【精品】七年级上册数学 重难点题型分类 练习

专题09 一元一次方程 章末重难点题型（12个题型）一、经典基础题题型1 方程与一元一次方程的辨别题型2 利用一元一次方程的定义和方程的解求值题型3 等式的性质及应用题型4 一元一次方程中的同解问题题型5 方程的特殊解问题（求参数的值）题型6 解方程题型7 含参数的一元一次方程题型8 一元一次方程中的错解和遮挡问题题型9 一元一次方程中的新定义问题题型11 一元一次方程中的整体换元题型12 一元一次方程中的实际应用二、优选提升题题型1 方程与一元一次方程的辨别例1．（2022·吉林·大安市七年级期末）下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A ．x +2y =5B ．x 2+x -1=0C ．1xD ．3x +1= 10【答案】D【分析】根据一元一次方程的定义分析即可得出结论．【详解】解：方程x +2y =5中含有两个未知数，不是一元一次方程，故A 项错误； 方程x 2+x -1=0中未知数的最高次数为2次，不是一元一次方程，故B 项错误；代数式1x 不是等式，更不是一元一次方程，故C 项错误； 方程3x +1= 10含有一个未知数，且未知数的次数为1，是一元一次方程，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟记一元一次方程的定义是解题的关键．变式1．（2022·河南三门峡·七年级期末）在①21x +；②171581+=-+；③1112x x -=-；④23x y +=中，方程共有（ ）A ．1个B ．3个C ．2个D ．4个【答案】C【分析】含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义解答． 【详解】解：方程有③1112x x -=-；④23x y +=，故选：C ． 【点睛】此题考查了方程的定义，正确理解定义是解题的关键．变式2．（2022·广东湛江·七年级期末）下列各式中，不是方程的是（ ）A ．2a a a +=B ．23x +C ．215x +=D ．()2122x x +=+【答案】B【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式称为方程）依次进行判断即可．【详解】解：根据方程的定义可得：A 、C 、D 选项均为方程，选项B 不是等式，所以不是方程，故选：B ．【点睛】题目主要考查方程的定义，深刻理解方程的定义是解题关键．题型2 利用一元一次方程的定义和方程的解求值【解题技巧】依据一元一次方程的定义，x 的次数为1，系数不为0方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 例1．（2022·河南郑州·七年级期末）若使方程(2)1m x +=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是（ ）A ．2m ≠-B ．0m ≠C ．2m ≠D ．2m >- 【答案】A【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程进行求解即可．【详解】解：∵方程()21m x +=是关于x 的一元一次方程，∵20m +≠即2m ≠-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程的定义．变式1．（2022·福建泉州·七年级期末）若3x =是关于x 的方程5ax b -=的解，则622a b --的值为（ ） A ．2B ．8C ．－3D ．－8 【答案】B【分析】将x =3代入ax -b =5中得3a -b =5，将该整体代入6a -2b -2中即可得出答案．【详解】解：将x =3代入ax -b =5中得：3a -b =5，所以6a -2b -2=2（3a -b ）-2=2×5-2=8．故选：B ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，熟练掌握整体法是解题的关键． 变式2．（2022·河南南阳·七年级期末）若()110m x -+=是关于x 的一元一次方程，则m 的值可以是______(写出一个即可)【答案】2（答案不唯一）【分析】只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程叫一元一次方程，利用一元一次方程的定义得出10m -≠，即可得出答案．【详解】解：()110m x -+=是关于x 的一元一次方程，10m ∴-≠，解得1m ≠，m ∴的值可以是2．故答案为：2(答案不唯一)．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程定义是解题关键．题型3 等式的性质及应用 【解题技巧】等式的性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．例1．（2022·海南·七年级期末）已知a b =，根据等式的性质，可以推导出的是（ ） A ．21a b +=+B ．33a b -=-C ．232a b -=D ．a b c c= 【答案】B【分析】根据等式的性质依次判断即可．【详解】解：a =b ，A 、a +2≠b +1，选项不符合题意；B 、-3a =-3b ，选项符合题意；C 、2a =2b ，∵2a -3≠2b ，选项不符合题意；D 、当c ≠0时，a b c c =，选项不符合题意；故选：B ． 【点睛】题目主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题关键．例1．（2022·四川成都·八年级期末）某小组设计了一组数学实验，给全班同学展示以下三个图，其中（a ）（b ）中天平保持左右平衡，现要使（c ）中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（ ）A ．25克B ．30克C ．40克D ．50克【答案】C【分析】由图（a ）和图（b ）可得5个黑三角和5个黑圆共重150克，从而1个黑三角和1个黑圆共重30克，由此可计算出1个黑三角重20克，1个黑圆重10克，可计算出此题结果．【详解】设一个黑三角重a 克，一个黑圆重b 克，由题意，得5（a +b ）=150，解得a +b =30，由图（a ）得，a +2（a +b ）=80，即a +2×30=80，解得a =20，∵b =30-20=10，∵a +2b =20+10×2=20+20=40，故选：C ．【点睛】此题考查了利用等式的性质和方程解决实际问题的能力，关键是能根据题意列出关系式，利用等式的性质进行计算．例2．（2022·江苏泰州·七年级期末）已知方程x -2y =5，请用含x 的代数式表示y ，则y =_______．【答案】52x - 【分析】先移项，再把y 的系数化为1即可．【详解】解：移项得，−2y ＝5−x ，y 的系数化为1得，52x y -=．故答案为：52x -． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程，熟知等式的基本性质是解答此题的关键．题型4 一元一次方程中的同解问题解题技巧：通过前一个方程求得x 的值并代入后一个方程，转化为含另一未知数的方程、 例1．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x 的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的解的2倍，则m 的值为（ ） A ．12 B ．14 C ．14- D ．12- 【答案】C【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m 的值．【详解】解：方程4x -2m =3x -1，解得：x =2m -1，方程x =2x -3m ，解得：x =3m ，根据题意得：2m -1=6m ，解得：m =-14．故选：C ． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．变式1．（2022·辽宁大连·七年级期末）如果方程24=x 与方程的解相同，则k 的值为（ ）A ．2B ．C ．4D ． 【答案】C【分析】解方程2x =4，求出x ，根据同解方程的定义计算即可．【详解】解：∵2x =4，∴x =2，∵方程2x =4与方程3x +k =-2的解相同，∴3×2+k =10解得，k =4，故选：C ．【点睛】本题考查的是同解方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．变式2．（2022·山东烟台·期末）若关于x 的方程()3212x k x -=+的解与关于x 的方程()821k x -=+的解互为相反数，则k =______．【答案】15【分析】分别解两个方程，根据方程的解互为相反数，列出方程，解出k 即可；【详解】解：()3212x k x -=+，632x k x -=+，623x x k -=+，43x k =+，34k x +=， 解方程：()821k x -=+，822k x -=+，26x k =-，62k x -=， 根据题意列出方程36042k k +-+=， 解得：15k =，故答案为：15．【点睛】本题考查解一元一次方程，依据解方程步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，解题关键正确应用运算法则．题型5 方程的特殊解问题（求参数的值）解题技巧：求含参数一元一次方程的逆过程例1．（2022·河南安阳·七年级期末）关于x 的方程的解是正整数，则整数k 可以取的值是__________．【答案】3310x k +=2-4-21x kx +=【分析】把含x 的项合并，化系数为1求x ，再根据x 为正整数求整数k 的值．【详解】解：移项、合并，得，解得：， ∵x 为正整数，k 为整数，∴解得k=3．故答案为：3．【点睛】本题考查一元一次方程的解．关键是按照字母系数解方程，再根据正整数解的要求求整数k 的值．变式1．（2022·上海金山·八年级期末）如果关于x 的方程ax ＝b 无解，那么a 、b 满足的条件（ ）A ．a ＝0，b ＝0B ．a ≠0，b ≠0C ．a ≠0，b ＝0D ．a ＝0，b ≠0 【答案】D【分析】根据方程无解，可知含x 的系数为0，常数不为0，据此求解．【详解】解：∵关于x 的方程ax =b 无解，∵a =0，b ≠0，故选：D ．【点睛】本题考查一元一次方程的解，理解方程无解时含x 的系数为0，常数项不为0是解题关键．变式2．（2022·湖南）关于x 的方程（a +1）x ＝a ﹣1有解，则a 的值为（ ）A ．a ≠0B ．a ≠1C ．a ≠﹣1D ．a ≠±1【答案】C【分析】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案．【详解】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案． 解：由关于x 的方程（a +1）x ＝a ﹣1有解，得a +1≠0，解得a ≠﹣1．故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次方程有解的条件，利用了一元一次方程的系数不能为零． 变式3．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+有无穷多个解，则a b -=______． 【答案】259【分析】方程整理后，根据有无穷多个解，确定出a 与b 的值，即可求出所求．【详解】解：方程整理得：（3a ﹣5）x ＝2a +3b ，∵方程有无穷多个解，∵3a ﹣5＝0，2a +3b ＝0，解得：a ＝53，b ＝﹣109， 则a ﹣b ＝53+109 ＝259．故答案为：259． 【点睛】此题考查一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．题型6 解方程【解题技巧】21x kx -=-12x k=--2=-1k -解含有括号的一元一次方程：一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化运算。

初一数学上册重点难点专项练习一、选1.若代数式3a 4b 2x 与0.2b 3x －1a 4能合成一项，则x 的值是（ ）A.21B.1C.31D.02．下列式子正确的是（ ）A ．－0.1＞－0.01B ．—1＞0C ．21＜31D ．－5＜3 3． 沿图1中虚线旋转一周，能围成的几何体是下面几何体中的 （ ）4．多项式12++xy xy 是（ ）A ．二次二项式B ．二次三项式C ．三次二项式D ．三次三项式 5．关于y 的方程3y ＋5＝0与3y ＋3k ＝1的解完全相同,则k 的值为( ) A ．－2 B ．43C ．2D ．－346．数a ，b 在数轴上的位置如图2所示，则b a +是（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．都有可能7．将150000000千米用科学记数法表示为（ ）A ．0.15×910千米 B ．1.5×810千米 C ．15×710千米 D ．1.5×710千米 8．图5是某市一天的温度变化曲线图，通过该图可知，下列说法错误的是（ ）A ．这天15点时的温度最高B ．这天3点时的温度最低C ．这天最高温度与最低温度的差是13℃D ．这天21点时的温度是30℃9．一个正方体的侧面展开图如图4所示，用它围成的正方体只可能是（ ）10．已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（ ）A ．3瓶B ．4瓶C ．5瓶D ．6瓶 二、填11．52xy -的系数是 。

