高中数学第一章坐标系1.2极坐标系课件新人教B版选修4_

最新⼈教版⾼中数学选修4-4《极坐标系》教材梳理

庖丁巧解⽜

知识·巧学

⼀、极坐标系的概念1.在⽣活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等，经常⽤距离和⽅向来表⽰⼀点的位置.⽤距离和⽅向表⽰平⾯上⼀点的位置，就是极坐标.

极坐标系的建⽴：在平⾯内取⼀个定点O ，叫做极点.引⼀条射线Ox ，叫做极轴.再选定⼀个长度单位和⾓度正⽅向（通常取逆时针⽅向）.这样就建⽴了⼀个极坐标系.2.如图1-2-3，极坐标系内⼀点的极坐标的规定：对于平⾯上任意⼀点M ，⽤ρ表⽰线段OM 的长度，⽤θ表⽰从Ox 到OM 的⾓度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极⾓，有序数对(ρ,θ)就叫做M 的极坐标.

图1-2-3

深化升华 极点、极轴、长度单位、⾓度单位和它的正⽅向，构成了极坐标系的四要素，缺⼀不可.1.特别规定：当M 在极点时，它的极坐标ρ=0，θ可以取任意值.

2.平⾯上⼀点的极坐标是不唯⼀的，有⽆数种表⽰⽅法.坐标不唯⼀是由极⾓引起的.不同的极坐标可以写出统⼀表达式.

⼆、极坐标和直⾓坐标的互化1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直⾓坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.2.互化公式??

≠=+===.0,t an ,,sin ,co s 222x x y y x y x θρθρθρ在进⾏两种坐标间的互化时,应注意以下⼏点:①两套公式是在三条规定下得到的;②由直⾓坐标求极坐标时,理论上不是唯⼀的,但这⾥约定只在主值范围内求值;③由直⾓坐标⽅程化为极坐标⽅程,最后要化简;④由极坐标⽅程化为直⾓坐标⽅程时要注意变形的等价性,通常总要⽤ρ去乘⽅程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在是等价变形,否则,不是等价变形.

问题·探究

问题1 平⾯内建⽴直⾓坐标系是⼈们公认的最容易接受并且被经常采⽤的⽅法，但为什么它并不是确定点的位置的唯⼀⽅法，为什么要使⽤极坐标?

探究:确定平⾯内⼀个点的位置时，有时是依靠⽔平距离与垂直距离这两个量，有时却是依靠距离与⽅位⾓（即“长度”与“⾓度”，这就是极坐标系的基本思想）这两个量.在⽣活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，甚⾄更贴近⽣活的如⼈听声⾳，不但有⾼低之分,还有⽅向之分.描述⼀个⼈所⾛的⽅向和路程，经常会这样说：从A 点出发向北偏东60°⽅向⾛了⼀段距离到B 点，再从B 点向南偏西15°⽅向⾏⾛……描述某飞机的位置：飞⾏⾼度1 200⽶，从飞机上看地平⾯控制点B 的俯⾓α=16°31′……这种位置的刻画能够给⼈⼀个很直观的形象.

1 §1.2.（1、2）极坐标及其与直角坐标的关系

学习目标

1.通过具体实例引入确定点的位置的新形式，即极坐标。

2.能够建立极坐标系并描出系中点的位置，在极坐标系中观察一些对称点的坐标关系。

3.探究极坐标与直角坐标间的关系。

学习过程

【任务一】问题分析

问题1：一艘军舰在海面上巡逻，发现附近水域里有一片水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？

问题2：思考解决上述问题的关键因素是什么？

【任务二】新知理解

1.极坐标系：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条

，一个

及计算

的正方向（通常

），合称为一个

。

2.在下图极坐标系中，O点称为 ，Ox称为 。

3.图中点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度来刻画，这两个数组成的有序数对 称为点M的极坐标。其中称为 ，称为

