逆位置的解法

求矩阵逆的方法
方法一，伴随矩阵法。

对于一个n阶矩阵A，如果其行列式不为0，那么A就是可逆的。

我们可以通过求解伴随矩阵来得到A的逆矩阵。

首先，我们计算A的伴随矩阵Adj(A)，然后用行列式的倒数乘以伴随矩阵即可得到A的逆矩阵。

方法二，初等变换法。

初等变换法是通过一系列的行变换将原矩阵变换为单位矩阵，然后将单位矩阵变换为A的逆矩阵。

这种方法在计算机求解中比较常见，可以通过高斯消元法来实现。

方法三，分块矩阵法。

对于某些特殊的矩阵，我们可以通过将其分解成若干个子矩阵，从而简化逆矩阵的求解过程。

例如，对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等都有相对简单的逆矩阵求解方法。

方法四，特征值分解法。

对于对称正定矩阵，我们可以通过其特征值和特征向量来求解其逆矩阵。

通过特征值分解和特征向量矩阵的转置，我们可以得到原矩阵的逆矩阵。

方法五，数值逼近法。

对于大型矩阵或者特殊结构的矩阵，有时候我们无法通过解析的方法求解其逆矩阵，这时可以通过数值逼近的方法来计算其逆矩阵。

例如，利用迭代法或者矩阵分解等方法来近似求解逆矩阵。

总结：
以上是几种常见的求解矩阵逆的方法，不同的方法适用于不同类型的矩阵。

在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来求解矩阵的逆，以便更好地解决实际问题。

希望本文能够对您有所帮助，谢谢阅读！。

16种孔明锁鲁班锁解法孔明锁，也称鲁班锁，是一种传统的智力玩具。

它由一系列相互关联的金属环组成，目标是将这些环分离开。

许多人对孔明锁着迷，并试图找到解法。

经过研究和实践，我们总结了以下16种孔明锁鲁班锁解法，供大家参考。

1. 棱台解法1.将孔明锁保持在垂直位置。

2.注意到孔明锁的形状类似一个棱台，我们可以利用这一特性来解开它。

3.从顶部逐步推开孔明锁上下两个环。

2. 倒置解法1.将孔明锁倒置，使底部朝上。

2.通过旋转和拉动环，逐步将其分离。

3. 合并解法1.将孔明锁中的两个环保持在一条线上。

2.逐渐合并其他环，将其分离。

4. 逆序解法1.确定孔明锁中环的排列顺序。

2.从最后一个环开始，逆向解开每个环。

5. 顺序解法1.确定孔明锁中环的排列顺序。

2.从第一个环开始，逐步解开每个环。

6. 对角线解法1.将孔明锁保持在平坦的表面上。

2.将孔明锁的左上和右下两个环分离。

7. 并列解法1.确定孔明锁中两个相邻的环。

2.逐渐将其他环与之并列，最后将其分离。

8. 交叉解法1.通过旋转和拉动，将孔明锁上下两条交叉的环逐步分离。

9. 旋转解法1.将孔明锁保持在垂直位置。

2.通过旋转和拉动环，逐步将其分离。

10. 弹跳解法1.将孔明锁保持在平坦的表面上。

2.通过轻轻地弹跳和晃动孔明锁，逐步将环分离。

11. 加压解法1.使用手指或其他工具，将孔明锁上下两个环压紧。

2.逐渐解开其他环，最后将其分离。

12. 扣压解法1.扣压孔明锁的两个环，固定它们不动。

2.逐渐解开其他环，最后将其分离。

13. 旋钮解法1.使用手指旋转孔明锁上的旋钮环。

2.通过旋转和拉动，逐步将其他环分离。

14. 夹紧解法1.使用手指夹紧孔明锁的两个环，固定它们不动。

2.逐渐解开其他环，最后将其分离。

15. 反方向解法1.确定孔明锁中两个方向相反的环。

2.逐步解开其他环，最后将其分离。

16. 侧挤解法1.将孔明锁保持在平坦的表面上。

2.从一侧用力挤压孔明锁，使环分离。

一前言串联机器人机构的正反解问题：对于单环空间机构来说，正解很容易，就是一连串矩阵的乘积．但是反解却相对困难，因为需要求解一个非线性多项式方程组的根．在20 世纪70—80 年代，该问题曾是一个研究的热点，特别是其中7R 机构的位移分析问题曾被喻为机构运动分析问题中的珠穆朗玛峰。