12．某公园的成人单价是10元，儿童单价是4元。

某旅行团有a 名成人和b 名儿童；则旅行团的门票费用总和为 元。

13．已知(a ＋1)2＋|b －2|＝0，则1+ab 的值等于。

14．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是 米。

15．如图，点A 、O 、B 在一条直线上，且∠AOC =50°，OD 平分∠AOC 、，则图中∠BOD=度。

人教版七年级数学上册《计算重难题型》专题训练-附带答案一．易错计算强化1．计算：（1）(13−52+16)×(−36)；（2）(−1)2022×3−23+(−14)2÷|−125|．试题分析：（1）根据乘法分配律计算即可；（2）先算乘方再算乘除法最后算加减法即可．答案详解：解：（1）(13−52+16)×(−36)=13×（﹣36）−52×（﹣36）+16×（﹣36）＝﹣12+90+（﹣6）＝72；（2）(−1)2022×3−23+(−14)2÷|−125|＝1×3﹣8+116÷132＝1×3﹣8+116×32＝3﹣8+2＝﹣3．2．计算：（1）−14−(−2)3×14−16×(12−14+38)．（2）−22−2×[(−3)2−3÷12 ]．试题分析：（1）先算乘方再算乘法最后算加减法即可；（2）先算乘方和括号内的式子然后计算括号外的乘法最后算减法即可．答案详解：解：（1）−14−(−2)3×14−16×(12−14+38)＝﹣14﹣（﹣8）×14−16×12+16×14−16×38＝﹣14+2﹣8+4﹣6＝﹣22；（2）−22−2×[(−3)2−3÷1 2 ]＝﹣4﹣2×（9﹣3×2）＝﹣4﹣2×（9﹣6）＝﹣4﹣2×3＝﹣4﹣6＝﹣10．3．计算：（1）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|；（2）[50−(79−1112+16)×(−6)2]÷(−7)2．试题分析：（1）先算乘方再算乘除法最后算加减法即可；（2）先算乘方再根据乘法分配律计算括号内的式子最后算括号外的除法．答案详解：解：（1）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|＝﹣9÷9+3×（﹣2）+4＝﹣1+（﹣6）+4＝﹣3；（2）[50−(79−1112+16)×(−6)2]÷(−7)2 ＝[50﹣（79−1112+16）×36]÷49＝（50−79×36+1112×36−16×36）÷49 ＝（50﹣28+33﹣6）÷49 ＝49÷49 ＝1．4．计算：（1）（−12）﹣（﹣314）+（+234）﹣（+512）；（2）﹣8+12﹣（﹣16）﹣|﹣23|； （3）42×（−23）﹣（−34）÷（﹣0•25）； （4）（134−78−712）÷（−78）+（−83）；试题分析：按照有理数混合运算的顺序 先乘方后乘除最后算加减 有括号的先算括号里面的 计算过程中注意正负符号的变化．答案详解：解：（1）原式＝（−12）+134+114−224 ＝（−12）+24＝0；（2）原式＝（﹣8）+12+16﹣23 ＝﹣3；（3）原式＝（﹣28）﹣3 ＝﹣31； （4）原式＝（4224−2124−1424）×（−87）−83＝（−13）−83＝﹣3． 5．计算下列各题：①−14÷(−5)2×(−53)+|0.8−1|②−52−[(−2)3+(1−0.8×34)÷(−22)×(−2)]．试题分析：①原式第一项被除数表示1四次幂的相反数除数表示两个﹣5的乘积再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算最后一项利用绝对值的代数意义化简计算即可得到结果；②原式第一项表示5平方的相反数中括号中第一项表示三个﹣2的乘积第二项算计算括号中的运算再利用乘法法则计算即可得到结果．答案详解：解：①原式＝﹣1÷25×（−53）+0.2＝﹣1×125×（−53）+0.2=115+15=415；②原式＝﹣25﹣[﹣8+（1−35）÷（﹣4）×（﹣2）]＝﹣25﹣（﹣8+25×14×2）＝﹣25+8−15=−17.2．二．二进制与十进制的转化6．我们常用的数是十进制数计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1）它们两者之间可以互相换算如将（101）2（1011）2换算成十进制数为：（101）2＝1×22+0×21+1＝4+0+1＝5；（1011）2＝1×23+0×22+1×21+1＝11；两个二进制数可以相加减相加减时将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则如：（101）2+（11）2＝（1000）2；（110）2﹣（11）2＝（11）2用竖式运算如右侧所示．（1）按此方式将二进制（1001）2换算成十进制数的结果是9．（2）计算：（10101）2+（111）2＝（11100）2（结果仍用二进制数表示）；（110010）2﹣（1111）2＝35（结果用十进制数表示）．试题分析：（1）根据例子可知：若二进制的数有n位那么换成十进制等于每一个数位上的数乘以2的（n﹣1）方再相加即可；（2）关于二进制之间的运算利用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则计算即可．答案详解：解：（1）（1001）2＝1×23+0×22+0×21+1＝9；（2）（10101）2+（111）2＝（11100）2；（110010）2﹣（1111）2＝（100011）2＝1×25+1×21+1＝35．所以答案是：9；（11100）2；35．7．我们常用的数是十进制数计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1）它们两者之间可以互相换算如将（101）2（1011）2换算成十进制数应为：（101）2＝1×22+0×21+1×20＝4+0+1＝5；（1011）2＝1×23+0×22+1×21+1×20＝8+0+2+1＝11．按此方式将二进制（1001）2换算成十进制数和将十进制数13转化为二进制的结果分别为（）A．9 （1101）2B．9 （1110）2C．17 （1101）2D．17 （1110）2试题分析：首先理解十进制的含义然后结合有理数运算法则计算出结果然后根据题意把13化成按2的整数次幂降幂排列即可求得二进制数．答案详解：解：（1001）2＝1×23+0×22+0×21+1×20＝9．13＝8+4+1＝1×23+1×22+0×21+1×20＝（1101）2所以选：A．8．计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1）是逢2进1的计数制二进制数与常用的十进制数之间可以互相换算如将（10）2（1011）2换算成十进制数应为：（10）2＝1×21+0×20＝2 （1011）2＝1×23+0×22+1×21+1×20＝11．按此方式则（101）2+（1101）2＝18．试题分析：仿照所给的方式进行求解即可．答案详解：解：（101）2+（1101）2＝1×22+0×21+1×20+1×23+1×22+0×21+1×20＝4+0+1+8+4+0+1＝18．所以答案是：18．三．数值转化机9．按如图所示的程序运算：当输入的数据为﹣1时则输出的数据是（）A．2B．4C．6D．8试题分析：把x＝﹣1代入程序中计算判断结果与0的大小即可确定出输出结果．答案详解：解：把x＝﹣1代入程序中得：（﹣1）2×2﹣4＝2﹣4＝﹣2＜0把x＝﹣2代入程序中得：（﹣2）2×2﹣4＝8﹣4＝4＞0则输出的数据为4．所以选：B．10．下图是计算机计算程序若开始输入x＝﹣2 则最后输出的结果是﹣17．试题分析：把﹣2按照如图中的程序计算后若＜﹣5则结束若不是则把此时的结果再进行计算直到结果＜﹣5为止．答案详解：解：根据题意可知（﹣2）×4﹣（﹣3）＝﹣8+3＝﹣5所以再把﹣5代入计算：（﹣5）×4﹣（﹣3）＝﹣20+3＝﹣17＜﹣5即﹣17为最后结果．故本题答案为：﹣1711．按照如图所示的操作步骤若输入值为﹣3 则输出的值为55．试题分析：把﹣3代入操作步骤中计算即可确定出输出结果．答案详解：解：把﹣3代入得：（﹣3）2＝9＜10则有（9+2）×5＝55．所以答案是：55．四．类比推理--规律类的钥匙12．观察下列各式：1 1×2+12×3=（11−12）+（12−13）＝1−13=23．1 1×2+12×3+13×4=（11−12）+（12−13）+（13−14）＝1−14=34．…（1）试求11×2+12×3+13×4+14×5的值．（2）试计算11×2+12×3+13×4+⋯+1n×(n+1)（n为正整数）的值．试题分析：（1）根据已知等式得到拆项规律原式变形后计算即可得到结果；（2）原式利用拆项法变形计算即可得到结果．答案详解：解：（1）原式＝1−12+12−13+14−15=1−15=45；（2）原式＝1−12+12−13+..+1n−1n+1=1−1n+1=n n+1．13．阅读下面的文字完成后面的问题．我们知道11×2=1−1212×3=12−1313×4=13−14那么14×5=14−1512005×2006=1 2005−1 2006．（1）用含有n的式子表示你发现的规律1n−1n+1；（2）依上述方法将计算：1 1×3+13×5+15×7+⋯+12003×2005=10022005（3）如果n k均为正整数那么1n(n+k)=1k⋅(1n−1n+k)．试题分析：观察发现每一个等式的左边都是一个分数其中分子是1 分母是连续的两个正整数之积并且如果是第n个等式分母中的第一个因数就是n第二个因数是n+1；等式的右边是两个分数的差这两个分数的分子都是1 分母是连续的两个正整数并且是第n个等式被减数的分母就是n减数的分母是n+1．然后把n＝4 n＝2005代入即可得出第5个等式；（1）先将（1）中发现的第n个等式的规律1n(n+1)=1n−1n+1代入再计算即可；（2）先类比（1）的规律得出1n(n+2)=12（1n−1n+1）再计算即可．（3）根据（2）的规律即可得出结论．答案详解：解：∵第一个式子：11×2=1−12；第二个式子：12×3=12−13；第三个式字：13×4=13−14… ∴14×5=14−1512005×2006=12005−12006．所以答案是：14−1512005−12006；（1）由以上得出的规律可知 第n 个等式的规律 1n(n+1)=1n−1n+1；（2）原式=12（1−13+13−14⋯+12003−12005） =12（1−12005） =10022005（3）由（2）可知n k 均为正整数1k⋅(1n−1n+k)．14．类比推理是一种重要的推理方法 根据两种事物在某些特征上相似 得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中 往往先化作同分母 然后分子相加减 例如：12−13=32×3−23×2=3−26=16我们将上述计算过程倒过来 得到16=12×3=12−13这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地 对于14×6可以用裂项的方法变形为：14×6=12(14−16)．类比上述方法 解决以下问题．【类比探究】（1）猜想并写出：1n×(n+1)=1n −1n+1； 【理解运用】（2）类比裂项的方法 计算：11×2+12×3+13×4+⋯+199×100；【迁移应用】（3）探究并计算：1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×9+⋯+1−2021×2023．试题分析：（1）根据题目中的例子 可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点 采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形 然后裂项抵消即可解答本题． 答案详解：解：（1）1n×(n+1)=1n−1n+1所以答案是：1n−1n+1；（2）由（1）易得：(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(199−1100) =1−12+12−13+13−14+⋯+199−1100 =1−1100 =99100； （3）1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×9+...+1−2021×2023=−12×（21×3+23×5+25×7+27×9+⋯+22021×2023）=−12×（1−13+13−15+15−17+17−19+⋯+12021−12023） =−12×（1−12023） =−12×20222023=−10112023． 15．“转化”是一种解决问题的常用策略 有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图① 可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．请你观察图② 可以把算式12+14+18+116+132+164+1128转化为127128．试题分析：根据图形观察发现 把正方形看作单位“1” 即算式可以转化成1−1128 再求出答案即可．答案详解：解：12+14+18+116+132+164+1128＝1−1128=127128所以答案是：127128．16．观察下列等式：第1个等式：a 1=11×2=1−12； 第2个等式：a 2=12×3=12−13； 第3个等式：a 3=13×4=13−14； 第4个等式：a 4=14×5=14−15⋯ 请解答下列问题：（1）按以上规律写出：第n 个等式a n ＝ 1n(n+1)=1n−1n+1（n 为正整数）；（2）求a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100的值； （3）探究计算：11×4+14×7+17×10+⋯+12020×2023．试题分析：（1）对所给的等式进行分析 不难总结出其规律； （2）利用所给的规律进行求解即可；（3）仿照所给的等式 对各项进行拆项进行 再运算即可． 答案详解：解：（1）∵第1个等式：a 1=11×2=1−12； 第2个等式：a 2=12×3=12−13； 第3个等式：a 3=13×4=13−14； 第4个等式：a 4=14×5=14−15； …∴第n 个等式：a n =1n(n+1)=1n −1n+1 所以答案是：1n(n+1)=1n−1n+1；（2）a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100=11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+1100×101 ＝1−12+12−13+13−14+14−15+⋯+1100−1101＝1−1101 =100101； （3）11×4+14×7+17×10+⋯+12020×2023 =13×（1−14+14−17+17−110+⋯+12020−12023） =13×(1−12023)=13×20222023=6742023．五．阅读类--化归思想17．阅读下列材料：计算5÷（13−14+112）解法一：原式＝5÷13−5÷14+5÷112 ＝5×3﹣5×4+5×12＝55解法二：原式＝5÷（412−312+112） ＝5÷16＝5×6＝30解法三：原式的倒数＝（13−14+112）÷5＝（13−14+112）×15 =13×15−14×15+112×15=130∴原式＝30（1）上述的三种解法中有错误的解法 你认为解法 一 是错误的（2）通过上述解题过程 请你根据解法三计算（−142）÷（16−314−23+37）试题分析：（1）根据运算律即可判断；（2）类比解法三计算可得．答案详解：解：（1）由于除法没有分配律所以解法一是错误的所以答案是：一；（2）原式的倒数＝（16−314−23+37）÷（−142） ＝（16−314−23+37）×（﹣42） =16×（﹣42）−314×（﹣42）−23×（﹣42）+37×（﹣42） ＝﹣7+9+28﹣18＝12∴原式=112．18．先阅读下面材料 再完成任务：【材料】下列等式：4−35=4×35+1 7−34=7×34+1 … 具有a ﹣b ＝ab +1的结构特征 我们把满足这一特征的一对有理数称为“共生有理数对” 记作（a b ）．例如：（4 35）、（7 34）都是“共生有理数对”．【任务】（1）在两个数对（﹣2 1）、（2 13）中 “共生有理数对”是 （2 13） ； （2）请再写出一对“共生有理数对” （−12 ﹣3） ；（要求：不与题目中已有的“共生有理数对”重复）（3）若（x ﹣2）是“共生有理数对” 求x 的值；（4）若（m n ）是“共生有理数对” 判断（﹣n ﹣m ） 是 “共生有理数对”．（填“是”或“不是”）试题分析：（1）读懂题意 根据新定义判断即可；（2）随意给出一个数 设另一个数为x 代入新定义 求出另一个数即可；（3）根据新定义列等式求出x的值；（4）第一对是“共生有理数对”列等式通过等式判断第二对数是否符合新定义．答案详解：解：（1）（﹣2 1）∵（﹣2）﹣1＝﹣3 （﹣2）×1+1＝﹣1 ﹣3＝﹣1∴（﹣2 1）不是“共生有理数对”；（2 1 3）∵2−13=532×13+1=5353=53∴（2 13）是“共生有理数对”；所以答案是：（2 13）；（2）设一对“共生有理数对”为（x﹣3）∴x﹣（﹣3）＝﹣3x+1∴x=−1 2∴这一对“共生有理数对”为（−12﹣3）所以答案是：（−12﹣3）；（3）∵（x﹣2）是“共生有理数对”∴x﹣（﹣2）＝﹣2x+1∴x=−1 3；（4）∵（m n）是“共生有理数对”∴m﹣n＝mn+1∴﹣n﹣（﹣m）＝（﹣n）（﹣m）+1∴（﹣n﹣m）是“共生有理数对”所以答案是：是．19．阅读材料解决下列问题：【阅读材料】求n个相同因数a的积的运算叫做乘方记为a n．若10n＝m（n＞0 m≠1 m＞0）则n叫做以10为底m的对数记作：lgm＝n．如：104＝10000 此时4叫做以10为底10000的对数记作：lg10000＝lg104＝4 （规定lg10＝1）．【解决问题】（1）计算：lg100＝2；lg1000＝3；lg100000＝5；lg1020＝20；（2）计算：lg10+lg100+lg1000+⋅⋅⋅+lg1010；【拓展应用】（3）由（1）知：lg100+lg1000与lg100000之间的数量关系为：lg100+lg1000＝lg100000；猜想：lga+lgb＝lgab（a＞0 b＞0）．试题分析：（1）应用题目所给的计算方法进行计算即可得出答案；（2）应用题目所给的计算方法和有理数乘方法则进行计算即可得出答案；（3）应用题目所给的计算方法进行计算即可得出答案．答案详解：解：（1）根据题意可得lg100＝2；lg1000＝3；lg100000＝5；lg1020＝20；所以答案是：2 3 5 20；（2）lg10+lg100+lg1000+⋅⋅⋅+lg1010＝1+2+3+……+10＝55；（3）∵lg100+lg1000＝2+3＝5lg100000＝5∴lg100+lg1000＝lg100000；所以答案是：lg100+lg1000＝lg100000；lga+lgb＝lgab．所以答案是：lgab．20．阅读下列各式：（a•b）2＝a2b2（a•b）3＝a3b3（a•b）4＝a4b4…回答下列三个问题：（1）验证：（2×12）100＝12100×（12）100＝1；（2）通过上述验证归纳得出：（a•b）n＝a n b n；（abc）n＝a n b n c n．（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2017×22016×42015．试题分析：（1）先算括号内的乘法再算乘方；先乘方再算乘法；②根据有理数乘方的定义求出即可；③根据同底数幂的乘法计算再根据积的乘方计算即可得出答案．答案详解：解：（1）（2×12）100＝1 2100×（12）100＝1；②（a•b）n＝a n b n（abc）n＝a n b n c n③原式＝（﹣0.125）2015×22015×42015×[（﹣0.125）×（﹣0.125）×2]＝（﹣0.125×2×4）2015×1 32＝（﹣1）2015×1 32＝﹣1×1 32=−132．所以答案是：1 1；a n b n a n b n c n．。

相反数和绝对值重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）题型一相反数的辨别与定义题型二判断是否互为相反数题型三利用相反数的意义化简多重符号题型四相反数与数轴的综合题型五绝对值的意义题型六求一个数的绝对值题型七化简绝对值题型八绝对值非负性解题题型九绝对值方程题型十绝对值的其他应用题型十一有理数的大小比较题型十二有理数大小比较的实际应用知识点1：相反数的概念只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身；③相反数是成对出现的（0除外）。

知识点2：相反数的意义互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。

求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。

知识点3：多重符号的化简1、一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉；2、一个正数前面有偶数个“-”号，也可以把“-”号全部去掉；3、一个正数前面有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”号。

口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“-”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。

注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。

知识点4：绝对值1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a 。

2、绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。

3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即：（1）如果0a >，那么a a =；（2）如果0a =，那么0a =；（3）如果0a <，那么a a =-．可整理为：(0)0(0)(0)a a a a a a >ìï==íï-<î，或(0)(0)a a a a a ³ì=í-<î，或(0)(0)a a a a a >ì=í-£î。

专题02高分必刷题-全等三角形重难点题型分类（解析版）题型1：全等三角形的性质1．下列说法正确的是（）A．两个等边三角形一定全等B．形状相同的两个三角形全等C．面积相等的两个三角形全等D．全等三角形的面积一定相等【解答】解：A、两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误；B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确．故选：D．2．如图，△ABC≌△DCB，△A＝80°，△DBC＝40°，则△DCA的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【解答】解：△△ABC≌△DCB，∴∠D＝△A＝80°，△ACB＝DBC＝40°，∴∠DCB＝180°﹣∠D﹣∠DBC＝60°，∴∠DCA＝△DCB﹣∠ACB＝20°，故选：A．3．如图，△ABC≌△DEF，BE＝7，AD＝3，则AB＝．【解答】解：△△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∴AB﹣AD＝DE﹣AD，即BD＝AE，∵BE＝7，AD＝3，∴BD＝AE＝＝2∴AB＝AD+DB＝3+2＝5．故答案为：5．题型2：添加一个条件，是两三角形全等4．如图，已知MB＝ND，△MBA＝△NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（）A．△M＝△N B．AM∥CN C．AB＝CD D．AM＝CN【解答】解：A、△M＝△N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；B、AM∥CN，得出△MAB＝△NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意．C、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；D、根据条件AM＝CN，MB＝ND，△MBA＝△NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故D选项符合题意；故选：D．5．如图，已知△ADB＝△CBD，下列所给条件不能证明△ABD≌△CDB的是（）A．△A＝△C B．AD＝BC C．△ABD＝△CDB D．AB＝CD【解答】解：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（AAS）∴选项A能证明；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SAS），∴选项B能证明；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（ASA），∴选项C能证明；选项D不能证明△ABD≌△CDB；故选：D．6．如图，已知△1＝△2，要使△ABC≌△CDA，还需要补充的条件不能是（）A．AB＝CD B．BC＝DA C．△B＝△D D．△BAC＝△DCA 【解答】解：A、根据AB＝CD和已知不能推出两三角形全等，错误，故本选项正确；B、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（SAS），正确，故本选项错误；C、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（AAS），正确，故本选项错误；D、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（AAS），正确，故本选项错误；故选：A．题型三：尺规作图的依据7．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明△A′O′B′＝△AOB的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，故选：A．8．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，△AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．9．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选：C．题型4：角平分线的性质10．如图，在△ABC中，△C＝90°，AC＝BC，AD平分△CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（）A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm【解答】解：△AD平分△CAB，DE⊥AB，△C＝90°，∴DE＝CD，又△AC＝BC，AC＝AE，∴AC＝BC＝AE，∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，∵AB ＝6cm，∴△DBE的周长＝6cm．故选：A．11．如图，△ABC中，△C＝90°，AD是角平分线，AB＝14，S△ABD＝28，则CD的长为．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD是角平分线，∴由角平分线的性质，得DE＝CD．∵AB＝14，S△ABD＝28，∴×AB×DE＝28，即×14×DE＝28，解得DE＝4，∴CD＝4，故答案为：4．12．如图，BD是△ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝cm．【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，∵BD是△ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，∵AB＝18cm，BC＝12cm，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF＝DE•（AB+BC）＝36cm2，∴DE＝2.4（cm）．故答案为：2.4．题型五：全等三角形中档证明题考向1：重叠边技巧①短边相等+重叠边=长边相等②长边相等-重叠边=短边相等13．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，△A＝△D，AF＝DC．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．【解答】证明：（1）△AF＝DC，∴AF+CF＝DC+CF，∴AC＝DF，∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）△由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠BCA＝△EFD，∴BC∥EF．14．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：AB∥DE．【解答】证明：△AF＝DC，∴AF﹣FC＝DC﹣CF，即AC＝DF．在△ACB和△DFE中，∴△ACB≌△DFE（SSS），∴∠A＝△D，∴AB∥DE．考向2：重叠角技巧重叠角技巧：①小角相等+重叠角=大角相等②大角相等-重叠角=小角相等15．如图，AB＝AD，△C＝△E，△1＝△2，求证：△ABC≌△ADE．【解答】证明：△△1＝△2，∴∠1+∠EAC＝△2+∠EAC，即△BAC＝△DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．16．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且△BAC＝90°，△DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE．【解答】证明：△△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，又△△EAC ＝90°+∠CAD，△DAB＝90°+∠CAD，∴∠DAB＝△EAC，∵在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE．考向三：等角的余角相等技巧：∠1+∠2=90，∠2+∠3=90， ∠1=∠3技巧：把全等三角形中一个三角形的两个锐角分别随意标上∠1、∠2，再从第二个三角形的两个锐角中挑一个和∠1或∠2互余的角标上∠3。

专题07一元一次方程的应用题重难点题型分类（解析版）专题简介：本份资料包含一元一次方程这一章的常考应用题的全部题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含七类题型：配套问题、古典应用题、利润问题、费用与方案选择问题、分层计费问题、工程问题、路程问题。

