高中数学第1章坐标系1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化课件北师大版选修44

- 1 - 2.2 点的极坐标与直角坐标的互化

1.了解极坐标系与直角坐标系的联系.

2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别.(易错易混点)

3.能进行极坐标和直角坐标的互化.(重点)

[基础·初探]

教材整理 极坐标与直角坐标的互化

1.互化的前提条件

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图1­2­3所示.

图1­2­3

2.互化公式

设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：

点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)

互化公式

 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ ρ2＝x2＋y2

tan θ＝yx(x≠0)

在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角.

把极坐标写成直角坐标，把直角坐标写成极坐标.

(1)2，π6________；(2)()1，3 ________； - 2 - (3)(0,2) ________；(4)4，－π3 ________.

【解析】 (1)x＝2cos π6＝3，y＝2sin π6＝1，∴直角坐标为(3，1).

(2)ρ＝1＋3＝2，tan θ＝3，∴θ＝π3，∴极坐标为2，π3.

(3)(0,2)在y轴上，∴ρ＝2，θ＝π2，∴极坐标为2，π2.

(4)x＝4cos－π3＝2，y＝4sin－π3＝－23.

∴直角坐标为(2，－23).

【答案】 (1)(3，1) (2)2，π3 (3)2，π2(4)(2，－23)

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

平面直角坐标轴中的伸缩变换

练习

1一条抛物线经过平面直角坐标系中的伸缩变换后，其图形可能是( )．

A．直线 B．圆 C．抛物线 D．双曲线

2将一个圆作伸缩变换后，所得图形不可能是( )．

A．椭圆 B．比原来大的圆

C．比原来小的圆 D．双曲线

3在平面直角坐标系中，将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的2倍，则圆x2＋y2＝1进行伸缩变换后的图形是( )．

A．圆 B．椭圆

C．双曲线 D．抛物线

4在平面直角坐标系中，如果y轴上的单位长度变为x轴上单位长度的12倍，则一条线段经过变换后的图形是( )．

A．直线

B．射线

C．与原来长度相同的线段

D．比原来长度短的线段

5如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍，则方程x＋y＝－1的图形是__________．

6如图，在x轴上的单位长度是y轴上单位长度的两倍的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－8,0)，C(－4,0)，则△ABC的面积为__________．

7在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线22=1169xy的图形：

(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；

(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；

(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的12倍．

参考答案

1 答案：C 抛物线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后，图形的形状是不会发生变化的．

2 答案：D 将圆作伸缩变换，如果保持一轴不变，另一轴压缩或伸长都会出现椭圆的形状，故选项A正确．当两轴同时放大或缩小时，会得到比原来大或小的圆，故选项B，C正确，故选D.

3 答案：B

4 答案：D 通过作图可知答案．

5 答案：直线

6 答案：8

7 答案：解：(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，双曲线22=1169xy的图形如下：

《高中数学选修4-4》北师大版与人教A版不同点比较

章 小节及不同点 北师大版 人教A版

第一章 极坐标

§1.2课题提法不同 1.平面直角坐标轴中的伸缩变换

2.平面图形的伸缩变换归结成坐标轴的伸缩变换 1.平面直角坐标系中的伸缩变换

2.平面图形的伸缩变换归结成坐标的伸缩变换，归纳了坐标伸缩变换公式并举例应用：

)0(,)0(,//yyxx

§2.1极坐标系的概念的提法不同 极径ρ也允许取负值，并举例说明。 在定义中说：不作特殊说明时，我们认为ρ≥0.

第二章 参数方程 1.参数方程的体系安排不同 直线→圆→椭圆→双曲线（无抛物线） 圆→椭圆→双曲线→抛物线→直线

2.直线的参数方程 介绍定比分点公式 用例题介绍直线参数方程在圆和椭圆中的应用。

3.抛物线的参数方程 只在练习中出现抛物线的参数方程化普通方程。 抛物线的参数方程单独成一节，并且在练习中有抛物线的参数方程的简单应用。

4.参数方程与普通方程要求不同 只要求参数方程化成普通方程，并介绍代数法和利用三角恒等式消去参数 要求参数方程与普通方程互化。

5.课题提法不同 平摆线：一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线（或旋轮线） 摆线：不单独定义，结合图形来定义，叙述与北师大版相差无几。

黄骅新世纪中学数学导学案

1 §1.2极坐标和直角坐标的互化

课时安排：1课时；编写人：李崇博；审核人：田清明；电子打版：王建；编写时间：2017.2.17

教学目标：极坐标和直角坐标的互化

教学重点：极坐标和直角坐标的互化

教学难点：极坐标和直角坐标的综合应用

教学过程：

一、知识导读：

1.互化背景：把直角坐标系的原点作为________________，x轴的正半轴作为________________，并在两种坐标系中取相同的________________。

2.互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是),(yx，极坐标是),()0(，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表

点M

直角坐标

极坐标

互化公式 sincosyx

)0(tan222xxyyx

一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在象限取

最小正角。

二、例题讲解：

例1.将点M的极坐标)32,5(化成直角坐标。

变式1.分别把下列点的极坐标化为直角坐标。

（1）)32,2( （2）)2,4( （3）)2,6(

黄骅新世纪中学数学导学案

2 例2.将点M的直角坐标)1,3(化成极坐标。

变式2.将下列点的直角坐标化为极坐标)20,0(。

（1）)0,0( （2）)1,1( （3）)23,23(

例3.已知点M)34,1(

（1）若0，20，则M的极坐标为________________。

（2）若0，02，则M的极坐标为________________。

变式3.与极坐标)6,2(不表示同一点的极坐标是（ ）

A.)67,2( B.)67,2( C.)611,2( D.)613,2( 黄骅新世纪中学数学导学案

3 例4.在极坐标系中，极点为O，将点A)6,2(对应的向量OA绕极点O逆时针旋转2，得到向量OB，求向量OB的直角坐标。