高中数学第一章坐标系1.2极坐标系1.2.3-1.2.5课后训练北师大版选修4-4

1.2.1 极坐标系的概念1.了解极坐标系，理解极坐标的概念.(重点)2.能在极坐标系中用极坐标判定点的位置.(难点)3.能进行点坐标和极坐标的互化.(易错易混点)教材整理极坐标系与极坐标1.极坐标系的概念如图1­2­1所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系.图1­2­12.极坐标的概念对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ).特别地，当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值.3.点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R).和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)极轴是以极点为端点的一条射线.( )(2)极角θ的大小是唯一的.( )(3)点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6与点⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6是同一个点.( )【解析】 (1)√ 极轴是以极点为端点的一条射线.(2)× 因为极角是以极轴为始边，终边是过极点与目标点的射线，可正、可负，相差2k π.(3)× 因为极角不相差2π的整数倍，故不表示同一个点. 【答案】 (1)√ (2)× (3)×预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：设点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴、直线l 、极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,0<θ≤2π).【精彩点拨】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值.【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53π.关于直线l 的对称点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π. 关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3.四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上.1.点的极坐标不是唯一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.2.写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序.1.若使正六边形的一个顶点为极点且边长为a ，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的极坐标.【导学号：12990004】【解】 建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的极坐标为：A (0,0)，B (a,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，π3，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，π2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，23π.已知点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫6，3，分别在下列给定条件下，画出点A 关于极点O的对称点A ′的位置，并写出A ′的极坐标：(1)ρ＞0，－π＜θ≤π； (2)ρ＜0,0≤θ＜2π； (3)ρ＜0，－2π＜θ≤0.【精彩点拨】 本题以极坐标系中点的对称为载体，主要考查极坐标系中点的极坐标的确定，同时考查应用极坐标系解决问题的能力.【自主解答】 如图所示， |OA |＝|OA ′|＝6， ∠xOA ′＝2π3，∠xOA ＝5π3，即A 与A ′关于极点O 对称，由极坐标的定义知：(1)当ρ＞0，－π＜θ≤π时，A ′点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，2π3；(2)当ρ＜0,0≤θ＜2π时，A ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，5π3； (3)当ρ＜0，－2π＜θ≤0时，A ′点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－6，－π3.由极坐标确定点的位置的步骤： (1)取定极点O ；(2)作方向为水平向右的射线Ox 为极轴；(3)以极点O 为顶点，以极轴Ox 为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox 确定出极角的终边；(4)以极点O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置.2.在同一个极坐标系中，画出以下各点：A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，32π，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π4，D ⎝⎛⎭⎪⎫4，94π.【解】 如图所示.探究1【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM |，因此ρ≥0.但必要时，允许ρ＜0.探究2 为什么点的极坐标不唯一？能用三角函数的概念解释吗？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z ).某大学校园的部分平面示意图如图1­2­2所示.图1­2­2用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F 分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0)).【精彩点拨】 解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系，再求出各点的极径和极角，即可得出各点的极坐标.【自主解答】 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示.由|OB |＝600 m ，∠AOB ＝30°，∠OAB ＝90°，得 |AB |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ， 同样求得|OD |＝2|OF |＝3002m ， 所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫600，π6，C ⎝⎛⎭⎪⎫300，π2，D ⎝⎛⎭⎪⎫3002，3π4，E (300，π)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1502，3π4.在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在ρ＞0，θ∈3.在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2 ，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3. (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积.【解】 (1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3.∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ， ∴AB ＝BC ＝CA ， 故△ABC 为等边三角形.(2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝23，∴S △ABC ＝34×(23)2＝3 3.1.在极坐标系中与点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3表示同一点的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3C.⎝⎛⎭⎪⎫－2， 4π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π3 【解析】 在极坐标系中将点P 确定，再逐个验证知C 正确. 【答案】 C2.已知极坐标平面内的点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，－5π3，则P 关于极点的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－2π3 【解析】 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3关于极点的对称点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3.【答案】 D3.若A ⎝⎛⎭⎪⎫3，4π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π6，O 为极点，则△AOB 的面积为________.【解析】 S △AOB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×5×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π－π6＝154.【答案】1544.关于极坐标系的下列叙述： ①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0,0)； ③点(0,0)表示极点；④点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4与点N ⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4表示同一个点.其中，叙述正确的序号是________.【导学号：12990005】【解析】 设极点为O ，极轴就是射线Ox ，①正确；极点O 的极径ρ＝0，极角θ是任意实数，极点的极坐标应为(0，θ)，②错误；给定极坐标(0,0)，可以在极坐标平面内确定唯一的一点，即极点，③正确；点M 与点N 的极角分别是θ1＝π4，θ2＝5π4，二者的终边互为反向延长线，④错误.【答案】 ①③5.已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π).【解】 如图所示，由题意知|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |＝2，∠xOA ＝π4，∠xOB ＝3π4，∠xOC ＝5π4，∠xOD ＝7π4.∴正方形的顶点坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

