.1，-8.1，10，7}思路点拨：由已知观察，先找出三个数集相同的数，再找出每两个数集相同的数，把相同的数分别填入公共部分. 解题过程：通过观察，A ，B ，C 三个数集都含有2.1， A ，B 数集都含有-5， A ，C 数集都含有7， B ，C 数集都含有-8.1.方法归纳：本题主要考查学生对数集的理解与应用.易错误区：每个数在图中只能出现一次，多个数集都有的数要填在公共部分.例6、把下列各数填入相应的数集内： -100，+12，331，-72，0.01，68，-10%，0，18‰，-241，2.0，0.4·5·，π. 正有理数集：{ …}；负有理数集：{ …}； 整数集：{ …}； 分数集：{ …}；自然数集：{ …}； 非负数集：{ …}.思路点拨：按照有理数的分类进行判断：有理数包括：整数和分数或者正有理数、负有理数和零；整数包括：正整数、0和负整数；分数包括：正分数和负分数；自然数包括：零和正整数.解题过程：正有理数集：{+12，331，0.01，68，18‰，2.0，0.4·5·，…}； 负有理数集：{-100，-72，-10%，-241，…}；整数集：{-100，+12，68，0，2.0，…}； 分数集：{331，-72，0.01，-10%，18‰，-241，0.4·5·，…}； 自然数集：{+12，68，0，2.0，…}； 非负数集：{+12，331，0.01，68，0，18‰，2.0，0.4·5·，π，…}. 方法归纳：本题考查了有理数的概念，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数等的定义与特点.注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数. 易错误区：π是无限不循环小数，不能转化为分数，所以它既不是分数，也不是有理数.探究提升例、请根据各数之间的关系，找规律填空.思路点拨：(1)观察图形中的数字可知：(9+6)×1=15；(6+7)×4=52；(5+8)×3=39；由此可得，每个三角形中：(上面的数字+左下的数字)×右下的数字=中间的数字；(2)根据图形中的数字可知：中间的数字=上下数字之差；左边的数字=中间的数字×右边的数字；由此即可解答；(3)观察每组图形中的三个数字特点可知：下边的数字由三部分组成：最左边的数字是右上方的数字十位上的数字；最右边的数字是左上方的数字个位上的数字；中间的数字是左上方的数字十位上的数字与右上方的数字个位上的数字之和，由此即可解答. 解题过程：①(11+3)×2=28.故？=28. ②61-56=5，5×3=15.故？=5，△=15.③最左边数字是6，最右边数字是8，中间数字是1+1=2，所以这个数是628.故？=628. 方法归纳：主要考查了学生通过对特例进行分析从而归纳总结出一般结论的能力.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.易错误区：规律的确定通常至少要三个特例，从一个或两个特例中总结出的结论不一定正确，所以归纳出的一般结论要检验，使每一个特例都满足规律.专项训练拓展训练A组略B组略走进重高1.略2.【台湾】在1～45的45个正整数中，先将45的因子全部删除，再将剩下的整数由小到大排列，求第10个数为( ).A.13B.14C.16D.173.【金华】有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450g)为基数，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示的实际克数最接近标准克数的是( ).A.+2B.-3C.+3D.+44.略5.略6.略7.【仙游】有一口9m深的水井，蜗牛和乌龟同时从井底向上爬.因为井壁滑，蜗牛白天向上爬2m，晚上向下滑1m；乌龟白天向上爬3m，晚上向下滑1m.当乌龟爬到井口时，蜗牛距井口 m.高分夺冠1.略2.略3.五羊矿泉水为了环境保护而回收空矿泉水瓶.允许消费者用4个空瓶换1瓶矿泉水(少于4个空瓶则不能换)，花城中学买了1999瓶五羊牌矿泉水，如果尽可能把空瓶拿去换矿泉水，那么花城中学师生一共能喝上瓶矿泉水；反过来，如果一共能喝上3126瓶矿泉水，那么最初应该买了瓶矿泉水.4.略5.某路公交车从起点经过A，B，C，D四站到达终点，途中上下乘客如下表所示.(用正数表(1)到终点下车还有多少人？填在表格相应位置；(2)车行驶在哪两站之间车上的乘客最多？站和站；(3)若每人乘坐一站需买票0.5元，问该车出车一次能收入多少钱？要求写出算式.第二讲数轴和绝对值思维导图重难点分析重点分析：1.数轴的三要素：原点、单位长度、正方向.2.理解有理数可以用数轴上的点表示，数轴上的点不一定表示有理数.3.相反数：实数a与－a互为相反数，零的相反数仍是零.若a，b互为相反数，则a+b＝0.4.倒数：若两个实数的乘积为1，就称这两个实数互为倒数，零没有倒数.5.绝对值的几何意义：表示这个数到原点的距离.6.比较有理数大小的两种基本方法：利用数轴比较大小；利用法则比较大小.难点分析：1.数轴涉及数和形两个方面，是解决许多数学问题的重要工具.2.绝对值具有非负性，去绝对值问题往往会涉及较复杂的符号问题.例题精析例1、下列所画的数轴正确的有( ).A.1条B.2条C.3条D.4条思路点拨：利用数轴的概念和三要素(原点，正方向和单位长度)来判断正误.解题过程：第一条数据顺序不对，错误；第二条正确；第三条没有正方向，错误；第四条刻度不均匀，错误.所以正确的共有1条.故选A.方法归纳：本题主要考查了数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.三个要素缺一不可. 易错误区：数轴的单位长度可以根据实际需要选取.例2、数轴上点A，B的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为 .思路点拨：点A表示的数是-1，点B表示的数是3，所以｜AB｜=4；点B关于点A的对称点为C，所以点C到点A的距离｜AC｜=4.设点C表示的数为x，则-1-x=4，解出x即可求得点C表示的数.解题过程：如图，点A表示的数是-1，点B表示的数是3，所以｜AB｜=4.又点B关于点A的对称点为C，所以点C到点A的距离｜AC｜=4.设点C表示的数为x，则-1-x=4，解得x=-5.故答案为-5.方法归纳：由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想.易错误区：数轴上两点间的距离是表示这两个点的数的差的绝对值.例3、已知数轴上A，B两点分别为-3，-6，若在数轴上找一点C，使得A与C的距离为4；找一点D，使得B与D的距离为1，则下列( )不可能为C与D的距离.A.0B.2C.4D.6思路点拨：将点A，B，C，D在数轴上表示出来，然后根据绝对值与数轴的意义计算CD的长度.解题过程：根据题意，点C与点D在数轴上的位置如图所示：在数轴上使AC的距离为4的点C有两个：C1，C2，数轴上使BD的距离为1的点D有两个：D1，D2，∴C与D的距离为：①C2D2=0；②C2D1=2；③C1D2=8；④C1D1=6.综合①②③④，知C与D的距离可能为：0，2，6，8.故选C.方法归纳：本题综合考查了数轴，绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点.易错误区：在数轴上找一点C，使得A与C的距离为4，满足这个条件的点A有两个；同理找一点D，使得B与D的距离为1，满足条件的点D也有两个，注意不要遗漏.例4、如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示-4，点G表示8.(1)点B表示的有理数是，表示原点的是点是；(2)图中的数轴上另有点M到点A、点G距离之和为13，则这样的点M表示的有理数是；(3)若相邻两点之间的距离不变，将原点取在点D，则点C表示的有理数是，此时点B与点表示的有理数互为相反数.思路点拨：(1)先根据数轴上两点之间的距离公式求出点A到点G的距离，再求出相邻两点之间的距离即可解答；(2)设点M表示的有理数是m，根据数轴上两点之间距离的定义即可求出m的值；(3)根据两点间的距离是2可求出C点坐标，再根据相反数的定义即可求出结论.解题过程：(1)∵数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示-4，点G 表示8，∴AG=｜8+4｜=12. ∴相邻两点之间的距离=612=2. ∴点B 表示的有理数是-4+2=-2，点C 表示的有理数-2+2=0. 故答案为：-2；C.(2)设点M 表示的有理数是m ，则｜m+4｜+｜m-8｜=13， ∴m=-4.5或m=8.5. 故答案为：-4.5或8.5. (3)若将原点取在点D ， ∵每两点之间距离为2， ∴点C 表示的有理数是-2.∵点B 与点F 在原点D 的两侧且到原点的距离相等， ∴此时点B 与点F 表示的有理数互为相反数. 故答案为：-2；F. 方法归纳：本题考查的是数轴的特点及数轴上两点之间距离的定义，熟知数轴上两点之间距离公式是解答本题的关键.易错误区：第(2)题中A ，G 两点间的距离为12，所以数轴上到点A 、点G 距离之和为13的点M 在线段AG 外，这样的点有两个.例5、已知｜a+3.5｜+｜b-9｜+｜c-13.5｜=0，求ab+c 的值.思路点拨：根据非负数的性质可求出a ，b ，c 的值，再将它们代入ab+c 中求解即可. 解题过程：∵｜a+3.5｜+｜b-9｜+｜c-13.5｜=0， ∴a+3.5=0，b-9=0，c-13.5=0. ∴a=-3.5，b=9，c=13.5. ∴ab+c=-3.5×9+13.5=-18.方法归纳：非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零. 易错误区：只有当若干个非负数相加等于零时，才能得出每个非负数都同时为零.探究提升例、观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离4与-2，3与5，-2与-6，-4与3，回答下列各题：(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： ；(2)若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则点A 与点B 两点间的距离可以表示为 ；(3)结合数轴求得｜x-2｜+｜x+3｜的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ；(4)满足｜x+1｜+｜x+4｜>3的x 的取值范围为 .思路点拨：(1)通过观察容易得出结论；(2)在数轴上找到点B 所在的位置，点A 可以位于数轴上的任意位置，分三种情况进行分类讨论；(3)(4)根据(2)中的结论，利用数轴分析. 解题过程：(1)相等.(2)结合数轴，分以下三种情况：当x ≤-1时，距离为-x-1当-1<x≤0时，距离为x+1当x>0，距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为x+1.(3)｜x-2｜即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离.｜x+3｜=｜x-(-3)｜即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离.如图，x在数轴上的位置有三种可能：图1图2图3图2符合题意，所以｜x-2｜+｜x+3｜的最小值为5，取得最小值时x的取值范围为-3≤x≤2.(4)同理｜x+1｜表示数轴上x与-1之间的距离，｜x+4｜表示数轴上x与-4之间的距离.所以本题即求：当x在什么范围内时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3.借助数轴，我们可以得到正确答案：x<-4或x>-1.方法归纳：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴的距离问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题.这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便.事实上，｜a-b｜表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3)、(4)这两道难题.易错误区：｜a-b｜表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离，｜a+b｜表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数-b的点之间的距离.专项训练拓展训练A组略B组略走进重高1.略2.【菏泽】如图，数轴上的A ，B ，C 三点所表示的数分别是a ，b ，c ，其中AB=BC ，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ）.A.点A 的左边B.点A 与点B 之间C.点B 与点C 之间D.点B 与点C 之间或点C 的右边(第2题)(第3题)3.【遵义】如图，A ，B 两点在数轴上表示的数分别是a ，b ，则下列式子中成立的是（ ）.A.a+b ＜0B.-a ＜-bC.1-2a ＞1-2bD.|a|-|b|＞04.略5.略(第6题)6.【咸宁】实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则｜a ｜ ｜b ｜(填“＞”“＜”或“=”).7.【略8.【咸宁】在数轴上，点A （表示整数a ）在原点的左侧，点B （表示整数b ）在原点的右侧.若|a-b|=2013，且AO=2BO ，则a+b 的值为 ．高分夺冠1.略2.当x 满足条件 时，y=｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+…+｜x-2010｜会得到最小值.3.求｜x-3｜+｜x-5｜+｜x-2｜+｜x+1｜+｜x+7｜的最小值.4.略5.有理数a ，b ，c 均不为0，且a+b+c=0.设x=||||||||ba c a cbc b a +++++，试求代数式x 19+99x+2013之值.第三讲有理数的加减思维导图重难点分析重点分析：1.有理数加法法则：(1)同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；(2)绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0；(3)一个数同0相加，仍得这个数.2.加法交换律:a+b=b+a，两个数相加，交换加数的位置，和不变.加法结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.3.