高考数学总复习 12-1几何证明选讲 新人教B版

选修4-1 几何证明选修4-4 坐标系与参数方程选修4-5 不等式选讲每章节主要内容：必修1 集合1．如何区分φ、{φ}、0、{()；}？2．集合的运算有哪些常用性质与结论？3．对应、映射、函数有何关系？必修1 函数4．求函数解析式有哪些常用方法？5．判断函数单调性有哪些常用方法？6．函数的单调性有哪些应用？7．判断函数奇偶性要注意什么？判断函数奇偶性常用的方法有哪些？8．函数的奇偶性有哪些性质？9．函数一定存在反函数么？什么样的函数存在反函数？10．如何求二次函数在区间上的最值？11．函数的零点是函数的图像与x轴的交点吗？它与方程的根有何关系？12．分数指数幂与根式有何关系？13．指数式ab=N与对数式logoN中，a，6，N三者之间有何关系？14．指数函数、对数函数有哪些常见问题？必修2 直线和圆的方程20．直线的倾斜角和斜率有何关系？21．直线方程的五种形式有哪些限制条件？22．两直线平行、垂直的等价条件是什么？23．什么是直线系？常见的直线系有哪些？有何应用？24．平面解析几何中常用的对称公式有哪些？25．求圆的方程常用的方法有哪些？26．直线与圆有几种位置关系？如何判断？27．圆与圆有几种位置关系？如何判定？28．会写出过两圆交点的圆系方程吗？它有何应用？必修3 算法29．算法有哪些特征？它的描述方法有哪些？30．画程序框图有什么规则？31．算法有几种基本的逻辑结构？共同点是什么？如何用框图表示？32．基本的算法语句有哪几种？如何使用？必修3 统计——抽样33．简单随机抽样有什么特点？它有哪些具体的方法？34．系统抽样有什么特点？当总体容量不能被样本容量整除时怎么办？35．分层抽样、简单随机抽样、系统抽样有什么共同点和不同点？必修3 统计——样本分布36．样本频率分布直方图与总体密度曲线有何关系？37．什么是众数、中位数、平均数？这些数字特征在反映总体时有哪些优缺点？38．方差和标准差在反映总体时有什么意义？必修3 概率39．频率和概率有何关系？40．互斥事件与对立事件有何关系？如何判断互斥事件与对立事件？15．幂函数的图像有哪几种形式？有哪些性质？必修2 立体几何16．如何证明线线、线面、面面之间的平行和垂直？17．四面体中有哪些常见的数量关系和位置关系？18．立体几何中分割与补形有哪些常见技巧？19．经度、纬度分别指的是什么角？如何求两点间的球面距离？必修2 直线和圆的方程20．直线的倾斜角和斜率有何关系？21．直线方程的五种形式有哪些限制条件？22．两直线平行、垂直的等价条件是什么？23．什么是直线系？常见的直线系有哪些？有何应用？24．平面解析几何中常用的对称公式有哪些？25．求圆的方程常用的方法有哪些？26．直线与圆有几种位置关系？如何判断？27．圆与圆有几种位置关系？如何判定？28．会写出过两圆交点的圆系方程吗？它有何应用？必修3 算法29．算法有哪些特征？它的描述方法有哪些？30．画程序框图有什么规则？31．算法有几种基本的逻辑结构？共同点是什么？如何用框图表示？32．基本的算法语句有哪几种？如何使用？必修3统计——抽样33．简单随机抽样有什么特点？它有哪些具体的方法？34．系统抽样有什么特点？当总体容量不能被样本容量整除时怎么办？35．分层抽样、简单随机抽样、系统抽样有什么共同点和不同点？必修3统计——样本分布36．样本频率分布直方图与总体密度曲线有何关系？37．什么是众数、中位数、平均数？这些数字特征在反映总体时有哪些优缺点？38．方差和标准差在反映总体时有什么意义？必修3 概率39．频率和概率有何关系？40．互斥事件与对立事件有何关系？如何判断互斥事件与对立事件？……必修4 三角函数必修4 平面向量必修5 解三角形必修5 数列必修5 不等式选修2-1（选修1-1）简单逻辑选修2-1（选修1-1）圆锥曲线选修2-1 空间向量、角度及距离选修2-2 导数、微积分定理选修2-2（选修1-2）推理与证明复数选修2-3 排列组合、二项式定理、数据分布选修4-1 几何证明选修4-4 坐标系与参数方程选修4-5 不等式选讲。

第十二章系列4选讲考试内容等级要求矩阵的概念 A二阶矩阵与平面向量 B常见的平面变换 A变换的复合与矩阵的乘法 B二阶逆矩阵 B二阶矩阵的特征值与特征向量 B二阶矩阵的简单应用 B坐标系的有关概念 A简单图形的极坐标方程 B极坐标方程与直角坐标方程的互化 B参数方程 B直线、圆及椭圆的参数方程 B参数方程与普通方程的互化 B参数方程的简单应用 B不等式的基本性质 B含有绝对值的不等式的求解 B不等式的证明(比较法、综合法、分析法) B算术—几何平均不等式与柯西不等式 A利用不等式求最大(小)值 B运用数学归纳法证明不等式 B§12.1矩阵与变换考情考向分析矩阵命题出自三个方向：一是变换的复合与矩阵的乘法，通过研究曲线上任意一点的变换可以得出曲线的变换．二是逆变换与逆矩阵，主要由点或曲线的变换用待定系数法求矩阵或逆矩阵．三是特征值与特征向量．属于低档题．1．乘法规则 (1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则：[a 11a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 12a 21a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11 a 12a 21a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11 a 12a 21a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律． 即(AB )C ＝A (BC )，AB ≠BA ，由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C .一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．常见的平面变换(1)恒等变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 001； (2)伸压变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12；(3)反射变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100－1； (4)旋转变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos θ－sin θsin θcos θ，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1000，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 010； (6)切变变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1k 01(k ∈R ，且k ≠0)． 3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.4．特征值与特征向量设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量． 5．特征多项式 设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ，称为A 的特征多项式．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .( √ )(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 02 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 021＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3－1 61.( √ )(3)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则(AB )－1＝B －1A －1.( × )(4)矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3652的特征值为8和－3.( √ ) 题组二 教材改编 2．[P52例3]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345，则A 的逆矩阵A －1＝________. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1解析 因为det(A )＝2×5－3×4＝－2，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 3242－22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.3．