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题型一配套问题1．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000螺母．1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有x 名工人生产螺钉，则可列方程为（）A ．()22000120022x x ⨯=-B ．()21200200022x x ⨯=-C ．()12002200022x x =⨯-D ．()20002120022x x =⨯-【详解】解：由题意可得，2×1200x=2000（22-x ），故选：B ．2．臭豆腐是长沙的特色名小吃．某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工100个汤料包或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？【详解】解：设安排x 人加工汤料包，则安排（60-x ）人加工配料包，根据题意得：4×100x =200（60-x ），解得x =20，答：安排20人加工汤料包．3.某车间有24名工人，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，两个螺栓配三个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？【详解】解：（1）设可设分配x 名工人生产螺栓，(24)x -名工人生产螺母．由题意得：312218(24)x x ⨯=⨯-，解得：12x =，2412x -=（人）．答：应该分配12名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，才能使每天的产品刚好配套．4．某工厂车间有28个工人，每人每天可生产A 零件18个或B 零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A 零件配两个B 零件，且每天生产的A 零件和B 零件恰好配套．设该工厂有x 名工人生产A 零件：（1）求车间每天生产A 零件和B 零件各多少个？（用含x 的式子表示）（2）求该工厂有多少工人生产A 零件？【详解】解：（1）设该工厂有x 名工人生产A 零件，共生产A 零件18x 个，则有（28-x ）名工人生产B 零件，共生产B 零件12（28-x ）个；答：每天生产A 零件18x 个，生产B 零件12（28-x ）个；（2）根据题意得2×18x =12（28-x ），解得x =7，答：该工厂有7名工人生产A 零件．题型二古典应用题5．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为∶客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问客人有几人？设客人有x 人，则可列方程为（）A ．7498x x +=-B ．7498x x -=+C ．4879x x +-=D ．4879x x -+=【详解】解：设客人有x 人，根据题意，得7498x x +=-．故选：A ．6．我国明代数学家程大位的名著《算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各几人？设大和尚有x 人，则根据题意可列方程为（）A ．()31001003x x +-=B ．()31001003x x --=C ．10031003x x --=D ．10031003x x -+=【详解】解：设大和尚有x 人，小和尚(100)x -，由于大和尚1人分3个，小和尚3人分1个正好分完，故可列方程10031003x x -+=，故选：D ．7．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清酒有x 斗，那么可列方程为（）A ．()103530x x +-=B ．()310530x x +-=C ．305103x x -+=D ．305310x x -+=【详解】解：设清酒有x 斗，由题意得，()103530x x +-=，故选A ．8.（西雅）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层逐层翻倍增加).根据此诗，可以得出塔的顶层有()A.3盏灯 B.4盏灯 C.5盏灯 D.6盏灯【详解】解：设顶层x 盏灯，可得方程：x+2x+4x+8x+16x+32x+64x ＝381，得：x ＝3，故选：A ．9.（雅礼）我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设井深为x 尺，则求解井深的方程正确的是（）A ．3（x +4）＝4（x +1）B ．3x +4＝4x +1C ．x +4＝x +1D ．x ﹣4＝x ﹣1【详解】解：根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为：3（x +4），根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为：4（x +1），故3（x +4）＝4（x +1）．故选：A ．题型三利润问题10．一件夹克衫先按成本价提高40%标价，再将标价打8折出售，结果获利56元，如果设这件夹克衫的成本价是x 元，那么根据题意，所列方程正确的是（）A ．()0.810.456x x +=+B ．()0.810.456x x +=-C ．()0.810.456x x +=-D ．()0.810.456x x +=+【详解】解：设这件夹克衫的成本价是x 元，由题意得，0.8(140%)56x x +-=，即()0.810.456x x +=+．故选：A ．11．一家商店将某件服装按成本价提高30%后，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利12元，那么这件商品的成本价为元．【详解】解：设这件商品的成本价为x 元，由题意知，()130%0.812x x +⋅-=，得300x =，即这件商品的成本价为300元．12．春节将近，各服装店清仓大甩卖．一商店某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利50%，另一件亏损20%，卖这两件衣服的利润为元．【详解】设盈利50%的那件衣服的进价是x 元，根据进价与得润的和等于售价列得方程：50%120x x +=，解得：80x =，设另一件亏损衣服的进价为y 元，它的商品利润是()20%y -元，列方程：()20%120y y +-=，解得：150y =．那么这两件衣服的进价是230x y +=元，而两件衣服的售价为240元．则24023010-=(元)．故卖这两件衣服的利润为10元．店买了一个道具，现此商店若按标价打八折销售该道具一件，则可获纯利润300元，其利润率为20％，现如果按同一标价打九折销售该道具一件，那么获得的纯利润为（）A．525元B．337．5元C．500元 D.450元【解答】解：设商品的标价是x元，根据题意得80%x-1500＝300，解得x＝2250，2250×90%-1500＝525．获得的纯利润为525元．故答案是：525．,故答案为：A．14.（雅礼）某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲型2530乙型4560（1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？（2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1000﹣x）只，由题意，得25x+45（1000﹣x）＝37000，解得：x＝400，购进乙型节能灯1000﹣x＝1000﹣400＝600（只）答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯600只进货款恰好为37000元．（2）设乙型节能灯需打a折，0.1×60a﹣45＝45×20%，解得a＝9，答：乙型节能灯需打9折．15．列方程解应用题：一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件进价40元，售价60元；B种商品每件进价50元，利润率为60%．(1)A种商品每件利润为元，每件B种商品售价为元．(2)若该商场购进A、B两种商品共80件，恰好总进价为3400元，求购进A种商品多少件？【详解】（1）解：A种商品的利润为：60-40=20元；B种商品的利润为：50×60%=30元；∴B种商品的售价为：80元；（2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（80-x）件，根据题意得：40x+50(80-x)=3400，解得：x=60，∴购进A种商品60件．16．2021年，平和堂的一家服装店因新冠疫情的再次出现，将某种自创品牌的服装打折销售．如果每件服装按标价的6折出售，可盈利80元；若每件服装按标价的5折出售，则亏损80元．(1)每件服装的标价为多少元？(2)若这种服装一共库存80件．按着标价7.5折出售一部分后，将余下服装按标价的5折全部出售，结算时发现共获利5600元，求按7.5折出售的服装有多少件？【详解】（1）解：（1）设每件服装的标价为x元，依题意有0.6x-80=0.5x+80，解得x=1600．答：每件服装的标价为1600元．（2）解：（2）设按7.5折出售的服装有y件，依题意有0.75×1600y+0.5×1600（80-y）-80×（0.5×1600+80）=5600，解得y=30．故按7.5折出售的服装有30件．17．某玩具厂出售一种玩具，其成本价每件28元，现有两种方式销售．方式1：直接由玩具厂的门市部销售，每件产品售价为40元，同时每月还要支出其他费用3600元；方式2：委托某一商场销售，出厂价定为每件35元．（1）若每个月销售x件，则方式1可获得利润为，方式2可获得利润为；（2）若每个月销售量达到2000件时，采用哪种销售方式获得利润较多？（3）请列一元一次方程求解：每个月销售多少件时，两种销售方式所得利润相等？【详解】（1）按方式1销售时的利润是：（40−28）x−3600即12x−3600；x ；7x按方式2销售时的时利润是（35−28）x即7x，故答案为：123600（2）当每月销售达2000件时，方式1出售的利润为：（40-28）×2000-3600=20400（元），方式2销售的利润为：（35-28）×2000=14000（元），∵20400>14000，采用方式1直接由厂家门市部出售的利润较多。

专题03数轴上的动点问题压轴题真题分类（解析版）专题简介：本份资料包含《有理数》这一章中动点问题压轴题常考的主流题型，所选题目源自各名校月考试题、期中试题中的典型考题，按难度逐渐递增的情况分成三类题型：简易型求运动时间、定值问题、新定义类动点问题。

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【解题方法总结】第一步：用含t 的式子表示动点，往左运动：可以表示为“起点t ⋅-速度”，往右运动：“起点t ⋅+速度”；第二步：表示距离：数轴上A 、B 两点表示的数为分别为a 、b ，则A 与B 间的距离AB=|a －b|；第三步：列式化简或者列方程后再解方程。

题型一简易型求运动时间1．如图数轴上有A 、B 两点，分别表示的数为－50和70，点A 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点B 以每秒2个单位长度向左匀速运动．设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）运动开始前，A 、B 两点的距离为；（2）它们按上述方式运动，t 秒后A 点表示的数为；B 点所表示的数为；（用含t 的式子表示）（3）它们按上述方式运动至两点相遇，则相遇点所表示的数为．【详解】解：（1）∵A 、B 两点，分别表示的数为－50和70，∴运动开始前，A 、B 两点的距离为()7050120--=故答案为：120；（2） 点A 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点B 以每秒2个单位长度向左匀速运动，∴t 秒后A 点表示的数为503t -+；B 点所表示的数为702t -，故答案为：503t -+，702t -；（3）根据题意，503t -+=702t -，解得24t =，50+32422-⨯=，故答案为：22。

2.（立信）点A 、B 在单位长度为1的数轴上，点A 表示的数是﹣2，点A 和点B 表示的数互为相反数，若点A 以每秒3个单位长度向右运动，点B 以每秒1个单位长度向右运动．（1）在数轴上标出原点O ，并求出点B 表示的数；（2）当点A 与点B 重合于点C 时，求运动时间？（3）若点A 运动到点M ，点B 运动到点N 时，线段MN ＝100时，求线段MN 盖住数轴上的整数点的个数是多少？【解答】解：（1）∵点A 表示的数是﹣2，点A 和点B 表示的数互为相反数，∴点B 表示的数是2．（2）设运动时间为x 秒时点A 与点B 重合于点C ，3t ＝4+t ，解得t ＝2．（3）设运动时间为y 秒时线段MN ＝100，3y ＝4+y +100，解得y ＝52，∴﹣2+52×3＝154，2+52＝54，∴M 、N 表示的数分别为154和54，∴线段MN 盖住数轴上的整数点的个数是101个．3．（青竹湖）已知在数轴上有A ，B 两点，点A 表示的数为8，点B 在A 点的左边，且AB ＝12．若有一动点P 从数轴上点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点O 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t 秒．（1）当t ＝1秒时，写出数轴上点B 、P 、Q 所表示的数分别为、、；（2）若点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，当点P 与点Q 重合时，求t 的值；（3）若M 为线段AQ 的中点，点N 为线段BP 的中点．当点M 到原点的距离和点N 到原点的距离相等时，求t 的值．【解答】解：（1）由题知，B 点表示的数为8﹣12＝﹣4，P 点表示的数为8﹣3＝5，Q 点表示的数为﹣4+2＝﹣2，故答案为：﹣4，5，﹣2；（2）根据题意得，2t +3t ＝12，解得t ＝，即t 的值为；（3）根据题意知，|﹣4+2t +8|＝|8﹣3t ﹣4|，解得t ＝0（舍去）或t ＝8，∴当点M 到原点的距离和点N 到原点的距离相等时，t 的值为8．4.已知数轴上点A 表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A ，B 两点间的距离为10．动点P 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(0)t t >秒．(1)数轴上点B 表示的数是______，点P 表示的数是______(用含t 的代数式表示)；(2)动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发．求：当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度？(3)若点M 为AP 中点，点N 为BP 中点，在点P 运动过程中，求出线段MN 的长．【详解】（1）解：点B 表示的数是6104-=-，点P 表示的数是66t -，故答案为：4-，66t -；（2）解：Q 表示的数是44t --，点P 表示的数是66t -，根据题意得：()44668t t ----=，即2108t -=或2108t -=-，解得9t =或1t =，答：当点P 运动9秒或1秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度；（3）解：线段MN 的长度不发生变化，理由如下：A 表示的数为6，点P 表示的数是66t -，表示的数是5．（长雅）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示示数b，点A与点B之间的距离表示为AB．若点A与点O之间的距离OA＝2，点B与点O之间的距离OB＝6．（1）a＝，b＝；（2）如图①，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则C点表示的数为；（3）如图①，若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．①分别表示出甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【解答】解：（1）∵OA＝2，A在O的左侧，∴a＝﹣2，∵OB＝6，B在O的右侧，∴a＝6，故答案为：﹣2，6；（2）设C表示的数是c，当点C在AB之间时有：c﹣（﹣2）＝2（6﹣c），解得：c＝，当点C在B的右侧时有：c﹣（﹣2）＝2（c﹣6），解得：c＝14，故答案为：或14；（3）①甲距原点的距离为：2+t，乙距原点的距离为：当0≤t≤3时，6﹣2t，当t＞3时，2（t﹣3）＝2t﹣6，②当0≤t≤3时，2+t＝6﹣2t，解得：t＝，当t＞3时，2+t＝2t﹣6，解得：t＝8，答：甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为秒或8秒．题型二定值问题6．（麓山）数轴上两点A 、B ，A 在B 左边，原点O 是线段AB 上的一点，已知AB ＝4，且OB ＝3OA ．点A 、B 对应的数分别是a 、b ，点P 为数轴上的一动点，其对应的数为x ．（1）a ＝，b ＝，并在数轴上面标出A 、B 两点；（2）若PA ＝2PB ，求x 的值；（3）若点P 以每秒2个单位长度的速度从原点O 向右运动，同时点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 秒．请问在运动过程中，3PB ﹣PA 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【解答】解：（1）因为AB ＝4，且OB ＝3OA ．A ，B 对应的数分别是a 、b ，所以a ＝﹣1，b ＝3．故答案为：﹣1，3．（2）①当P 点在A 点左侧时，PA ＜PB ，不合题意，舍去．②当P 点位于A 、B 两点之间时，因为PA ＝2PB ，所以x +1＝2（3﹣x ），所以x ＝．②当P 点位于B 点右侧时，因为PA ＝2PB ，所以x +1＝2（x ﹣3），所以x ＝7．故x 的值为或7．（3）t 秒后，A 点的值为（﹣1t ），P 点的值为2t ，B 点的值为（3+3t ），所以3PB ﹣PA＝3（3+3t ﹣2t ）﹣[2t ﹣（﹣1﹣t ）]＝9+3t ﹣（2t +1+t ）＝9+3t ﹣3t ﹣1＝8．所以3PB ﹣PA 的值为定值，不随时间变化而变化．7.已知a 、b 满足()25|1|0a b -++=.请回管问题：（1）请直接写出a 、b 的值，a =______，b =_______.（2）当x 的取值范围是_________时，||||x a x b -+-有最小值，这个最小值是_____.（3）数轴a 、b 上两个数所对应的分别为A 、B ，AB 的中点为点C ，点A 、B 、C 同时开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 和点C 分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，当A 、B 两点重合时，运动停止.①经过2秒后，求出点A 与点B 之间的距离AB .②经过t 秒后，请问：BC AB +的值是否随着时间t 的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.【解答】解：()15,1-；()215x -≤≤，6；()3:5213,1211312A B AB -⨯==-+⨯==-=①，()()515,1,323223115=3+226A tB tC t t BC AB t t t t t t -=-=-+=+=++=+--++-+--+-②,A B 重合时，()()51113t =+÷+= ,A B 重合时，运动停止，03,t ∴≤≤3+20,260.t t ∴-≤＞32(26)9BC AB t t +=+--=．所以()()238262738124720AP OB OP t t t t t t +-=+++-=+++-=.9．（长郡）如图，在数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，点C 表示数c ，b 是最小的正整数，且a ，b ，c 满足（c ﹣5）2+|a +b |＝0．回答问题：（1）点P 为一动点，其对应的数为x ，若PA ＝2PC ，求x 的值；（2）点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和每秒5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 1秒．请问在运动过程中，BC ﹣AB 的值是否随着时间t 1的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．（3）在（2）的条件下，若点C 从第2秒开始掉头向左继续运动，速度不变；A 、B 保持原来运动方向，速度不变继续运动，设继续运动时间为t 2秒．请问在运动过程中，是否存在某个时刻，A ，B ，C 中某一点是另外两点的中点？如果有，请求出t 2的值；如果没有，请说明理由．【解答】解：（1）依题意得b ＝﹣1，c ﹣5＝0，a +b ＝0，解得a ＝﹣1，b ＝1，c ＝5；∵点P 为一动点，其对应的数为x ，∴PA ＝|x +1|，PC ＝|x ﹣5|，∴|x +1|＝2|x ﹣5|，解得x ＝11或x ＝3；（2）BC ﹣AB 的值不变．根据题意可知，BC ﹣AB ＝[5+5t 1﹣（1+2t 1）]﹣[1+2t 1﹣（﹣1﹣t 1）]＝5+5t 1﹣1﹣2t 1﹣1﹣2t 1﹣1﹣t 1＝2，故BC ﹣AB 的值不会随着时间t 的变化而改变；（3）存在，理由如下：第2A 对应的数为：﹣1﹣2＝﹣3，点B 对应的数为：1+2×2＝5，点C 对应的数为：5+2×5＝15．∵继续运动时间为t 2秒，∴点A 对应的数为：﹣3﹣t 2，点B 对应的数为：5+2t 2，点C 对应的数为：15﹣5t 2．若A ，B ，C 中某一点是另外两点的中点，则分三种情况：①当点B 为AC 的中点，则BA ＝BC ，∴5+2t 2﹣（﹣3﹣t 2）＝（15﹣5t 2）﹣（5+2t 2），解得t 2＝，②当点C 为AB 的中点，则CA ＝CB ，∴15﹣5t 2﹣（﹣3﹣t 2）＝（5+2t 2）﹣（15﹣5t 2），解得tt 2＝，③当点A 为BC 的中点，则AB ＝AC ，∴（5+2t 2）﹣（﹣3﹣t 2）＝﹣3﹣t 2﹣（15﹣5t 2），解得t 2＝26，综上，若A ，B ，C 中某一点是另外两点的中点，则t 2的值为或或26．题型三新定义类动点问题10．（中雅）阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题：（1）若点A表示的数为﹣5，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为；（2）若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，且A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A 表示的数为，点B表示的数为；（3）点A表示的数为﹣6，点C，D表示的数分别是﹣4，﹣2，点O为数轴原点，点B为线段CD上一点（点B可与C、D两点重合）．①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有；②若点A和点D同时以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，求t的所有整数值，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”．【解答】解：（1）（﹣5+1）＝﹣2，故答案为：﹣2；（2）2﹣4.5＝﹣2.5，2+4.5＝6.5，故答案为：﹣2.5，6.5；（3）设B表示的数为x（﹣4≤x2），①m＝（﹣6+x），所以整数m的值为：﹣4，﹣5，故答案为：﹣4，﹣5；②由题意得：A表示的数为：﹣6+2t，D表示的数为：﹣2+2t，∵O可以为点A与点B的“雅中点”，∴B表示的数为：6﹣2t，∵点B为线段CD上一点（点B可与C、D两点重合），∴﹣4≤6﹣2t≤﹣2+2t，解得：2≤t≤5，∵t的所有整数值为：2，3，4，5．t＝3不符合题意，舍去．故满足条件的t的值为2，4，5．11．（广益点）已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P 到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“广益点”．（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；（2）若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“广益点”时，求点P的运动时间；（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“广益点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．【解答】解：（1）∵数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，∴AB＝4﹣（﹣8）＝12，∵点P到点A的距离等于点P到点B的距离，∴点P是AB的中点，∴BP＝AP＝AB＝6，∴点P表示的数为﹣2；（2）设点P运动时间为t秒，根据题意可知，PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，∴t+8＝3|4﹣t|，解得：t＝1或10，∴点P运动的时间为1秒或10秒；（3）设点P表示的数为n，根据题意可得，PA＝n+8或﹣n﹣8，PB＝4﹣n，AB＝12，分五种情况进行讨论：①当点A是关于P→B的“广益点”时，得PA＝3AB，即﹣n﹣8＝36，解得n＝﹣44；②当点A是关于B→P的“广益点”时，得AB＝3AP，即3（﹣n﹣8）＝12，解得n＝﹣12；或3（n+8）＝12，解得n＝﹣4；③当点P是关于A→B的“广益点”时，得PA＝3PB，即﹣n﹣8＝3（4﹣n），解得n＝10；（不符合题意，舍去），或n+8＝3（4﹣n），解得n＝1（不符合题意，舍去）；④当点P是关于B→A的“广益点”时，得PB＝3AB，即4﹣n＝3（n+8），解得n＝﹣5；或4﹣n＝3（﹣n﹣8），解得n＝﹣14；⑤当点B是关于P→A的“广益点”时，得BP＝3AB，即4﹣n ＝36，解得n＝﹣32，综上所述，所有符合条件的点P表示的数是：﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44．12．（长郡）已知：点A、B、P为数轴上三点，我们约定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k 倍，则称P是[A，B]的“k倍点”，记作：P[A，B]＝k．例如：若点P表示0，点A表示﹣2，点B表示1，则P是[A，B]的“2倍点”[A，B]＝2．（1）如图，A、B、P、Q、M、N为数轴上各点，如图图示，回答下面问题：①P[A，B]＝；②M[N，A]＝；③若C[Q，B]＝1，则C表示的数为．（2）若点A表示﹣1，点B表示5，点C是数轴上一点，且C[A，B]＝3，求点C所表示的数．（3）数轴上，若点M表示﹣10，点N表示50，点K在点M和点N之间，且K[M，N]＝5．从某时刻开始，M、N同时出发向右匀速运动，且M的速度为5单位/秒，点N速度为2单位/秒，设运动时间为t（t＞0），当t为何值时，M是K、N两点的“3倍点”．【解答】解：（1）①∵A、B、P三点表示的数分别是﹣3、5、3，∴PA＝3﹣（﹣3）＝6，PB＝5﹣3＝2，∴PA＝3PB，即P[A，B]＝3；②∵MN＝7﹣（﹣5）＝12，MA＝﹣3﹣（﹣5）＝2，∴MN＝6MA，即M[N，A]＝6；③∵C[Q，B]＝1，∴CQ＝CB，∴C为线段QB的中点，∴C表示的数为＝2．故答案为：①3；②6；③2．（2）设点C在数轴上表示的数为x，∵C[A，B]＝3，∴CA＝3CB，∴|x﹣（﹣1）|＝3|x﹣5|，∴x＝3.5或8．故点C所表示的数为：3.5或8．（3）∵K[M，N]＝5，∴KM＝5KN，∵点M表示﹣10，点N表示50，点K在点M和点N之间，∴KM+KN＝MN＝60，∴KN＝MN＝10，∴点K表示的数为50﹣10＝40．由题意得，运动t秒时点M表示的数为﹣10+5t，点N表示的数为50+2t．∵M是K、N两点的“3倍点”，∴MK＝3MN，∴|40﹣（﹣10+5t）|＝3|50+2t﹣（﹣10+5t）|，∴t＝或．即当t为或时，M是K、N两点的“3倍点”．。