有理数减法法则：减去一个非零的数，等于加上这个数的相反数.其中，两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数；一不变：被减数不变.可以表示成：a－b=a+(－b).难点分析：1.在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0.从而确定用哪一条法则.在应用过程中，一定要牢记“先符号，后绝对值”，熟练以后就不会出错了.2.在进行有理数加法运算时，一般采取：(1)是互为相反数的先加(抵消)；(2)同号的先加；(3)同分母的先加；(4)能凑整数的先加；(5)异分母分数相加，先通分，再计算.例题精析例1,、钟面上有1，2，3，4，5，…，12共12个数.(1)试在某5个数的前面添加负号，使这5个负数与其余7个正数的和为0；(2)在解题过程中你能总结出一些什么规律？思路点拨：先求出1，2，3，4，5，…，12这12个数的和为78，将78÷2得出5个负数绝对值的和为39，找到12个数中5个数绝对值的和等于39的数前面添加负号即可.解题过程：(1)1+2+3+4+5+…+12=78，78÷2=39.∵1+6+9+11+12=39，∴5个数为1，6，9，11，12(答案不唯一).(2)规律：5个负数绝对值的和等于1，2，3，4，5，…，12这12个数的和的一半.方法归纳：认真审题，找出“5个负数绝对值的和等于1，2，3，4，5，…，12这12个数的和的一半”这一规律是解答本题的关键所在.易错误区：要利用互为相反数的两个数相加和为0，从而找到规律，不能盲目乱凑.例2、计算：(1)-6-8-2+3.54-4.72+16.46-5.28； (2)75.1)321()432()323(------.思路点拨：(1)注意运算过程中的简便方法，让能够凑成整十的两个数相结合；(2)首先化简，然后利用有理数的加法法则和加法的交换律进行计算.解题过程：(1)原式=(-6-8-2-4.72-5.28)+(3.54+16.46)=-26+20=-6.(2)原式=)431432()321323(431321432323-++-=-++-=-2+1=-1. 方法归纳：在计算时要灵活运用运算定律使运算更加简便.易错误区：当使用运算定律后不能使运算更简便的，就按一般运算顺序计算.例3、用简便方法计算:(1)111.1+(-12)+0.9；(2)(+13)+(-21)+(+28)+(-10)；(3)4.33+(-7.52)+(-4.33)； (4))76()61()71(65-+-+-+. 思路点拨：(1)能凑整的先凑整简称凑整结合法；(2)把正数与负数分别结合在一起再相加简称同号结合法；(3)有相反数的先把相反数相加简称相反数结合法；(4)遇到分数，先把同分母的数相加，简称同分母结合法.解题过程：(1)原式=111.1+0.9+(-12)=112+(-12)=100.(2)原式=［(+13)+(+28)］+［(-21)+(-10)］=(+41)+(-31)=10.(3)原式=(-7.52)+［(+4.33)+(-4.33)］=(-7.52)+0=-7.52.(4)原式=31)1(32)]76()71[()]61(65[-=-+=-+-+-+. 方法归纳：认真观察算式的特点，合理利用简便计算规则：①凑整结合法；②同号结合法；③相反数结合法；④同分母结合法.易错误区：不是所有的计算都有简便方法的.例4、一天，有个年轻人来到“高记”童鞋店里买了一双鞋，这双鞋的成本是15元，标价是21元，这个年轻人掏出一张50元的人民币要买这双鞋，鞋店当时没有零钱，就用那张50元钱向街坊换了50元的零钱，找给年轻人29元，但是，街坊后来发现那张50元的钱是假钞，鞋店老板无奈之下，还了街坊50元，那么鞋店在这次交易中共损失了( ).A.15元B.44元C.50元D.100元思路点拨根据题意可知，鞋店老板首先损失了这双鞋的成本15元，然后损失了找给年轻人的29元，共损失了44元.解题过程：15+29=44(元).答：鞋店老板共损失了44元.方法归纳：本题的关键在于充分理解题意，若那张50元的钱是真钞，鞋店老板就没有损失了.易错误区：注意还给街坊的50元不属于损失之列，因为换零钱时街坊也给了鞋店老板50元.例5、小张上周末买进股票(1)到本周三，小张所持股票每股是多少元？(2)本周内，股票最高价出现在星期几？是多少元？(3)已知小张买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和3‰的交易税.如果小张在本周末卖出全部股票，他的收益如何？思路点拨：(1)由表中数据可以算出股票每天每股的价格；(2)比较五天涨跌可知，星期一和星期二都是涨，则该股票最高价出现在星期二，进而求出每股的价格；(3)收益=卖股票收入-买股票支出-卖股票手续费和交易税-买股票手续费，代入求值即可.解题过程：(1)20+4+5-1=28(元).答：到本周三，小张所持股票每股28元.(2)20+4+5=29(元).答：本周内，股票最高价出现在星期二，是29元.(3)29-1-3-6=19(元)，1000×19=19000(元)，1000×20=20000(元)，19000-20000-20000×1.5‰-19000×(1.5‰+3‰)=-1000-30-85.5=-1115.5(元).答：小张亏了1115.5元.方法归纳：本题主要考查正负数及有理数的运算在实际生活中的应用.所以学生在学这一部分时一定要联系实际，活学活用.易错误区：股票的涨跌是以前一天股票的价格为基准的.例6、实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度.下表是某次测量数据的部分记录(用A-C表示观测点A相对观测点C的高度)根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是( ).A.210 mB.130 mC.390 mD.-210 m思路点拨：认真审题可以发现：A比C高90 m，C比D高80 m，D比E高60 m，F比E高50 m，F比G高70 m，B比G高40 m.然后转化为算式，通过变形得出A-B的关系即可.解题过程：由表中数据可知：A-C=90…①，C-D=80…②，D-E=60…③，E-F=-50…④，F-G=70…⑤，G-B=-40…⑥.①+②+③+…+⑥，可得(A-C)+(C-D)+(D-E)+(E-F)+(F-G)+(G-B)=A-B=90+80+60-50+70-40=210.∴观测点A相对观测点B的高度是210 m.故选A.方法归纳：解答本题的关键是理解表格中数据的实际意义，然后转化为算式，本题也可以通过画线段图来求解.易错误区：注意A-C 与C-A 表示的意义不同.探究提升例、观察下列等式4131431,3121321,211211-=⨯-=⨯-=⨯，将以上三个等式两边分别相加得：4341141313121211431321211=-=-+-+-=⨯+⨯+⨯. (1)猜想并写出：)1(1+n n = ； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①201320121...431321211⨯++⨯+⨯+⨯= ； ②431321211⨯+⨯+⨯+…+)1(1+⨯n n = ； (3)探究并计算：201420121...861641421⨯++⨯+⨯+⨯; (4)计算1801...40124112141+++++. 思路点拨：(1)观察可得分子为1，分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差，即111)1(1+-=+n n n n ；(2)根据此规律把各分数转化，再进行分数的加减运算；(3)先提出41，然后按照前面的运算方法计算即可；(4)根据)901...1216121(211801...40124112141++++=+++++计算即可. 解题过程：(1) 111+-n n (2)①20132012 ②1+n n (3)原式=20145031007100641)100710061...321211(41=⨯=⨯++⨯+⨯. (4)原式=.20910921)1091...431321211(21)901...1216121(2190121...1212161212121=⨯=⨯++⨯+⨯+⨯=++++=⨯++⨯+⨯+⨯ 方法归纳：本题考查了关于数字的变化规律：通过观察数字之间的变化规律，得到一般性的结论，再利用此结论解决问题.易错误区：(3)(4)要注意观察算式的特点，转化为第(2)题中的运算方法.专项训练拓展训练A 组略B 组略走进重高1.略2.略3.【武汉】-8的绝对值与它的相反数的差是( ).A.8B.-8C.0D.164.略5.【芜湖】请阅读一小段约翰斯特劳斯的作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时值长应为( ).A.81B.21C.41D.43(第5题)(第6题)6.【常德】如图，一个数表有7行7列，设a ij 表示第i 行第j 列上的数(其中i=1，2，3，…，j=1，2，3，…).例如：第5行第3列上的数a 53=7，则：(1)(a 25-a 22)+(a 52-a 53)= ；(2)此数表中的四个数a np ,a nk ,a mp ,a mk ，满足(a np -a nk )+(a mk -a mp )= .高分夺冠1.略2.略3.如图的号码是由14位数字组成的，把每一位数字写在下面的方格中，若任意相邻的三个(第3题)4.略5.解答题：(1)已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为1，求a+b+x2-cdx的值；(2)10箱苹果，如果每箱以30kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：+2，+1，0，-1，-1.5，-2，+1，-1，-1，-0.5.这10箱苹果的总质量是多少千克？(3)小亮用50元钱买了10支钢笔，准备以一定的价格出售，如果每支钢笔以6元的价格为标准，超过的记作正数，不足的记作负数，记录如下：0.5，0.7，-1，-1.5，0.8，1，-1.5，-2.1，9，0.9.①这10支钢笔的最高售价和最低售价各是几元？②当小亮卖完钢笔后是盈还是亏？。
第七讲 实数及其运算例1计算：.213625)1(-⨯ ).1()32(3)2(-⨯-- .27091)3(3--+ ).12(3)]23(25)[4(+⨯--⨯-例2 (1)比较513-与51的大小． (2)比较⋅-21与31-的大小．例3 如图，在4×4方格中每个小正方形的边长都为1． (1)直接写出图1中正方形ABCD 的面积及边长．(2)在图2的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）， 并把图2中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数.8例4 已知x ，y 为实数，,214422-+-+-=x x x y 试求y x 43+的值．例5 观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：.,45451,34341,23231,12121 -=+-=+-=+-=+(1)请你用含n(n 为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律． (2)利用上面的结论，求式子的值：⋅++++++++202020211341231121例6 大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于,221<<所以2的整数部分为1，将2减去其整数部分1，所得的差-21就是其小数部分．根据以上内容，解答下面的问题：5)1(的整数部分是_______，小数部分是________. 21)2(+的整数部分是_______，小数部分是________.(3)若设32+的整数部分是x ，小数部分是y ，求y x 3-的值.例 化简：==2,00)1(_______=-2)2(______=2,a ______.==3333,00)2(______=-33)3(,______=33,a(3)根据以上信息，观察图中a ，b 所在的位置，完成化简：.)()(3322b a b a a +--+拓展训练 A 组1．下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的．正确的个数是( )． 1.A 2.B 3.C 4.D 2．在算式)33(-口)53(-的口中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是( )． A.加号 B ．减号 C ．乘号 D ．除号 3．若,322<-<a 则a 的值可以是( )．7.-A 316.B 213.C 12.D 4．下列等式：=--=-=±=-=33628;436427;001.0101;4)4(;81161⑤④③②①;83- .25)5(2=--⑥其中正确的有( )．A.2个 B .3个 C ．4个 D ．5个 5．当a 为实数时，a a -=2在数轴上对应的点在( )．A ．原点右侧B ．原点左侧C ．原点或原点右侧D ．原点或原点左侧 6．把下列各数分别填人相应的集合内．⋅---3,11121211211121.2,27,4,32,14.3,15,0,5.63π 整数集合：{ }; 有理数集合：{ …}；无理数集合：{ …}； 正实数集合：{ …}； 负实数集合：{ …}． 7．计算：=56.2_________=327125;________=-16949;_______=-96.144.1;_________ =-2224145;_________=+)32(2;________=+)313(3;_________.8．求下列各式的值：.27)6(9)1(32---- ⋅-⨯--⨯-+-)91(2781)2(1)2(332⋅-+---+-3212564)2(|23||23|)3( .|6|)4(125.041)3)(4(232---+---- 9．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬行3个单位长度到达点B ，若点A 表示,3-设点B 所表示的数为m ．(1)求m 的值．(2)求1)6(3|1|+++-m m 的值．（第9题）10.阅读理解： 求103的近似值．解：设,10103x +=其中,10<<x 则,)10(1032x +=即.201001032x x ++=.10,102<<∴<<x x,20100103x +≈∴解得103,15.0即≈x 的近似值为10.15.理解应用：利用上面的方法求95的近似值（结果精确到0.01）．11．(1)若,622=----y x x 求x y 的立方根．(2)已知有理数a 满足,2021|2020|a a a =-+-求22020-a 的值．B 组12．