一方面，该问题解决后可以为空间机构的设计提供支持; 另一方面，该问题还是机器人作的一个必要前提．这 2 个问题从数学建模上来看是同一个模型，或者说一个问题解决了另一个就自然解决了．实际上，最早的机构分析与机器人的求解是各自在其领域中进行研究，其目的也不相同．机构分析是为了在机械设计完成后对机构的性能进行检查，看是否满足了设计要求．为了给出各种不同的设计方案，就不能仅限于设计平面四杆机构，也必须对更一般的平面机构和空间机构进行研究和分析．机器人的反解研究显得更为急迫，它是为了给机器人提供控制程序．例如很多工业机器人都是采用示教再现的工作方式，示教完成后，要根据关节参数求出手抓的末端位姿，即手抓的位置和姿态，这就是正解; 然后根据工作要求，规划手抓要经过的路径，根据路径再求出各关节的参数，这就是反解．所以，一个完整的工作过程既包括正解也包括反解．没有这个反解算法，机器人的控制就无法实现．对于串联机器人其正解很简单，就是一串矩阵的乘积．然而反解却相对复杂．所幸的是，一般的工业机器人都是设计成特殊尺寸，例如轴线相交或平行，这使得机器人的位置反解变得相对简单．一般情况下，工业机器人的反解都可以利用这些特殊尺寸求出其反解的解析式．但是设计者总希望有些技术储备不能仅限于设计生产这些特殊尺寸的机器人，任意尺寸机器人的反解也必须解决．例如德国某家公司经过相当一段时间的研究，开发出一款采用一系列锥齿轮和套筒组成的机器人，该机器人可以无限制地转动，非常灵活，但是却没有一般机器人所具有的球形手腕，也没有轴线平行等特殊尺寸．这种特点造成了其反解的复杂性，其复杂程度与尺寸任意的机器人几乎相同．国内的一些喷漆机器人情况类似，为了从手臂内部输送高压油漆，其轴线不再象普通工业机器人那样采用三线交于一点的球形手腕，其反解立刻变得与任意尺寸机器人相同．另外，一些海洋生物的腿，如螃蟹或龙虾的腿，也等同于一种尺寸任意的空间机器人，对它们进行深入研究，也应该能很好地解决其反解问题．串联机器人的反解经过20 世纪80 年代研究人员的努力，理论上已经得到解决，并且找到了具有全部实根的机构［9-11］采用的方法仍然是DH 矩阵建模或对偶矩阵建模，寻找合适的封闭方程，最后消元．此后很多类似的方法陆续出现，但主要是在消元法方面，建模方法基本没有变化．最近几年，建模方法有了一些改变，例如，可采用四元数、倍四元数( double quaternion)［12］对偶四元数的方法［13］重新进行求解．由于建模方法不同，消元过程也不相同，这使得某些方面变得困难而某些方面变得容易，从而可以适用于不同的场合．总之，该问题的不同建模与求解方法目前仍在研究中．二主题1一般机器人运动学求解方法1·1正解法机器人是由多个关节组成的,各关节之间的相对平移和旋转齐次变换可以用矩阵A表示。

轻松掌握魔方CFOP之F2LF2L（first 2 layers）是CFOP里面非常重要的部分，F2L是在完成底层十字后，把底层的角块和中层的棱块合在一起进行还原，熟练掌握F2L能显著提高魔方还原的速度，进20秒的关键就在这里了。

CFOP一共有119个公式，其中F2L有41个公式（57个OLL，21个PLL），F2L的公式还是蛮多的，这41个公式也只是基本情况，还有很多非标准的情况，所以抛开死记硬背吧，本文将带你理解每个公式里蕴含的内在原理，轻松掌握F2L。

F2L简单来说，就是把某个槽位的角块和棱块组合在一起形成棱角对，一次性地完成两个块的归位，这样原本需要8次才能分别完成的角块和棱块归位变成了4组棱角对的归位，当然就提高了速度。

