高中数学第1讲坐标系1.2极坐标系1.2.1极坐标系的概念1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化同步精练北师大版选修

- 1 - 2.2 点的极坐标与直角坐标的互化

1.了解极坐标系与直角坐标系的联系.

2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别.(易错易混点)

3.能进行极坐标和直角坐标的互化.(重点)

[基础·初探]

教材整理 极坐标与直角坐标的互化

1.互化的前提条件

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图1­2­3所示.

图1­2­3

2.互化公式

设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：

点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)

互化公式

 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ ρ2＝x2＋y2

tan θ＝yx(x≠0)

在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角.

把极坐标写成直角坐标，把直角坐标写成极坐标.

(1)2，π6________；(2)()1，3 ________； - 2 - (3)(0,2) ________；(4)4，－π3 ________.

【解析】 (1)x＝2cos π6＝3，y＝2sin π6＝1，∴直角坐标为(3，1).

(2)ρ＝1＋3＝2，tan θ＝3，∴θ＝π3，∴极坐标为2，π3.

(3)(0,2)在y轴上，∴ρ＝2，θ＝π2，∴极坐标为2，π2.

(4)x＝4cos－π3＝2，y＝4sin－π3＝－23.

∴直角坐标为(2，－23).

【答案】 (1)(3，1) (2)2，π3 (3)2，π2(4)(2，－23)

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

1

1.2.2极坐标与直角坐标互化(1课时)

武定民族中学 李秀洪

教学目标

1、掌握极坐标与直角坐标的互化公式，了解互化公式的三个前提及其使用方法．

2、能熟练进行点的极坐标与直角坐标的互相转化，会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的互相转化，初步掌握何时用直角坐标系、何时用极坐标系解决问题．

3、极坐标系作为解析几何的一种独持工具有其独到的功能，从中可进行同一问题，可以用不同工具和不同方法去研究，其解决问题的效率和效果也会有不同的思想方法教育．

教学重难点

1．重点：极坐标与直角坐标的互化公式及其使用方法，点与方程的极坐标与直角坐标的互化．

2．难点：极坐标方程化成直角坐标方程时，方程的等价性讨论．

教学分析：

（一）本课时教学内容的功能和地位：极坐标系是高中新教材人教A版选修4-4第一章

第二节的内容, 是在学生已经学习过平面直角坐标系的背景下，通过类比直角坐标系的研究方法让学生进行自主探究，完成直角坐标与极坐标的互化，为简单曲线的极坐标方程以及参数方程奠定基础。

（二）学生情况分析：授课班级为普通班，学生的能力比较差。通过前面对平面直角坐标系的学习，学生已经对坐标系有了一定的了解；极坐标的思想已经普遍地存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该容易接受。

活动设计

1．活动：思考、问题、议论、练习．

2．教具：尺规．

教学过程

一、知识回顾

1、极坐标系的建立： 2

在平面内取一个定点O，叫做

。引一条射线OX，叫做 。再选定一个长度单位和角度单位及

。（通常取

方向）。这样就建立了一个

。

2、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M，用  表示线段

的长度，用  表示从

 叫做点M的

第二节 平面直角坐标系和极坐标

为了需要，复习一下平面坐标系（直角坐标系和极坐标）

一 平面直角坐标系

1．平面直角坐标系的建立

为了确定平面上点的位置：

（1）在平面上选定两条互相垂直的直线，并指定正方向（用箭头表示）；

（2）以两直线的交点O作为原点；

（3）选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度；

这样，我们就说在平面上建立了一个直角坐标系（图1-2-1）

图1-2-1

这两条互相垂直的直线叫做坐标轴，习惯上把其中的一条放在水平的位置上，从左到右的方向是正方向，这条轴叫做横坐标轴，简称为横轴或x轴，与x轴垂直的一条叫做纵坐标轴，简称为纵轴或y轴，从下到上的方向是它的正方向。

2. 平面上点的坐标

建立了直角坐标系后，平面上的任意一点P的位置就可以确定了，方法是这样的：由P点分别作y轴和x轴的平行线，交点分别是M和N,设x轴上的有向线段OM的数量是a，y轴上有向线段ON的数量是b，我们称a是P点的横坐标，b是P点的纵坐标，写成形式（a，b），这样的一对有序实数（a，b）叫做P点的坐标。

反过来，易知任意一对实数（a，b），都可以确定平面上的一个点.

由上面的分析，可以得到下面的结论：在给定的直角坐标系下，对于平面上的任意一点P，我们可以得到唯一的有序实数对（a，b）来和它对应；反过来，对于任何有序实数对，在平面上就能确定唯一的点，这个点的坐标是（a，b）。就是说，平面上的点和有序实数对（a，b）之间建立了一一对应得关系。

我们在代数里已经知道坐标轴把平面分成了四个部分，每一部分是一个象限。根据数轴上有向线段的数量，可以理解第I象限内的点的坐标的符号是（+，+），第II象限内的是（—，+），

第III象限内的是（—，—），第IV象限内的是（+，—）。坐标轴上的点不属于任何象限，在x轴的正方向上的点，坐标的符号是（+，0）；负方向上的点的坐标符号是（—，0）。同理，

在y轴的正方向上的点，坐标的符号是（0，+）；负方向上的点的坐标符号是（0，—）。

极坐标运动学-概述说明以及解释

1.引言

1.1 概述

极坐标运动学是运动学的一个重要分支，它研究了极坐标系下物体的运动规律和运动属性。极坐标系是一种常用的坐标系，它通过极径和极角来描述物体的位置。相比直角坐标系，极坐标系在某些问题的描述上更加简洁和方便。

在极坐标系中，物体的位置由距离原点的极径和与一个参考方向之间的极角来表示。通过极径和极角的变化，我们可以得到物体在极坐标系中的位置变化情况以及速度、加速度等相关参数的变化规律。极坐标运动学正是研究这些问题的数学工具和方法。

本文将介绍极坐标运动学的基本概念和原理，并探讨其在实际应用中的重要性。我们将首先对极坐标系进行简单介绍，包括其定义、基本属性和运动规律。然后，我们将讨论极坐标运动学的基本概念，包括极坐标运动学方程和相关参数的表示方法。接着，我们将详细探讨极坐标运动学在各个领域中的具体应用，如机械工程、天文学、物理学等。最后，我们将展望极坐标运动学的发展趋势，并提出一些可能的研究方向和挑战。

通过对极坐标运动学的研究，我们可以更深入地了解物体在极坐标系中的运动规律和变化规律。这对于许多领域的研究和应用都具有重要意义，能够为相关领域的工程设计、数据分析和问题解决提供理论支持和实践指导。本文希望能够对读者对极坐标运动学有一个全面的了解，激发更多有关极坐标运动学的研究和探索。

1.2文章结构

1.2 文章结构

本文将按照以下结构进行论述极坐标运动学的相关内容：

1.2.1 简要介绍极坐标系概念：首先，我们将简单介绍什么是极坐标系以及它的基本特点。通过引入极坐标系的概念，我们能够更好地理解接下来要讨论的极坐标运动学概念。

1.2.2 论述极坐标运动学的基本概念：在本节中，我们将详细讨论极坐标运动学的基本概念和相关理论。包括描述极坐标下物体运动的方法、极坐标坐标系与直角坐标系的转换关系等。通过深入理解这些基本概念，我们能够为后续的应用和发展提供更坚实的基础。