对实数a ，b 定义“★”运算规则如下：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=),(),(*22b a b a b a b b a 则)3*2(*7等于( )．1.A2.B 1.-C 2.-D13．若53+的小数部分是53,-a 的小数部分是b ，则b a +的值为( )．0.A 1.B 1.-C 2.D14．我们知道，方程12-=x 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数“i”，使其满足12-=i （即方程12-=x 有一个根为i ）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有,1,21-==i i i =⋅=i i i 23,1)1()(,)1(2224=-==-=⋅-i i i i 从而对于任意正整数n ，我们可以得到 =⋅=+i i i n n 414,)(4i i i n =⋅同理可得.1,,143424=-=-=++n n n i i i i 那么20202019432i i i i i i ++++++ 的值为( )． 0.A 1.B 1.-C i D .15．请在如图的两个圆圈中各选两个数，再用÷⨯-+,,,中的3种运算符号，使得结果为正整数，写出你的运算式子：（第15题）16.如图，将3,2,1三个数按图中方式排列，若规定(a ，b)表示第a 行第b 列的数，则(8，2)与)2020,2020( 表示的两个数的积是_________.（第16题）17．阅读下列材料：为什么2不是有理数？假设2是有理数，那么存在两个互质的正整数m ，n ，使得,2mn=于是有.222n m = 22m 是偶数，2n ∴也是偶数，n ∴是偶数，设t n 2=（t 是正整数），则m t m m t n ∴=∴==.2,2422222也是偶数．n m ,∴都是偶数，不是互质数，与假设矛盾，．‘．假设错误．2∴不是有理数， 用类似的方法，请证明3不是有理数．18.我们规定：用[x 表示实数x 的整数部分，如,2]8[,3]14.3[==在此规定下解决下列问题： (1)填空：=++++]6[]3[]2[]1[ (2)求]49[]4[]3[]2[]1[+++++ 的值. 19.如图是一块正方形纸片．(1)如图1，若正方形纸片的面积为,12dm 则此正方形的对角线AC 的长为________.dm(2)若一圆的面积与这个正方形的面积都是,22Cm π设圆的周长为,圆C 正方形的周长为,正C 则圆C ______正C （填“>”“<”或“=”）． (3)如图2，若正方形的面积为,162cm 李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为212cm 的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由．（第19题）走进重高1．【南通】如图，数轴上的点D C O B A ,,,,分别表示数,2,1,0,1,2--则表示数52-的点P 应落在( )．（第1题）A.线段AB 上 B ．线段BO 上 C ．线段OC 上 D ．线段CD 上 2．【福建】已知,34+=m 则以下对m 的估算正确的( )．32.<<m A 43.<<m B 54.<<m C 65.<<m D3．下列运算中，错误的个数为( )．;1251144251=①;4)4(2±=-②;2222-=-③⋅=+=+43214141161④ 1.A 2.B 3.C 4.D4．【湘西州】用科学计算器按如图的步骤操作，若输入的数值是3，则输出的值为______（结果精确到0.1）．（第4题）5．对于任意不相等的两个数a ，b 定义一种运算“*”如下：,*ba b a b a -+=例如：=-+=23232*3.5那么=)1*3(*12________. 6．请按要求解答下列问题：(1)实数a ，b 满足.03=+b a 若a ，b 都是非零整数，请写出一对符合条件的a ，b 的值． (2)实数a ，b 满足.33-=+b a 若a ，b 都是分数，请写出一对符合条件的a ，b 的值．7．如图1是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以用下面的方法把它剪拼成一个正方形．(1)拼成的正方形的面积是__________，边长是_________．(2)你能在3×3的正方形方格（如图2）中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？ (3)如图3是由10个小正方形组成的纸片，你能把它剪开并拼成一个大正方形吗？若能，请画出示意图，并写出边长为多少．（第7题）高分夺冠1．若,0<<b a 化简233233)()(b a b a b a -+---的结果为( )．b a A -3. )(3.a b B - b a C -. a b D -.2．已知a 和b 都是无理数，且,b a =/下面提供的6个数：b a ab b a ab baab b a b a ++-+-+,,,,,可能成为有理数的有___________个．3．已知9，16和a 三个数，使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的数a 的值：___________________________. 4．已知212171-的整数部分为a ，小数部分为b ，则=b _________=-bb 4,____________. 5．如图，a ，b ，c 分别是数轴上点A ，B ，C 所对应的实数．化简：.||)(||332c b b a b a c -+++-+（第5题）6．10414-的整数部分为a ，小数部分为b ，求ba b a -++11的值．。
第十七讲 分类讨论思想例1若42-m 与13-m 是同一个正数的平方根，则m 为( )．3.-A 1.B 1.-C 13.或-D例2 若三个有理数x ，y ，z 满足,0>xyz 则=++zz y y x x ||||||_________.例3已知,60 =∠AOB 作射线OC ，使,40 =∠AOC OD 是∠BOC 的平分线，求∠BOD 的度数.例4某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两家加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品，公司需付给红星厂每天加工费800元，付给巨星厂每天加工费1200元． (1)该公司需加工多少件新产品？(2)公司的产品可由一家工厂单独加工完成，也可由两家工厂合作完成，在加工过程中公司需另派一名工程师每天到厂家进行指导，并支付工程师每天10元的午餐补助，请你帮助公司从所有可供选择的方案中，选择一种既省钱又省时的加工方案．例5如图，一条直线上依次有A ，B ，C 三点． (1)若,3,10AB AC BC ==求AB 的长．(2)若D 是射线CB 上一点，M 为BD 的中点，N 为CD 的中点，求MNBC的值． (3)当点P 在线段BC 的延长线上运动时，E 是AP 的中点，F 是BC 的中点．下列结论：BPAC EF+①是定值；||BPAC FF-②是定值．其中只有一个结论正确，请选择正确结论并求出其值．备用图例6 在平面上画一个任意大小的圆和一个三角形，它们最多能把平面分成几个部分？A 组1．设a 是实数，则a a ||的值( )．A.可以是负数 B ．不可能是负数C.必是正数 D ．可以是正数也可以是负数 2．线段,4,5cm BC cm AB ==那么A ，C 两点间的距离是( )．cm A 1. cm B 9. cm cm C 91.或 D ．以上结果都不对3．若,,2||,5||b a b a <==则a ，b 分别为( )．2,5.-A 2,5.--B 2,5.-C 2,5.--D 或2,5-4．如图是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角，在,54 ,72,63,60 o ,144,120,99 o171,153,150这些角中，能画出的角有( )． A.6个 B. 7个 C ．8个 D ．9个（第4题）5．-条直线上有A ，B ，C 三点，Q P cm AC cm AB ,,18,8==分别是AB ，AC 的中点，则=PQ _______. 6．已知,60 =∠AOB 过点0的射线OC 使,2:3:=∠∠AOB AOC 则=∠BOC _________. 7．阅读材料，解答下列问题．例：当0>a 时，如,6=a 则,6|6|||==a 故此时a 的绝对值是它本身； 当0=a 时，,0||=a 故此时a 的绝对值是零；当0<a 时，如,6-=a 则),6(6|6|||--==-=a 故此时a 的绝对值是它的相反数．．’．综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=).0(),0(0),0(||a a a a a a这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．(1)请仿照例中分类讨论的方法，分析实数⋅2a 去根号后的各种情况． (2)猜想2a 与||a 的大小关系．8．已知线段,10cm AB =直线AB 上有一点,6,cm BC C =M 为线段AB 的中点，N 为线段BC 的中点，求线段MN 的长．9．阅读材料：我们知道，对于关于x 的方程,b ax =当a 不等于O 时，方程的解为;abx =当a 等于0，b 也等于O 时，所有实数x 都能使等式成立，也就是说方程的解为全体实数；当a 等于0，而b 不等于0时，使等式成立的x 的值不存在，此时，我们说方程无解.根据上述知识判断，a ，b 为何值时，关于x 的方程783)24(-=--x b x a 的解为全体实数？,a b 为何值时，方程无解？10.对于有理数a ，b ，定义一种新运算“⊙”规定.||||b a b a b a -++=Θ (1)计算)3(2-Θ的值．(2)①当a ，b 在数轴上的位置如图所示时，化简.b a Θ②当c a b a Θ=Θ时，是否一定有c b =或者?c b -=若是，请说明理由；若不是，请举例说明． (3)已知⋅+=ΘΘ,8)(a a a a 求a 的值．（第10题）11．已知.30,90 =∠=∠COD AOB(1)如图1，当点0，A ，C 在同一条直线上时，∠BOD 的度数是(2)将∠COD 从图l 的位置开始，绕点0按逆时针方向旋转0n （即0n AOC =∠)，且n <0.180<①若COD ∠的一边与∠AOB 的一边垂直，则=n ________. ②当9060<<n 时（如图2），作射线OM 平分∠AOC，射线ON 平分∠BOD，试求∠MON 的度数．（第11题）B 组12．同一平面内三条直线互不重合，那么交点的个数可能是( )．2,1,0.A 3,1,0.B 3,2,1.C 3,2,1,0.D13．如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，三颗颜色相同的棋子在同一直线上的直线共有( )．A.2条 B ．3条 C ．4条 D.5条（第13题）14.某超市推出如下购物优惠方案：一次性购物在80元（不含80元）以内时，不享受优惠；一次性购物在80元（含80元）以上，300元（不含300元）以内时，一律享受九折的优惠；一次性购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠．某顾客在本超市两次购物分别付款65元、252元，如果他改成在本超市一次性购买与上两次完全相同的商品，那么应付款( )．A .316元B ．304元或316元 C.276元 D ．276元或304元15．已知9，16，a 三个数，要使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根，则所有符合条件的数a 的值是_______．16.如图，在数轴上点A ，B 分别表示-15，9，点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q 的速度是每秒1个单位长度，运动时间为t(s)，在运动过程中，当点P ，Q 和原点O 这三点中的一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，t 的值是______．（第16题）17.已知关于x 的多项式,3234e dx cx bx ax ++++其中d c b a ,,,为互不相等的整数，且=abcd .4当1=x 时，这个多项式的值为27. (1)求d c b a +++的值．(2)求P 的值．(3)当1-=x 时，求这个多项式的所有可能的值． 18．【问题提出】已知),45(3,21,70<∠∠=∠∠=∠=∠BOC BOC BOD AOC AOD AOB 求BOC ∠的度数．【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决问题．(1)当射线OC 在∠AOB 内部时，若射线OD 在∠AOC 内部，如图1，可求∠BOC 的度数，解答过程如下： 设.2.33,ααα=∠-∠=∠∴=∠=∠∴=∠BOC BOD COD BOC BOD BOC.2,21α=∠=∠∴∠=∠COD AOD AOC AOD .14.14.70532 =∠∴=∴==+=∠+∠=∠∴BOC BOD AOD AOB αααα当射线OC 在∠A OB 内部时，若射线OD 在∠AOB 外部，如图2，请你求∠BOC 的度数．【问题延伸】(2)当射线OC 在∠AOB 外部时，请你画出图形，并求∠BOC 的度数.【问题解决】(3)综上所述，∠BOC 的度数是_________.（第18题）19.如图1，数轴上q n m ,,所对应的点分别为,,,Q N M 若点Q 到点M 的距离表示为QM ，点N 到点Q 的距离表示为NQ ，我们有⋅-=-=q n NQ m q QM ,(1)如图2，点A ，B ，C 在数轴上对应的数分别为,,6,4c -且,CA BC =直接写出C 的值：(2)在(1)的条件下，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A ，C 两点出发向右运动，甲的速度为每秒4个单位长度，乙的速度为每秒1个单位长度．求经过几秒，点B 与两只蚂蚁的距离和等于7．(3)在(1)(2)的条件下，电子蚂蚁乙运动到点B 后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，电子蚂蚁甲运动至点B 后也以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点B 运动，到达点B 后再次返回……当电子蚂蚁乙停止运动时，电子蚂蚁甲随之停止运动．求运动时间为多少时，两只蚂蚁相遇．（第19题）。