这里把41个公式分成10种情况来一一进行讲解，公式和图片参考了“爱魔方”网站的相关资料，其中有部分公式比较难以理解，我换成了其它便于理解的公式。

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.I1I2T1T2基本的四种情况已经讲完了，这四种情况必须要非常熟练地掌握，因为其它的情况最终都是要转化成这四种基本情况。

PS：可以注意到这四种基本情况里，角块和棱块都是在顶层的，因此对于各种非标情况，比如棱块在不正确的槽位时，可以先把角块和棱块形成与基本情况一样的相对位置后进行还原，最终角块和棱块会形成四种基本情况之一，在顶层进行位置调整后再还原。

R1R2U1U2V1V2Q1Q2S1S2J1J2L1L2K1K2G1G2H1H2B1B2C1C2D1D2A0N1N2M1M2E1E2F1F2A1A2by 只想慢慢懂你22.11.19。

魔方教程公式魔方，又称魔方体，是一种由小立方体构成的立体拼图。

它的特点是可以在每个面上旋转，从而改变小立方体的位置，从而改变整个魔方的拼图。

魔方是一种很受欢迎的益智玩具，对于喜欢挑战和解谜的人来说，它提供了无尽的乐趣和刺激。

想要解开魔方，我们首先需要学习一些基本的公式和技巧。

下面是一些常见的魔方公式：1. 简单公式- R：顺时针旋转右面一次- L：逆时针旋转左面一次- U：顺时针旋转上面一次- D：逆时针旋转下面一次- F：顺时针旋转前面一次- B：逆时针旋转后面一次2. 2层公式- R2：顺时针旋转右面两次- L2：逆时针旋转左面两次- U2：顺时针旋转上面两次- D2：逆时针旋转下面两次- F2：顺时针旋转前面两次- B2：逆时针旋转后面两次3. 其他公式- R'：逆时针旋转右面一次- L'：顺时针旋转左面一次- U'：逆时针旋转上面一次- D'：顺时针旋转下面一次- F'：逆时针旋转前面一次- B'：顺时针旋转后面一次当我们掌握了这些基本公式后，就可以开始尝试解开魔方了。