一、选择题1．已知点P 的极坐标是1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A ．12ρ=B ．1cos 2ρθ=C ．12cos ρθ=-D ．2cos ρθ=-2．在极坐标系中，已知两点6,6A π⎛⎫⎪⎝⎭，26,3B π⎛⎫⎪⎝⎭，则A ，B 中点的极坐标为（ ）A ．56,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．512π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．512π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．512π⎛⎫ ⎪⎝⎭3．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C ρθ=，3:cos C ρθ=，若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，则线段||AB 的最大值为（ ）A B ．2C ．1D ．4．将点的直角坐标(2,-化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标是（ ）A ．24,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．54,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．3π⎛⎫⎪⎝⎭5．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=。

若射线3πθ=与曲线1C 和曲线2C 分别交于,A B 两点（除极点外），则AB 等于（ ）A 1B 1C ．1D 6．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2ρ的最大值为（ ） A ．72B ．4C ．92D ．57．在极坐标系中，点A 是曲线8sin ρθ=上一动点，以极点O 为中心，将点A 绕O 顺时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的极坐标方程为( ) A ．8cos ρθ= B ．8sin ρθ= C ．8cos ρθ=- D ．8sin ρθ=-8．直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的位置关系是（ ）． A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离9．在极坐标系中，圆心为π1,2⎛⎫⎪⎝⎭，且过极点的圆的方程是（ ）． A ．2sin ρθ=B ．2sin ρθ=-C ．2cos ρθ=D ．2cos ρθ=-10．在极坐标系中，过点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线的方程是（ ） A ．cos 3ρθ=B ．sin 3ρθ=C ．3cos ρθ=D ．3sin ρθ=11．在极坐标系中，两条曲线1πC :ρsin θ14⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C :ρ2=的交点为A,B ，则AB =（ ）A ．4B ．22C ．2D ．112．直线303x y -=的极坐标方程(限定0ρ≥)为 A ．6πθ= B ．76θπ=C ．6πθ=或76θπ=D ．56πθ=二、填空题13．已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点A 的极坐标为7(22,)4π，则点A 到直线l 的距离为____．14．圆C ：4sin ρθ=-上的动点P 到直线l ：πsin 24ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的最短距离为______． 15．直线θα=与cos()1ρθα-=的位置关系是________． 16．在极坐标系中，O 是极点，设点4,3A π⎛⎫⎪⎝⎭，55,6B π⎛⎫-⎪⎝⎭，则OAB ∆的面积是__________．17．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .18．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则线段AB 的长为__．19．将对数函数3log y x =图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线方程为______________．20．极坐标系中，0ρ≥，过点(1,0)且倾斜角为2π的射线的极坐标方程为_____________．三、解答题21．在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离.22．在平面直角坐标系中，已知点()3,0A ，点P 是圆221x y +=上的一个动点，且AOP ∠的平分线交PA 于点Q ，如图所示，求Q 点的轨迹的极坐标方程.23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：3x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程； （2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B 两点，且21AB =，求α的值.24．已知曲线1C 的参数方程为2cos 3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2,([0,],ραπα=∈为极角） （1）分别写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的参数方程；（2）已知M 为曲线1C 的上顶点，P 为曲线2C 上任意一点，求||PM 的最大值.25．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为24232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()223sin 12ρθ+=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且设定点()2,1P ，求11PA PB+的值． 26．在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=. （1）求直线的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线与曲线C 交于,A B 两点，P(1,2)-，求||PA PB ⋅.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】把极坐标化为直角坐标，求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程． 