第十六讲 数形结合思想例1 如图，数轴上的A ，B ，C 三点所表示的数分别为a ，b ，c ．若,5,3=-=-c b b a 且原点0与点A ，B 的距离分别为4，1，则关于点0的位置，下列说法中正确的是( )．A.在点A 的左边 B ．介于点A ，B 之间 C ．介于点B ，C 之间 D ．在点C 的右边例2 如图l 是由8个同样大小的小正方体组成的魔方，总体积为.643cm(1)这个魔方的棱长为_________ cm.(2)图1中阴影部分是一个正方形ABCD ，求这个正方形的边长．(3)把正方形ABCD 放置在数轴上，如图2，使得点A 与数1重合，则点D 在数轴上表示的数为____．例3 如图，已知B ，C 是线段AD 上的两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，,a MN =,b BC =则线段=AD ________.例4 小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：当式子|2||1|-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是_________，最小值是________．小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题，”他们把数轴分为三段：,221,1>≤≤--<x x x 和经研究发现，当21≤≤-x 时，原式的值最小，为3．请你根据他们的解题方法解决下面的问题：(1) 当式子|8||6||4||2|-+-+-+-x x x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是_______，最小值是________.(2)已知|,2|4|82|+-+=x x y 求y 的最大值．例5 如图，在数轴上有两个长方形ABCD 和EFGH ，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形ABCD 的长AD 是4个单位长度，长方形EFGH 的长EH 是8个单位长度，点E 在数轴上表示的数是5，且E ，D 两点之间的距离为12．(1)点H 在数轴上表示的数是____，点A 在数轴上表示的数是________. (2)若线段AD 的中点为M ，线段E H 上有一点,41,EH EN N点M 以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点N 以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为x(s)，当x=________s 时，原点0恰为线段MN 的三等分点．(3)若长方形ABCD 以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，长方形EFGH 固定不动，设长方形ABCD 运动的时间为t(s)(t>O)，两个长方形重叠部分的面积为S ，求S 与t 的关系式，例6 3个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场），总的比赛场数是多少？4个球队呢?5个球队呢？写出m个球队进行单循环比赛时总的比赛场数n的公式，A 组1．如图，有理数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点分别是,,,,D C B A 若,0=+c a 则d b +( )．（第1题） （第2题）A.大于O B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定2．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四点，其中表示的数与实数510-最接近的点是( )． A.点A B ．点B C ．点C D ．点D3．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简2)(||a b b a -++的结果是( )．b A 2. a B 2. a C 2.- b D 2.-（第3题） （第4题）4．如图，M ，N ，P 分别是数轴上三个整数对应的点，且,1==NP MN 数a 对应的点在点M ，N 之间，数b 对应的点在点N ，P 之间，若,2||||=+b a 则在M ，N ，P 这三个点中，原点不可能是( )． A.点M B ．点N C.点P D ．点M 或点P5．如图，李明在求阴影部分的面积时，列出下列四个式子，其中错误的是( )．)(.a c a ab A -+ )(.a b a ac B -+ 2.a ac ab C -+ 2.a ac bc D -+（第5题）6．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2020应标在( )．（第6题）A.第505个正方形的左下角 B ．第505个正方形的右下角 C ．第504个正方形的左下角 D ．第504个正方形的右下角7．如图，在数轴上点A ，B 表示的数分别是,2,1-若点B ，C 到点A 的距离相等，则点C 表示的数是_______.（第7题）8．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图．(1)填空：c b -______b a +,0_______c a +-,0_____.0（填“>”或“<”） (2)化简：.||||||||||c a a b b a a c b ---+++-+-（第8题）9．如图，数轴上有A ，B ，C 三点，AC 表示数轴上A ，C 两点间的距离，且AB=3BC(即线段AB 的长度为线段BC 长度的3倍)．已知点B 为原点，点A 表示的数为6． (1)求点C 表示的数． (2)若数轴上有一点P ，且,12=+PC PA 求点P 表示的数．(3)若A ，B ，C 三点表示的数为a ，b ，c ，下面有两个结论：b a x 4-+①的值不变；c b a 43-+②的值不变．这两个结论中只有一个结论正确，请选择正确的结论加以说明，并求出其不变的值．（第9题）10.如图，适当地剪几刀把它拼成一个正方形，要求在原图上用虚线画出剪刀的痕迹，并画出拼成的正方形．（第10题）B 组11．如图，数轴上的四个点A ，B ，C ，D 对应的数为整数，且,1===CD BC AB 若,2||||=+b a 则原点的位置可能是( )．A ．点A 或点B B ．点B 或点C C 点C 或点D D ．点D 或点A（第11题） （第12题）12.如图，数轴上的A ，B ，C 三点所表示的数分别为a ，b ，c ．根据图中各点的位置，下列各式中正确的是( )．0)1)(1.(>--b a A 0)1)(1.(>--c b B 0)1)(1.(<++b a C 0)1)(1.(<++c b D13.如图，将长方形ABCD 分割成一个阴影长方形与172个面积相等的小正方形．若阴影长方形长与宽的比为2:1，则长方形ABCD 长与宽的比为( )．1:2.A 15:29.B 29:57.C 16:31.D（第13题） （第14题）3334,3,2.14分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，36也能按此规律进行“分裂”，则36“分裂”出的奇数中最大的是( )．41.A 39.B 31.C 29.D15.正方形ABCD 在数轴上的位置如图，点D ，A 对应的数分别为0和1，若正方形ABCD 绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为2，则多次翻转后，数轴上数2021所对应的点是________．（第15题）16.如图，用3个正方形①、2个正方形②、1个正方形③和缺了一个角的长方形④，恰好拼成一个大长方形．根据图示数据，解答下列问题： (1)用含x 的代数式表示：=a ________=b cm ,________.cm(2)用含x 的代数式表示大长方形的周长，并求当3=x 时大长方形的周长．（第16题）17.请仔细阅读如图所示的图形分割法，把一张5个小正方形拼成的纸片（如图1），分成三块（如图2），再拼成一个正方形（如图3）．应用：先把2个边长为a ，b （a<b ）的正方形拼成如图4，然后仿照阅读中的图形分割法，将图4分割成3块，再拼成一个正方形（要求在图4中画出分割线，然后另外画出拼接图）．（第17题）18．阅读理解：在数轴上点A 所表示的实数为a ，我们记,a x A =点A ，B ，C 分别表示的实数为,1,6,4-则记,1,6,4==-=C B A x x x 显然，A ，C 两点的距离为=--=-=)4(1A C x x AC C B ,,5两点的距离为.516=-=-=C B x x CB 一般地，在数轴上点A ，B 表示的实数分别为a ，b （点A 在点B 的左侧），则.a b x x AB A B -=-=设点A ，B 的中点为C ，则有,CB AC =由上可得,C B A C x x x x -=-即⋅+=2BA C x x x 综合运用：如图，已知,4,3=-=B A x x 若点B 在点C 的左侧，.9=+BC AC(1)求,C x 并在数轴上标出点C 的位置， (2)M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，求⋅N M x x ,(3)若A ，B 两点同时沿数轴向正方向运动，点A 的速度是点B 速度的2倍，AC 的中点M 和BC 的中点N 也随之运动，3s 后，,2=MN 求点B 的运动速度．（第18题）19.如图1，0为直线AB 上一点，过点0作射线OC ，使.120=∠BOC 将一直角三角尺的直角顶点放在点0处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．(1)将图1中的三角尺绕点O 逆时针旋转至图2，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC.问：此时直线ON 是否平分∠AOC?请说明理由． (2)将图1中的三角尺绕点0以每秒6的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t(s)时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC，求t 的值．(3)将图1中的三角尺绕点0顺时针旋转至图3，使ON 在∠AOC 的内部，试探索：在旋转过程中，∠AOM 与∠NOC 的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．（第19题）。
第十八讲 方程思想、转化思想例1 已知,5,4,3334455===c b a 则( )．c b a A >>. b c a B >>. c a b C >>. a b c D >>.例2 如图，∠AOC 与∠BOD 都是直角，且,7:2:=∠∠AOD AOB 则∠AOB 等于________.例3 如图，已知线段F F CD BC AB ,,4:2:3::=分别是AB ，CD 的中点，,22cm EF =求BC 的长．例4如图是由9个等边三角形（三条边都相等的三角形）组成的装饰图案，已知中间最小的等边三角形（阴影部分）边长为2 cm，求多边形ABCDEF的周长．例5日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴含着丰富的数学知识．(1)如图1，上午8：00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于_________．(2)请在图2中大致画出8：20这一时刻时针和分针的位置，思考并回答：从上午8：00到8：20，时钟的分针转过的度数是_______，时钟的时针转过的度数是________．(3)“元旦”这一天，城区某中学七年级部分学生上午八点多集中在学校门口准备去步行街进行公益服务，临出发时，组长一看钟，时针与分针正好是重合的，下午两点多他们回到学校，进校门时，组长看见钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线，那么你知道他们去步行街进行公益服务共用了多少时间吗？通过计算加以说明．例6 已知数轴上点O 为原点，点A 对应的数为9，点B 对应的数为6，点C 在点B 右侧，长度为2个单位的线段BC 在数轴上移动．(1)如图，当线段BC 在O ，A 两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段,OB AC =求此时b 的值．(2)在线段BC 在数轴上沿射线AO 方向移动的过程中，若存在,31AB OB AC =-求此时满足条件的b 的值．(3)当线段BC 在数轴上移动时，满足关系式|,|117||OC AB OB AC -=-则此时b 的取值范围是________.A 组1．化简2)3(-的结果是( )．3.A 3.-B 3.±C 9.D2．已知d c b a ,,,为正实数，且,5,4,3,25432====d c b a 则d c b a ,,,中最大的数是( )．a A .b B . C C . d D .3．工人师傅要把一根质地均匀的圆柱形木料锯成若干段，按如图所示的方式锯开，每锯断一次所用的时间相同，若锯成6段需要min,10则锯成,2(≥n n 且n 为整数）段所需的时间为( )．(min)35.n A (min)2.n B min )22.(+n C min )22.(-n D（第3题）4．用⊕表示一种运算，它的含义是：⋅++++=⊕)1)(1(1B A xB A B A 如果,3512=⊕那么43⊕=__________.5．某公司生产一种饮料是由A ，B 两种原料液按一定比例配成，其中A 原料液的原成本价为10元／千克，B 原料液的原成本价为5元／千克，按原售价销售可以获得50%的利润率，由于物价上涨，现在A 原料液每千克上涨20%，B 原料液每千克上涨40%，配制后的饮料成本增加了,31公司为了拓展市场，打算再投入现在成本的25%做广告宣传，如果要保证这种饮料的利润率不变，则这种饮料现在的售价应比原来的售价高_______元／千克．6．老张在装修新房时想在客厅的地面上按图1的正方形图案铺地砖，图1是由四块尺寸完全相同的长方形地砖拼成的一个正方形，中间还可另外镶嵌一块面积为O.lm×O.lm 的小正方形花砖（花砖老张已另买）．但老张买砖时只看中了如图2所示的一款较大的正方形地砖，于是只能将其按照图3的方式切割出图1所需的长方形地砖再进行铺贴，经过计算，这样切割会让每块地砖产生212.0m 废料，已知老张家客厅的面积为,302m 则老张需购买图2这款地砖_________块．（第6题）7．解方程：.486331222=-++x x8．