专题06 整式的乘除重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《整式的乘除与因式分解》这一章除因式分解之外的全部重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含十类题型：幂的运算选择题、幂的逆运算、负指数幂的计算、幂的混合运算、平方差公式、完全平方公式与面积问题、整式的先化简后求值、完全平方公式的配方、完全平方公式的整体代入法、整式乘法的中档文字题与应用题、整式乘除的压轴题。

题型一：幂的运算选择题1．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a3÷a＝a2C．（a2）3＝a5D．（3a2）2＝6a4【解答】解：A．a2•a3＝a5，故此选项不合题意；B．a3÷a＝a2，故此选项符合题意；C．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；D．（3a2）2＝9a4，故此选项不合题意；故选：B．2．下列计算正确的是（）A．a3•a4＝a12B．（2a）2＝2a2C．（a3）2＝a9D．（﹣2×102）3＝﹣8×106【解答】解：（A）原式＝a7，故A错误；（B）原式＝4a2，故B错误；（C）原式＝a6，故C 错误；故选：D．3．下列计算正确的是（）A．（a3）2÷a5＝a10B．（a4）2÷a4＝a2C．（﹣5a2b3）•（﹣2a）＝10a3b3D．（﹣a3b）3÷b【解答】解：A、（a3）2÷a5＝a，故此选项错误；B、（a4）2÷a4＝a4，故此选项错误；C、（﹣5a2b3）•（﹣2a）＝10a3b3，正确；D、（﹣a3b）3÷a2b2＝﹣2a7b，故此选项错误；故选：C．题型二：幂的逆运算4．已知x m＝3，x n＝2，则x3m+2n的值是（）A．31B．C．23D．108【解答】解：原式＝（x m）3•（x n）2＝33•22＝27×4＝108．故选：D．5．（长郡）已知40248162a a a a ⋅⋅⋅=，则a 的值为 ．【解答】解：原式＝4010432222222==⋅⋅⋅a a a a a ，所以4=a ．6．（长郡梅溪湖）已知：23m =，86n=，2312m n ++= ．【解答】解：原式＝1082632)2(2232=⋅⋅=⋅⋅n m ）（． 题型三：负指数幂的计算7．（雅礼）计算：()21272321301-+--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--. 【解答】解：原式＝2612312+-=-+-⨯-．8.（青竹湖）计算：(20122π-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ 【解答】解：原式＝3432314-=-+-+．9.（长郡）2332132827-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---+ 【解答】解：原式＝3343223+=+---）（． 题型四：幂的混合运算10．（长郡郡维）计算：2322432222(4)()(2)()a b bc a b c a b c -⋅-⋅-⋅【解答】解：原式＝456456264c b a c b a +-=45662c b a -．11.（长郡梅溪湖）计算：()()()2323337335xx x x x ⋅-+⋅ 【解答】解：原式＝99925273x x x +-=9x ．12.（中雅）计算：()32248222a a a a a -+⋅-÷ 【解答】解：原式＝66628a a a -+-=67a -．题型五：平方差公式、完全平方公式与面积问题13．如图，边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（ ）A ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）B ．（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2＝4abC．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【解答】解：左边阴影面积为a2﹣b2右边梯形面积为所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）故选：A．14．如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），故a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：A．15．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝18，ab＝60，则图中阴影部分的面积为（）【解答】解：由题意得：AB＝AD＝a，CG＝FG＝b，BG＝BC+CG＝a+b，∴S阴影＝S正方形ABCD+S正方形ECGF﹣S直角△ABD﹣S直角△FBG＝AB•AD+CG•FG﹣AB•AD﹣BG•FG＝a2+b2﹣a2﹣（a+b）b＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]，∵a+b＝18，ab＝60，∴S阴影＝×（182﹣3×60）＝72．故选：B．题型六：先化简后求值16.先化简，再求值（a+2b）（a﹣2b）﹣（a+2b）2+4ab，其中a＝1，b＝．【解答】解：原式＝a2﹣4b2﹣a2﹣4ab﹣4b2+4ab＝﹣8b2，当b＝时，原式＝﹣8×＝﹣．17.先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝+1，y＝﹣1．【解答】解：原式＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy＝9xy，当x＝+1，y＝﹣1时，原式＝9×4＝36．18．先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x．其中x＝﹣1，y ＝2021．【解答】解：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷2x＝（﹣2x2﹣2xy）÷2x＝﹣x﹣y，当x＝﹣1，y＝2021时，原式＝﹣（﹣1）﹣2021＝﹣2020．题型七：完全平方公式的配方19．若多项式9x2﹣mx+1（m是常数）是一个关于x的完全平方式，则m的值为【解答】解：∵9x2﹣mx+1是一个完全平方式，∴﹣mx＝±2•3x•1，∴m＝±6，故答案为：±620.多项式x2﹣2（m﹣1）x+9是完全平方式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m﹣1）x+9＝x2﹣2（m﹣1）x+32，∴﹣2（m﹣1）x＝±2•x•3，解得m＝﹣2或4．故答案是：﹣2或4．21．已知代数式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值是．【解答】解：∵x2﹣4x+m是一个完全平方式，∴x2﹣4x+m＝（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，∴m＝4．故答案为：4．22．若二次三项式x2﹣8x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）A．±4B．4C．±8D．8【解答】解：∵﹣8x＝﹣2×4•x，∴m2＝42＝16，解得m＝±4．故选：A．题型八：完全平方公式的整体代入法23．已知m+n＝﹣6，mn＝4，则m2﹣mn+n2的值为．【解答】解：∵x2﹣4x+m是一个完全平方式，∴x2﹣4x+m＝（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，∴m＝4．故答案为：4．24．已知（m+n）2＝11，mn＝2，则（m﹣n）2的值为．【解答】解：因为m+n＝﹣6，mn＝4，所以m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝（﹣6）2﹣3×4＝36﹣12＝24．故答案为：24．25．已知：（a﹣b）2＝4，ab＝，则（a+b）2＝．【解答】解：∵（m+n）2＝11，mn＝2，∴（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2＝m2+2mn+n2﹣4mn＝（m+n）2﹣4mn＝11﹣8＝3，故答案为：326．若x2y+xy2＝30，xy＝6，求下列代数式的值：（1）x2+y2；（2）x﹣y．【解答】解：（1）∵x2y+xy2＝30，∴xy（x+y）＝30，∵xy＝6，∴x+y＝5，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝x2+y2+12＝25，∴x2+y2＝13．（2）∵x2+y2＝13，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝13﹣12＝1，∴x﹣y＝±1．27．已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝8，求下列各式的值：（1）xy；（2）x3y+xy3．【解答】解：（1）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝12①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝8②，∴由①﹣②得：4xy＝4，∴xy＝1；（2）由①+②得：2x2+2y2＝2（x2+y2）＝20，∴x2+y2＝10，∴x3y+xy3＝xy（x2+y2）＝1×10＝10．28．已知：x+y＝5，xy＝﹣3，求：（1）x2+y2的值（2）（1﹣x）（1﹣y）的值．【解答】解（1）∵x+y＝5，xy＝﹣3，∴原式＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣2×（﹣3）＝31；（2）∵x+y＝5，xy＝﹣3，∴原式＝1﹣y﹣x+xy＝1﹣（x+y）+xy＝1﹣5+（﹣3）＝﹣7．题型九：整式乘法的中档文字题与应用题Ⅰ不含二次项、三次项类29．如果（x2+px+q）（x2﹣5x+7）的展开式中不含x2与x3项，那么p与q的值是（）A．p＝5，q＝18B．p＝﹣5，q＝18C．p＝﹣5，q＝﹣18D．p＝5，q＝﹣18【解答】解：∵（x2+px+q）（x2﹣5x+7）＝x4+（p﹣5）x3+（7﹣5p+q）x2+（7p﹣5q）x+7q，又∵展开式中不含x2与x3项，∴p﹣5＝0，7﹣5p+q＝0，解得p＝5，q＝18．故选：A．30．要使（2x2﹣x+3）（3x2+ax﹣2）的展开式中不含x2项，则a的值为（）A．5B．﹣5C．13D．﹣13【解答】解：（2x2﹣x+3）（3x2+ax﹣2）＝6x4+2ax3﹣4x2﹣3x3﹣ax2+2x+9x2+3ax﹣6＝6x4+（2a﹣3）x3+（9﹣4﹣a）x2+（2+3a）x﹣6．∵（2x2﹣x+3）（3x2+ax﹣2）的展开式中不含x2项，∴9﹣4﹣a＝0．∴a＝5．故选：A．31．已知（x2+mx+1）（x2﹣2x+n）的展开式中不含x3项和x项，求m n．【解答】解：（x2+mx+1）（x2﹣2x+n）＝x4﹣2x3+nx2+mx3﹣2mx2+mnx+x2﹣2x+n＝x4+（﹣2+m）x3+（n﹣2m+1）x2+（mn﹣2）x+n，∵（x2+mx+1）（x2﹣2x+n）的展开式中不含x3项和x项，∴，得，∴m n＝21＝2．Ⅱ利用整式乘法解决几何面积32．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，（1）求绿化的面积是多少平方米；（2）并求出当a＝5，b＝3时的绿化面积．【解答】解：（1）根据题意得：（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab ﹣b2＝5a2+3ab（米2），则绿化的面积是（5a2+3ab）米2；（2）当a＝5，b＝3时，原式＝125+45＝170（米2），则此时绿化面积为170米2．33．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为x米，则a＝（用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a＝；故答案为：（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•＝2430，解得x1＝2，x2＝38（不合题意，舍去）．答：中间通道的宽度为2米．Ⅲ小马虎类问题34．小马、小虎两人共同计算一道题：（x+a）（2x+b）．由于小马抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到的结果是x2+2x﹣3．（1）求a，b的值；（2）细心的你请计算这道题的正确结果；（3）当x＝﹣1时，计算（2）中的代数式的值．【解答】解：（1）根据题意得：小马抄错得：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+bx﹣2ax﹣ab＝2x2+（b﹣2a）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3，所以，，联立得：；（2）由（1）得：正确的算式是（x+3）（2x﹣1）＝2x2﹣x+6x﹣3＝2x2+5x﹣3；（3）当x＝﹣1时，2x2+5x﹣3＝2×1+5×（﹣1）﹣3＝﹣6．35．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成3（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成3（x﹣2）（x﹣4）．（1）求原来的二次三项式；（2）将（1）中的二次三项式分解因式．【解答】解：（1）3（x﹣1）（x﹣9）＝3x2﹣30x+27，3（x﹣2）（x﹣4）＝3x2﹣18x+24，根据题意得：原来的多项式为3x2﹣18x+27；（2）原式＝3（x2﹣6x+9）＝3（x﹣3）2．题型十：整式乘除的压轴题36．阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为a n．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．问题：（1）计算以下各对数的值：log24＝；log216＝；log264＝．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，然后利用4、16、64之间的数量关系猜想log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式？答：log24、log216、log264关系式为．（3）由（2）的结果，请你能归纳出：log a M+log a N＝（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．【解答】解：（1）∵22＝4，24＝16，26＝64，∴log24＝2；log216＝4；log264＝6，故答案为：2，4，6；（2）由（1）知，∵2+4＝6，∴log24+log216＝log264＝log2（4×16），故答案为：log24+log216＝log264；（3）设log a M＝x，log a N＝y，则a x＝M，a y＝N，∴MN＝a x•a y＝a x+y，∴x+y＝log a MN，即log a M+log a N＝log a MN故答案为：log a M+log a N＝log a MN．37．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．根据材料回答：（1）填空：i3＝，i4＝；（2）求（2+i）2的共轭复数；（3）已知（a+i）（b+i）＝1+3i，求a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值．【解答】解：（1）∵i2＝﹣1，∴i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1；故答案为：﹣i，1．（2）（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i，故（2+i）2的共轭复数是3﹣4i；（3）∵（a+i）（b+i）＝ab﹣1+（a+b）i＝1+3i，∴ab﹣1＝1，a+b＝3，解得a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，当a＝1，b＝2时，a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）＝1+4（﹣1﹣i+1+i…+1+i﹣1﹣i+1）＝1﹣4i；当a＝2，b＝1时，a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）＝4+1（﹣1﹣i+1+i…+1+i﹣1﹣i+1）＝4﹣i．故a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值为4﹣i或者1﹣4i．38．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）28是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？（3）根据上面的提示，判断2020是否为“神秘数”？如果是，请写出两个连续偶数平方差的形式；如果不是，说明理由．（4）两个连续奇数的平方差（取正数）是“神秘数”吗？为什么？【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，∴28是“神秘数”；（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下：（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1），∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，∵2k+1是奇数，∴它是4的倍数，不是8的倍数；（3）∵2020＝505×4，∴2020是“神秘数”，2020＝5062﹣5042，（4）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，此数是8的倍数，但不是4的奇数倍，所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．39．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，∴28是神秘数；2014不是神秘数，神秘数必须是4的倍数；（2）两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数，∵（2k+2）2﹣（2k）2＝8k+4＝4（2k+1），∴神秘数是4的倍数；（3）①设长方形相邻两边长分别为2n+2和2n，（n为正整数），则其周长为：2[（2n+2）+2n]＝8n+4，∵（2n+2）2﹣（2n）2＝8n+4，∴此长方形的周长＝（2n+2）2﹣（2n）2，即此长方形的周长等于两个连续偶数的平方差，∴该长方形的周长一定为神秘数；②该长方形的面积不为“神秘数”，理由如下：长方形的面积为：（2n+2）•2n＝4n（n+1），设两个连续的偶数为2k+2和2k，（k为非负整数），假设此长方形的面积为“神秘数”，则4n（n+1）＝（2k+2）2﹣（2k）2，即4n（n+1）＝8k+4，∴n（n+1）＝2k+1，∵n为正整数，∴n（n+1）必为偶数，而2k+1为奇数，∴n（n+1）＝2k+1不成立，∴假设此长方形的面积为“神秘数”不正确，故该长方形的面积不为“神秘数”．40．一个正整数m能写成m＝（a﹣b）（a+b）（a、b均为正整数，且a≠b），则称m为“美满数”，a、b为m的一个完美变形，在m的所有完美变形中，若a2+b2最大，则称a、b 为m的最佳完美变形，此时F（m）＝a2+b2．例如：12＝（4+2）（4﹣2），12为“完美数”，4和2为12的一个完美变形，32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2），因为92+72＞62+22，所以9和7是32的最佳完美变形，所以F（32）＝130．（1）8（填“是”或“不是”）完美数；10（填“是”或“不是”）完美数；13（填“是”或“不是”）完美数；（2）求F（48）；（3）若一个两位数n的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤9），n为“完美数”且x+y能被8整除，求F（n）的最小值．【解答】解：（1）∵8＝（3﹣1）×（3+1），∴8是完美数；∵10不能写成两个正整数和与差乘积的形式，∴10不是完美数；∵13＝（7﹣6）×（7+6），∴13是（填“是”或“不是”）完美数．故答案为：是，不是，是；（2）a+b，a﹣b同为奇数或同为偶数，所以48＝24×2 或48＝12×4 或48＝8×6，，解得：，∵132+112＞82+42＞72+12∴F（n）＝132+112＝290（3）由题可知：n＝10x+y＝（a+b）（a﹣b）．∵x+y能够被8整除且1≤x≤y≤9，∴x+y＝8或x+y＝16①当x+y＝8时，1≤x≤y≤9，∴x＝1或2或3或4，即n＝17或26或35或44，而26不是“完美数”或，解得：或．F（17）＝92+82＝145，F（35）＝182+172＝613，F（44）＝122+102＝244②当x+y＝16时，1≤x≤y≤9，∴x＝7或8，∴n＝79或88∴或或，解得或或，∴F（79）＝402+392＝3121，F（88）＝232+212＝970，∴F（n）的最小值为145．41．配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a＝0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a＝﹣1．（1）当x＝时，代数式2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．（2）当x＝时，代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）∵（x﹣1）2≥0，∴当x＝1时，（x﹣1）2的最小值为0，则当x＝1时，代数式﹣2（x﹣1）2+3的最大值为3；（2）代数式﹣x2+4x+3＝﹣（x2﹣4x+4）+7＝﹣（x﹣2）2+7，则当x＝2时，代数式﹣x2+4x+3的最大值为7；（3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16﹣2x）m，∴花园的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x2﹣8x+16）+32＝﹣2（x﹣4）2+32，则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．故答案为：1；大；3；2；大；7．。