[P11习题T7]已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a 21，其中a ∈R .若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，实数a 的值为________． 答案 3 解析由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a 2 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4，解得a ＝3.4．[P39例1(1)]已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212，求AB . 解AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 00 0. 题组三 易错自纠5．A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 01，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－110，则AB 的逆矩阵为________．答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0 解析 ∵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1，B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0， ∴(AB )－1＝B －1A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 110. 6．设椭圆的方程为x 2＋y 2a ＝1，若它在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012对应的伸压变换下变为一个圆，则实数a ＝________. 答案 4解析 设P (x ，y )为椭圆上任意一点，变换后为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 12y，所以x ＝x ′，y ＝2y ′，代入椭圆的方程，得x ′2＋4y ′2a＝1.因为它表示圆，所以a ＝4.7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 02，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120 6，求矩阵A －1B . 解 设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 1， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 题型一 矩阵与变换1．已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a b1所对应的变换将直线x－y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a b1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)在直线x ＋2y ＝1上，所以(2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.2．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在矩阵M 变换作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求直线l 的方程．解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234. (2)设直线l 上任意一点P (x ，y )，在矩阵M 的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ， 且m ：x ′－y ′＝4，所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4， 整理得x ＋y ＋2＝0，所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.思维升华已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解． 题型二 求逆矩阵例1已知矩阵det(A )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1. (1)求A 的逆矩阵A －1； (2)求矩阵C ，使得AC ＝B .解 (1)因为|A |＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－4222＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－2 1.(2)由AC ＝B 得(A －1A )C ＝A －1B ，故C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－2 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 2－2 －3.思维升华求逆矩阵的方法 (1)待定系数法 设A是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，AB ＝BA ＝E ；(2)公式法|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ≠0，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |. 跟踪训练1已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤22 1220212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤114012.∴AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20－2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540－1.题型三 特征值与特征向量例2已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 11 2. (1)求矩阵A ；(2)求矩阵A －1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 解 (1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵，且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －13－1323. (2)矩阵A －1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (λ)＝0，得矩阵A －1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．思维升华已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，求特征值和特征向量的步骤 (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ；(2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－ax －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应特征的向量．跟踪训练2(2018·无锡期末)已知变换T 将平面内的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0,1)分别变换成点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M .(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 94－2，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－324， 得a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －32－4 4. (2)设矩阵M 的特征多项式为f (λ)，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 32 4 λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6 ＝λ2－7λ＋6.