周末，小明和爸爸在400m 的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人的对话如图．(1)请根据他们的对话内容，求小明和爸爸的骑行速度．(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸相距50m?（第8题）9．有一些分别标有7，14，21，28，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大7，小明拿了相邻的三张卡片．(1)若小明拿到的三张卡片上的数之和为273，则三张卡片上的数分别是多少？(2)小明能否拿到相邻的三张卡片，使得这三张卡片上的数之和等于1717如果能拿到，请求出这三张卡片上的数分别是多少；如果不能拿到，请说明理由． 10.如图，,70,90=∠=∠COF AOB 若OC 平分∠AOB，OE 平分∠DOB.(1)求∠BOC 和∠DOB 的度数．(2)将OA 看作钟面上的时针，OB 看作钟面上的分针，此时钟面时间为3点，在3点到4点之间，求经过多少分钟，OA ，OB 的夹角为.40（第10题）11．(1)如图，图中一共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路．(2)你能用上面的思路来解决“15位同学聚会，每人都与其他人握一次手，一共握手多少次？”这个问题吗？(3)若改为“15位同学聚会，每人都送给其他人一张名片，一共送了多少张？”，该怎么解？（第11题）B 组12.已知B ，C 为线段AD 上的两点，E CD BC AB ,3121.==为线段CD 的中点，F 为线段AD 的三等分点，若,14=BE 则线段=EF _________.13.元旦将至，某商场购进了一种手套30双和一种围巾20条，围巾的售价是手套2倍，销售一段时间后，手套和围巾卖出的数量恰好相同，此时商场决定调价，把手套的售价提高48%，把围巾的售价降低40%，当商场卖完这两种商品后，发现这批围巾和手套的平均售价是一样的，那么调价前卖出的围巾和手套的数量都是_______．14.如图的方框中是一些有规律的数，观察图填空． (1)a ，b ，c ，d 表示的四个数的和是______．(2)采用图中所示的方式框出四个数，若这四个数的和为380，则最大的那个数是________．（第14题） （第15题）15.如图所示，每个圆纸片的面积都是30.圆纸片A 与B ，B 与C ，C 与A 的重叠部分面积分别为6，8，5．三个圆纸片覆盖的总面积为69，则三个圆纸片重叠部分的面积为_______，图中阴影部分的面积为_______．16.数轴上有A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，已知点B 对应的数为2，点A 对应的数为a ． (1)若,3-=a 则线段AB 的长为_________.(2)若点C 在线段AB 之间，且,2=-BC AC 求点C 表示的数（用含a 的代数式表示）． (3)在(2)的条件下，D 是数轴上点A 左侧一点，当BC BD AD AC 4,2==时，求a 的值．（第16题）17.有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A ，B ，C 三点顺次在同一笔直的赛道上，A ，B 两点之间的距离是90 m.甲、乙两机器人分别从A ，B 两点同时同向出发到终点C ，乙机器人始终以50 m/min 的速度行走，乙行走9min 到达点C ．设两机器人出发的时间为3(min),=t t 当时，时，甲追上乙．前4 min 甲机器人的速度保持不变，当64≤≤t 时，甲的速度变为另一数值，且甲、乙两机器人之间的距离保持不变． 请解答下列问题：(1)B ，C 两点之间的距离是_________m.当64≤≤t 时，甲机器人的速度为________m/min.(2)求甲机器人前3min 的速度为多少．(3)求两机器人前6min 内出发多长时间相距28 m.(4)若6 min 后，甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，直接写出当t>6时，甲、乙两机器人之间的距离s （用含t 的代数式表示）．（第17题）18.我们规定，若关于x 的一元一次方程b ax =的解为,a b x -=则称该方程为定解方程，例如：293=x 的解为,23329=-则该方程293=x 就是定解方程． 请根据上述规定解答下列问题：(1)若x 的一元一次方程m x =2是定解方程，则=m ________.(2)若x 的一元一次方程a ab x +=2是定解方程，它的解为,a x =求a ，b 的值．(3)若x 的一元一次方程m mn x +=2和n mn x +=-2都是定解方程，求代数式+-m （2---n 4{)11 ]2)[(21]})[(322n n mn m m mn -+--+的值.19.有一列正整数：,2,12,,3,2,1n n - 现从中挑出n 个数，从大到小排列依次为,,,,21n a a a 另n 个数从小到大排列依次为⋅n b b b ,,,21 求||||||2211n n b a b a b a -++-+- 的值.。
第一讲有理擞例1 列说法中，正确的是( )．①O是整数；② 0是有理数；③ 0是自然数；④ 0是正数；⑤ 0是负数；⑥ 0是非负数．.C②③⑥.D.A①②⑥.B①②③①②③⑥例2 把下列各数填入相应的大括号里：⋅----812%,17,5.6,41,20,2,0,8,14.3,2.0,3整数：{ …}；分数：{ …}； 正数：{ …}； 负数：{ …}； 自然数：{ …}； 负有理数：{ …}．例3 (1)已知4个矿泉水空瓶可以换1瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，若不付钱，最多可以喝_______瓶矿泉水．(2)师生共52人外出春游，到达后，班主任把买矿泉水的钱给班长，要他给每人买一瓶矿泉水．班长到商店后，发现商店正在进行促销活动，规定每5个空瓶可换1瓶矿泉水．班长只要买_________瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶.例4 (1)若|,||ln ,0,0m n m ><>用“<”号连接,,,,m n n m -请结合数轴解答． (2)由小到大排列下列各分数：⋅9160,3320,2315,1912,1710,116例5 分子为1、分母是等于2或大于2的自然数的分数叫做分数单位．早在三千多年前，古埃及人就利用分数单位进行书写和计算，将一个分数拆分为几个不同的分数单位之和是一个古老且有意义的问题．例如：;2141424142143+=+=+=⋅+=+=+==216163616316432 (1)仿照上例，分别把分数85和53拆分成两个不同的分数单位之和．=85_______________=53;__________________. (2)在上例中，,214143+=又因为,316162616216321+=+=+==所以++=614143,31即43可以写成三个不同的分数单位之和，按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的分数单位之和．根据这样的思路，探索分数85能写成哪些两个以上的不同的分数单位之和．例 请根据各数之间的关系，找规律填空．拓展训练 A 组1．小军家的门牌号是256号，其中自然数的应用属于( )． A 计数 B ．测量 C ．标号 D ．排序 2．下列说法中，错误的有( )．742-①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括O ；④正整数、负整数统称为有理数；⑤O是最小的有理数；⑥3.14不是有理数． A.1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个3．超市某品牌食品包装袋上“质量”标注：500g±20g．下列待检查的各袋食品中质量合格的是( )．g A 530. g B 519. g C 470. g D 459.4．比较1517,321,1312,531--的大小，结果正确的是( )．13121517321531.<<-<-A 15171312531321.<<-<-B13121517531321.<<-<-C 15171312321531.<<-<-D5．一个纸环链，按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸的个数可能是( )．2018.A 2019.B 2020.C 2021.D（第5题）6．在下表适当的空格里面画上“√”，有理数 整数 分数 正整数 负分数 自然数-7 -3.14 O 2 37．气象台记录了某地本周七天的气温变化情况（如下表），其中正号表示的数据是比前一天上升的温度，负号表示的数据是比前一天下降的温度．已知上周日气温为3℃，根据表中数据，请你判断该地本周最低气温是________ ℃．星期三 四 五 六 日气温变化(℃) +2 -4 -1 —2 +3 -5 -38．某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温y(℃)与向上攀登的高度x(km)的几组对应值如下表：向上攀登的高度x(km) 0.5 1.0 1.5 2．O 气温y(℃) 2．O -0.9-4.1-7.O若每向上攀登1 km ，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为2.5km 时，登山队所在位置的气温约为____℃．9．将一列数排成如图所示的形式，按此规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是_________.（第9题）10.在奥运五环图案内，分别填写五个数a ，b ，c ，d ，e ，如其中a ，b ，c 是三个连续偶数e d c b a ,),(<<是两个连续奇数(d<e)，且满足,e d c b a +=++例如请你在0～20之间选择另一组符合条件的数填入五环图案内．11．把下列各数填入相应的大括号里：.81.0,21,590,14.3),20(,0|,25|,789,41,1.0,1---+---⋅-非负整数：{ …}；负分数：{ …}； 正有理数：{ …}．B 组12.下列说法中，正确的有( )．①整数就是正整数和负整数；②零是整数，但不是自然数；③分数包括正分数、负分数；④正数和负数统称为有理数；⑤一个有理数，它不是整数就是分数． A.1个 B 2个 C ．3个 D ．4个13. -种“拍7”的游戏规定：把从1起的自然数中含7的数称作“明7”，把7的倍数称作“暗7”，那么在1～100的自然数中，“明7”和“暗7”共有( )． A ．22个 B ．29个 C ．30个 D ．31个 14.已知数a 在数轴上的位置如图，则aa a a 1,1,,--的大小关系是( )．（第14题）a a a a A <<-<-11. a aa a B -<-<<11. a a a a C <<-<-11. aa a a D 11.-<-<<15.已知下列各数：,0,01.0,165,217,17,24,14.3--+-其中整数有____个，负分数有_______个，非负数有____个．16.分子是1、分母是等于或大于2的自然数的分数叫做分数单位，如,,41,31,21 某些分数单位可以拆分成两个分母是相邻自然数的分数单位的差，如41201,4131121,312161=-=-=,51-则在分数单位 1001,,41,31,21 中，不能按上述要求拆分的有__________个. 17.如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1个单位长度）上沿着网格线运动，它从A 处出发去看望B ，C ，D 处的其他甲虫．规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A 到B 记为：),4,1(++→B A 从D 到C 记为：),2,1(+-→C D 其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．(1)图中从A 到C 可以记为C A →，从B 到C 可以记为C B →(____________,____________) (2)从D 到____可以记为→D ).2,4(--(3)若这只甲虫的行走路线为,D C B A →→→则该甲虫走过的路程长度为____个单位长度． (4)若这只甲虫从A 处去P 处的行走路线依次为),1,2(),2,3(),3,1(+--+++请在图中标出P 的位置．（第17题）18.把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2），{1，4，7），…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数z 是集合的一个元素时，2020-x 也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合，例如{O ，2020）就是一个黄金集合．(1)集合{2020）_________（填“是”或“不是”，下同）黄金集合，集合{-1，2021）________黄金集合．(2)若一个黄金集合中最大的一个元素为4020，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案；如果不存在，请说明理由．(3)若一个黄金集合所有元素之和为整数M ，且24200<M<24300，则该集合共有几个元素？说明你的理由．走进重高1．【泸州】在2,21,0,2-四个数中，最小的是( )． 2.-A 0.B 21.C 2.D2．【聊城】悉尼、纽约与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻 城市悉尼 纽约时差（时） +2 -13北京6月15日23时，悉尼、纽约的时间分别是( )． A.6月16日1时，6月15日10时 B .6月16日1时，6月14日10时C. 6月15日21时，6月15日10时 D ．6月15日21时，6月16日12时3．南水北调工程中线自2014年12月正式通水以来，沿线多座大中城市受益，河南、河北、北京及天津四个省（市）的水资源紧张态势得到缓解，有效促进了地下水资源的涵养和恢复，若与上年同期相比，北京地下水的水位下降记为负，回升记为正，记录从2013年底以来，北京地下水水位的变化得到下表：时间 2013年底 2014年底 2015年底 2016年底 2017年底 2018年9月底 地下水位与上年 同比变化量(m)-0.25-1.14-0.09+0.52+0.26+2.12下列关于2013年以来北京地下水水位的说法，不正确的是( )． A.从2014年底开始，北京地下水水位的下降趋势得到缓解 B ．从2015年底到2016年底，北京地下水水位首次回升C ．