专题（一）类比归纳：有理数加、减、乘、除中的简便运算——灵活变形，举一反三◆类型一 加减混合运算的技巧 一、相反数相结合1．计算：10－24－28＋18＋24.二、同分母相结合2．计算：1918＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－534＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－918－1.25.三、计算结果成规律的数相结合3．(唐山校级期中)计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋…＋2013＋2014－2015－2016＝【方法4】( )A ．0B ．－1C ．2016D ．－20164．★阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当a ≥0时，|a |＝a ；当a <0时，|a |＝－a .根据以上阅读完成：(1)|3.14－π|＝________；(2)计算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪13－12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－13＋…＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪19－18＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪110－19.◆类型二 乘法分配律的解题技巧 一、正用分配律5．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫－56－14×(－12)的结果为( ) A ．－7 B ．7 C ．－13 D ．136．利用分配律计算⎝ ⎛⎭⎪⎫－1009899×99时，较简便的方法是( ) A ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫100＋9899×99 B．－⎝ ⎛⎭⎪⎫100－9899×99C.⎝ ⎛⎭⎪⎫100－9899×99D.⎝⎛⎭⎪⎫－101－199×99 7．计算：－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫19＋113－0.4.二、逆用分配律8．(烟台期中)－1317×19－1317×15＝________．9．计算：4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－367－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－367－6×367.三、除法变乘法，再利用分配律10．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫16－27＋23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－542.参考答案与解析1．解：原式＝(10＋18－28)＋(24－24)＝0.2．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1918－918－⎝ ⎛⎭⎪⎫534＋114＝10－7＝3. 3．D 解析：原式＝(1－3)＋(2－4)＋(5－7)＋(6－8)＋…＋(2013－2015)＋(2014－2016)＝－2×1008＝－2016.故选D.4．解：(1)π－3.14(2)原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋18－19＋19－110＝1－110＝910.5．D 6.A7．解：原式＝－45×19－45×43＋45×25＝－5－60＋18＝－47.8．－269．解：原式＝367×(－4＋3－6)＝－277×7＝－27.10．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16－27＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－425＝－16×425＋27×425－23×425＝－75＋125－285＝－235.专题（二）：有理数中的易错题——易错归纳、逐个击破◆类型一 遗漏“0”及对“0”的认识不够 1.下列说法正确的是（ ） A .符号相反的数互为相反数 B .当a≠0时，|a|总大于0C .一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右D .一个有理数不是正数就是负数2.绝对值小于2.5的所有非负整数的积为 . ◆类型二 与运算相关的符号的判断不准确3.在－32，－|－2.5|，－（－2.5），－（－3）2，（－3）2016，（－3）3中，负数的个数是（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个 4.下列式子中成立的是（ ） A .－|－5|>4 B .－3<|－3| C .－|－4|＝4 D .|－5.5|<55.－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是 .6.a 是有理数，则下列各式：①|－a|＝a ；②－（－a ）＝a ；③a≤－a ；④a>－a.其中正确的是 （填序号）.7.（－1）2016＋（－1）2015＝ .◆类型三 运算法则、运算顺序及符号错误8.化简：|π－4|＋|3－π|＝ .【易错4】 9.计算下列各题： （1）（－3.1）－（－4.5）＋（＋4.4）－（＋1.3）；（2）－24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋34＋112；（3）－14－15×[|－2|－（－3）3]－（－4）2.◆类型四 精确度理解不透 10.下列说法错误的是（ ） A .3.14×103精确到十位 B .4.609万精确到万位C .近似数0.8和0.80表示的意义不同D .用科学记数法表示的数2.5×104，其原数是25000 ◆类型五 多种情况时漏解11.在数轴上到原点距离等于2的点所表示的数是（ ） A .－2 B .2C .±2D .不能确定12.已知|x|＝3，|y|＝2，且x>y ，则x ＋y 的值为（ ） A .5 B .－1C .－5或－1D .5或113.若|x|＝|－2|，则x ＝ .14.在数轴上点A 表示的数为－2，若点B 离点A 的距离为3个单位，则点B 表示的数为 .15.若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，|x|＝3，则式子2（a ＋b ）－（－cd ）2016＋x 的值为 .16.已知abc |abc|＝1，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值.参考答案与解析1．B 2.0 3.D 4.B 5.236.②7.08.19．解：(1)原式＝4.5；(2)原式＝－4；(3)原式＝－2245.10．B 11.C 12.D 13.±2 14.－5或115．2或－4 解析：因为a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，|x |＝3，所以a ＋b ＝0，cd ＝1，x ＝±3.所以2(a ＋b )－(－cd )2016＋x ＝0－(－1)2016＋x ＝－1＋x .当x ＝3时，－1＋x ＝－1＋3＝2；当x ＝－3时，－1＋x ＝－1＋(－3)＝－4.16．解：由abc|abc |＝1，可得a ，b ，c 三个都为正数或a ，b ，c 中只有一个为正数．分两种情况讨论：①当a ，b ，c 三个都为正数时，则有|a |a ，|b |b ，|c |c 三个都为1，可得|a |a ＋|b |b＋|c |c ＝3；②当a ，b ，c 中只有一个为正数时，则有|a |a ，|b |b ，|c |c中有一个为1，其余两个都为－1，可得|a |a ＋|b |b ＋|c |c＝－1.综上所述，所求式子的值为3或－1.专题（三）难点探究：有理数中的规律探究——从特殊到一般，探寻多方规律 ◆类型一 一列数中的规律1.找规律，并按规律填上第5个数：－32，54，－78，916， .2.（济宁中考）按一定规律排列的一列数：12，1，1， ，911，1113，1317，….请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为 .3.（随州月考）给定一列按规律排列的数：12，25，310，417，…，则这列数的第6个数是（ ）A .637B .635C .531D .739◆类型二 计算中的规律 一、四则运算中的规律4.（河北模拟）某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依自己顺序数的倒数加1，第1位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋1，第2位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1，第3位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1，这样得到的前20个数的积为 . 5.（无锡校级月考）若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，则5！＝ ＝ ，100！98！的值为 .6.（咸阳校级月考）计算：1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99.二、乘方运算中的规律7.（郴州中考）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，试猜想，32016的个位数字是 .8.（孝感中考）观察下列等式：1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…，则1＋3＋5＋7＋…＋2015＝ .三、图形中与数的计算有关规律9.（泉州中考）找出下列各图形中数的规律，依此，a 的值为 .10.（北京中考）百子回归图是由1，2，3，…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和，每列10个数之和，每条对角线10个数之和均相等，则这个和为 .◆类型三 数轴中的规律11.（石家庄模拟）如图，在数轴上点A 表示1，现将点A 沿x 轴做如下移动：第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A 1，第二次将点A 1向右移动6个单位长度到达点A 2，第三次将点A 2向左移动9个单位长度到达点A 3，按照这种移动规律，则点A 13，A 14之间的距离是 .参考答案与解析1．－1132 2.293.A4．21 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋1＝2×32×43×…×2120＝21.5．5×4×3×2×1 120 99006．解：1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99＝(1－3)＋(5－7)＋(9－11)＋…＋(97－99)＝－2×502＝－50.7．1 解析：设n 为自然数，因为34n ＋1的个位数字是3，与31的个位数字相同，34n ＋2的个位数字是9，与32的个位数字相同，34n ＋3的个位数字是7，与33的个位数字相同，34n的个位数字是1，与34的个位数字相同，所以32016＝3504×4的个位数字与34的个位数字相同，应为1.故答案为1.8．100829．226 解析：根据题意得出规律：a ＝15×16－14＝226.10．505 解析：1～100的总和为：（1＋100）×1002＝5050，一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和为5050÷10＝505.11．42专题（四）解题技巧：整式化简或求值的方法——先化简再求值，整体代入需谨记 ◆类型一 先化简，再代入1.先化简，再求值：2（x 2y ＋3xy 2）－[－2（x 2y －1）＋xy 2]－3xy 2，其中x ＝1，y ＝1.2.（蚌埠期中）已知（x －2）2＋|y ＋1|＝0，求5xy 2－[2x 2y －（2x 2y －3xy 2）]的值.◆类型二 先变形，再整体代入3.（曹县期中）已知a ＋2b ＝－3，则3（2a －3b ）－4（a －3b ）＋b 的值为【方法9】（ ）A .3B .－3C .6D .－64.（盐城校级期中）已知a ＋b ＝4，c －d ＝－3，则（b ＋c ）－（d －a ）的值为 .【方法9】5.当x ＝1时，多项式ax 3＋bx ＋1的值为5，则当x ＝－1时，多项式12ax 3＋12bx ＋1的值为 .【方法9】6.（金乡县期中）先化简，再求值：（3x 2＋5x －2）－2（2x 2＋2x －1）＋2x 2－5，其中x 2＋x －3＝0.【方法9】◆类型三 利用“无关”求值或说理7.已知多项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋mx －12y ＋3－（3x －2y ＋1－nx 2）的值与字母x 的取值无关，求多项式（m ＋2n ）－（2m －n ）的值.【方法10】8.老师出了这样一道题：“当a ＝2015，b ＝－2016时，计算（2a 3－3a 2b －2ab 2）－（a 3－2ab 2＋b 3）＋（3a 2b －a 3＋b 3）的值.”但在计算过程中，同学甲错把“a＝2015”写成“a ＝－2015”，而同学乙错把“b＝－2016”写成“－20.16”，可他俩的运算结果都是正确的，请你找出其中的原因，并说明理由.【方法10】◆类型四 与绝对值相关的整式化简求值9.已知1≤x≤3，求|x ＋1|＋|x －4|的值.10.已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图.（1）填空：a ，b 之间的距离为 ，b ，c 之间的距离为 ，a ，c 之间的距离为 ；（2）化简：|a －1|－|c －b|－|b －1|＋|－1－c|.参考答案与解析1．解：原式＝4x 2y ＋2xy 2－2，当x ＝1，y ＝1时，原式＝4.2．解：原式＝2xy 2.由题意得x －2＝0，y ＋1＝0，所以x ＝2，y ＝－1，所以原式＝4. 3．D 4.1 5.－16．解：原式＝x 2＋x －5.因为x 2＋x －3＝0，所以x 2＋x ＝3，所以原式＝3－5＝－2. 7．解：原式＝(2＋n )x 2＋(m －3)x ＋32y ＋2，因为该式的值与x 的取值无关，所以2＋n＝0，m －3＝0，所以n ＝－2，m ＝3，所以(m ＋2n )－(2m －n )＝－m ＋3n ＝－9.8．解：原因是该多项式的值与字母a ，b 的取值无关．理由如下：原式＝2a 3－3a 2b －2ab2－a3＋2ab2－b3＋3a2b－a3＋b3＝0，和a，b的取值无关．所以无论a，b取何值，都改变不了运算结果．9．解：由1≤x≤3，得x＋1>0，x－4<0.所以原式＝x＋1＋4－x＝5.10．解：(1)a－b b－c a－c(2)由图可得a－1>0，c－b<0，b－1<0，－1－c>0.所以原式＝a－1－[－(c－b)]－[－(b－1)]＋(－1－c)＝a－1＋c－b＋b－1－1－c＝a－3.专题（五）难点探究：整式中的规律探究（选做）——从特殊到一般，探寻多方规律 ◆类型一 整式规律探究一、有规律的一列数1.（雅安模拟）已知一组数：1，3，5，7，9，…按此规律，第n 个数是 .【方法11①】2.观察下列一组数：32，1，710，917，1126，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n 个数是 （n 为正整数）.二、有规律的一列单项式3.有一组单项式：a 2，－a 32，a 43，－a 54，a 65，…则第10个单项式是 ，第n 个单项式是 .4.（临沂中考）观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…按照上述规律，第2015个单项式是【方法11①】（ ）A .2015x 2015B .4029x 2014C .4029x 2015D .4031x 2015三、数的循环规律或式中的规律5.（河南模拟）如图是钢琴键盘的一部分，若从4开始，依次弹出4，5，6，7，1，4，5，6，7，1，…按照上述规律弹到第2016个音符是 Ｗ.6.（滨州中考）观察下列式子： 1×3＋1＝22； 7×9＋1＝82； 25×27＋1＝262； 79×81＋1＝802； …可猜想第2016个式子为________________________________________________. 四、数表中的规律7.（邵阳中考）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（ ）A .y ＝2n ＋1B .y ＝2n ＋nC .y ＝2n ＋1＋n D .y ＝2n ＋n ＋18.（重庆校级月考）观察下面一组数：－1，2，－3，4，－5，6，－7，…将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去，则第11行中从左边数第10个数是（ ）A.－110B.110C.－111D.111◆类型二图形规律探究9.（宁波中考）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒……按此规律，图案⑦需根火柴棒.【方法11②】10.按如下规律摆放三角形：（1）第4堆三角形的个数为；（2）第n堆三角形的个数为.【方法11②】11.如图，将一组正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到2014个小正方形，则需要操作的次数是.12.（安徽模拟）如图是用棋子摆成的图案：根据图中棋子的排列规律解决下列问题：（1）第4个图中有颗棋子，第5个图中有颗棋子；（2）写出你猜想的第n个图中棋子的颗数（用含n的式子表示）是.参考答案与解析1．2n －12.2n ＋1n 2＋1解析：1＝55，这样分子为去掉1后的一列奇数，即2n ＋1，而分母为2＝12＋1，5＝22＋1，10＝32＋1，17＝42＋1，26＝52＋1，即第n 个数的分母为n 2＋1.故填2n ＋1n 2＋1.3．－a 1110 (－1)n ＋1·a n ＋1n4．C 解析：第n 个单项式为(2n －1)x n . 5．46．(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)27．B 解析：因为观察可知：左边三角形的数字规律为1，2，…，n ，右边三角形的数字规律为2，22，…，2n ，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，…，n ＋2n ，所以y ＝2n ＋n .8．B 9.50 10.(1)14个 (2)(3n ＋2)个 11．671 解析：图形中小正方形个数依次为4＝1＋3×1，7＝1＋3×2，10＝1＋3×3，…故第n 次操作共有(3n ＋1)个小正方形，所以3n ＋1＝2014，得n ＝671.12．(1)22 32 (2)n (n ＋1)＋2专题（六）难点探究：展开图与视图中的有关问题（选做）◆类型一展开图中的问题一、找对面1.如图①所示的是一个正方体的展开图，该正方体从图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是.2.如图所示的是一个多面体的展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答下列问题：（1）如果面A在多面体的上面，那么哪一面在底部？（2）如果面F在前面，从右面看是面B，那么哪一面在上面？（3）如果从左面看是面C，面D在后面，那么哪一面在上面？二、求面积、容积3.如图所示是一个食品包装盒的表面展开图.（1）请你写出这个包装盒的几何体名称；（2）根据图中所标尺寸，用a，b表示这个几何体的全面积S（侧面积与底面积之和），并计算当a＝1，b＝4时，S的值.4.如图所示为一个无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），根据图中数据，求该无盖长方体的容积.三、标注点、线段5.在如图所示的正方体中，点P，Q，S，T分别是所在边的中点，将此正方体展开，请在展开图中标出点P，Q，S，T的位置，当正方体的边长为a时，写出展开图中△PSQ的面积.6.如图所示为一个正方体及其表面展开图，图①中M，N分别是FG，GH的中点，CM，CN，MN是三条线段，试在图②中画出这些线段.◆类型二视图中的问题一、由正方体组合体的视图推测正方体的个数7.由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（）A.4个B.5个C.6个D.7个二、根据视图求几何体的面积8.如图所示的是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标数据（单位：mm），计算出这个立体图形的表面积是mm2.9.一个画家有14个边长为1cm的正方体，他在地面上将它们摆成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，求被涂上颜色的总面积.三、根据视图求几何体的体积10.如图所示的是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是（结果中保留π）.参考答案与解析1．我2．解：(1)面F 在底部； (2)面E 在上面； (3)面F 在上面． 3．解：(1)长方体；(2)S ＝6ab ＋4a 2，当a ＝1，b ＝4时，S ＝28. 4．解：无盖长方体的容积为6.5．解：点P ，Q ，S ，T 的位置如图所示，连接PS ，PQ ，SQ ，则S △PSQ ＝52a ×a －12×12a ×52a －12×12a ×32a －12×a 2＝a 2.6．解：如图所示.7．C 8.2009．解：被涂上颜色的总面积为5＋2×4＋3＋3×4＋9－4＝33(cm 2)． 10．2500π专题（七）思想方法：线段与角计算中的思想方法——明确解题思路，体会便捷通道◆类型一分类讨论思想1.已知∠AOB＝90°，OC是它的一条三等分线，则∠AOC等于（）A.30°或60°B.45°或60°C.30°D.45°2.（岳池县期末）已知线段AB＝6cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝11cm，则线段AC的长为（）A.17cmB.5cmC.11cm或5cmD.5cm或17cm3.（安陆期末）已知点A、B、C在同一条直线上，且AC＝5cm，BC＝3cm，M、N分别是AC、BC的中点.（1）画出符合题意的图形；（2）依据（1）的图形，求线段MN的长.4.已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，试求∠COF的度数.【易错9②】◆类型二整体思想及从特殊到一般的思想5.如图，线段上的点依次增加，请你填写图中相应的线段数：（1）请猜想：当线段AB上有6个、10个点时（含A，B两点），分别有几条线段？（2）当线段AB上有n（n为正整数且n≥2）个点（含A，B两点）呢？6.★已知O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC. （1）如图①，若∠AOC ＝30°，求∠DOE 的度数；（2）在图①中，若∠AOC ＝α，直接写出∠DOE 的度数（用含α的代数式表示）； （3）将图①中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置，探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由.参考答案与解析1．A 2.D3．解：(1)点B 在线段AC 上，如图所示；点B 在线段AC 的延长线上，如图所示；(2)当点B 在线段AC 上时，由AC ＝5cm ，BC ＝3cm ，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，得MC ＝12AC ＝12×5＝52(cm)，NC ＝12BC ＝12×3＝32(cm)，由线段的和差，得MN ＝MC －NC＝52－32＝1(cm)； 当点B 在线段AC 的延长线上时，由AC ＝5cm ，BC ＝3cm ，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，得MC ＝12AC ＝12×5＝52(cm)，NC ＝12BC ＝12×3＝32(cm)，由线段的和差，得MN ＝MC ＋NC ＝52＋32＝4(cm)．综上所述，线段MN 的长为1cm 或4cm.4．解：如图①，∵OE 平分∠AOB ，∠AOE ＝30°，∠BOD ＝20°，∴∠AOD ＝30°＋30°＋20°＝80°.∵OD 平分∠AOC ，∴∠COD ＝∠AOD ＝80°.∵OF 平分∠BOC ，∴∠COF ＝(80°＋20°)÷2＝50°；如图②，∵OE 平分∠AOB ，∠AOE ＝30°，∠BOD ＝20°，∴∠AOD ＝30°＋30°－20°＝40°.∵OD 平分∠AOC ，∴∠COD ＝∠AOD ＝40°.∵OF 平分∠BOC ，∴∠COF ＝(40°－20°)÷2＝10°.综上所述，∠COF 的度数为50°或10°. 5．解：6 10 (1)15条，45条；(2)12n (n －1)条． 6．解：(1)∵∠COD 是直角，∠AOC ＝30°，∴∠BOD ＝180°－90°－30°＝60°，∴∠COB ＝90°＋60°＝150°.∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOE ＝12∠BOC ＝75°，∴∠DOE ＝∠BOE －∠BOD＝75°－60°＝15°；(2)∠DOE ＝12α； 解析：∵∠COD 是直角，∠AOC ＝α，∴∠BOD ＝180°－90°－α＝90°－α，∴∠COB ＝90°＋90°－α＝180°－α.∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOE ＝12∠BOC ＝90°－12α，∴∠DOE ＝∠BOE －∠BOD ＝90°－12α－(90°－α)＝12α；(3)∠AOC ＝2∠DOE .理由如下：∵∠BOC ＝180°－∠AOC ，OE 平分∠BOC ，∴∠BOE ＝12∠BOC ＝12(180°－∠AOC )＝90°－12∠AOC .∵∠COD 是直角，∴∠BOD ＝90°－∠BOC ＝90°－(180°－∠AOC )＝∠AOC －90°，∴∠DOE ＝∠BOD ＋∠BOE ＝(∠AOC －90°)＋⎝⎛⎭⎫90°－12∠AOC ＝12∠AOC ，即∠AOC ＝2∠DOE .专题（八）难点探究：平行线中作辅助线的方法——形成解题思维模式，快速解题◆类型一含一个拐点的平行线问题1.（河北中考）如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝（）A.120°B.130°C.140°D.150°第1题图第2题图2.（恩施州中考）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为（）A.20°B.30°C.40°D.70°3.（威海中考）如图，直线a∥b，∠1＝110°，∠2＝55°，则∠3的度数为.第3题图第4题图4.如图，AB∥CD，∠A＝120°，∠1＝70°，则∠D的度数为.5.（阳新县期末）小柯同学平时学习善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握.学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是多少呢？请你帮他计算出来.◆类型二含多个拐点的平行线问题6.如图，直线l1∥l2，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1＋∠2＝（）A.30°B.35°C.36°D.40°第6题图第7题图第8题图7.（泰州中考）如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝.8.如图，如果AB∥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系为.9.如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线.（1）试说明：∠O＝∠BEO＋∠DFO；（2）如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？证明你的结论.参考答案与解析1．C解析：如图，过C向左作CG∥AB，因为AB∥EF，所以AB∥CG∥EF，所以∠ACG＝∠BAC＝50°.因为CD⊥EF，所以∠CDF ＝90°，∠GCD＝90°，所以∠ACD＝∠ACG＋∠GCD＝50°＋90°＝140°.2．B解析：过C向右作CM∥AB，所以AB∥DE∥CM.因为∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，所以∠BCM＝70°，∠DCM＝180°－140°＝40°，所以∠BCD＝∠BCM－∠DCM＝70°－40°＝30°.3．55° 4.50°5．解：过点B向左作BE∥AD.因为AD∥CF，所以AD∥BE∥CF，所以∠1＋∠ABE ＝180°，∠2＋∠CBE＝180°，所以∠1＋∠2＋∠ABC＝360°.因为∠1＝115°，∠ABC＝90°，所以∠2＝360°－∠1－∠ABC＝155°.6．A解析：如图，过A，B两点向左作l1的平行线AE，BF.所以AE∥BF∥l1∥l2，所以∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠EAB＋∠FBA＝180°，所以∠1＋∠2＝125°＋85°－180°＝30°.7．140°解析：延长AE交l2于点B(如图)．因为l1∥l2，所以∠3＝∠1＝40°.因为∠α＝∠β，所以AB∥CD，所以∠2＋∠3＝180°，所以∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.8．∠α＋∠β－∠γ＝180°解析：过点E向右作EF∥AB，所以∠α＋∠AEF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．因为AB∥CD，所以EF∥CD，所以∠FED＝∠EDC(两直线平行，内错角相等)．因为∠β＝∠AEF＋∠FED，又因为∠γ＝∠EDC，所以∠α＋∠β－∠γ＝180°.9．解：(1)过点O向左作OM∥AB，如图①，所以∠1＝∠BEO.因为AB∥CD，所以OM∥CD，所以∠2＝∠DFO，所以∠1＋∠2＝∠BEO＋∠DFO，即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO；(2)∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.理由如下：过点O向左作OM∥AB，过点P向右作PN∥CD，如图②.因为AB∥CD，所以OM∥PN∥AB∥CD，所以∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，所以∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4，所以∠EOP＋∠PFC＝∠BEO ＋∠OPF.。