令f (λ)＝0，则λ1＝1，λ2＝6.1．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1562，求A 的特征值． 解 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 故A 的特征值为7和－4.2．(2018·南通、泰州模拟)设矩阵A 满足：A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－2 03，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 方法一 设矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b cd ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3， 所以a ＝－1,2a ＋6b ＝－2，c ＝0,2c ＋6d ＝3. 解得b ＝0，d ＝12，所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 012. 根据逆矩阵公式得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2. 方法二在A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3两边同时左乘逆矩阵A －1， 得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 设A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3， 所以－a ＝1，－2a ＋3b ＝2，－c ＝0，－2c ＋3d ＝6. 解得a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝2，从而A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2. 3．(2019·徐州模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2101，向量b ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 2.求向量a ，使得A 2a ＝b . 解 A2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 30 1， 设a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，由A2a ＝b ，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4301 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝10，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12.4．(2018·宿迁期中)已知变换T 把直角坐标平面上的点A (3，－4)，B (0,5)分别变换成点A ′(2，－1)，B ′(－1,2)，求变换T 对应的二阶矩阵M . 解设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－1， 且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤05＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，3c －4d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧5b ＝－1，5d ＝2.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝25，b ＝－15，c ＝15，d ＝25，所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －151525. 5．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1201的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．解 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .因为P ′是曲线C 1上的点，所以C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1. 6．(2015·江苏)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x1y0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值． 解 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11 20. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.7．求曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．解 设点(x 0，y 0)为曲线|x |＋|y |＝1上的任一点，在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13对应的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)， 则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 0，y ′＝13y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′，y 0＝3y ′，所以曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线为|x |＋3|y |＝1，所以围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝23.8．(2018·江苏省丰县中学质检)在平面直角坐标系xOy 中，A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)，设k ≠0，k ∈R ，M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0，点A ，B ，C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1，B 1，C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值． 解由题设得MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k001⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 k 10， 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2 －20 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 0 k 0 －2 －2， 可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2，即k ＝±2.9．(2018·高邮考试)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1a1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(0，－3)． (1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 解(1)∵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1a1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－3， ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0a ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－3，∴a ＝－4. (2)∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －1－41，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝λ2－2λ－3. 