2013年以来，每年年底的地下水位与上年同比的回升量最大的是2018年D ．2018年9月底的地下水水位低于2012年底的地下水水位4．实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度，下表是某次测量数据的部分记录（用A-C 表示观测点A 相对观测点C 的高度），根据这次测量的数据，可得观测点A 相对观测点B 的高度是_________m.A-C C-D E-D F-E G-F B-G 90m80m-60m50m-70m40m5．规定[a]表示不超过口的最大整数，例如[4.3]一4．若],1.2[],1[=+=n m π则]49[n m +在此规定下的值为________.6.2018年国庆节放假七天，高速公路免费通行，各地风景区游人如织，其中闻名于世的“三孔”，在10月1日的游客人数就已经达到了10万人，接下来的六天中，每天的游客人数变化（单位：万人）如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：日期10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日10月7日l 1人数变化 +0.6+0.2+O.l-0.2-0.8— 1.6l(1) 10月3日的游客人数为____万人．(2)这七天，游客人数最多的是多少万人？最少呢？ (3)这7天参观的总人数约为多少万人？高分夺冠 1.10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数）”，则这10个有理数的和为( )．21.A 1811.B 67.C 95.D 2．已知,100020202020,99920212021⨯=⨯=b a 则a 与b 的大小关系是a _______.b 3．记|,|b a 的值为a ，b 两数中最大的数，例如.5|5,3|=若m 满足,23|2,2|m m -=-则m=________. 4．找规律，在空格里填上合适的数．（第4题）5．某路公交车从起点出发经过A ，B ，C ，D 四站到达终点，途中上下乘客情况如下表（正数表示上车的人数，负数表示下车的人数）：．起点 ABcD终点上车的人数 18 15 12 7 5 O 下车的人数 O -4-5-9-12(1)到终点站下车的有多少人？填在表格中相应位置．(2)车行驶在哪两站之间时，车上的乘客最多？_______站和________站．(3)若每人乘坐一站需买票0.5元，问该车出车一次能收入多少钱？要求写出算式．。
第九讲 整 式例1 把下列代数式的代号填在相应的横线上：;2)(;153)(;)(222ba C x x B ab b a A ++-+ ;3)(2xy D -;0)(E ⋅+++--+-yx I a xy H b ab a G x F 23)(;2)(;)(;2)(2322 (1)单项式：____________________ . (2)多项式：__________________.(3)整式：________________________. (4)二项式：__________________. (5)三次多项式：__________________. (6)非整式：__________________.例2 已知多项式⋅--++315522432x x x x (1)请指出该多项式是几次几项式，并写出它的二次项、一次项和常数项．(2)按要求把这个多项式重新排列：①按x 的降幂排列，②按x 的升幂排列．例3 观察下列一串单项式的特点：.,16,8,4,2,5432 y x y x y x y x xy -- (1)按此规律写出第9个单项式．(2)试猜想第n 个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？例4 写出一个三次四项式，满足条件：①含有两个字母；②每个字母的指数都不大于2；③含有常数项．然后选出你所喜欢的一正一负两个有理数作为字母的值代入求这个多项式的值．例5 已知代数式：.)(;2222b a b ab a -+-②①(1)当a ，b 满足0|15|)5(2=-+-ab a 时，分别求代数式①和②的值．(2)观察(1)中所求的两个代数式的值，探索代数式222b ab a +-和2)(b a -有何数量关系，并把探索的结果写出来．(3)利用你探索出的规律，求225.285.285.12825.128+⨯⨯-的值．例6 已知代数式,335c x bx ax +++当0=x 时，该式的值为-1．(1)求c 的值．(2)已知当1=x 时，该式的值为-1，试求c b a ++的值．(3)已知当3=x 时，该式的值为-10，试求当3-=x 时该式的值．(4)在第(3)题的已知条件下，若有b a 53=成立，试比较b a +与c 的大小．例 观察下列等式：第1个等式：);311(213111-⨯=⨯=a 第2个等式：);5131(215312-⨯=⨯=a 第3个等式：);7151(217513-⨯=⨯=a 第4个等式：);9171(219714-⨯=⨯=a …请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：=5a ___________=____________.(2)用含有n 的代数式表示第n 个等式：=n a __________=___________（n 为正整数）． (3)求1004321a a a a a +++++ 的值.拓展训练A 组1．关于单项式c ab 2的系数和次数，下列说法中正确的是( )． A ．系数为O ，次数为2 B ．系数为0，次数为4 C.系数为1，次数为2 D ．系数为1，次数为4 2．在21,1,2,2,322-----a y x x ππ这五个代数式中，单项式的个数为( )．2.A3.B4.C5.D 3．下列说法中，正确的是( )．52.xy A -的系数是-2 1.2-+x x B 的常数项是1 322.ab C 的次数是6次 752.2+-x x D 是二次三项式4．(1)单项式232y x π-的系数是_________，次数是_______；多项式6433++-x xy xy 是_________次_______项式，其中二次项系数是_________.(2)单项式22ab -的系数是________，次数是_______31;++xx _________（填“是”或“不是”）多项式．(3)单项式2322y x -的系数为_______，次数为________52;2xa π-的系数为_______，次数为________；mn 的系数为________，次数为__________. 5．写出一个关于字母以，6的单项式，且该单项式的次数为5，系数的绝对值小于4，该单项式可以为______.4232353245.6y xy y y x x +-+-按y 的升幂排列应是_______________________.7．把下列代数式分别填入下表适当的位置：.12,,5,,2,3,32+--+-ab a xy b a b a a a单项式代数式整式多项式非整式8．已知6)52()32()43(23-++---x n m x n x m 是关于x 的多项式． (1)当m ，n 满足什么条件时，该多项式是关于x 的二次多项式． (2)当m ，n 扎满足什么条件时，该多项式是关于x 的三次二项式．9．设,5)(37-++=cx bx ax x f 其中a ，b ，c 为常数，已知,7)7(=-f 求)7(f 的值．10.如图，一个长方形运动场被分隔成A ，B ，A ，B ，C 共5个区，A 区是边长为a(m)的正方形，C 区是边长为b(m)的正方形．(1)列式表示每个B 区长方形场地的周长，并将式子化简． (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简． (3)如果,10,20==b a 求整个长方形运动场的面积．（第10题）11．如图，将连续奇数l ，3，5，7，…排成数表，观察十字框内5个数，探索这五个数之间的规律，解答下面的问题：(1)设十字框中间的数为a ，则用含a 的式子表示十字框内5个数的和为___________．(2)十字框内5个数的和能等于2020吗？若能，请求出框内5个数；若不能，请说明理由． (3)十字框内5个数的和能等于2025吗？若能，请求出框内5个数；若不能，请说明理由．（第11题）B 组12.若关于x ，y 的多项式7525222++--++x y nx y mx x 的值与x 的取值无关，则n m +等于( )．4.-A5.-B6.-C 6.D13.同时含有字母a ，b ，c 且系数为1的五次单项式有( )． A.1个 B ．3个 C ．6个 D ．9个14.有一个多项式为,352678+-+-b a b a b a a 如果按照规律写下去，那么这个多项式的第八项是_______.15．观察下列各式：,,25,16,9,4,15432+++++x x x x x 按此规律写下去，则第n 个式子是_______. 16.请你做评委：在一堂数学活动课上，在同一合作学习小组的小明、小亮、小丁、小彭对刚学过的知识发表了自己的一些感受：小明说：“绝对值不大于4的整数有7个．”小亮说：“当3=m 时，代数式23+--mx y x 中不含x 的项．” 小丁说：“若,2||,3||==b a 则b a +的值为5或1．”小彭说：“多项式322y y x x ++-是三次三项式．”你觉得他们的说法正确吗？若不正确，请帮他们修正，写出正确的说法.17.已知有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图，试化简.|||1|||2||a c a c b b -+-+-++（第17题）18．下表中的字母都是按一定规律排列的．我们把某格中的字母的和所得多项式称为“特征多项式”，例如第1格的“特征多项式”为x 6,2y + 第2格的“特征多项式”为,49y x +根据规律回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为___________，第4格的“特征多项式”为_________，第n 格的“特征多项式”为_____________（n 为正整数）．(2)求第6格的“特征多项式”与第5格的“特征多项式”的差．走进重高1．多项式22513xy xy x -+的次数是( )． 2.A 1.B 3.C 4.D2．下列结论中，正确的是( )．A .单项式c ab 223的次数是4 B ．单项式522nm π-的系数是52-C ．多项式y x -2的次数是3D ．多项式12523+-x x 中，第二项是22x3．当1=m 时，代数式63++bm am 的值是2019，那么当 1-=m 时，代数式63++bm am 的值是_____.4．观察下面的一列单项式：,,16,8,4,2753 x x x x --根据你发现的规律，第n 个单项式为_________ 5．如图是有关x 的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x 的值为__________.（第5题）6．如图，某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆内部用了三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相同的四个小正方形，木条宽厚不计，已知下部的小正方形的边长为a(m)．(1)用含a 的代数式分别表示窗户的面积和木条用料（实线部分）的总长．(2)若,1=a 窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米25元，木条每米20元，求制作这扇窗户需要多少元？（取3，结果精确到个位）（第6题）高分夺冠1．有一列数,,,,,,,54321n a a a a a a ．其中,455,345,235,1254321+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=a a a a=5a ,,565 +⨯当2021=n a 时，n 的值等于( )．2020.A 2021.B 402.C 336.D2．已知12)1(+-a y x a 是关于x ，y 的五次单项式，试求整式的值：.)1(;1222+++a a a ②① 由①②的计算结果你发现了什么结论？任意取几个a 的值验证你的结论．3．已知多项式n x x n x m mx +-++-+3)12()2(234不含2x 和3x 的项，请写出这个多项式，再求当1-=x 时该多项式的值．4．已知整式,1,1,1222++-=+-=-+=x x R x x Q x x p 若一个次数不高于二次的整式可以表示为cR bQ ap ++（其中a ，b ，c 为常数），则可以进行如下分类：① ,0,0===/c b a 则称该整式为“P 类整式”； ②若,0,0,0==/=/c b a 则称该整式为“PQ 类整式”； ③若,0,0,0=/=/=/c b a 则称该整式为“PQR 类整式”．(1)模仿上面的分类方式，请给出“R 类整式”和“QR 类整式”的定义：若________，则称该整式为“R 类整式”； 若________，则称该整式为“QR 类整式”． (2)例如552+-x x 为“PQ 类整式”：333222)1(3)1(2322222+-++--=+-+-+-=+-x x x x x x x x Q P,552+-=x x 即,32552Q P x x +-=+-552+-∴x x 是“PQ 类整式”，根据上面的例子，解答下面问题：12++x x 是哪一类整式？请通过列式计算说明．(3)试说明20201142++x x 是“PQR 类整式”，并求出相应的a ，b ，c 的值，。