【详解】1,2P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴过P 且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为12x =-，其极坐标方程为1cos 2ρθ=-，即12cos ρθ=-．故选：C ． 【点睛】本题考查求直线的极坐标方程，解题时利用极坐标与直角坐标的互化求解．2．C解析：C 【分析】根据题意得出OM ，MOx ∠的值，即可得出其中点的极坐标. 【详解】如下图所示，取AB 的中点为M ，连接OM2362AOB BOx AOx πππ∠=∠-∠=-=，且AO BO =AOB ∆为等腰直角三角形22226662AB BO AO ∴=+=+=，322ABOM == 4AOM π∴∠=54612MOx MOA AOx πππ∴∠=∠+∠=+=即A ，B 中点的极坐标为532,12M π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：C【点睛】本题主要考查了极坐标的应用，属于中档题.3．B解析：B 【分析】首先将曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<转化为极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，再通过联立1C 与2C 得)3Aαα,，联立1C 与3C 得到()cos ,B αα，进而利用弦长公式和辅助角公式，结合三角函数的有界性即得结论． 【详解】曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，因此得到A 的极坐标为)3αα,，B 的极坐标为()cos ,αα． 所以3sin 2sin 3=AB πααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为2．故选：B ．【点睛】本题考查极坐标与参数方程，考查运算求解能力，涉及辅助角公式，注意解题方法的积累，属于中档题．4．A解析：A由P 点的直角坐标()2,23-，可得22,tan yx y xρθ=+=，再利用P 点在第二象限且极角在0到2π之间即可求. 【详解】解：∵点P 的直角坐标()2,23-，∴()()22222234x y ρ=+=-+=，23tan 32y x θ===--， 又点P 在第二象限，极角θ在0到2π之间，∴23πθ=．∴满足条件的点P 的极坐标为24,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】考查直角坐标和极坐标的互化. 极坐标概念：点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ.5．A解析：A 【分析】 把3πθ=分别代入2sin ρθ=和2cos ρθ=，求得,A B 的极经，进而求得AB ，得到答案． 【详解】 由题意，把3πθ=代入2sin ρθ=，可得2sin33A πρ==，把3πθ=代入2cos ρθ=，可得2cos13B πρ==，结合图象，可得31A B AB ρρ=-=-，故选A ．本题主要考查了简单的极坐标方程的应用，以及数形结合法的解题思想方法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】将223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=化成直角坐标方程，则2ρ的最大值为22x y + 的最大值。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第1章 坐标系 1.2 极坐标系学业分层测评 北师大版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】 曲线即x 2＋y 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2＋y 2＝4，得2x 2－2x －3＝0.这里Δ>0，故有2个公共点.【答案】 C2.椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ的长轴长和短轴长分别为( )A.3 2B.6 2C.3 4D.6 4【解析】 由方程可知a ＝3，b ＝2，∴2a ＝6,2b ＝4. 【答案】 D3.直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的位置关系是( )【导学号：12990026】A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但不过圆心【解析】 圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的普通方程为x 2＋y 2＝4，则圆心(0,0)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×0－4×0－9|32＋42＝95＜2， 又3×0－4×0－9＝－9≠0，故选D. 【答案】 D4.x ，y ∈R 且满足x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，则x －2y 的最大值是( ) A. 5 B.10 C.9D.5＋2 5【解析】 设⎩⎨⎧x ＝1＋5cos α，y ＝－2＋5sin α(α为参数)，则x －2y ＝1＋5cos α＋4－25sin α＝5sin(α－φ)＋5，故(x －2y )max ＝10. 【答案】 B5.下列双曲线中，与双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝tan φ(φ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 【解析】 将双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝tan φ(α为参数)化为普通方程为x 23－y 2＝1, 其渐近线方程为y ＝±33x ，离心率为e ＝233，经验证知B 正确. 【答案】 B 二、填空题6.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，那么它的参数方程为________. 【解析】 把ρ＝4cos θ化为x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝2.这里圆心为(2,0)，半径为2，所以它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)7.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为任意实数)的交点个数为________.【解析】 消参后，直线为x ＋y ＝1，曲线为圆x 2＋y 2＝9，圆心(0,0)到直线的距离为22，小于半径3，所以直线与圆相交，因此，交点个数为2.【答案】 28.