令f (λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3， 对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，4x －2y ＝0，得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，因此α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量．对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，4x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，因此α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．∴矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3， 属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2.10．设a >0，b >0，若矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a00b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1.(1)求a ，b 的值；(2)求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 (1)设点P (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点， 经过矩阵A 变换后对应点为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝by ，因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上，所以a 2x 24＋b 2y 23＝1，这个方程即为圆C 方程，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，又因为a >0，b >0，所以a ＝2，b ＝ 3.(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 003，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 33. 11．(2017·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2. (1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程． 解(1)因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 2， 所以AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤021 0.(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为点P (x ，y )，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 21 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.12．(2018·江苏省镇江中学质检)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；(3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝8⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两个方程组，解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6 244. (2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2. 设矩阵M 的特征值λ＝2对应的一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 解得2x ＋y ＝0.(3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换作用下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤624 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋2y ＝x ′，4x ＋4y ＝y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程化简，得x ′－y ′＋2＝0， 即x －y ＋2＝0.。

高考数学一轮总复习 121几何证明选讲课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．两个相似三角形，面积分别为16cm 2和49cm 2，它们的周长相差6cm ，则较大三角形的周长为( )A ．21cmB ．2cmC ．14cm D.9811cm [答案] C[解析] 由相似三角形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比知，周长之比为：4916＝74，设周长分别为7x 和4x ，则7x －4x ＝6，∴x ＝2， ∴较大三角形的周长为14cm.2．(文)如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE与四边形DBCE 的面积比是( )A.23B.25C.45D.49 [答案] C[解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE △ABC ， ∴S △ADE S △ABC＝⎝⎛⎭⎫AD AB 2， ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE ＝49S △ABC ， ∴S 四边形DEBC ＝59S △ABC ，∴S △ADES 四边形DBCE ＝45，故选C. (理)如图所示，在▱ABCD 中，BC ＝24，E 、F 为BD 的三等分点，直线AE 交BC 于M ，直线MF 交AD 于N ，则BM －DN ＝( )A ．6B ．3C ．2D ．4 [答案] A[解析] 连CF 交AD 于P ，∵E 、F 为BD 的三等分点，四边形为平行四边形， ∴△ABE ≌△CDF ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝∠PFB ， ∴AM ∥CP ，∴M 为BC 的中点，∵∠FBM ＝∠FDN ，∠BFM ＝∠DFN ，∴△BFM ∽△DFN ， ∴BM DN ＝BF DF ＝2，∴DN ＝14BC ＝6. 3．(文)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( )A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D[解析] 由切割线定理知：PN2＝NB·NA＝MN·NQ＝3×15＝45，∴PN＝3 5.(理)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交⊙O于Q，若∠BTC＝120°，AB＝4，则PQ·PB＝()A．2 B．3 C. 3 D．2 3[答案] B[解析]连接OC、AC，则OC⊥PC，则O、C、T、B四点共圆，∵∠BTC＝120°，∴∠COB＝60°，故∠AOC＝120°.由AO＝OC＝2知AC＝23，在Rt△APC中，∠AOC＝60°，∠ACP＝12因此PC＝ 3.根据切割线定理得PQ·PB＝PC2＝3.二、填空题4.(2013·广州联考)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝5DB ，设∠OCD ＝θ，则cos2θ＝________.[答案] 19[解析] 设BD ＝1，则AD ＝5，∴OC ＝12AB ＝12(AD ＋DB )＝3，∴OD ＝OB －BD ＝2，∴sin θ＝OD OC ＝23， ∴cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×(23)2＝19.5．(文)如图是某高速公路一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB ＝10m ，净高CD ＝7m ，则此圆的半径OA ＝________m.[答案]377[解析] 设⊙O 的半径为R ，则在Rt △OAD 中，OA 2＝OD 2＋AD 2，即R 2＝(102)2＋(7－R )2，解得R ＝377m.