基础巩固篇第一讲有理数思维导图重难点分析重点分析：1.回顾以前学过的关于“数”的知识，进一步理解自然数、分数的产生和发展的实际背景，通过学生身边的例子体验自然数与分数的意义和在它们计数、测量、排序、编码等方面的应用.2.从相反意义的量的表示，理解正数、负数的概念，理解有理数产生的必然性、合理性.3.有理数的分类：按有理数的整分性可以分为整数和分数；按有理数的正负性可以分为正有理数、负有理数和零.难点分析：1.分数都可以化为小数，有些小数(有限小数和无限循环小数)可以化为分数.2.相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量(必须是同一类量，数量大小可以不相等).例题精析例1、判断：(1)前进和后退是两个具有相反意义的量；(2)零上6℃的相反意义的量只有零下6℃；(3)收入50万元和亏损20万元是两个具有相反意义的量；(4)上涨100元和下降50点是两个具有相反意义的量.思路点拨：先判断意义是否相反，再看是不是有数量.解题过程：(1)前进和后退具有相反意义，但没有数量，所以错误.(2)相反意义的量中数量可以不相等，所以错误.(3)收入和支出才具有相反意义，所以错误.(4)相反意义的量中数量必须是同一类量，100元和50点不是同一类量，所以错误.方法归纳：判断是否是相反意义的量时要抓住两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量(必须是同一类量，数量大小可以不相等).易错误区：注意(3)中收入的相反意义是支出，亏损的相反意义是盈利，不要混淆.例2、火车票上的车次号有两个意义，一是数字越小表示车速越快，1～98次为特快列车，101～198次为直快列车，301～398次为普快列车，401～498次为普客列车；二是单数与双数表示不同的行驶方向，其中单数表示从北京开出，双数表示开往北京，根据以上规定，龙岩开往北京的普快列车“海西号”的车次号可能是( ). A.96 B.118 C.335 D.336思路点拨：根据普快列车的车次号在301～398之间，开往北京的列车车次号为双数作答. 参考答案：D方法归纳：本题是材料题，要仔细阅读所给信息，才能得出正确的结论. 易错误区：解题时要把火车票车次号的两个意义相结合.例3、(1)已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有15个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝 瓶矿泉水； (2)师生共52人外出春游，到达后，班主任要给每人买一瓶矿泉水，给了班长买矿泉水的钱.班长到商店后，发现商店正在进行促销活动，规定每5个空瓶可换1瓶矿泉水.班长只要买 瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶.思路点拨：(1)看15里面有几个4，再看余下的空瓶包含几个4，把个数相加即可；(2)因为5个空瓶=1个空瓶+1瓶的水，可知4个空瓶可以换1瓶的水，因此花4瓶的钱可以喝到5瓶水，所以花40瓶的钱可以喝到50瓶水，还差2瓶单买.解题过程：(1)15÷4=3……3，可先换3瓶矿泉水，喝完后还剩3+3=6个空瓶，拿出4个空瓶换一瓶矿泉水，还剩3个空瓶，找人借一个空瓶凑齐4个空瓶换一瓶矿泉水，喝完还剩一个空瓶再把这个空瓶还给那个人，故最多可以喝5瓶矿泉水. (2)52÷5=10组……2瓶；4×10+2=42瓶.答：班长只要买42瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶.方法归纳：本题考查的知识点是推理与论证，关键要抓住“5个空瓶可换1瓶矿泉水”这个条件，得出“4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶”这一结论，然后再列式计算. 易错误区：换来的矿泉水喝完又是空瓶，可以继续换.例4、分子为1的分数叫做单位分数.早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算.将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题.例如：2141424142143+=+=+=；216163616316432+=+=+==. (1)仿照上例分别把分数85和53拆分成两个不同的单位分数之和.85= ；53= ； (2)在上例中，214143+=，又因为316162616216321+=+=+==，所以31614143++=，即43可以写成三个不同的单位分数之和.按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和.根据这样的思路，探索分数85能写出哪些两个以上的不同的单位分数之和.思路点拨：(1)由单位分数的意义可知将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和，就是利用同分母分数的加法或约分的性质，把这个分数拆成两个同分母分数，使其中一个分子是1，另一个分数分子能整除分母；(2)只要根据单位分数的转化方法，把其中的一个单位分数利用分数的性质继续拆分即可.解题过程：(1)21101105110653,218184185+=+==+=+=. (2)41121618185,2112124185,31618185+++=++=++=.方法归纳：本题考查了分数性质的灵活应用、同分母分数的相加以及约分方法，也考查了学生的观察能力.易错误区：分子为1的分数叫做单位分数，最大的单位分数是11,21是整数，不是分数.例5、已知有A ，B ，C 三个数集，每个数集中所含的数都写在各自的大括号内，请把这些 数填入图中相应的部分. A.{-5，2.7，-9，7，2.1} B.{-8.1，2.1，-5，9.2，-71} C.{2.1，-8.1，10，7}思路点拨：由已知观察，先找出三个数集相同的数，再找出每两个数集相同的数，把相同的数分别填入公共部分. 解题过程：通过观察，A ，B ，C 三个数集都含有2.1， A ，B 数集都含有-5， A ，C 数集都含有7， B ，C 数集都含有-8.1.方法归纳：本题主要考查学生对数集的理解与应用.易错误区：每个数在图中只能出现一次，多个数集都有的数要填在公共部分.例6、把下列各数填入相应的数集内： -100，+12，331，-72，0.01，68，-10%，0，18‰，-241，2.0，0.4·5·，π. 正有理数集：{ …}；负有理数集：{ …}； 整数集：{ …}； 分数集：{ …}；自然数集：{ …}； 非负数集：{ …}.思路点拨：按照有理数的分类进行判断：有理数包括：整数和分数或者正有理数、负有理数和零；整数包括：正整数、0和负整数；分数包括：正分数和负分数；自然数包括：零和正整数.解题过程：正有理数集：{+12，331，0.01，68，18‰，2.0，0.4·5·，…}； 负有理数集：{-100，-72，-10%，-241，…}；整数集：{-100，+12，68，0，2.0，…}； 分数集：{331，-72，0.01，-10%，18‰，-241，0.4·5·，…}； 自然数集：{+12，68，0，2.0，…}； 非负数集：{+12，331，0.01，68，0，18‰，2.0，0.4·5·，π，…}. 方法归纳：本题考查了有理数的概念，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数等的定义与特点.注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数. 易错误区：π是无限不循环小数，不能转化为分数，所以它既不是分数，也不是有理数.探究提升例、请根据各数之间的关系，找规律填空.思路点拨：(1)观察图形中的数字可知：(9+6)×1=15；(6+7)×4=52；(5+8)×3=39；由此可得，每个三角形中：(上面的数字+左下的数字)×右下的数字=中间的数字；(2)根据图形中的数字可知：中间的数字=上下数字之差；左边的数字=中间的数字×右边的数字；由此即可解答；(3)观察每组图形中的三个数字特点可知：下边的数字由三部分组成：最左边的数字是右上方的数字十位上的数字；最右边的数字是左上方的数字个位上的数字；中间的数字是左上方的数字十位上的数字与右上方的数字个位上的数字之和，由此即可解答. 解题过程：①(11+3)×2=28.故？=28. ②61-56=5，5×3=15.故？=5，△=15.③最左边数字是6，最右边数字是8，中间数字是1+1=2，所以这个数是628.故？=628. 方法归纳：主要考查了学生通过对特例进行分析从而归纳总结出一般结论的能力.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.易错误区：规律的确定通常至少要三个特例，从一个或两个特例中总结出的结论不一定正确，所以归纳出的一般结论要检验，使每一个特例都满足规律.专项训练拓展训练A组略B组略走进重高1.略2.【台湾】在1～45的45个正整数中，先将45的因子全部删除，再将剩下的整数由小到大排列，求第10个数为( ).A.13B.14C.16D.173.【金华】有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450g)为基数，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示的实际克数最接近标准克数的是( ).A.+2B.-3C.+3D.+44.略5.略6.略7.【仙游】有一口9m深的水井，蜗牛和乌龟同时从井底向上爬.因为井壁滑，蜗牛白天向上爬2m，晚上向下滑1m；乌龟白天向上爬3m，晚上向下滑1m.当乌龟爬到井口时，蜗牛距井口 m.高分夺冠1.略2.略3.五羊矿泉水为了环境保护而回收空矿泉水瓶.允许消费者用4个空瓶换1瓶矿泉水(少于4个空瓶则不能换)，花城中学买了1999瓶五羊牌矿泉水，如果尽可能把空瓶拿去换矿泉水，那么花城中学师生一共能喝上瓶矿泉水；反过来，如果一共能喝上3126瓶矿泉水，那么最初应该买了瓶矿泉水.4.略5.某路公交车从起点经过A，B，C，D四站到达终点，途中上下乘客如下表所示.(用正数表(1)到终点下车还有多少人？填在表格相应位置；(2)车行驶在哪两站之间车上的乘客最多？站和站；(3)若每人乘坐一站需买票0.5元，问该车出车一次能收入多少钱？要求写出算式.第二讲数轴和绝对值思维导图重难点分析重点分析：1.数轴的三要素：原点、单位长度、正方向.2.理解有理数可以用数轴上的点表示，数轴上的点不一定表示有理数.3.相反数：实数a与－a互为相反数，零的相反数仍是零.若a，b互为相反数，则a+b＝0.4.倒数：若两个实数的乘积为1，就称这两个实数互为倒数，零没有倒数.5.绝对值的几何意义：表示这个数到原点的距离.6.比较有理数大小的两种基本方法：利用数轴比较大小；利用法则比较大小.难点分析：1.数轴涉及数和形两个方面，是解决许多数学问题的重要工具.2.绝对值具有非负性，去绝对值问题往往会涉及较复杂的符号问题.例题精析例1、下列所画的数轴正确的有( ).A.1条B.2条C.3条D.4条思路点拨：利用数轴的概念和三要素(原点，正方向和单位长度)来判断正误.解题过程：第一条数据顺序不对，错误；第二条正确；第三条没有正方向，错误；第四条刻度不均匀，错误.所以正确的共有1条.故选A.方法归纳：本题主要考查了数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.三个要素缺一不可. 易错误区：数轴的单位长度可以根据实际需要选取.例2、数轴上点A，B的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为 .思路点拨：点A表示的数是-1，点B表示的数是3，所以｜AB｜=4；点B关于点A的对称点为C，所以点C到点A的距离｜AC｜=4.设点C表示的数为x，则-1-x=4，解出x即可求得点C表示的数.解题过程：如图，点A表示的数是-1，点B表示的数是3，所以｜AB｜=4.又点B关于点A的对称点为C，所以点C到点A的距离｜AC｜=4.设点C表示的数为x，则-1-x=4，解得x=-5.故答案为-5.方法归纳：由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想.易错误区：数轴上两点间的距离是表示这两个点的数的差的绝对值.例3、已知数轴上A，B两点分别为-3，-6，若在数轴上找一点C，使得A与C的距离为4；找一点D，使得B与D的距离为1，则下列( )不可能为C与D的距离.A.0B.2C.4D.6思路点拨：将点A，B，C，D在数轴上表示出来，然后根据绝对值与数轴的意义计算CD的长度.解题过程：根据题意，点C与点D在数轴上的位置如图所示：在数轴上使AC的距离为4的点C有两个：C1，C2，数轴上使BD的距离为1的点D有两个：D1，D2，∴C与D的距离为：①C2D2=0；②C2D1=2；③C1D2=8；④C1D1=6.综合①②③④，知C与D的距离可能为：0，2，6，8.故选C.方法归纳：本题综合考查了数轴，绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点.易错误区：在数轴上找一点C，使得A与C的距离为4，满足这个条件的点A有两个；同理找一点D，使得B与D的距离为1，满足条件的点D也有两个，注意不要遗漏.例4、如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示-4，点G表示8.(1)点B表示的有理数是，表示原点的是点是；(2)图中的数轴上另有点M到点A、点G距离之和为13，则这样的点M表示的有理数是；(3)若相邻两点之间的距离不变，将原点取在点D，则点C表示的有理数是，此时点B与点表示的有理数互为相反数.思路点拨：(1)先根据数轴上两点之间的距离公式求出点A到点G的距离，再求出相邻两点之间的距离即可解答；(2)设点M表示的有理数是m，根据数轴上两点之间距离的定义即可求出m的值；(3)根据两点间的距离是2可求出C点坐标，再根据相反数的定义即可求出结论.解题过程：(1)∵数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示-4，点G 表示8，∴AG=｜8+4｜=12. ∴相邻两点之间的距离=612=2. ∴点B 表示的有理数是-4+2=-2，点C 表示的有理数-2+2=0. 故答案为：-2；C.(2)设点M 表示的有理数是m ，则｜m+4｜+｜m-8｜=13， ∴m=-4.5或m=8.5. 故答案为：-4.5或8.5. (3)若将原点取在点D ， ∵每两点之间距离为2， ∴点C 表示的有理数是-2.∵点B 与点F 在原点D 的两侧且到原点的距离相等， ∴此时点B 与点F 表示的有理数互为相反数. 故答案为：-2；F. 方法归纳：本题考查的是数轴的特点及数轴上两点之间距离的定义，熟知数轴上两点之间距离公式是解答本题的关键.易错误区：第(2)题中A ，G 两点间的距离为12，所以数轴上到点A 、点G 距离之和为13的点M 在线段AG 外，这样的点有两个.例5、已知｜a+3.5｜+｜b-9｜+｜c-13.5｜=0，求ab+c 的值.思路点拨：根据非负数的性质可求出a ，b ，c 的值，再将它们代入ab+c 中求解即可. 解题过程：∵｜a+3.5｜+｜b-9｜+｜c-13.5｜=0， ∴a+3.5=0，b-9=0，c-13.5=0. ∴a=-3.5，b=9，c=13.5. ∴ab+c=-3.5×9+13.5=-18.方法归纳：非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零. 易错误区：只有当若干个非负数相加等于零时，才能得出每个非负数都同时为零.