。

【任务三】典型例题分析

例1：在同一个极坐标系中，画出以下点：

)62(，A )66(，B )321(，C )4(，D )05(，E )4(，F

注意：1.一般限定0。特别地：,00，

2.与直角坐标不同，给定点的极坐标),(，唯一确定平面上点，但是平面上点的极坐标并不唯一，比如例1中的 ,如何限定则除极点外一一对应？

例2：建立极坐标系描出点)22()63(，，，BA，分别求点A关于极轴，直线OB，极点的对称点的极坐标。

2

小结：点),(关于极轴的对称点是 ，关于某直线的对称点是 ，关于极点的对称点是 。

思考：极坐标系中，恒为1的点的集合构成什么样的曲线？恒为4的点呢？

【任务四】探究极坐标与直角坐标的关系

如图，在平面上取定一个极坐标系，一极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以2的射线作为y轴，以极点作为坐标原点，长度单位不变，建立直角坐标系。

二 极坐标系

温故知新

新知预习

1。用________与________确定平面上点的位置的坐标系,就是极坐标系.

2.如图，设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的________，记为________，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的________，记为________.有序数对________叫做点M的极坐标，记作M________。

3。极坐标与直角坐标的互化公式： ________________________;

________________________.

基础示例

1.点A的极坐标为（2，-π），它的直角坐标是________。

答案：（—2，0)

2.把点M的直角坐标（-3,—1)化成极坐标.

解:∵点M（-3，—1)在第三象限,

∴π〈θ<2π3是θ的最小正角取值范围，而ρ=,2)1()3(22

tanθ=,3331,在π〈θ〈2π3中有θ=6π7.

故点M的极坐标为(2，6π7）.

点评:把直角坐标化为极坐标时要先确定点所在的象限，然后再根据tanθ=xy的值确定θ角的大小。 3。把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴，并且在两种坐标系中取相同的长度单位。若曲线的极坐标方程是ρ2=,1cos412,则它的直角坐标方程是_______.

解析:原方程化为4ρ2cos2θ—ρ2=1.

∴4x2-x2-y2=1,即3x2—y2=1。

答案:3x2-y2=1

尊敬的读者：

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1.3简单曲线的极坐标方程

学习

目标 1．了解极坐标方程的定义.

2.会求圆和直线的极坐标方程.

3.掌握求曲线极坐标方程的基本步骤.

4.会进行曲线极坐标方程与直角坐标方程互化.

重点

难点 重点：会求圆和直线的极坐标方程

难点：掌握求曲线极坐标方程的基本步骤.

【相关知识点回顾】

问题1.诱导公式：

sin()_____；cos()_____ sin()_____2；cos()_____2

sin()_____2；cos()_____2

问题2：正弦定理：____________________

复习选修2-1 ,P34～P36内容，完成下列问题.

问题3.曲线与方程：一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点的坐标与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的____；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的_____，那么这个方程叫做____________，这条曲线叫做___________.

问题4：求曲线方程的步骤？ 关键的是哪个步骤？

问题5：直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？

问题6：极坐标与直角坐标的互化的条件及关系式？

【探究点一】圆的极坐标方程

问题7（学生完成）：按照问题2的方式方法，在平面直角坐标系中，求以点(,0)Ca为圆心，以a为半径的圆的方程

〖典例解析〗

例1（各组按照提示完成）：在极坐标系中，求以点(,0)Ca为圆心，以a为半径的圆的方程。

步骤1：作出图像：

步骤2：设圆上任意一点极坐标为(,)M：

步骤3：找到点M满足的几何条件并建立等式关系：

步骤4：将等式关系转化成极径与极角等式关系（表达成()f形式）：

【课题小结】通常借助三角形的边角关系建立极径和极角的关系式，若三角形为直角三角形，可借助勾股定理或直角三角形的边角关系建立动点的极坐标方程，若三角形为斜三角形，可借助正弦定理或余弦定理建立动点的极坐标方程（【探究点二】【课堂检测】练习3（3）会用到）。