对于任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝4sin φ(0≤φ＜2π)恒有公共点，则b 的取值范围是________.【解析】 椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝4sin φ可化为x 24＋y 216＝1.把y ＝x ＋b 代入得， 5x 2＋2bx ＋b 2－16＝0，Δ＝4b 2－20(b 2－16)≥0，解得－25≤b ≤2 5. 【答案】 －25，25] 三、解答题9.已知点M (x ，y )是圆x 2＋y 2＋2x ＝0上的动点，若4x ＋3y －a ≤0恒成立，求实数a 的取值范围.【解】 依题意，a ≥(4x ＋3y )max 即可. 由于圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝1， 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝sin θ(θ∈R ).于是点M 的坐标为(－1＋cos θ，sin θ)，∴4x ＋3y ＝－4＋4cos θ＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ). 其中，tan φ＝43，角φ的终边过点(3,4)，于是当sin θ＝35，cos θ＝45时，(4x ＋3y )max ＝1.此时，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，35.所以实数a 的取值范围是1，＋∞).10.如图2­2­7，求椭圆x 29＋y 24＝1的内接矩形中，面积最大的矩形的长和宽及其最大面积.图2­2­7【解】 已知椭圆x 29＋y 24＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，设P (x ，y )是椭圆上在第一象限内的一点，则P 点的坐标是P (3cos φ，2sin φ)， 内接矩形面积为S ＝4xy ＝4×3cos φ·2sin φ＝12sin 2φ.当sin 2φ＝1，即φ＝45°时，面积S 有最大值12， 这时x ＝3cos 45°＝322，y ＝2sin 45°＝ 2.故面积最大的内接矩形的长为32，宽为22，最大面积为12.能力提升]1.设P (x ，y )为椭圆(x －1)2＋2y23＝1上的一点，则x ＋y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－102，1＋102 B.R C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤102－1，102＋1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－62，1＋62 【解析】 设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝62sin α，则x ＋y ＝1＋cos α＋62sin α＝1＋102sin(α＋φ)， ∴1－102≤x ＋y ≤1＋102. 【答案】 A2.直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，该椭圆上点P 使得△PAB 的面积等于4，这样的点P 共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】 设椭圆上一点P 1的坐标为(4cos θ，3sin θ)，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，如图所示，则SP 1­AOB ＝S △OAP 1＋S △OBP 1＝12×4×3sin θ＋12×3×4cos θ＝6(sin θ＋cos θ)＝62sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.当θ＝π4时，SP 1­AOB 有最大值为6 2.所以S △ABP 1≤62－S △AOB ＝62－6<4.故在直线AB 的右上方不存在点P 使得△PAB 的面积等于4，又S △AOB ＝6>4，所以在直线AB 的左下方，存在2个点满足到直线AB 的距离为85，使得S △PAB ＝4.故椭圆上有两个点使得△PAB 的面积等于4. 【答案】 B3.设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程为________.【导学号：12990027】【解析】 把y ＝tx 代入圆的方程得x 2＋t 2x 2－4tx ＝0， 当x ＝0时，y ＝0.当x ≠0时，x ＝4t 1＋t 2，由y ＝tx 得y ＝4t21＋t 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数).【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)4.如图2­2­8，已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点.求证：|OP |·|OQ |为定值.图2­2­8【证明】 设M 点的坐标为(2cos φ，sin φ)(φ为参数)，B 1(0，－1)，B 2(0,1).则MB 1的方程为y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x .令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程为y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.因此|OP |·|OQ |＝4(定值).。

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1。

2极坐标系一、 学习目标及学法指导1．学习目标：了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化2．重、难、考点：点的极坐标，极坐标和直角坐标的互化 二、预习案预习教材6-9页并完成下列问题：1. 极坐标系的概念:（1） 在平面上取一定点O,由O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向），合称为一个____________。

O 点称为________，Ox 称为________.平面上任一点M 的位置可以由_____________和________________来刻画。

这两个数组成的有序数对_______称为点M 的__________。

ρ称为_________，θ称为__________。

（2） 在极坐标），（θρ中，一般限定_________.当0=ρ时，就与________重合,此时θ________。

给定点的极坐标_________,就________地确定了平面上的一个点。

但是,平面上一个点的极坐标并不是_________,它有_____________表示形式。

事实上，），（θρ和____________代表同一个点，其中k 为整数.由此可见，平面上的点与它的极坐标不是_________对应关系。