初一数学上册重点难点专项练习一、 选1.若代数式 3x －1 4 4 2x与 能合成一项，则 x 的值是（）0.2b 3a b a 1 21 3A.B.1C.D.02．下列式子正确的是（）1 21 3＜ A ．－ 0.1＞－ 0.01B ．— 1＞ 0C ．D ．－ 5＜ 33． 沿图 1 中虚线旋转一周，能围成的几何体是下面几何体中的（）2xy4．多项式 1 xy 是（）A ．二次二项式B ．二次三项式C ．三次二项式D ．三次三项式,则 k 的值为 ( 5 ．关于 y 的方程 3y ＋5 ＝ 0 3 与 3y ＋ 3k ＝1 的解完全相同 4 )A ．－ 2B ．C ．2D ．－43b 是（6．数 a ， b 在数轴上的位置如图 2 所示，则 a）A ．正数B ．零C ．负数D ．都有可能7．将 150000000 千米用科学记数法表示为（）9877A ．0.15× 10 千米B ． 1.5× 10 千米C ．15× 10 千米D ． 1.5× 10 千米 8．图 5 是某市一天的温度变化曲线图，通过该图可知，下列说法错误的是（A ．这天 15 点时的温度最高 ）B ．这天 3 点时的温度最低C ．这天最高温度与最低温度的差是13℃D ．这天 21 点时的温度是 30℃ 9．一个正方体的侧面展开图如图4 所示，用它围成的正方体只可能是（）10．已知 4 个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16 个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可 以喝矿泉水（ A ．3 瓶 二、填） B ． 4 瓶C ．5 瓶D ． 6 瓶2xy511．的系数是 。

12．某公园的成人单价是10 元，儿童单价是 元。

某旅行团有 a 名成人和 元。

b 名儿童；则4 旅行团的门票费用总和为 2＋|b － 2|＝ 0，则 ab 1的值等于。

13．已知 (a ＋1) 14．一根 1 米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是米。

专题09几何图形初步中角的比较与运算重难点题型分类（解析版）专题简介：本份资料包含《几何图形初步》这一章中角的比较与运算这一模块除动角问题压轴题之外全部重要题型，所选题目源自各名校月考、期末试题中的典型考题，具体包含六类题型：四类小题（方位角问题、角度单位换算、余角补角问题、重叠与折叠图形中的角度计算）、两类求角度的中档大题（算术方法求角度、方程方法求角度），适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一:方位角问题1．（雅礼）如图，下列说法错误的是（）A．OA的方向是北偏西60°B．OB的方向是西南方向C．OC的方向是南偏东60°D．OD的方向是北偏东30°【解答】解：A、OA的方向是北偏西30°，故原选项错误，符合题意；B、OB的方向是西南方向，正确，不合题意；C、OC的方向是南偏东60°，正确，不合题意；D、OD的方向是北偏东30°，正确，不合题意．故选：A．2．（广益）如图，下列说法错误的是（）A．OA的方向是北偏西60°B．OB的方向是西南方向C．OC的方向是南偏东60°D．OD的方向是北偏东30°【解答】解：A、OA的方向是北偏西30°，故原选项错误，符合题意；B、OB的方向是西南方向，正确，不合题意；C、OC的方向是南偏东60°，正确，不合题意；D、OD的方向是北偏东30°，正确，不合题意．故选：A．3．（一中双语）某货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东65°方向上，同时在它的北偏东40°方向发现了一座海岛B，则∠AOB的度数是．【解答】解：如图：∠AOB＝180°﹣40°﹣65°＝75°．故答案是：75°．4．（明德）如图，OA表示北偏东15°方向的一条射线，OB表示南偏西55°方向的一条射线，则∠AOB的度数是（）A．160°B．150°C．140°D．130°【解答】由题意得：∠AOD＝15°，∠BOC＝55°，∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝125°，∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝140°，故选：C．5．（雅礼）如图，甲从A点出发沿北偏东65°方向行进至点B，乙从A点出发沿南偏西20°方向行进至点C，则∠BAC等于（）A．125°B．135°C．160°D．165°【解答】解：如图，根据题意得∠1＝65°，∠2＝20°，∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣65°＝25°，∴∠BAC＝25°+90°+20°＝135°．故选：B．题型二:角度单位换算6．（雅礼）比较大小：38°15′38.15°（选填“＞”“＜”“＝”）．【解答】解：∵0.15°＝0.15×60′＝9′，∴38.15°＝38°9′，∴38°15′＞38°9′，即38°15′＞38.15°，故答案为：＞．7.（青竹湖）计算：2714'24''︒=︒【解答】解：答案为：27.24°．8.（长郡）用度、分、秒表示21.24︒为()A.211424'''︒ B.212024'''︒ C.2134'︒ D.21︒【解答】解：21.24°＝21°+0.24×60′＝21°+14′+0.4×60″＝21°14′24″，故选：A ．9.（中雅）计算(1)4839673121175'+'-'⨯ (2)90513711''-' 【解答】解：(1)答案为：945' ;(2))答案为：3812'49'' ．题型二:余角、补角问题10．（长郡）如果∠A ＝36°28'，那么∠A 的余角为．【解答】解：∠A 的余角＝90°﹣∠A ＝90°﹣36°28′＝89°60′﹣36°28′＝53°32′；故答案为：53°32′．11．（雅礼）已知一个锐角为30°51'，则它的余角的度数为．【解答】解：∵一个锐角为30°51'，∴它的余角的度数为：9°﹣30°51'＝59°9'．故答案为：59°9'．12．（广益）已知∠α＝36°25′，则∠α的补角为．【解答】解：∵∠α＝36°25′，∴∠α＝180°﹣36°25′＝143°35′．故答案为：143°35′．13．（北雅）若∠α的补角为76°28′，则∠α＝．【解答】解：∵∠α的补角为76°28′，∴∠α＝180°﹣76°28′＝103°32′，故答案为：103°32′．14．（一中）若∠α的补角为76°28′，则∠α＝．【解答】解：∵∠α的补角为76°28′，∴∠α＝180°﹣76°28′＝103°32′，故答案为：103°32′．15．（北雅）如图，点O 在直线AB 上，∠COB ＝∠EOD ＝90°，那么下列说法错误的是（）A．∠1与∠2相等B．∠AOE与∠2互余C．∠AOE与∠1互余D．∠AOE与∠COD互余【解答】解：∵∠COB＝∠EOD＝90°，∴∠1+∠COD＝∠2+∠COD＝90°，∴∠1＝∠2，故A选项正确；∵∠AOE+∠1＝90°，∴∠AOE+∠2＝90°，即∠AOE与∠2互余，故B选项正确；∵∠AOE+∠1＝90°，∴∠AOE与∠1互余，故C选项正确；∵∠AOE+∠1＝90°，∠COD+∠2＝90°，∠1＝∠2，∴∠∠AOE ＝∠COD，故D选项错误．故选：D．16．（一中）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（）A．图①B．图②C．图③D．图④【解答】解：图①，∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余；图②，根据同角的余角相等，∠α＝∠β；图③，根据等角的补角相等∠α＝∠β；图④，∠α+∠β＝180°，互补．故选：A．17．（长郡）如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，那么下列说法错误的是（）A．∠1与∠2相等B．∠AOE与∠2互余C．∠AOD与∠1互补D．∠AOE与∠COD互余【解答】解：∵∠COB＝∠EOD＝90°，∴∠1+∠COD＝∠2+∠COD＝90°，∴∠1＝∠2，故A选项正确；∵∠AOE+∠1＝90°，∴∠AOE+∠2＝90°，即∠AOE与∠2互余，故B选项正确；∵∠COB＝90°，∵∠AOD+∠2＝180°，∵∠1＝∠2，∴∠AOD+∠1＝180°，即∠AOD与∠1互补，故C选项正确；无法判断∠AOE与∠COD是否互余，D选项错误；故选：D．18．（长郡）若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的是（）A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④【解答】解：根据题意得：（1）∠1+∠2＝90°，（2）∠1+∠3＝180°，∴（2）﹣（1）得，∠3﹣∠2＝90°，∴①正确；（1）+（2）得，∠1+∠2+∠1+∠3＝270°，∴∠3+∠2＝270°﹣2∠1，∴②正确；（2）﹣（1）×2得，∠3﹣∠1＝2∠2，∴③正确；∵（1）∠1+∠2＝90°，（2）∠1+∠3＝180°，∴2（∠1+∠2）＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝2（∠1+∠2）﹣∠1＝∠1+2∠2，∴∠3＞∠1+∠2，∴④错误；故选：C ．题型四：重叠与折叠图形中的角度计算19．已知一副直角三角板按如图的位置放置，其中∠COD =45°，∠AOB =60°，经测量∠BOC =90°，则∠AOD 度数为（）A ．15°B ．25°C ．30°D ．45°【详解】解：∵∠COD =45°，∠BOC =90°，∴∠DOB =∠BOC -∠COD =45°．∴∠AOD =∠AOB -∠DOB =15°．故选：A ．20．（2022·湖南）如图，是一副三角板的摆放图，将一个三角板60°的角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，20BAE ∠=︒，则CAD ∠的大小是（）．A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°【详解】解：由题意得：∠DAE =90°，∠BAC =60°，∵∠BAE =20°，∴∠CAE =∠BAC −∠BAE =60°-20°=40°，∵∠CAE +∠CAD =∠DAE =90°，∴∠CAD =90°−∠CAE =90°-40°=50°，故选：B ．21．（广益）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，并能绕O 点自由旋转，若∠DOB ＝65°，则∠AOC +∠DOB ＝．【解答】解：如右图所示，∵∠AOD +∠BOD ＝90°，∴∠AOD ＝90°﹣∠BOD ，∴∠AOC +∠DOB ＝∠AOD +90°+∠DOB ＝90°﹣∠BOD +90°+∠DOB ＝180°．故答案是180°．22．（广益）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B 、D 两点落在B ′、D ′点处，若∠1＝70°，求∠2的度数是（）A ．70°B ．65°C ．60°D ．55°【解答】解：根据折叠的性质得：∠2＝∠BOG ，∵∠1＝70°，∴∠B ′OG +∠BOG ＝110°，∴∠2＝×110°＝55°，故选：D ．23.（广益）如图1拿一张长方形纸片，按图中所示的方法折叠一角，得到折痕EF ，如果35DFE ∠=︒，则DFA ∠=______.【解答】解:答案为：110°．24.（中雅）如图所示，将长方体ABCD 的一角沿AE 折叠，若32BAD '∠= ，那么EAD '∠=__________.【解答】解:答案为：29°．题型五：算术方法求角度25．（雅礼）补全推导过程：如图，已知∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求∠DOE的度数．解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝°．∵OD平分∠BOC，∴∠DOC＝∠＝°．∵OE平分∠AOC，∴∠EOC＝∠＝°．∴∠DOE＝∠﹣∠＝°．【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝150°．∵OD平分∠BOC，∴∠DOC＝∠BOC＝75°．∵OE平分∠AOC，∴∠EOC＝∠AOC＝30°．∴∠DOE＝∠DOC﹣∠EOC ＝45°．故答案为：150；BOC；75；AOC；30；DOC；EOC；45．26．（明德）如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∠BOD＝3∠DOE，求∠DOE的度数．【解答】解：∵OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°，∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝60°，∵∠BOD＝3∠DOE，∴∠DOE＝60°＝20°．27．（一中）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度数；（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度数．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°；（2）∵∠AOD＝∠AOB，∴∠AOD＝60°，当OD在∠AOB内时，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，当OD在∠AOB外时，∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．故∠COD的度数为20°或100°．28．（明德）如图，O是直线AB上一点，∠DOB＝90°，∠EOC＝90°．（1）如果∠DOE＝50°，求∠BOC的度数；（2）若OE平分∠AOD，求∠BOE．【解答】解：（1）∵∠EOC＝90°，∠DOE＝50°，∴∠DOC＝40°，∵∠DOB＝90°，∴∠BOC＝50°；（2）∵∠DOB＝90°，∴∠DOA＝90°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝45°，∴∠BOE＝135°．29．（长郡）如图，O为直线AB上一点，∠DOE＝90°，OD是∠AOC的角平分线，若∠AOC＝70°．（1）求∠BOD的度数．（2）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．【解答】解：（1）∵OD是∠AOC的角平分线（已知），∠AOC＝70°∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC＝×70°＝35°（角平分线定义），∵∠AOD+∠BOD＝180°∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣35°＝145°；（2）答：OE平分∠BOC．理由∵∠COE+∠COD＝∠DOE，∠DOE＝90°，∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD ＝90°﹣35°＝55°．∵∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°∴∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE＝180°﹣35°﹣90°＝55°，∴∠COE＝∠BOE＝55°，∴OE平分∠BOC．30．（雅礼）如图，∠AOB＝40°，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．（1）若∠DOE＝10°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOD与∠BOD互补，求∠COE的度数．【解答】解：（1）∵∠AOB＝40°，OB是∠AOC的平分线，∴∠BOC＝∠AOB＝40°，∵OD是∠COE的平分线，∠DOE＝10°，∴∠COD＝∠DOE＝10°，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°+10°＝50°；（2）∵∠AOB＝40°，OB是∠AOC的平分线，∴∠AOC＝2∠AOB＝80°，∠BOC＝∠AOB＝40°，∵∠AOD与∠BOD互补，∴∠AOD+∠BOD＝180°，∴80°+∠COD+40°+∠COD＝180°，解得∠COD ＝30°，∵OD是∠COE的平分线，∴∠COE＝2∠COD＝60°．题型六：方程方法求角度31.（中雅）如图所示，已知2∠=∠，∠AOC的余角比∠BOC小30°.AOC BOC(1)求∠AOB的度数；(2)过点O作射线OD，使得4∠=∠，请你求出∠COD的度数.AOC AOD【解答】解：（1）设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，依题意列方程90°﹣2x＝x﹣30°，解得：x＝40°，即∠AOB＝40°．（2）由（1）得，∠AOC＝80°，①当射线OD在∠AOC内部时，∠AOD＝20°，则∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝60°；②当射线OD 在∠AOC 外部时，∠AOD ＝20°，则∠COD ＝∠AOC +∠AOD ＝100°．32.（长郡）角度计算题：如图，已知O 为AD 上一点，AOB ∠与AOC ∠互补，ON 平分AOB ∠，OM 平分AOC ∠，若是42MON ∠= ，求AOB ∠与AOC ∠的度数.【解答】解：设∠AOB ＝x °，因为∠AOC 与∠AOB 互补，则∠AOC ＝180°﹣x °．由题意，得﹣＝42．∴180﹣x ﹣x ＝84，∴﹣2x ＝﹣96，解得x ＝48，故∠AOB ＝48°，∠AOC ＝132°．33.(长郡)已知：如图，AOB ∠被分成::2:3:4AOC COD DOB ∠∠∠=，OM 平分AOC ∠，ON 平分DOB ∠，且90MON ∠=︒，求AOB ∠的度数.【解答】解：设∠AOC ＝2x ，∠COD ＝3x ，∠DOB ＝4x ，则∠AOB ＝9x ，则∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠DOB ，∴∠MOC ＝x ，∠NOD ＝2x ，∴∠MON ＝x +3x +2x ＝6x ，又∵∠MON ＝90°，∴6x ＝90°，∴x ＝15°，∴∠AOB ＝135°．34．（广益）已知，如图，∠AOB ：∠BOC ＝3：2，OD 是∠BOC 的平分线，OE 是∠AOC 的平分线，且∠BOE ＝16°．（1）求∠DOE 的度数；（2）求∠AOC 的度数．【解答】解：（1）设∠AOB ＝3x ，∠BOC ＝2x ．则∠AOC ＝∠AOB +∠BOC ＝5x ．∵OE是∠AOC的平分线，∴∠AOE＝∠AOC ＝x，∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝3x−x ＝x，∵∠BOE＝16°，∴x＝16°，解得，x＝32°，∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOD＝∠BOC＝x＝32°，∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝32°+16°＝48°．（2）∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x＝160°35．（长郡）如图，点O在直线AB上，∠AOC与∠COD互补，OE平分∠AOC．（1）若∠BOC＝40°，则∠DOE的度数为；（2）若∠DOE＝15°，求∠BOD的度数．【解答】解：（1）因为点O在直线AB上，∠BOC＝40°，所以∠AOC＝140°，又∠AOC与∠COD互补，故∠COD＝40°，因为OE平分∠AOC，所以∠EOC＝70°，∴∠DOE＝30°．故答案为：30°．（2）因为点O在直线AB上，所以∠AOC与∠BOC互补，又∠AOC与∠COD互补，所以∠BOC＝∠COD，因为OE平分∠AOC，则∠AOE＝∠EOC，设∠BOC为x，可得：2（15°+x）+x＝180°，解得：x＝50°，所以∠BOD＝2∠BOC＝100°．11。