探究提升例、观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离4与-2，3与5，-2与-6，-4与3，回答下列各题：(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： ；(2)若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则点A 与点B 两点间的距离可以表示为 ；(3)结合数轴求得｜x-2｜+｜x+3｜的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ；(4)满足｜x+1｜+｜x+4｜>3的x 的取值范围为 .思路点拨：(1)通过观察容易得出结论；(2)在数轴上找到点B 所在的位置，点A 可以位于数轴上的任意位置，分三种情况进行分类讨论；(3)(4)根据(2)中的结论，利用数轴分析. 解题过程：(1)相等.(2)结合数轴，分以下三种情况：当x ≤-1时，距离为-x-1当-1<x≤0时，距离为x+1当x>0，距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为x+1.(3)｜x-2｜即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离.｜x+3｜=｜x-(-3)｜即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离.如图，x在数轴上的位置有三种可能：图1图2图3图2符合题意，所以｜x-2｜+｜x+3｜的最小值为5，取得最小值时x的取值范围为-3≤x≤2.(4)同理｜x+1｜表示数轴上x与-1之间的距离，｜x+4｜表示数轴上x与-4之间的距离.所以本题即求：当x在什么范围内时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3.借助数轴，我们可以得到正确答案：x<-4或x>-1.方法归纳：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴的距离问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题.这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便.事实上，｜a-b｜表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3)、(4)这两道难题.易错误区：｜a-b｜表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离，｜a+b｜表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数-b的点之间的距离.专项训练拓展训练A组略B组略走进重高1.略2.【菏泽】如图，数轴上的A ，B ，C 三点所表示的数分别是a ，b ，c ，其中AB=BC ，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ）.A.点A 的左边B.点A 与点B 之间C.点B 与点C 之间D.点B 与点C 之间或点C 的右边(第2题)(第3题)3.【遵义】如图，A ，B 两点在数轴上表示的数分别是a ，b ，则下列式子中成立的是（ ）.A.a+b ＜0B.-a ＜-bC.1-2a ＞1-2bD.|a|-|b|＞04.略5.略(第6题)6.【咸宁】实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则｜a ｜ ｜b ｜(填“＞”“＜”或“=”).7.【略8.【咸宁】在数轴上，点A （表示整数a ）在原点的左侧，点B （表示整数b ）在原点的右侧.若|a-b|=2013，且AO=2BO ，则a+b 的值为 ．高分夺冠1.略2.当x 满足条件 时，y=｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+…+｜x-2010｜会得到最小值.3.求｜x-3｜+｜x-5｜+｜x-2｜+｜x+1｜+｜x+7｜的最小值.4.略5.有理数a ，b ，c 均不为0，且a+b+c=0.设x=||||||||ba c a cbc b a +++++，试求代数式x 19+99x+2013之值.第三讲有理数的加减思维导图重难点分析重点分析：1.有理数加法法则：(1)同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；(2)绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0；(3)一个数同0相加，仍得这个数.2.加法交换律:a+b=b+a，两个数相加，交换加数的位置，和不变.加法结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.3.有理数减法法则：减去一个非零的数，等于加上这个数的相反数.其中，两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数；一不变：被减数不变.可以表示成：a－b=a+(－b).难点分析：1.在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0.从而确定用哪一条法则.在应用过程中，一定要牢记“先符号，后绝对值”，熟练以后就不会出错了.2.在进行有理数加法运算时，一般采取：(1)是互为相反数的先加(抵消)；(2)同号的先加；(3)同分母的先加；(4)能凑整数的先加；(5)异分母分数相加，先通分，再计算.例题精析例1,、钟面上有1，2，3，4，5，…，12共12个数.(1)试在某5个数的前面添加负号，使这5个负数与其余7个正数的和为0；(2)在解题过程中你能总结出一些什么规律？思路点拨：先求出1，2，3，4，5，…，12这12个数的和为78，将78÷2得出5个负数绝对值的和为39，找到12个数中5个数绝对值的和等于39的数前面添加负号即可.解题过程：(1)1+2+3+4+5+…+12=78，78÷2=39.∵1+6+9+11+12=39，∴5个数为1，6，9，11，12(答案不唯一).(2)规律：5个负数绝对值的和等于1，2，3，4，5，…，12这12个数的和的一半.方法归纳：认真审题，找出“5个负数绝对值的和等于1，2，3，4，5，…，12这12个数的和的一半”这一规律是解答本题的关键所在.易错误区：要利用互为相反数的两个数相加和为0，从而找到规律，不能盲目乱凑.例2、计算：(1)-6-8-2+3.54-4.72+16.46-5.28； (2)75.1)321()432()323(------.思路点拨：(1)注意运算过程中的简便方法，让能够凑成整十的两个数相结合；(2)首先化简，然后利用有理数的加法法则和加法的交换律进行计算.解题过程：(1)原式=(-6-8-2-4.72-5.28)+(3.54+16.46)=-26+20=-6.(2)原式=)431432()321323(431321432323-++-=-++-=-2+1=-1. 方法归纳：在计算时要灵活运用运算定律使运算更加简便.易错误区：当使用运算定律后不能使运算更简便的，就按一般运算顺序计算.例3、用简便方法计算:(1)111.1+(-12)+0.9；(2)(+13)+(-21)+(+28)+(-10)；(3)4.33+(-7.52)+(-4.33)； (4))76()61()71(65-+-+-+. 思路点拨：(1)能凑整的先凑整简称凑整结合法；(2)把正数与负数分别结合在一起再相加简称同号结合法；(3)有相反数的先把相反数相加简称相反数结合法；(4)遇到分数，先把同分母的数相加，简称同分母结合法.解题过程：(1)原式=111.1+0.9+(-12)=112+(-12)=100.(2)原式=［(+13)+(+28)］+［(-21)+(-10)］=(+41)+(-31)=10.(3)原式=(-7.52)+［(+4.33)+(-4.33)］=(-7.52)+0=-7.52.(4)原式=31)1(32)]76()71[()]61(65[-=-+=-+-+-+. 方法归纳：认真观察算式的特点，合理利用简便计算规则：①凑整结合法；②同号结合法；③相反数结合法；④同分母结合法.易错误区：不是所有的计算都有简便方法的.例4、一天，有个年轻人来到“高记”童鞋店里买了一双鞋，这双鞋的成本是15元，标价是21元，这个年轻人掏出一张50元的人民币要买这双鞋，鞋店当时没有零钱，就用那张50元钱向街坊换了50元的零钱，找给年轻人29元，但是，街坊后来发现那张50元的钱是假钞，鞋店老板无奈之下，还了街坊50元，那么鞋店在这次交易中共损失了( ).A.15元B.44元C.50元D.100元思路点拨根据题意可知，鞋店老板首先损失了这双鞋的成本15元，然后损失了找给年轻人的29元，共损失了44元.解题过程：15+29=44(元).答：鞋店老板共损失了44元.方法归纳：本题的关键在于充分理解题意，若那张50元的钱是真钞，鞋店老板就没有损失了.易错误区：注意还给街坊的50元不属于损失之列，因为换零钱时街坊也给了鞋店老板50元.例5、小张上周末买进股票(1)到本周三，小张所持股票每股是多少元？(2)本周内，股票最高价出现在星期几？是多少元？(3)已知小张买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和3‰的交易税.如果小张在本周末卖出全部股票，他的收益如何？思路点拨：(1)由表中数据可以算出股票每天每股的价格；(2)比较五天涨跌可知，星期一和星期二都是涨，则该股票最高价出现在星期二，进而求出每股的价格；(3)收益=卖股票收入-买股票支出-卖股票手续费和交易税-买股票手续费，代入求值即可.解题过程：(1)20+4+5-1=28(元).答：到本周三，小张所持股票每股28元.(2)20+4+5=29(元).答：本周内，股票最高价出现在星期二，是29元.(3)29-1-3-6=19(元)，1000×19=19000(元)，1000×20=20000(元)，19000-20000-20000×1.5‰-19000×(1.5‰+3‰)=-1000-30-85.5=-1115.5(元).答：小张亏了1115.5元.方法归纳：本题主要考查正负数及有理数的运算在实际生活中的应用.所以学生在学这一部分时一定要联系实际，活学活用.易错误区：股票的涨跌是以前一天股票的价格为基准的.例6、实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度.下表是某次测量数据的部分记录(用A-C表示观测点A相对观测点C的高度)根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是( ).A.210 mB.130 mC.390 mD.-210 m思路点拨：认真审题可以发现：A比C高90 m，C比D高80 m，D比E高60 m，F比E高50 m，F比G高70 m，B比G高40 m.然后转化为算式，通过变形得出A-B的关系即可.解题过程：由表中数据可知：A-C=90…①，C-D=80…②，D-E=60…③，E-F=-50…④，F-G=70…⑤，G-B=-40…⑥.①+②+③+…+⑥，可得(A-C)+(C-D)+(D-E)+(E-F)+(F-G)+(G-B)=A-B=90+80+60-50+70-40=210.∴观测点A相对观测点B的高度是210 m.故选A.方法归纳：解答本题的关键是理解表格中数据的实际意义，然后转化为算式，本题也可以通过画线段图来求解.易错误区：注意A-C 与C-A 表示的意义不同.探究提升例、观察下列等式4131431,3121321,211211-=⨯-=⨯-=⨯，将以上三个等式两边分别相加得：4341141313121211431321211=-=-+-+-=⨯+⨯+⨯. (1)猜想并写出：)1(1+n n = ； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①201320121...431321211⨯++⨯+⨯+⨯= ； ②431321211⨯+⨯+⨯+…+)1(1+⨯n n = ； (3)探究并计算：201420121...861641421⨯++⨯+⨯+⨯; (4)计算1801...40124112141+++++. 思路点拨：(1)观察可得分子为1，分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差，即111)1(1+-=+n n n n ；(2)根据此规律把各分数转化，再进行分数的加减运算；(3)先提出41，然后按照前面的运算方法计算即可；(4)根据)901...1216121(211801...40124112141++++=+++++计算即可. 解题过程：(1) 111+-n n (2)①20132012 ②1+n n (3)原式=20145031007100641)100710061...321211(41=⨯=⨯++⨯+⨯. (4)原式=.20910921)1091...431321211(21)901...1216121(2190121...1212161212121=⨯=⨯++⨯+⨯+⨯=++++=⨯++⨯+⨯+⨯ 方法归纳：本题考查了关于数字的变化规律：通过观察数字之间的变化规律，得到一般性的结论，再利用此结论解决问题.易错误区：(3)(4)要注意观察算式的特点，转化为第(2)题中的运算方法.专项训练拓展训练A 组略B 组略走进重高1.略2.略3.【武汉】-8的绝对值与它的相反数的差是( ).A.8B.-8C.0D.164.略5.【芜湖】请阅读一小段约翰斯特劳斯的作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时值长应为( ). A.81 B.21 C.41 D.43(第5题)(第6题)6.【常德】如图，一个数表有7行7列，设a ij 表示第i 行第j 列上的数(其中i=1，2，3，…，j=1，2，3，…).例如：第5行第3列上的数a 53=7，则：(1)(a 25-a 22)+(a 52-a 53)= ；(2)此数表中的四个数a np ,a nk ,a mp ,a mk ，满足(a np -a nk )+(a mk -a mp )= .高分夺冠1.略2.略3.如图的号码是由14位数字组成的，把每一位数字写在下面的方格中，若任意相邻的三个(第3题)4.略5.解答题：(1)已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为1，求a+b+x2-cdx的值；(2)10箱苹果，如果每箱以30kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：+2，+1，0，-1，-1.5，-2，+1，-1，-1，-0.5.这10箱苹果的总质量是多少千克？(3)小亮用50元钱买了10支钢笔，准备以一定的价格出售，如果每支钢笔以6元的价格为标准，超过的记作正数，不足的记作负数，记录如下：0.5，0.7，-1，-1.5，0.8，1，-1.5，-2.1，9，0.9.①这10支钢笔的最高售价和最低售价各是几元？②当小亮卖完钢笔后是盈还是亏？。