(理)(2012·陕西理，15B)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.[答案] 5[解析]由三角形相似可得DE2＝DF·DB，连结AD，则DE2＝AE·EB＝1×5＝5，所以DF·DB＝5.[点评]平面几何中的证明或计算要巧作辅助线，尤其在线段长度计算时，一般将相关线段归结到三角形中解决，若在圆中求解，切割线定理和相交弦定理是计算中沟通条件和结论的桥梁．6．(文)(2013·广东)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.[答案]2 3[解析]连接OC，则OC⊥CE，∠OCA＋∠ACE＝90°，∵∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＋∠ACE＝90°.易知Rt△ACB≌Rt△ACD，则∠OAC＝∠EAC.∴∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，在Rt△ACD中，由射影定理得：CD2＝ED·AD①，又CD＝BC，AD＝AB，将AB＝6，ED＝2代入①式，得CD＝12＝23，∴BC＝2 3.(理)(2013·湖北)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．[答案] 8[解析] 连接AC 、BC ，则AC ⊥BC .∵AB ＝3AD ，∴AD ＝13AB ，BD ＝23AB ，OD ＝16AB .又AB 是圆O 的直径，OC 是圆O 的半径，∴OC ＝12AB .在△ABC 中，根据射影定理有：CD 2＝AD ·BD ＝29AB 2.在△OCD 中，根据射影定理有：OD 2＝OE ·OC ，CD 2＝CE ·OC ，可得OE ＝118AB ，CE ＝49AB ，∴CEEO＝8. 7．(文)(2012·湖南理，11)如下图，过点P 的直线与⊙O 相交于A 、B 两点．若P A ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于________．[答案]6[解析] 设圆半径为r ，由割线定理：P A ·PB ＝(3－r )·(3＋r )， 即1×3＝9－r 2，r 2＝6，∴r ＝ 6.(理)如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线P A 和割线PBC ，已知P A ＝22，PC ＝4，圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为________．[答案] 2[解析] 设圆O 的半径为R .依题意得P A 2＝PB ·PC ， ∴PB ＝P A 2PC ＝2，BC ＝PC －PB ＝2，∴R ＝(12BC )2＋(3)2＝2，即圆O 的半径为2. 8.(2013·湖南)如图，在半径为7的⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________．[答案]32[解析] 由相交弦定理得AP ·PB ＝DP ·PC ，从而PC ＝AP ·PBDP ＝4，所以DC ＝5，所以圆心O 到弦CD 的距离等于(7)2－(52)2＝32.9.如图，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝23a ，∠OAP ＝30°，则CP ＝________.[答案]9a8[解析] 因为点P 是AB 的中点，由垂径定理知，OP ⊥AB .在Rt △OP A 中，BP ＝AP ＝a cos30°＝32a .由相交弦定理知，BP ·AP ＝CP ·DP ，即32a ·32a ＝CP ·23a ，所以CP ＝98a . 三、解答题10．(2013·长春第二次调研)如图，过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交于B ，C 两点，且AB ＝13AC ，作直线AF 与圆E 相切于点F ，连接EF 交BC 于点D ，已知圆E 的半径为2，∠EBC ＝30°.(1)求AF 的长； (2)求证：AD ＝3ED .[解析] (1)延长BE 交圆E 于点M ，连接CM ，则∠BCM ＝90°，又BM ＝2BE ＝4，∠EBC ＝30°，所以BC ＝2 3.又AB ＝13AC ，则AB ＝12BC ＝3，所以根据切割线定理得，AF 2＝AB ·AC ＝3×33＝9，即AF ＝3. (2)过点E 作EH ⊥BC 于点H ，则EH ＝EB 2－BH 2＝1，且△EDH 与△ADF 相似，从而有ED AD ＝EH AF ＝13，因此AD ＝3ED .能力拓展提升一、填空题11．(2013·广州调研)如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于点C ，若AP ＝4，PB ＝2，则PC 的长是________．[答案] 2 2[解析] 如图，延长CP 交⊙O 于点D ，因为PC ⊥OP ，所以P 是弦CD 的中点，由相交弦定理知P A ·PB ＝PC 2，即PC 2＝8，故PC ＝2 2.12．(文)(2013·惠州三调)如图，P A 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．[答案] 7[解析] 由图可知，P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝3，∴P A ＝3，∴∠AOP ＝60°， 又∠AOD ＝60°，∴∠POD ＝120°，∵PO ＝2，OD ＝1， ∴cos ∠POD ＝22＋12－PD 22×2×1＝－12，∴PD ＝7.(理)(2013·天津)如图，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC ，过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E ，若AB ＝AD ＝5，BE ＝4，则弦BD 的长为________．[答案]152[解析] 因为AE 是圆的切线，又AD ＝AB ，AB ∥DC ，所以∠BAE ＝∠ADB ＝∠ABD ＝∠BDC ，所以AD ＝AB ＝BC ＝5.由切割线定理可得EA 2＝EB ×EC ＝4×(5＋4)＝36，所以EA ＝6.又△BCD ∽△EBA ，所以BD EA ＝BC EB ，则BD ＝BC ·EA EB ＝5×64＝152.二、解答题 13.如图以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，与斜边AC 交于点D ，E 为BC 边的中点． (1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)连结OE、AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并在此条件下求sin∠CAE的值．[解析](1)在△OBE与△ODE中，OB＝OD，OE＝OE.∵E、O分别为BC、AB中点．∴EO∥AC，∴∠EOB＝∠DAO，∠DOE＝∠ADO，又∠OAD＝∠ADO，∴∠EOB＝∠DOE，∴△OBE△ODE，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴ED是⊙O的切线．(2)∠CAB＝45°，sin∠CAE＝10 10.14．(文)(2013·黑龙江哈尔滨六校联考)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AB是⊙O的直径，过点D的⊙O的切线与BA的延长线交于点M.(1)若MD＝6，MB＝12，求AB的长；(2)若AM＝AD，求∠DCB的大小．[解析](1)因为MD为⊙O的切线，由切割线定理知，MD2＝MA·MB.又MD＝6，MB＝12，MB＝MA＋AB，所以MA＝3，AB＝12－3＝9.(2)因为AM＝AD，所以∠AMD＝∠ADM，连接DB，又MD为⊙O的切线，由弦切角定理知，∠ADM＝∠ABD，又因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB为直角，即∠BAD＝90°－∠ABD.又∠BAD＝∠AMD＋∠ADM＝2∠ABD，于是90°－∠ABD＝2∠ABD，所以∠ABD＝30°.所以∠BAD＝60°.又四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BAD＋∠DCB＝180°.所以∠DCB＝120°.(理)(2013·石家庄模拟)如图，过圆O外一点P作该圆的两条割线P AB和PCD，分别交圆O于点A、B，C、D，弦AD和BC交于点Q，割线PEF经过点Q交圆O于点E、F，点M在EF上，且∠BAD＝∠BMF.(1)求证：P A·PB＝PM·PQ；(2)求证：∠BMD＝∠BOD.[证明](1)∵∠BAD＝∠BMF，∴A、Q、M、B四点共圆，∴P A·PB＝PM·PQ.