专题11 二次根式重难点题型分类-高分必刷题（原卷版）专题简介：本份资料包含《二次根式》这一章的全部重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含五类题型：二次根式的双重非负性、二次根式的乘除、最简二次根式、二次根式的混合运算、二次根式的压轴题。

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题型一 二次根式的双重非负性第一层非负性：被开方数0≥1.（南雅）在函数y 中，自变量x 的取值范围是（ ） A. 1x ≥-B. 1x >-且12x ≠C. 1x ≥-且12x ≠D. 1x >- 【解答】解：由题意得，x +1≥0且2x ﹣1≠0，解得x ≥﹣1且x ≠．故选：C ．2.x 的取值范围是 . 【解答】解：x +1≥0，x ≠0，解得，x ≥﹣1且x ≠0，则式子有意义，则x 的取值范围是x ≥﹣1且x ≠0．3.（青竹湖）函数xx y 2-=中，自变量x 的取值范围是 . 【解答】解：根据题意得，x ﹣2≥0且x ≠0，解得x ≥2且x ≠0，所以，自变量x 的取值范围是x ≥2．4.（青竹湖）已知3y =，则yx的值为（ ） 【解答】解：由题意可得：x ＝4，则y ＝3，则的值为：．故选：C ．5.（雅礼）已知实数x 、y 满足0115=-+-y x ，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 .【解答】解：根据题意得，x ﹣5＝0，y ﹣11＝0，解得x ＝5，y ＝11， ①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，不能组成三角形．②5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，能组成三角形，5+11+11＝27；所以，三角形的周长为：27；故答案为27．第二层非负性：二次根式的计算结果为非负数,0,0a a a a a ≥⎧⇒==⎨-<⎩6. （长郡）如果()a a 21122-=-，则（ ） A. 21<aB. 21≤aC. 21>aD. 21≥a 【解答】解：∵，∴1﹣2a ≥0，解得a ≤．故选：B ．7.（广益）若13x <<，则4x -的值为( ) A.25x -B.3-C.52x -D.3【解答】解：由题意可知：x ﹣4＜0，x ﹣1＞0，∴原式＝﹣（x ﹣4）+（x ﹣1）＝3，故选：D ．8. （长梅）已知实数a ，b 的结果是( )A.1a -B.1a --C.1a -D.1a +【解答】解：由数轴可得：﹣1＜a ＜0，0＜b ＜1，则﹣﹣＝﹣a ﹣b ﹣（1﹣b ）＝﹣a ﹣1．故选：B ．9.（长郡）已知a 、b 、c 是ABC ∆a b c +-的值为( )A.2aB.2bC.2cD.()2a c -【解答】解：∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴a ﹣b ﹣c ＜0，a +b ﹣c ＞0 ∴+|a +b ﹣c |＝b +c ﹣a +a +b ﹣c ＝2b ．故选：B ．10.（青竹湖）实践与探索（1 ，= ；（2）观察第（1）的结果填空：当0a ≥= ，当0a <= ；（3，其中23x <<.【解答】解：（1）＝3；＝5；故答案为：3，5；（2）当a ≥0时＝a ；当a ＜0时，＝﹣a ；故答案为：a ，﹣a ；（3）∵2＜x ＜3，∴x ﹣2＞0、x ﹣3＜0，原式＝（x ﹣2 ）﹣（x ﹣3）＝1．题型二 二次根式的乘除11.（长梅）计算：= .【解答】解：原式=12.==12. （青竹湖） = .【解答】解：原式12.=13．（青竹湖）下列各数中，与2 ）A ．2B ．2C ．2-D 【解答】解：∵（2+）×（2﹣）＝22﹣＝1，∴2+与2﹣互为有理化因式．故选：B ．14.0)x ≠的结果是（ ）A. B.- C.- D.【解答】解：由﹣x 3≥0知x ≤0，则原式＝|x |＝﹣x ，故选：D ．15.（郡维）把根号外的因式移入根号内得( )C.D.【解答】解：∵成立，∴﹣＞0，即m ＜0，∴原式＝﹣＝﹣．故选：D ．题型三 最简二次根式16.（雅礼）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. 7B. 3C.21D. 2【解答】解：C 、∵＝＝；∴它不是最简二次根式故选：C ．17.（青竹湖）下列根式中是最简二次根式的是（ ）)0a >【解答】解：（A ）原式＝，故A 不是最简二次根式；（C ）原式＝a，故C 不是最简二次根式； （D ）原式＝2，故D 不是最简二次根式；故选：B ．18.(郡维）最简二次根式有( ) A.2个B.3个C.4个D.5个【解答】解：最简二次根式有；；，故选：B ．19．）ABCD【解答】解：的被开方数是3，而、＝2、的被开方数分别是5、2、2，所以它们不是同类二次根式，不能合并，即选项A 、B 、D 都不符合题意．＝2的被开方数是3，与是同类二次根式，能合并，即选项C 符合题意．故选：C ．20.a =________. 【解答】解：∵＝2，∴a +1＝2，∴a ＝1；故答案为：1．题型四 二次根式的混合运算21.（广益）已知1m =，1n =223m n mn ++= . 【解答】解：原式=22()2(1) 2.m n mn ++=+=22.（雅礼）（1）1213212-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+（2）348312123÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-. 【解答】解：(1)原式=;323232=--+（2）原式＝（3×2﹣2×+4）÷＝（6﹣+4）÷＝（6﹣+4）÷＝．23.0((3)π+- 【解答】解：原式=110.+=24.（广益）计算： ()220160112π-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭【解答】解：原式=14225+-+=-25.（雅境）计算：(1)(2)计算：)21+.【解答】解：（1）原式=3=（（2）原式=52317-+-=-26.（雅实）已知a =b =求值：（1）b aa b+； （2）22a b ab +.【解答】解：（1）原式=222(a b)212;a b abab ab++-==（2）原式=(a b)2ab +=⨯=27.（广益）先化简，再求值：322222222a b a b a aba ab b a b +-÷++-，其中2a =2b =。

专题12 勾股定理重难点题型分类-高分必刷题（解析版） 专题简介：本份资料包含《勾股定理》这一章的全部重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含八类题型：已知两边求第三边、已知一边和一特殊角求其它边长、折叠模型、最短爬行路径问题、勾股定理与图形面积关系、勾股定理的逆定理、勾股定理的应用题、勾股定理与其它章节的综合题。

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题型一 已知两边，求第三边⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2222bc a b a c 1. （广益）直角三角形斜边上的中线长是5.6，一条直角边是5，则另一直角边长等于（ ）A. 13B. 12C. 10D. 5【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，∴其斜边长为2×6.5＝13，∴另一条直角边长＝＝12．故选：B ．2. （长郡）如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 的表示的数为 ．【解答】解：AC ＝＝＝，则AM ＝，∵A 点表示﹣1，∴M 点表示﹣1，故答案为：﹣1． 3.（长郡）如图，平面直角坐标系中，△OAB 的边OB 落在x 轴上，顶点A 落在第一象限．若5OA AB ==，8OB =，则点A 的坐标是 。

【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D ，∵OA ＝AB ＝5，OB ＝8，∴OD ＝OB ＝4． 在直角△OAD 中，由勾股定理得：AD ＝＝＝3．故点A 的坐标是（4，3）．4.（周南）一架方梯长25m ，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m ，求：（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【解答】解：（1）根据勾股定理：梯子距离地面的高度为：＝24米；（2）梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度为A 'B ＝AB ﹣AA ′＝24﹣4＝20，根据勾股定理得：25＝，解得CC ′＝8．即梯子的底端在水平方向滑动了8米．题型二 已知一边和一特殊角求其它边长⎪⎩⎪⎨⎧∆∆211453:2:13000：：三边之比角的三边之比角的Rt Rt 5.（博才）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，垂足为D ，已知4,3,45AB BD C ==∠=︒，则AC 的长为（ ）A.B. C. 4D.【解答】解：在Rt △ABD 中，∵AB ＝4，BD ＝3，∴AD45C ∠=︒，∴AD= 6.（广益）将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB 与∠DCE 完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，AB=4，DE=6，则EB=．【解答】解：在Rt △ABC 中，∵AB ＝4，∠A ＝45°，∴BC ＝4×＝4在Rt △EDC中，∵∠EDC ＝60°，DE ＝6，∴CE ＝DE •sin ∠EDC ＝6×＝3，∴BE ＝CE ﹣BC ＝3﹣4．故填空答案：3﹣4． 7.（师大）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知2CD =，求AC 的长。

专题01 高分必刷题-有理数重难点题型分类题型一有理数概念与分类1．下列语句中，正确的是（）A．平方等于它本身的数只有1B．倒数等于它本身的数只有1C．相反数等于它本身的数只有0D．绝对值等于它的本身的数只有02．下列说法中正确的是（）A．0是最小的数B．最大的负有理数是﹣1C．绝对值等于它本身的数是正数D．互为相反数的两个数和为03．下列说法错误的有（）①最大的负整数是﹣1；②绝对值是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边；⑤在数轴上7与9之间的有理数是8．A．1个B．2个C．3个D．4个4．7，﹣9，﹣301，31.7，﹣3.05，+2004，0解：负数有：{}；分数有：{}；非负整数有：{}．5．把下列各数分别填入相应的大括号里：﹣7，3.5，﹣3.1415，π，0，2317，0.03，﹣3.5，10，﹣0.，﹣2.5．自然数集合{…}；整数集合{…}；正分数集合{…}；非正数集合{…}；有理数集合{…}．题型二相反数与倒数6．下列说法：①若a、b互为相反数，则a+b＝0；①若a+b＝0，则a、b互为相反数；①若a、b互为相反数，则ab＝﹣1；①若ab＝﹣1，则a、b互为相反数．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．一个数的倒数的相反数是135，则这个数是．8．13的倒数是，相反数等于本身的数是，倒数等于本身的数是．9．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是5，n是最大的负整数，求代数式2019（a +b ）﹣4cd +2mn 的值．10．已知2a 与b 互为倒数，c 与2d 互为相反数，|x |＝2，求4ab +2c +d +2x的值．11．已知：a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值是2 （1）a +b ＝ ，cd ＝ ，x ＝ ； （2）求代数式2x 2﹣（a +b ）+x cd ﹣22a b cd+的值．12．已知a ，b 为互为倒数，c ，d 为互为相反数，x 的绝对值为3，n 是最小的正整数，m 是最大的负整数，试求ab +4c dn++x ﹣m 2014的值．题型三 绝对值的概念及化简13．（1）绝对值不大于3的所有整数是 ； （2）已知|x |＝2，则x ＝ ．14．若|a |＝3，|b |＝2，且a ﹣b ＜0，则a +b 的值等于 ． 15．已知|a ﹣2|+2(b 3)+＝0，则a+b 的值等于 ． 16．若a ，b 为有理数，下列结论正确的是（ ） A ．如果a ＞b ，那么|a |＞|b | B ．如果|a |≠|b |，那么a ≠bC ．如果a ＞b ，则a 2＞b 2D ．如果a 2＞b 2，则a ＞b17．有理数a ，b ，c 表示的点在数轴上的位置如图所示，则|a +c |﹣|c ﹣b |﹣2|b +a |＝（ ）A．3a﹣b B．﹣a﹣b C．a+3b﹣2c D．a﹣b﹣2c18．若1＜x＜2，则2121x x xx x x---+--的值是（）A．﹣3B．﹣1C．2D．1 19．已知|a|＝3，|b|＝2，且ab＜0，求a+b的值．20．已知：|a|＝5，|b|＝3，（1）求a+b的值．（2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值．21．已知有理数ab＜0，a+b＞0，且|a|＝2，|b|＝3，求|a﹣2|+2b的值．22．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|．（1）a+b＝，ab＝；（2）判断b+c，a﹣c，（b+c）（a﹣b）的符号；（3）求a b ac aba a ac ab+-+的值．23．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等．（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：b0，a+b0，a﹣c0，b﹣c0；（2）|b ﹣1|+|a ﹣1|＝ ； （3）化简|a +b |+|a ﹣c |﹣|b |+|b ﹣c |．24．有理数x ，y 在数轴上对应点如图所示：（1）在数轴上表示﹣x ，|y |；（2）试把x ，y ，0，﹣x ，|y |这五个数从小到大用“＜”号连接，（3）化简：|x +y |﹣|y ﹣x |+|y |．25．阅读下列材料：,00,0,0x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，即当x ＞0时，1x x x x ==；当x ＜0时，1x x x x -==-．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a 、b 是有理数，当ab ≠0时，求a ba b+的值． （2）已知a 、b 是有理数，当abc ≠0时，求a b ca b c++的值． （3）已知a 、b 、c 是有理数，a +b +c ＝0，abc ＜0，求b c a c a ba b c +++++的值．题型四 有理数运算26．计算：（1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）﹣22+[14﹣（﹣3）×2]÷4．27．计算（1）（﹣6）﹣5+（﹣4）﹣（﹣18）；（2）﹣10﹣4÷（2293 -）；（3）﹣22﹣|﹣7|+3﹣2×（﹣12）；（4）（111462+-）÷（﹣112）．28．计算题：（1）（﹣2）﹣（+5）﹣（﹣3）+4 （2）﹣5﹣2+5﹣11+2（3）（﹣3）×2+20÷（﹣5）（4）315()(24) 468--⨯-29．计算：（1）（+12）﹣（﹣18）+（﹣7）﹣（+15）；（2）94(81)(16)49-÷⨯÷-；（3）157()(18)369-+⨯-；（4）﹣14+|2﹣3|﹣2×（﹣1）2014．30．计算：（1）（﹣12）﹣（+20）+（﹣8）﹣15 （2）94 (81)(16)49-÷⨯÷-（3）2111()()941836-+÷-（4）题型五应用题31．某市交警大队一辆警车每天在一段东西方向的公路上巡逻执法．一天上午从A地出发，中午到达B地，规定向东行驶的里程为正，向西行驶的里程为负，这天行驶的里程数记录如下（单位：km）；﹣25，+10，+15，﹣10，+16，﹣18，+10，﹣21．（1）问B地在A地的东面还是西面？A，B两地相距多少千米？（2）若该警车每千米耗油0.2升，警车出发时，油箱中有油10升，请问中途有没有给警车加过油？若有，至少加了多少升油？请说明理由．32．第66路公交车沿东西方向行驶，如果把车站的起点记为0，向东行驶记为正，向西行驶记为负，其中一辆车从车站出发以后行驶的路程如下表（单位：km）：序号1234567路程+5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10（2）该辆车离开出发点最远是多少千米？（3）若每千米耗油0.2升，每升油价是7.5元，则从出发到收工时油费是多少元？33．某儿童服装店用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果以每套55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2．（1）该服装店卖完这八套儿童服装后，是盈利还是亏损？（2）盈利（或亏损）了多少？34．某食品厂上周日生产100袋食品，下表是这周的生产情况（注：用正数记生产袋数比前2a b 一日上升数，用负数记生产袋数比前一日下降数）：（2）根据记录的数据可知该厂本周内生产袋数最高是多少袋？最低是多少袋？ （3）已知这周生产的所有食品成本3000元，现规定本周食品售价为每袋5元，在卖出所有袋数时，需收取成交额10%的交易税，则食品厂这周的收益情况如何？35．当温度每上升1℃时，某种金属丝伸长0.002mm ；反之，当温度下降1℃时，金属丝就缩短0.002mm ．把15℃的这种金属丝加热到60℃，再使它冷却降温到5℃，金属丝的长度经历了怎么样的变化？金属丝最后的长度比原来的长度伸长多少？36．20筐白菜，以每筐15千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示．记录如下：千克．（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ （3）若白菜每千克售价1.8元，则出售这20筐白菜可卖多少元？题型六 新定义37．若规定运算：a ⊕b ＝2ab ，a Θb ＝b ÷a ，a ⊗b=则（1⊕2）⊗（6Θ3）＝ ．38．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a ⊕b ＝a ×b +2×a ．（1）求2⊕（﹣1）的值；（2）求﹣3⊕（﹣4⊕12）的值；（3）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程．39．对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4．（1）填空：（10]＝．（﹣2019]＝，（17]＝；（2）若a，b都是整数，且（a]和（b]互为相反数，求代数式a﹣（a+b）×3+b的值；（3）若|（x]|+|（x﹣2]|＝6，求x的取值范围．题型七绝对值的几何意义40．（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点这间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图3，点A、B都在原点的左边|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图4，点A、B在原点的两边|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x为；③请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是．④由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，求出最小值和相应的x的值；如果没有，说明理由．41．同学们都知道，|2﹣（﹣1）|表示2与﹣1的差的绝对值，实际上位可理解为在数轴上正数2对应的点与负数﹣1对应的点之间的距离，试探索： （1）|2﹣（﹣1）|＝ ；如果|x ﹣1|＝2，则x ＝ ． （2）求|x ﹣2|+|x ﹣4|的最小值，并求此时x 的取值范围；（3）由以上探索已知（|x ﹣2|+|x +4|）+（|y ﹣1|+|y ﹣6|）＝20，则求x +y 的最大值与最小值；（4）由以上探索及猜想，计算|x ﹣1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|+…+|x ﹣2017|+|x ﹣2018|的最小值．题型八 动点问题类压轴题42.已知数轴上，点A 和点B 分别位于原点O 两侧，点A 对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且15-=a b .(1)若6=-b ，则a 的值为________； (2)若2=OA OB ，求a 的值；(3)点C 为数轴上一点，对应的数为c ，若A 点在原点的左侧，O 为AC 的中点，3=OB BC ，请画出图形并求出满足条件的C 的值.43.已知a 、b 满足()25|1|0a b -++=.请回管问题：（1）请直接写出a 、b 的值，a =______，b =_______.（2）当x 的取值范围是_________时，||||x a x b -+-有最小值，这个最小值是_____. （3）数轴a 、b 上两个数所对应的分别为A 、B ，AB 的中点为点C ，点A 、B 、C 同时开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 和点C 分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，当A 、B 两点重合时，运动停止.①经过2秒后，求出点A与点B之间的距离AB.+的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；②经过t秒后，请问：BC AB若不变，请求其值.。