具体的解法可以分为多种方法，比如CFOP法、Roux法等。

这里简单介绍CFOP法（也称弗里德里希法）：1. 底层十字：首先解决底层的十字，确保底层颜色对齐。

可以通过层叠和旋转公式来完成。

2. 底层角块：找到底层边角块的正确位置，并使用公式把它们放到正确的位置。

3. 中层边块：找到中层的边块正确的位置，并使用公式把它们放到正确的位置。

4. 顶层十字：利用公式，将顶层的边块放到正确的位置上，形成一个十字。

5. 顶层角块：找到顶层的角块正确的位置，并使用公式把它们放到正确的位置。

6. 顶层边块：找到顶层的边块正确的位置，并使用公式把它们放到正确的位置。

通过熟练掌握这些公式和解法，我们就可以解开魔方了。

不过，魔方的解法并不仅限于以上所述，还有许多其他的解法，每个人都可以根据自己的喜好和习惯选择适合自己的解法。

关于几种特殊矩阵的逆矩阵求法探讨逆矩阵是一个重要的概念，在线性代数中扮演着重要的角色。

它是指矩阵A的逆矩阵（简称A的逆）是一个矩阵B，满足AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

当矩阵存在逆矩阵时，称该矩阵是可逆的，也称为非奇异矩阵。

对于特殊的矩阵，其逆矩阵的求法有相应的特点和方法。

以下将讨论几种特殊矩阵的逆矩阵求法。

1.对角矩阵的逆矩阵求法:对角矩阵是指只有主对角线上有非零元素，其余元素都为零的矩阵。

对角矩阵的逆矩阵也是一个对角矩阵，其中每个对角元素都是原矩阵对应位置的倒数。

因此，若矩阵A是对角矩阵，则其逆矩阵A⁻¹也是一个对角矩阵，其中每个对角元素是A对应位置的倒数。

2.上三角矩阵的逆矩阵求法:上三角矩阵是指主对角线以下的元素全为零的矩阵。

上三角矩阵的逆矩阵也是一个上三角矩阵。

求上三角矩阵的逆矩阵的方法是通过不断地使用回代法求解。

假设矩阵A是一个n x n的上三角矩阵，其逆矩阵可表示为B=(b_ij)，其中b_ij是i≤j时对应位置的元素。

则通过回代法求解可得到逆矩阵B的各个元素。

具体求解过程如下：- 对于B的对角线上的元素b_ii，将A方程组的第i行的b_ii设为1，将剩下的未知数设为0，并求解该方程组。

- 对于B的第i行除去对角线上的元素b_ij，i<j≤n，将A方程组中的第i行的b_ij设为1，将剩下的未知数设为0，并求解该方程组。

-重复以上过程，直到求解出矩阵B的所有元素为止。

3.下三角矩阵的逆矩阵求法:下三角矩阵是指主对角线以上的元素全为零的矩阵。

下三角矩阵的逆矩阵也是一个下三角矩阵。

求下三角矩阵的逆矩阵的方法是通过不断地使用回代法求解。

假设矩阵A是一个n x n的下三角矩阵，其逆矩阵可表示为B=(b_ij)，其中b_ij是i≥j时对应位置的元素。

具体求解过程与上三角矩阵类似，只是方程组的解法不同。

4.奇异矩阵的逆矩阵求法:奇异矩阵是指行列式为零的方阵，即不可逆的矩阵。

因此，奇异矩阵不存在逆矩阵。

三自由度机械臂逆解matlab标题：深入理解三自由度机械臂逆解问题及其MATLAB实现引言：在现代工业生产中，机械臂作为一种灵活多变的工具，已经被广泛应用于各个领域。

其中，三自由度机械臂因其简单性和高效性而备受关注。

机械臂逆解问题是解决三自由度机械臂在给定末端位置时，如何计算出关节角度的重要挑战。

本文将深入探讨三自由度机械臂的逆解问题，并介绍如何使用MATLAB实现逆解计算，以帮助读者更全面、深入地理解这一主题。

第一部分：三自由度机械臂简介1.1 什么是三自由度机械臂三自由度机械臂由三个旋转关节连接而成，可以实现三个自由度的运动，即绕着三个不同轴向的旋转。

这种机械结构简单、紧凑，适合执行一些简单的三维定位任务。

1.2 三自由度机械臂的应用领域由于其机械结构简单且成本相对较低，三自由度机械臂广泛应用于装配、搬运、焊接等领域。

它不仅可以提高生产效率，还可以减轻人工劳动强度，有效降低了生产成本。

第二部分：三自由度机械臂逆解问题的原理和挑战2.1 逆解问题的定义在机器人学中，逆解问题是指已知末端执行器的位置和姿态，求解关节变量（关节角度）的过程。

对于三自由度机械臂而言，逆解问题即为给定末端位置和姿态，求解三个关节角度的过程。

2.2 逆解问题的挑战三自由度机械臂逆解问题由于其运动学复杂性而具有一定的挑战性。

三个关节的运动受彼此之间的约束，需要考虑运动的连续性和一致性。

机械臂的末端位置和姿态可能有多个解，需要考虑求解唯一解的方法。

第三部分：三自由度机械臂逆解的MATLAB实现3.1 基本解法介绍在MATLAB中，可以使用数值计算方法和符号计算方法实现三自由度机械臂的逆解计算。

数值计算方法适用于复杂的非线性问题，而符号计算方法则通过代数运算实现解析解求解。

3.2 数值计算方法实现逆解数值计算方法中，最常用的是数值优化算法，如牛顿法和梯度下降法。

这些方法通过迭代计算，逐步优化目标函数，最终得到逆解。

在MATLAB中，可以使用fmincon函数进行数值优化求解。

6轴机械臂逆解算法逆解算法是指通过已知机械臂的末端工具位置，计算对应的关节角度的过程。

在六轴机械臂中，通常使用解析解法或数值解法来求解逆解。

1. 解析解法：解析解法是基于数学模型的方法，通常采用几何方法或代数方法来求解逆解。

对于六轴机械臂，在已知末端工具位置的情况下，可以利用正运动学的几何关系和三角函数关系来求解关节角度。

(1) 设置机械臂的运动学模型，可以得到输入的位置向量[x,y,z]和姿态矩阵[R11,R12,...,R33]；(2) 根据机械臂的运动学模型，可以得到关节角度与位置和姿态之间的关系，即正运动学问题；(3) 根据已知的位置和姿态，可以通过三角函数等几何方法来求解出关节角度。