(2)∵P A·PB＝PC·PD，∴PC·PD＝PM·PQ，又∠CPQ＝∠MPD，∴△CPQ∽△MPD，∴∠PCQ＝∠PMD，则∠BCD＝∠DMF，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BMD＝∠BMF＋∠DMF＝2∠BAD，又∠BOD＝2∠BAD，∴∠BMD＝∠BOD.15．(文)如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A、B)，过C作圆O的切线l，过A 作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.求证：CB＝CE.[证明]证法一：连结BE.因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AD.又因为AD⊥l，所以BE∥l.所以∠DCE＝∠CEB.因为直线l是圆O的切线，所以∠DCE＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB，所以CE＝CB.证法二：连结AC，BE，在DC延长线上取一点F.因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点．所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°.又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°，所以∠BCF＝∠DAC.又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF.又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB.所以CE＝CB.(理)如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是AB延长线上一点，且BD＝OB，直线MD与圆O相交于点M，T(不与A、B重合)，DN与圆O相切于点N，连接MC，MB，OT.(1)求证：DT·DM＝DO·DC；(2)若∠DOT＝60°，试求∠BMC的大小．[解析](1)证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定理得，DN2＝DT·DM，DN2＝DB·DA，所以DT·DM＝DB·DA，设半径OB＝r(r>0)，因BD＝OB，且BC＝OC＝r，2＝3r2.则DB·DA＝r·3r＝3r2，DO·DC＝2r·3r2所以DT·DM＝DO·DC.(2)由(1)可知，DT·DM＝DO·DC，且∠TDO＝∠CDM，故△DTO△DCM，所以∠DOT＝∠DMC.根据圆周角定理得，∠DOT＝2∠DMB，则∠BMC＝30°.考纲要求1．了解平行截割定理．理解相似三角形的定义与性质． 2．会证明并应用直角三角形射影定理．3．会证明并应用圆周角定理、圆的切线判定定理与性质定理．4．会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理． 补充材料 1．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比．(2)相似三角形对应角的平分线的比，外接圆直径的比、周长的比，内切圆直径的比、周长的比都等于相似比．相似三角形外接圆面积的比，内切圆面积的比都等于相似比的平方．(3)内切圆、旁切圆 与一个三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆；与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆．备选习题1．(2013·广东梅州联考)如图，P AB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若P A ＝5，AB ＝7，CD ＝11，AC ＝2，则BD 等于________．[答案] 6[解析] 设PC ＝x ，则PD ＝PC ＋CD ＝x ＋11， 由割线定理知PC ·PD ＝P A ·PB ， ∴x (x ＋11)＝5×(5＋7)＝60， ∵x >0，∴x ＝4.∴PC ＝4，PD ＝15. ∵∠P AC ＝∠PDB ，∠P 为公共角， ∴△P AC ∽△PDB ，∴P A PD ＝AC BD ，∴BD ＝AC ·PD P A ＝2×155＝6.2.如图，已知P A 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于B 、C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E .若P A ＝23，∠APB ＝30°，则AE ＝________.[答案]1077[解析] ∵P A 是⊙O 的切线，∴OA ⊥P A ，在直角三角形P AO 中，tan30°＝AO P A ＝33.∵P A ＝23，∴AO ＝P A ·33＝2，即圆O 的半径为r ＝2，同理sin30°＝AO PO ＝12，∴PO ＝4.∵D 是OC 的中点，∴OD ＝DC ＝1，从而BD ＝BO ＋OD ＝2＋1＝3，PD ＝PO ＋OD ＝4＋1＝5，在三角形P AD 中，由余弦定理得：AD 2＝P A 2＋PD 2－2P A ·PD ·cos30°＝(23)2＋52－2×23×5×32＝7，∴AD ＝7，再由相交弦定理得：AD ·DE ＝BD ·DC ，即7·DE ＝3×1＝3，DE ＝377，∴AE ＝AD ＋DE ＝7＋377＝1077.3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ＝AC ，延长BC 到点D ，使得CD ＝AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE .求证：(1)BE＝DE；(2)∠D＝∠ACE.[证明](1)∵CD＝AC，∴∠D＝∠DAC，又∠DAC＝∠EBC，∴∠D＝∠EBC，∴BE＝DE.(2)∵∠D＝∠DAC，∴∠ACB＝2∠DAC＝2∠D，又∠DAC＝∠EBC，∴∠ACB＝2∠EBC，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC.∴∠ABE＝∠EBC，∠D＝∠ABE，又∠ABE＝∠ACE，∴∠D＝∠ACE.4．如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，BE交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC＝ED＝1，P A＝2.(1)求AC的长；(2)求证：BE＝EF.[解析] (1)∵P A 2＝PC ·PD ，P A ＝2，PC ＝1，∴PD ＝4， 又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2， ∵∠P AC ＝∠CBA ，∠PCA ＝∠CAB ， ∴△P AC △CBA ，∴PC AC ＝AC AB ，∴AC 2＝PC ·AB ＝2，∴AC ＝ 2.(2)∵BE ＝AC ＝2，CE ＝2，而CE ·ED ＝BE ·EF ， ∴EF ＝2×12＝2，∴EF ＝BE .5．如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．[解析] (1)连结DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AEAB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE △ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12. 取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ，由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.。