专题05整式的加减压轴题真题分类（原卷版）专题简介：本份资料包含《整式的加减》这一章中压轴题常考的主流题型，所选题目源自各名校月考试题、期中试题中的典型考题，具体分成两类题型：找规律（等差数列型、等比数列型、累加数列型）、定义新运算类压轴题。

适合于培训机构的老师给优等生作压轴题专题培训时使用或者想冲击满分的尖子生考前刷题时使用。

题型一找规律①等差数列型1．（青竹湖）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为．2．（雅礼）用棋子摆成的图案如图所示．按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．3．（雅礼）按如下方式摆放的桌子和椅子桌子数1234…n可坐人数6810…上表中所缺的数分别是和．4.（麓山国际）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为（用含n的代数式表示）．②等比数列型5．（雨花区）观察一列数：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，……，按你发现的规律写出第8个数是．6．观察下列单项式：a，2a-，3a，4a-，5a，⋅⋅⋅，按此规律第n个单项式是．（n为正整数）7．观察下列单项式：a，2-，5-，34a，48a2a16a，…，按此规律，则第n个单项式是（n是正整数）．③累加数列型8．（2020秋•天心区校级月考）如图图形都是由同样大小的“○”按一定的规律组成，其中第1个图形中一共有5个“○”，第2个图形中一共有12个“○”，第3个图形中一共有21个“○”，…，则第7个图形中“○”的个数是（）A．60B．66C．77D．969．（2019秋•岳麓区校级月考）用棋子按下列方式摆图形，第一个图形有1个棋子，第二个图形有5个棋子，第三个图形有12个棋子，依次规律，第六个有（）枚棋子．A．49B．50C．51D．5210．（明德）观察下列单项式：0，3a2，﹣8a3，15a4，﹣24a5，35a6，…按此规律，第n个单项式是．11．（二十一中）观察如图所示图形构成的规律，根据此规律，第10个图中小圆点的个数为．12．（明德）观察如图所示图形构成的规律，根据此规律，第15个图中小圆点的个数为．13．（立信）将一些大小相同的棋子按如图所示的规律摆放，第n 个图形含有枚棋子（用含n 的代数式表示）．题型二定义新运算类压轴题14．（明德）对于一个数x ，我们用＜x ＞表示小于x 的最大整数，例如：＜2.3＞＝2，＜﹣6＞＝﹣7；（1）填空：〈12〉＝，〈﹣2009〉＝，＝．（2）若2＜x ＞+＜x ﹣3＞＝6，求＜x ＞的值；（3）若a ，b 都是整数，且＜a ＞与＜b ＞互为相反数，求代数式2（a ﹣2b ）﹣（a ﹣5b ）的值．15．（雅礼）定义：对于一个数x ，我们把[]x 称作x 的相伴数，若0x ≥，则[]1x x =-；若0x <，则[]1x x =+，例如：[]0.50.5=-．（1）求32⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[]1-的值；（2）当0a >，0b <时，有[][]a b =，试求代数式3()33b a a b --+的值；（3）解方程：[][2]1x x ++=.16.（师大）对于一个数x ，我们用(]x 表示小于x 的最大整数，例如：(2.6]2=，(3]4-=-；（1）填空：(10]=________，(2019]-=__________，1(7=___________.（2）若a ，b 都为整数，且(]a 与(]b 互为相反数，求代数式3()2(2)(5)a b a b a b --+---的值；（3）若(](]|2|6x x +-=，求x 得取值范围.17．（长郡）阅读型综合题对于实数x 、y 我们定义一种新运算(),L x y ax by =+,（其中a 、b 均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为(),L x y ，其中x 、y 叫做线性数的一个数对，若实数x 、y 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x 、y 叫做正格线性数的正格数对．（1）若(),3L x y x y =+，则()2,1______L =，31,_______22L ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）已知(),3L x y x by =+，11,232L ⎛= ⎝，若正格线性数(),18L x kx =，（其中k 为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出，若没有，请说明理由．18.(周南)对于有理数，定义一种新运算“⊕”，请仔细观察下列各式中的运算规律：121422⊕=⨯-=，282480⊕=⨯-=，3434416-⊕=-⨯-=回答下列问题：(1)计算：43⊗=________，()43-⊗=________；(2)若a b ≠，则a b ⊕________b a ⊕(填入“=”或“≠”)(3)若有理数a ，b 的取值范围在数轴上的对应点如图所示，且()154a b ⊗-=，求()()()a b a b a b +⊗+⊗+⎡⎤⎣⎦的值.19．（青竹湖）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若x 2+x ＝0，则x 2+x +1186＝；我们将x 2+x 作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：（1）若x 2+x ﹣1＝0，则x 2+x +2021＝；（2）如果a +b ＝3，求2（a +b ）﹣4a ﹣4b +21的值；（3）若a 2+2ab ＝20，b 2+2ab ＝8，求a 2+2b 2+6ab 的值．20．（青竹湖）已知整式A＝m2+m﹣1，B＝m2﹣m+1，C＝﹣m2+m+1．若某个整式可以表示为aA+bB+cC（其中a，b，c为常数），我们约定如下分类：①若a≠0，b＝c＝0，则称该整式为A型整式；②若a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为AB型整式；③若a≠0，b≠0，c≠0，则称该整式为ABC型整式．…（1）依上面的分类方式，请给出B型整式和AC型整式的定义．若，则称该整式为B型整式；若，则称该整式为AC型整式．（2）例如：整式m2﹣5m+5可称为“AB型整式”，证明如下：∵﹣2A+3B＝﹣2（m2+m﹣1）+3（m2﹣m+1）＝﹣2m2﹣2m+2+3m2﹣3m+3＝m2﹣5m+5．即m2﹣5m+5＝﹣2A+3B，∴m2﹣5m+5是“AB型整式”．问题：（3）﹣3m2﹣m+3是什么型整式？请回答问题并仿照上述例子进行证明．（4）若整式4m2+km+k是关于m的“ABC型整式”，请求出相应的a，b，c（用含k的代数式表示）．21．（雅礼）阅读下列两则材料，解决问题：材料一：已知任意一个四位数m，若个位与百位上的数字之和为8，千位与十位上的数字之和也为8，则称m为“双雅数”．如：1276；材料二：若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，如：9＝32，则9为完全平方数．（1）判断下列四位数是不是“双雅数”，请在横线上填“是”或“不是”：①3454“双雅数”；②2635“双雅数”；③7612“双雅数”．（2）一个“双雅数”，它的千位上的数是a，百位上的数是b，十位上的数是c，个位上的数是d，请证明它是为11的倍数；（3）若四位数m为“双雅数”，记F（m）＝，当F（m）是完全平方数时，求出所有满足条件的数m．22．（望城一中）定义新运算a ∇b ＝|a ﹣b |﹣b ，如4∇2＝|4﹣2|﹣2＝2﹣2＝0；若a ∇b ＝0，则称a 与b 互为“望一”数；若a ∇b ＝﹣a ，则称a 与b 互为“望外”数；（1）计算：（﹣4）∇（﹣2）＝．（2）下列互为“望一”数的是．互为“望外”数的是．①：6∇3；②：5∇2；③：3∇4；④：2.8∇1.4；⑤：1∇3；（3）若（x ∇1）+[x ∇（﹣1）]＝2，则x 可以取哪些整数？（4）若（x ∇1）﹣[x ∇（﹣1）]＝﹣2，则x 的值为多少？23.（明德）已知a b ，为有理数，且a b ，不为0，则定义有理数对（a b ，）的“真诚值”为10()10a b b a b d a b a a b⎧->⎪=⎨-<⎪⎩，，，，如有理数数对（3，2）的“真诚值”为d （3，2）=3210=2--，有理数对（2-，4）的“真诚值”为4(24)(2)106d -=--=，．（1）求有理数对（3-，2），（1，2）的“真诚值”；（2）求证：有理数对（a b ，）与（b a ，）的“真诚值”相等；（3）若（a ，2）的“真诚值”的绝对值为(2)d a ，，若(2)6d a =，，求a 的值．。

解法二：原式＝(89－9)＋(899－99)＋(8 999－999)＋ (89 999－9 999)－(100 000－1)＝80＋800＋8 000＋ 80 000－(100 000－1)＝88 880－100 000＋1＝－11 119.
返回
考点 3 六种运算技巧
技巧5 巧妙组合法
15．计算：1－3－5＋7＋9－11－13＋15＋17－…＋
返回
考点 1 七个概念
概念2 有理数
3．(1)把下列各数分别填入它所属的集合的圈内：
21 2
，5，0，1.5，＋2，－3.
2 1 1.5 2
5， ＋2
0， －3
(2)这两个圈的重叠部分表示的是___正__整__数___集合． 返回
考点 1 七个概念
概念3 数轴
4．一条直线流水线上依次有5个机器人，它们站的位 置在数轴上依次用点A1，A2，A3，A4，A5表示， 如图所示．
(1)怎样将点A3移动，使它先到达点A2，再到达点A5？ 请用文字语言说明．
(2)若原点是零件供应点，则5个机器人分别到达供应点 取零件的总路程是多少？
(3)将零件供应点设在何处，才能使5个机器人分别到达 供应点取零件的总路程最短？最短总路程是多少？
解：(1)先向左移动2个单位长度，再向右移动6个单位长度. (2)5个机器人分别到达供应点取零件的总路程是4＋3＋ 1＋1＋3＝12(个)单位长度. (3)分析可得，将零件供应点设在A3处总路程最短，此 时总路程是3＋2＋2＋4＝11(个)单位长度.
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3．若关于x，y的单项式2xym与－Ax2y2的系数、次 数分别相等，试求A，m的值．
解：因为关于x，y的单项式2xym与－ax2y2 的系数、次数分别相等，

专题10几何图形初步中动角问题真题分类（解析版）专题简介：本份资料专攻《几何图形初步》这一章中动角问题的压轴题，所选题目源自各名校月考、期末试题中的压轴题真题，难度较大，具体分成单动角问题和双动角问题，适合于想挑战满分的学生考前刷题使用，也适合于培训机构的老师培训尖子生时使用。

题型一：单动角问题1．（雅礼）已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°．（1）如图1，当∠COD在∠AOB的内部时，若∠AOD＝98°，求∠BOC的度数；（2）如图2，当射线OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，试探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使∠EOC＝∠AOC，∠DOF＝∠BOD，求∠EOF的度数．【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠AOD＝98°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣98°＝22°，∵∠COD＝60°，∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝60°+22°＝82°；（2）∠AOD与∠BOC互补，理由：∵∠AOB+∠COD＝120°+60°＝180°，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠COD＝∠BOC+∠BOD，∴∠AOB+∠COD＝∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD＝∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOD与∠BOC互补；（3）设∠BOC＝n°，则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝60°+n°，∵∠AOE＝∠AOC，∴∠EOC＝∠AOC＝40°+n°．∵∠DOF＝∠BOD，∴∠DOF＝（60+n）＝20°+n°，∴∠COF＝∠COD﹣∠DOF＝40°﹣n°，∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝40°+n°+40°﹣n°＝80°．2．（长郡）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE，OF分别平分∠AOD，∠BOD．（1）如图1，当OA ，OC 重合时，∠EOF ＝度；（2）若将∠COD 从图1的位置绕点O 顺时针旋转，旋转角∠AOC ＝α，满足0°＜α＜90°且α≠40°．①如图2，用等式表示∠BOF 与∠COE 之间的数量关系，并说明理由；②在∠COD 旋转过程中，请用等式表示∠BOE 与∠COF 之间的数量关系，并直接写出答案．【解答】解：（1）∵OA ，OC 重合，∴∠AOD ＝∠COD ＝40°，∠BOD ＝∠AOB +∠COD ＝100°+40°＝140°，∵OE 平分∠AOD ，OF 平分∠BOD ，∴∠EOD ＝∠AOD ＝×40°＝20°，∠DOF ＝∠BOD ＝×140°＝70°，∴∠EOF ＝∠DOF ﹣∠EOD ＝70°﹣20°＝50°；（2）①∠BOF +∠COE ＝90°；理由如下：∵OE 平分∠AOD ，OF 平分∠BOD ，∴∠EOD ＝∠AOE ＝∠AOD ＝（40°+α）＝20°+α，∠BOF ＝∠BOD ＝（∠AOB +∠COD +α）＝（100°+40°+α）＝70°+α，∴∠COE ＝∠AOE ﹣∠AOC ＝20°+α﹣α＝20°﹣α，∴∠BOF +∠COE ＝70°+α+20°﹣α＝90°；②由①得：∠EOD ＝∠AOE ＝20°+α，∠DOF ＝∠BOF ＝70°+α，当∠AOC ＜40°时，如图2所示：∠COF ＝∠DOF ﹣∠COD ＝70°+α﹣40°＝30°+α，∠BOE ＝∠BOD ﹣∠EOD ＝2（70°+α）﹣（20°+α）＝120°+α，∴∠BOE ﹣∠COF ＝120°+α﹣（30°+α）＝90°，当40°＜∠AOC ＜90°时，如图3所示：∠COF ＝∠DOF +∠DOC ＝（360°﹣140°﹣α）+40°＝150°﹣α，∠BOE ＝∠BOD ﹣∠DOE ＝140°+α﹣（20°+α）＝120°+α，∴∠COF +∠BOE ＝150°﹣α+（120°+α）＝270°；综上所述，∠BOE，∠COF，∠AOC之间的数量关系为∠BOE﹣∠COF＝90°或∠COF+∠BOE＝270°．3．（明德）如图①，已知线段MN＝24cm，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点．（1）若AM＝8cm，AB＝2cm，求CD的长度；（2）若AB＝2acm，线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．（3）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC 和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．当∠AOB转动时，∠COD是否发生变化？∠AOB，∠COD和∠MON 三个角有怎样的数量关系，请说明理由．【解答】解：（1）①∵MN＝24cm，AB＝2cm，AM＝8cm，∴BN＝MN﹣AB﹣AM＝14（cm），∵点C和点D分别是AM，BN的中点，∴AC＝AM＝4cm，BD＝BN＝7cm．∴AC+BD＝11（cm）．∴CD＝AC+AB+BD＝11+2＝13（cm）．即CD的长为14cm．②不变，理由如下：∵点C和点D分别是AM，BN的中点，∴AC＝AM，BD＝BN，∴AC+BD＝AM+BN＝（AM+BN）．又∵MN＝24cm，AB＝2acm，∴AM+BN＝MN﹣AB＝24﹣2a（cm）．∴AC+BD＝（AM+BN）＝12﹣a（cm）．∴CD＝AC+AB+BD＝12﹣a+2a＝12+a（cm）．（2）∠COD＝（∠MON+AOB）．理由如下：∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，∴∠AOC ＝∠AOM ，∠BOD ＝∠BON ．∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOM +∠BON ＝（∠AOM +∠BON ）．∴∠COD ＝∠AOC +∠BOD +∠AOB ＝（∠AOM +∠BON ）+∠AOB ＝（∠MON ﹣∠AOB ）+∠AOB ＝（∠MON +AOB ）．4．（师大）若A 、O 、B 三点共线，∠BOC ＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O 处（注：∠DOE ＝90°，∠DEO ＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD 在射线OB 上，则∠COE ＝；（2）如图2，将三角板DOE 绕点O 逆时针方向旋转，若OE 恰好平分∠AOC ，则OD 所在射线是∠BOC 的；（3）如图3，将三角板DOE 绕点O 逆时针转动到使∠COD ＝∠AOE 时，求∠BOD 的度数；（4）将图1中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，OE 恰好与直线OC 重合，求t 的值．【解答】解：（1）∵∠DOE ＝90°，∠BOC ＝50°，∴∠COE ＝40°，故答案为40°；（2）∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE ＝∠COE ，∵∠COE +DOC ＝∠DOE ＝90°，∴∠AOE +∠DOB ＝90°，∴∠DOC ＝∠DOB ，∴DO 平分∠BOC ，∴DO 是∠BOC 的角平分线，故答案为：角平分线；（3）∵∠COD ＝∠AOE ，∠COD +∠DOE +∠AOE ＝130°，∴5∠COD ＝40°，∴∠COD ＝8°，∴∠BOD ＝58°；（4）当OE 与射线OC 的反向延长线重合时，5t +40＝180，∴t ＝28，当OE 与射线OC 重合时，5t ＝360﹣40，∴t ＝64，综上所述：t 的值为28或64．5．（雅礼）如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使130BOC ∠=︒。