2019-2020学年高中数学北师大版选修4-4教师用书：第1章 2 2.1 极坐标系的概念 Word版含答案

§2 极坐标系

2.1 极坐标系的概念

1.了解极坐标系，理解极坐标的概念.(重点)

2.能在极坐标系中用极坐标判定点的位置.(难点)

3.能进行点坐标和极坐标的互化.(易错易混点)

教材整理 极坐标系与极坐标

1.极坐标系的概念

如图1­2­1所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系.

图1­2­1

2.极坐标的概念

对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ).

特别地，当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值.

3.点与极坐标的关系

一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R).和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)极轴是以极点为端点的一条射线.( )

(2)极角θ的大小是唯一的.( )

(3)点3，π6与点3，5π6是同一个点.( )

【解析】 (1)√ 极轴是以极点为端点的一条射线. (2)× 因为极角是以极轴为始边，终边是过极点与目标点的射线，可正、可负，相差2kπ.

(3)× 因为极角不相差2π的整数倍，故不表示同一个点.

【答案】 (1)√ (2)× (3)×

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

根据点的位置确定点的极坐标

设点A2，π3，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴、直线l、极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,0

【精彩点拨】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值.

【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为B2，53π.

关于直线l的对称点为C2，23π.

关于极点O的对称点为D2，4π3.

四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上.

1.点的极坐标不是唯一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.

2.写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序.

1.若使正六边形的一个顶点为极点且边长为a，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的极坐标.

【导学号：12990004】

【解】 建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的极坐标为：

A(0,0)，B(a,0)，C3a，π6，D2a，π3，E3a，π2，Fa，23π.

极坐标确定点的位置

已知点A的极坐标是6，5π3，分别在下列给定条件下，画出点A关于极点O的对称点A′的位置，并写出A′的极坐标：

(1)ρ＞0，－π＜θ≤π；

(2)ρ＜0,0≤θ＜2π；

(3)ρ＜0，－2π＜θ≤0.

【精彩点拨】 本题以极坐标系中点的对称为载体，主要考查极坐标系中点的极坐标的确定，同时考查应用极坐标系解决问题的能力.

【自主解答】 如图所示，

|OA|＝|OA′|＝6，

∠xOA′＝2π3，

∠xOA＝5π3，即A与A′关于极点O对称，由极坐标的定义知：

(1)当ρ＞0，－π＜θ≤π时，A′点的坐标为6，2π3；

(2)当ρ＜0,0≤θ＜2π时，A′点的坐标为－6，5π3；

(3)当ρ＜0，－2π＜θ≤0时，A′点的坐标为－6，－π3.

由极坐标确定点的位置的步骤：

(1)取定极点O；

(2)作方向为水平向右的射线Ox为极轴；

(3)以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边；

(4)以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置.

2.在同一个极坐标系中，画出以下各点：

A1，π4，B2，32π，C3，－π4，D4，94π. 【解】 如图所示.

极坐标系的建立及应用

探究1 建立极坐标系需要哪几个要素？这几个要素间有什么关系？

【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|，因此ρ≥0.但必要时，允许ρ＜0.

探究2 为什么点的极坐标不唯一？能用三角函数的概念解释吗？

【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z).

某大学校园的部分平面示意图如图1­2­2所示.

图1­2­2

用点O，A，B，C，D，E，F分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0)).

【精彩点拨】 解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系，再求出各点的极径和极角，即可得出各点的极坐标.

【自主解答】 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示.

由|OB|＝600 m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得

|AB|＝300 m，|OA|＝3003 m，

同样求得|OD|＝2|OF|＝3002m，

所以各点的极坐标分别为 O(0,0)，A(3003，0)，B600，π6，C300，π2，

D3002，3π4，E(300，π)，F1502，3π4.

在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在ρ＞0，θ∈

3.在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A2 ，π3，B(2，π)，C2，5π3.

(1)判断△ABC的形状；

(2)求△ABC的面积.

【解】 (1)如图所示，由A2，π3，B(2，π)，C2，5π3得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，

∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝2π3.

∴△AOB≌△BOC≌△AOC，

∴AB＝BC＝CA，

故△ABC为等边三角形.

(2)由上述可知，AC＝2OAsin π3＝2×2×32＝23，

∴S△ABC＝34×(23)2＝33.

1.在极坐标系中与点P2，π3表示同一点的是( )

A.－2，π3 B.2，－π3

C.－2， 4π3 D.－2，－π3 【解析】 在极坐标系中将点P确定，再逐个验证知C正确.

【答案】 C

2.已知极坐标平面内的点P2，－5π3，则P关于极点的对称点的极坐标为( )

A.2，π3 B.2，－π3

C.2，2π3 D.2，－2π3

【解析】 点P2，－5π3关于极点的对称点的极坐标为2，－2π3.

【答案】 D

3.若A3，4π3，B5，π6，O为极点，则△AOB的面积为________.

【解析】 S△AOB＝12×3×5×sin43π－π6＝154.

【答案】 154

4.关于极坐标系的下列叙述：

①极轴是一条射线；

②极点的极坐标是(0,0)；

③点(0,0)表示极点；

④点M4，π4与点N4，5π4表示同一个点.

其中，叙述正确的序号是________.

【导学号：12990005】

【解析】 设极点为O，极轴就是射线Ox，①正确；极点O的极径ρ＝0，极角θ是任意实数，极点的极坐标应为(0，θ)，②错误；给定极坐标(0,0)，可以在极坐标平面内确定唯一的一点，即极点，③正确；点M与点N的极角分别是θ1＝π4，θ2＝5π4，二者的终边互为反向延长线，④错误.

【答案】 ①③

5.已知边长为2的正方形ABCD的中心在极点，且一组对边与极轴Ox平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π).

【解】 如图所示，由题意知|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝2，

∠xOA＝π4，∠xOB＝3π4，

∠xOC＝5π4，∠xOD＝7π4.

∴正方形的顶点坐标分别为A2，π4，B2，3π4，C2，5π4，D2，7π4.

我还有这些不足：

(1)

(2)

我的课下提升方案：

(1)

(2)