第2节直线与圆的位置关系课时训练练题感提知能【选题明细表】A组填空题1.圆内接平行四边形一定是.解析:由于圆内接四边形对角互补,而平行四边形的对角相等,故该平行四边形的内角为直角,即该平行四边形为矩形.答案:矩形2.(2013珠海市5月高三综合)如图,圆内的两条弦AB,CD相交于圆内一点P,已知PA=4,PB=2,4PC=PD,则CD的长为.解析:根据相交弦定理:PA·PB=PC·PD,设PC=x,则PD=4x,所以2×4=4x2,解得x=,因此CD=PC+PD=5x=5.答案:53.(2013大朗中学高三1月测试)如图,PM为圆O的切线,T为切点, ∠ATM=,圆O的面积为2π,则PA= .解析:连接OT,∵圆O的面积为2π,∴OA=OT=.∵∠ATM=,∴∠TOP=,∴PO=2OT,∴PA=3OA=3.答案:34.(2013广州六校高三第四次联考)如图,在Rt△ABC中,斜边AB=12,直角边AC=6,如果以C为圆心的圆与AB相切于D,则☉C的半径长为.解析:连接C,D;则∠B=∠DCA=30°,在Rt△ADC中,CD=ACsin∠DAC,CD=6×=3.答案:35.如图所示,已知☉O的直径AB与弦AC的夹角为30°,过C点的切线与AB的延长线交于P,PC=5,则☉O的半径为.解析:连接OC,则OC⊥CP,∠POC=2∠CAO=60°,Rt△OCP中,PC=5,则OC===.答案:6.(2013华南师大附中高三综合测试)如图,已知P是☉O外一点,PD 为☉O的切线,D为切点,割线PEF经过圆心O,若PF=12,PD=4,则☉O的半径长为.解析:由PD2=PE·PF得PE===4,∴EF=PF-PE=8,∴☉O的半径r=4.答案:47.如图所示,四边形ABCD是☉O的内接四边形,延长BC到E,已知∠BCD∶∠ECD=3∶2,那么∠BOD等于.解析:由圆内接四边形的性质可知∠A=∠DCE,而∠BCD∶∠ECD=3∶2,故∠ECD=72°,即∠A=72°,故∠BOD=2∠A=144°.答案:144°8.(2013高新一中、交大附中、师大附中、西安中学(五校)高三第三次模拟)以Rt△ABC的直角边AB为直径的圆O交斜边AC于点E,点D 在BC上,且DE与圆O相切.若∠A=56°,则∠BDE= .解析:连接OE,因为∠A=56°,所以∠BOE=112°,又因为∠ABC=90°,DE与圆O相切,所以O、B、D、E四点共圆,所以∠BDE=180°-∠BOE=68°.答案:68°9.(2012年高考湖北卷)如图,点D在☉O的弦AB上移动,AB=4,连接OD,过点D作OD的垂线交☉O于点C,则CD的最大值为.解析:圆的半径一定,在Rt△ODC中解决问题.当D为AB中点时,OD⊥AB,OD最小,此时DC最大,所以DC最大值=AB=2.答案:210.(2012年高考陕西卷)如图所示,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB= .解析:由相交弦定理可知ED2=AE·EB=1×5=5,又由射影定理,得DF·DB=ED2=5.答案:511.(2012宝鸡市高三质检)已知PA是☉O的切线,切点为A,PA=2 cm,AC是☉O的直径,PC交☉O于点B,AB= cm,则△ABC的面积为cm2.解析:∵AC是☉O的直径,∴AB⊥PC,∴PB==1.∵PA是☉O的切线,∴PA2=PB·PC,∴PC=4,∴BC=3,∴S△ABC=AB·BC=(cm2).答案:12.(2013东阿一中调研)如图所示,AB是☉O的直径,P是AB延长线上的一点,过P作☉O的切线,切点为C,PC=2,若∠CAP=30°,则PB= .解析:连接OC,因为PC=2,∠CAP=30°,所以OC=2tan 30°=2,则AB=2OC=4,由切割线定理得PC2=PB·PA=PB·(PB+BA),解得PB=2.答案:2B组13.(2013年高考天津卷)如图所示,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC 交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为.解析:∵AE为圆的切线,∴由切割线定理,得AE2=EB·ED.又AE=6,BD=5,可解得EB=4.∵∠EAB为弦切角,且AB=AC,∴∠EAB=∠ACB=∠ABC.∴EA∥BC.又BD∥AC,∴四边形EBCA为平行四边形.∴BC=AE=6,AC=EB=4.由BD∥AC,得△ACF∽△DBF,∴==.又CF+BF=BC=6,∴CF=.答案:14.(2013年高考广东卷)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC= .解析:连接OC,因CE是☉O的切线,所以OC⊥CE,即∠OCE=90°,又因AB是直径,所以∠ACB=∠ACD=90°,即∠OCA+∠ACE=∠ACE+∠ECD =90°,得∠OCA=∠DCE,又因OC=OA,所以∠OCA=∠OAC,则∠BAC=∠DCE,又因AC⊥BD,BC=CD,易证AB=AD,得∠ABC=∠ADC, 即∠ABC=∠CDE,所以△ABC∽△CDE,所以=,即BC2=AB·ED=12,所以BC=2.答案:2。

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第12章 几何证明选讲高考AB 卷 理相似三角形的判定与性质1.(2016·全国Ⅱ，22)如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE ＝DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .(1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.(1)证明 因为DF ⊥EC ，则∠EFD ＝∠DFC ＝90°，易得∠DEF ＝∠CDF ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ，DF CF ＝DE CD ＝DGCB， 所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF .因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆. (2)解 由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB .连接GB . 由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG .因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB 的面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S△GCB＝2×12×12×1＝12.圆的初步2.(2016·全国Ⅲ，22)如图，⊙O 中AB ︵的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点.(1)若∠PFB ＝2∠PCD ，求∠PCD 的大小；(2)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD . (1)解 连接PB ，BC ，则∠BFD ＝∠PBA ＋∠BPD ， ∠PCD ＝∠PCB ＋∠BCD .因为AP ︵＝BP ︵，所以∠PBA ＝∠PCB ，又∠BPD ＝∠BCD ，所以∠BFD ＝∠PCD .又∠PFB ＋∠BFD ＝180°，∠PFB ＝2∠PCD ，所以3∠PCD ＝180°，因此∠PCD ＝60°. (2)证明 因为∠PCD ＝∠BFD ，所以∠EFD ＋∠PCD ＝180°，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上. 又O 也在CD 的垂直平分线上，因此OG ⊥CD .3.(2016·全国Ⅰ，22)如图，△OAB 是等腰三角形；∠AOB ＝120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆.(1)证明：直线AB 与⊙O 相切；(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD . 证明 (1)设E 是AB 的中点，连接OE . 因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°， 所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°，在Rt △AOE 中，OE ＝12AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O 相切.(2)因为OA ＝2OD ，所以O 不是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心.设O ′是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，作直线OO ′.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O ′在线段AB 的垂直平分线上，所以OO ′⊥AB . 同理可证，OO ′⊥CD ，所以AB ∥CD .4.(2015·全国Ⅱ，22)如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M 、N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点.(1)证明：EF ∥BC ；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积. (1)证明 由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线. 