这种解析解法在理论上较为直观和简单，但是实际应用中可能会存在奇异点（奇异性）或者多解问题。

奇异点是指机械臂在某些位置或者姿态时，导致运动学模型无解或者解不唯一。

解决奇异点问题通常需要通过优化算法或者增加机械臂的自由度来处理。

2. 数值解法：数值解法是基于数值计算和迭代算法的方法，通过逼近和迭代的过程来求解逆解。

在数值解法中，通常使用优化算法或者迭代算法来计算逆解。

(1) 设置机械臂的运动学模型，并结合关节角度的约束条件；(2) 根据机械臂的运动学模型，可以得到关节角度与位置和姿态之间的关系，即正运动学问题；(3) 使用数值计算和迭代算法，通过逼近和调整关节角度的方法来求解逆运动学问题；(4) 优化算法和迭代算法的选择：可以使用梯度下降法、牛顿法、雅可比逆法等来求解逆解。

数值解法相对于解析解法更加通用和灵活，可以应用到各种机械臂的逆解求解中，但是计算效率可能较低，需要较多的迭代次数和计算量。

在实际应用中，逆解算法是机械臂控制和路径规划的关键步骤，可以实现机械臂在工作空间内的多样化运动和灵活性。

逆解算法的性能和精度对机械臂的控制、动作准确性和稳定性有很大的影响，因此需要根据具体应用场景和机械臂的特点选择合适的算法，提高机械臂的运动控制和规划能力。

小学数学方法总结使用逆运算进行简单方程的解法小学数学方法总结：使用逆运算进行简单方程的解法在小学数学学习中，解方程是一个重要的内容，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要环节。