又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF . 从而EF ∥BC .(2)解 由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上.连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°. 因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形. 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2. 因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633. 5.(2014·全国Ⅱ，22)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B 、C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E .证明：(1)BE ＝EC ；(2)AD ·DE ＝2PB 2.证明 (1)连接AB ，AC .由题设知PA ＝PD ，故∠PAD ＝∠PDA .因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，∠PAD ＝∠BAD ＋∠PAB ，∠DCA ＝∠PAB ， 所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ︵＝EC ︵. 因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得PA 2＝PB ·PC . 因为PA ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB . 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ， 所以AD ·DE ＝2PB 2.相似三角形的判定与性质1.(2015·某某，15)如图，已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝________.解析 如图所示，连接OC ，因为OD ∥BC ，又BC ⊥AC ，所以OP ⊥AC .又O 为AB 线段的中点，所以OP ＝12BC ＝12.在Rt △OCD 中，OC ＝12AB ＝2，由直角三角形的射影定理可得OC 2＝OP ·OD ，即OD ＝OC 2OP ＝2212＝8，故应填8. 答案 82.(2014·某某，6)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·FA ；③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是( )A.①②B.③④C.①②③D.①②④解析 ①∠FBD ＝∠BAD ，∠DBC ＝∠DAC ，故∠FBD ＝∠CBD ，即①正确.由切割线定理知②正确.③△BED ∽△AEC ，故BE DE ＝AE CE ，当DE ≠CE 时，③不成立.④△ABF ∽△BDF ，故AB AF ＝BDBF，即AB ·BF ＝AF ·BD ，④正确.故①②④正确，选D. 答案 D3.(2012·，5)如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( )A.CE ·CB ＝AD ·DBB.CE ·CB ＝AD ·ABC.AD ·AB ＝CD 2D.CE ·EB ＝CD 2解析 由切割线定理可知CE ·CB ＝CD 2. 又由平面几何知识知△ADC ∽△CDB ，得相似比：CD AD ＝DB DC，即AD ·DB ＝CD 2， ∴CE ·CB ＝AD ·DB ，故选A. 答案 A4.(2014·某某，15)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________.解析 依题意得△CDF ∽△AEF ，由EB ＝2AE 可知AE ∶CD ＝1∶3.故△CDF 的面积△AEF 的面积＝9.答案 95.(2015·某某，21)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D .求证：△ABD ∽△AEB .证明 因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C .又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ，又∠BAE 为公共角， 可知△ABD ∽△AEB .圆的初步6.(2015·某某，5)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM ＝2，MD ＝4，＝3，则线段NE 的长为( )A.83B.3C.103 D.52解析 根据相交弦定理可知，CM ·MD ＝AM ·MB ＝29AB 2＝8，·NE ＝AN ·NB ＝29AB 2＝8，而＝3，所以NE ＝83.选A.答案 A7.(2015·某某，14)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，则BE ＝________.解析 首先由切割线定理得PA 2＝PC ·PD ，因此PD ＝623＝12，CD ＝PD －PC ＝9，又CE ∶ED＝2∶1，因此CE ＝6，ED ＝3，再有相交弦定理AE ·EB ＝CE ·ED ，所以BE ＝CE ·ED AE ＝6×39＝2. 答案 28.(2014·某某，15)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B .过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点.若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________.解析 由切割线定理得QA 2＝QC ·QD ＝1×(1＋3)＝4，∴QA ＝2，∵Q 为PA 的中点，∴PA ＝2QA ＝4.故PB ＝PA ＝4. 答案 49.(2014·某某，15B)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝______.解析 ∵四边形BCFE 内接于圆，∴∠AEF ＝∠ACB ，又∠A 为公共角，∴△AEF ∽△ACB ， ∴EF BC ＝AEAC，又∵BC ＝6，AC ＝2AE ，∴EF ＝3. 答案 310.(2013·，11)如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D .若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________；AB ＝________.解析 由于PD ∶DB ＝9∶16，设PD ＝9a ，DB ＝16a ，根据切割线定理有PA 2＝PD ·PB ， 即9＝9a ·(9a ＋16a )，解得a ＝15，∴PD ＝95，PB ＝5，在Rt △PBA 中，有AB ＝4.答案 95411.(2015·某某，16)如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：(1)∠MEN ＋∠NOM ＝180°； (2)FE ·FN ＝FM ·FO .证明 (1)如图所示，因为M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，所以OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，即∠OME ＝90°，∠ENO ＝90°，因此∠OME ＋∠ENO ＝180°，又四边形的内角和等于360°，故∠MEN ＋∠NOM ＝180°.(2)由(1)知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE ·FN ＝FM ·FO .12.(2015·某某，22)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径. (1)证明 因为DE 为⊙O 直径， 则∠BED ＋∠EDB ＝90°，又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED ，又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA .(2)解 由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝ADCD＝3，又BC ＝2，从而AB ＝32， 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3， 由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 直径为3.。