解方程的一个基本原则是在等式两边进行相同的运算，以保持等式的平衡。

而其中使用逆运算的方法，可以帮助学生更快速地解决一些简单的方程问题。

通过本文，我将总结和介绍小学数学中使用逆运算进行简单方程求解的方法，帮助学生更好地掌握这一技巧。

一、逆运算的概念与基本原则在数学中，逆运算是指抵消某一运算的操作，使得经过逆运算后的结果与原始数值相等。

例如，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法。

在解方程的过程中，我们可以利用逆运算来消去或还原含有未知数的项，从而得到方程的解。

基本原则：对方程两边进行相同的逆运算，等号两边的值仍然相等。

二、使用逆运算解决加法和减法方程1. 加法方程加法方程是指方程中只含有加法运算符的方程，形如a + x = b。

解决加法方程的关键是使用减法的逆运算，将等式两边的值保持相等。

例如：问题：5 + x = 9解法：通过将等式两边都减去5，即x = 9 - 5，可得x = 4。

2. 减法方程减法方程是指方程中只含有减法运算符的方程，形如a - x = b。

解决减法方程的关键是使用加法的逆运算，将等式两边的值保持相等。

例如：问题：8 - x = 3解法：通过将等式两边都加上x，即8 = 3 + x，可得x = 8 - 3，x = 5。

三、使用逆运算解决乘法和除法方程1. 乘法方程乘法方程是指方程中只含有乘法运算符的方程，形如a * x = b。

解决乘法方程的关键是使用除法的逆运算，将等式两边的值保持相等。

例如：问题：4 * x = 20解法：通过将等式两边都除以4，即x = 20 ÷ 4，可得x = 5。

2. 除法方程除法方程是指方程中只含有除法运算符的方程，形如a ÷ x = b。

解决除法方程的关键是使用乘法的逆运算，将等式两边的值保持相等。

数字华容道解法的技巧第一种：首先，前三排，每排前三个数都按顺序从左往右放，后两个数要调整一下从右往左放。

最后两排是关键，建议先把左侧16、17上下放。

然后，再把18、19、20放在右侧排列好，剩下只要想办法把24放到18下面，基本就解决难题了。

再将23、22、21依次按顺序放在24左侧，基本就大功告成。

先对第一排，将1、2、3一个个移到目标位置，这一步不需要什么技巧，只管将三个数字-个一个移就行，其它数字不用管。

在移数字4时先移到目标位下面，将4同排左边的两个数字往右移1格,再将第一排的1、2、3三个数字整体逆时针往左退一格。

这时就可以把4移到右上角目标位，移好后将4左边的无关数字移走，把1、2、3整体顺时针往右回倒一格，这样第一排就对好了。

第二排与第一排同。

数字华容道最后一行技巧是先把上一排的按顺序往下转，上一排不要打乱，当把最后一排的数字转上一部分去时，找准顺序插下来，一直转到最后一排的顺序也是正确的，再复原就可以了。

数字华容道就是将数字，按顺序在格子中排列好。

第二种：数字华容道的基本解法思路和魔方解法差不多，一排一排排好，排列好后不要随意打乱，对好的数字整体移动。

具体教学步骤：第一排，将1、2、3一个个移到目标位置，其它数字不用管。

在移数字4时先移到目标位下面，这时发现4没办法下移到目标位，可以将4同排左边的两个数字往右移一格，再将第一排的1、2、3三个数字整体逆时针往左退一格，这时就可以把4移到右上角目标位了，移好后将4左边的无关数字移走，把1、2、3整体顺时针往右回倒一格，第一排就对好了。

第二排解法和第一排一样。

第三排，如果10在9的下面，需要把10藏到右边的四方格中，然后让9可以在左边的四方格自由移动，这时就可以把9移到10的左边。

这一步只看9和10，其它数字不用管。

对11，12，如果10、11在同一个四方格里，且11在10的下面，解法同上，可以先将9、10逆时针左移一格，将11移到右边四方格的左上位。

25个数字华容道解法华容道是一种古老的益智游戏，它的目标是将一组数字按照特定的规则移动，最终使得数字按照从小到大的顺序排列。

本文将介绍25个数字华容道的解法，帮助读者更好地理解和掌握这个游戏。

解法一：将数字1移动到最左上角，然后按照顺时针方向移动数字，直到数字25移到最右下角。

解法二：将数字25移动到最右下角，然后按照逆时针方向移动数字，直到数字1移到最左上角。

解法三：以数字12为中心，将数字1至9移动到左上角、左中、左下角位置，将数字13至21移动到右上角、右中、右下角位置，最后将数字10、11、22、23、24、25移动到中间位置。

解法四：将数字1至5移动到左上角位置，将数字6至10移动到右上角位置，将数字11至15移动到左下角位置，将数字16至20移动到右下角位置，最后将数字21至25移动到中间位置。

解法五：先将数字1至5移动到左上角位置，然后将数字6至10移动到右上角位置，再将数字11至15移动到右下角位置，最后将数字16至25移动到左下角位置。

解法六：以数字13为中心，将数字1至12移动到左上角、左中、左下角位置，将数字14至25移动到右上角、右中、右下角位置。

解法七：将数字1至9移动到左上角、左中、左下角位置，将数字10至18移动到右上角、右中、右下角位置，最后将数字19至25移动到中间位置。

解法八：将数字1至9移动到左上角位置，将数字10至18移动到右上角位置，将数字19至25移动到右下角位置，最后将数字10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25移动到中间位置。

解法九：将数字1至6移动到左上角位置，将数字7至12移动到右上角位置，将数字13至18移动到右下角位置，将数字19至24移动到左下角位置，最后将数字25移动到中间位置。

解法十：将数字1至6移动到左上角位置，将数字7至12移动到右上角位置，将数字13至18移动到右下角位置，将数字19至24移动到左下角位置，最后将数字25移动到中间位置。

逆序问题及其⼏种解法设A为⼀个有n个数字的序列，其中所有的数字各不相同。

如果存在正整数i和j，使得1≤i<j≤n且A[i]>A[j]，那么数对(A[i],A[j])就被称为A的⼀个逆序对，也称作逆序，逆序对的数量就是逆序数。

如下图所⽰，(A[2],A[4])就是⼀个逆序对。

分治法假设我们要统计数列A中逆序对的个数。

如图所⽰，我们可以将数列A分成两半得到数列B和数列C。

因此，数列A中所有的逆序对必属于下⾯三者其⼀：(1). i,j都属于数列B的逆序对(2). i,j都属于数列C的逆序对(3). i属于数列B⽽j属于数列C的逆序对所以，我们只需要分别统计这三种逆序对，然后再加起来就⾏了。

(1)和(2)可以通过递归求得，对于(3)，我们可以对数列C中的每个数字，统计在数列B中⽐它⼤的数字的个数，再把结果加起来即可。

因为每次分治时数列的长度都会减半，所以递归的深度是O(log n)，⽽每⼀层有O(n)个操作，因此算法的时间复杂度为O(n log n)。

class Solution {public:int reversePairs(vector<int>& nums) {int n = nums.size();if (n <= 1) return 0;auto mid = nums.begin() + n / 2;vector<int> left(nums.begin(), mid);vector<int> right(mid, nums.end());int cnt = 0;cnt += reversePairs(left);cnt += reversePairs(right);Processing math: 100%int nums_idx = 0;int left_idx = 0;int right_idx = 0;while (nums_idx < n) {if (left_idx < left.size() && (right_idx == right.size() || left[left_idx] <= right[right_idx])) {nums[nums_idx++] = left[left_idx++];} else {cnt += n / 2 - left_idx;nums[nums_idx++] = right[right_idx++];}}return cnt;}};树状数组我们构建⼀个值的范围是1∼n的树状数组，按照j=0,1,2,⋯,n−1进⾏如下操作：j−sum(A[j])add(A[j],1)对于每个j，树状数组查询得到的前A[j]项的和就是满⾜i<j,A[i]≤A[j]的i的个数。

机械臂运动学逆解（Analyticalsolution） 计算机器⼈运动学逆解⾸先要考虑可解性(solvability)，即考虑⽆解、多解等情况。

在机器⼈⼯作空间外的⽬标点显然是⽆解的。

对于多解的情况从下⾯的例⼦可以看出平⾯⼆杆机械臂（两个关节可以360°旋转）在⼯作空间内存在两个解： 如果逆运动学有多个解，那么控制程序在运⾏时就必须选择其中⼀个解，然后发给驱动器驱动机器⼈关节旋转或平移。

如何选择合适的解有许多不同的准则，其中⼀种⽐较合理的⽅法就是选择“最近”的解（the closest solution）。

如下图所⽰，如果机器⼈在A点，并期望运动到B点，合理的解是关节运动量最⼩的那⼀个（A good choice would be the solution that minimizes the amount that each joint is required to move）。

因此在不存在障碍物的情况下，上⾯的虚线构型会被选为逆解。

在计算逆解时我们可以考虑将当前位置作为输⼊参数，这样我们就可以选择关节空间中离当前位置最近的解。

这个“最近”有多种定义⽅式。

⽐如对于典型的6⾃由度关节型机器⼈来说，其前三个关节较⼤，后三个关节较⼩。

因此在定义关节空间内的距离远近时要考虑给不同关节赋予不同的权重，⽐如前三个关节设置⼤权重，后三个关节设置⼩权重。

那么在选择解的时候会优先考虑移动较⼩的关节⽽⾮移动⼤关节。

⽽当存在障碍物时，“最近”的解的运动路径会与其发⽣碰撞，这时就要选择另⼀个运动距离较远的解（"farther" solution）。

因此在考虑碰撞、路径规划等问题时我们需要计算出可能存在的全部解。

逆解个数取决于机器⼈关节数⽬（the number of joints）、机器⼈的构型（link parameters）以及关节运动范围(the allowable ranges of motion of the joints)。

五阶对棱公式五阶对棱公式是魔方解法中的一个重要公式，它被广泛应用于五阶魔方的还原过程中。

五阶对棱公式的作用是将魔方的棱块归位，使得魔方的外观变得完整和一致。

在五阶魔方中，有24个棱块，它们位于魔方的边缘位置，每个棱块都有两个颜色。

在还原五阶魔方的过程中，棱块的归位是一个关键步骤。

五阶对棱公式的作用就是将已经组合正确但位置不正确的棱块进行调整，使得它们回到正确的位置上。

五阶对棱公式的具体步骤如下：1. 找到两个位置不正确的相邻棱块。

这两个棱块的位置可以是同一个面上的，也可以是相邻的两个面上的。

2. 将这两个棱块分别标记为A和B，然后将魔方逆时针旋转90度，使得A位于顶面，B位于右面。

3. 以A为中心，从顶面开始顺时针旋转90度，将顶面与右面的最上面的棱块交换位置。

4. 然后再以B为中心，从右面开始逆时针旋转90度，将右面与顶面的最上面的棱块交换位置。

5. 接着以A为中心，再次从顶面开始顺时针旋转90度，将顶面与右面的最上面的棱块交换位置。

6. 最后，以B为中心，从右面开始逆时针旋转90度，将右面与顶面的最上面的棱块交换位置。

经过以上步骤，A和B两个棱块的位置就会被正确归位，完成了一次五阶对棱公式的应用。

根据需要，可以多次应用这个公式，直到所有的棱块都归位为止。

五阶对棱公式的原理是通过交换顶面和右面的最上面的棱块来实现棱块的归位。

这个公式的应用过程需要一定的技巧和经验，需要掌握一定的解法方法和手法。

除了五阶对棱公式外，魔方的还原过程中还有其他的公式和算法。

这些公式和算法的应用可以帮助解决魔方的各个步骤，使得还原过程更加高效和顺利。

在学习和应用五阶对棱公式时，需要注意以下几点：1. 熟练掌握公式的步骤和操作方法，确保正确应用公式。

2. 注意观察棱块的位置和颜色，准确判断哪些棱块需要应用对棱公式。

3. 注意旋转魔方的方向和角度，确保每一步操作的准确性。

4. 在应用公式时，可以使用一些记忆技巧和方法，提高效率和准确性。

前言本解法使用許多3階魔方的初學者公式，建議最好先熟悉3階魔方後再學習5階魔方的解法。

5階魔方有時可視為3階魔方來轉，而有以下二種想法：3階魔方I 3階魔方II本解法的流程為：1. 第一層2. 第二、三層3. 第四、五層在閱讀解法之前，請先看一下以下關於旋轉各面的代號：對於每一個小面，本解法用以下的代號來指稱：邊：Edge (Ed) 翼：Wing (W) 角：Corner (Co)叉：Cross (Cr) 點：Point (P)心：Center (C)解法1.第一層一些说明：只要是点块，就不管它是在什么位置的。

在解第一層時，同時要將「第一面」和「第一圈」轉正確。

解法不難，以3階魔方的經驗為基礎即可輕易解決。

基本思路：做一个2×2的底面。

在侧面或顶面找点块为底面色的。

但是要注意还原的位置。

在侧面比较简单，假如还原后是在r’和f’（注意是小写）的交点处，则旋转r u’（或是u’。

根据底面色块在左右的哪边决定）r’即可。

这个和三阶是一致的。

其中，底面色块在u’层上。

如果在顶层，则稍微麻烦点。

但同样和三阶还原角块方法一致。

将底色块旋转到底面需要补充的正上方，然后r’ u2 r’ u’即成为上面那种情况。

这部分的快速判断准则：将底面空白的地方放在f’面。

相应的底色块放在R面或L面，并且与f’面相接的地方。

具体，如果底面空白是在左边，则放L面。

之后就先旋转l 面。

l’ u’ l。

在R，则r u r’。

和三阶还原角块一致。

之后将其做成除角块外其他全部还原的情况。

这部分还原和做2×2底面是完全类似的。

其区别仅在于，转动的面都改为大写的字母即可。

最后还原角块，完全和三阶一样。

2. 第二層2.1 第二層的W2.2. 第二層的P3. 第三、四層3.1. 第四層的Co的位置即将四个角完全对位。

这里完全可以用三阶的公式。

角块的还原，一般是先顶色全部上翻，然后再归位。

在本步驟中，先不要管第五層四個角的「方向」，以本文件為例即不要管藍色那面是否在頂面，只要管四個角所屬的小方塊是否在正確的位置即可。