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（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第2讲数系的扩充与复数的引入增分练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第2讲数系的扩充与复数的引入增分练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2讲数系的扩充与复数的引入板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足（1＋i)z＝2i，则｜z|＝( ）A。
错误! B。
错误! C.错误! D．2答案C解析错误!由（1＋i)z＝2i，得z＝错误!＝1＋i，∴|z｜＝错误!.故选C。
解法二：∵2i＝(1＋i)2，∴由（1＋i)z＝2i＝（1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝错误!。
故选C。
2．[2018·湖南模拟］已知错误!＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i答案D解析由错误!＝1＋i，得z＝错误!＝错误!＝错误!＝－1－i.3．［2018·江西模拟］已知复数z1＝cos23°＋isin23°和复数z2＝cos37°＋isin37°,则z1·z2为（）A。
错误!＋错误!i B.错误!＋错误!iC.错误!－错误!iD.错误!－错误!i答案A解析z1·z2＝（cos23°＋isin23°)·(cos37°＋isin37°)＝cos60°＋isin60°＝错误!＋错误!i.故选A。
2019届高考数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第二节算法与程序框图夯基提能作业本文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第二节算法与程序框图夯基提能作业本文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二节算法与程序框图A组基础题组1.执行如图所示的程序框图,若输出i的值为2,则输入x的最大值是（）A.5 B。
6 C。
11 D.222。
执行下面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2，3,则输出的M=( ）A。
B.C。
D.3.(2017新疆第二次适应性检测）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序,则输出的n的值为（)A。
3 B.4 C。
5 D.64.运行如图所示的程序框图,若输出的点恰有5次落在直线y=x上，则判断框中可填写的条件是( ）A。
i>6 B.i〉7 C。
i〉8 D。
i〉95。
为了在运行如图所示的程序之后得到结果y=16，则输入的x应该是（）INPUT xIF x<0 THENy=(x+1)*（x+1）ELSEy=(x—1）*（x-1）END IFPRINT yENDA。
±5B.5 C。
—5 D.06.(2018河北唐山调研)执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R,那么输出的S 的最大值为（)A。
0 B.1 C.2 D.37。
我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足"中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n= .8。
（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第3讲合情推理与演绎推理增分练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第3讲合情推理与演绎推理增分练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第3讲合情推理与演绎推理板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．(1）已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是错误!ah，如果把扇形的弧长l,半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为错误!lr;(2）由1＝12，1＋3＝22,1＋3＋5＝32,可得到1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，则（1）（2)两个推理过程分别属于( ）A．类比推理、归纳推理 B．类比推理、演绎推理C．归纳推理、类比推理 D．归纳推理、演绎推理答案A解析(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处,此种推理为类比推理;(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理．故选A.2．把1，3，6,10，15，21,…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如下图），试求第七个三角形数是( ）A．27 B．28 C．29 D．30答案B解析观察归纳可知第n个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n＝错误!,∴第七个三角形数为错误!＝28.3．［2018·太原模拟］观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．121 B．123 C．231 D．211答案B解析令a n＝a n＋b n,则a1＝1,a2＝3，a3＝4，a4＝7,…，得a n＋2＝a n＋a n＋1,从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123。
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·湖北华师一附中等八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案 D解析 若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故丙猜测错误，即1,2,6号均不是第1名，故3号是第1名，则乙猜测错误，丁猜测正确．故选D.2．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2016＝( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6答案 B解析 ∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，…，∴{a n }是以6为周期的周期数列．又2016＝6×335＋6，∴a 2016＝a 6＝－3.故选B.3．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比有x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝( )A ．nB ．2nC ．n 2D ．n n答案 D解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a ＝n n .故选D.4．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形： a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1368 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 答案 D解析 该三角形所对应元素的个数为1,3,5，…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.故选D. 5．(2017·阳山县校级一模)下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案 C解析 对于A “若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”是错误的，因为0乘任何数都等于0；对于B “若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误；对于C 将乘法类推除法，即由“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c ”是正确的；对于D “(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”是错误的；如(1＋1)2＝12＋12.故选C.6．(2017·河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a 2017＝( )A ．502B ．503C ．504D ．505答案 D解析 由a 1，a 3，a 5，a 7，…组成的数列恰好对应数列{x n }，即x n ＝a 2n －1，当n 为奇数时，x n ＝n ＋12.所以a 2017＝x 1009＝505.故选D.7．(2018·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( ) A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52 答案 C解析 1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.8．(2017·陕西一模)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c，类比这个结论可知，四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R 等于( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S4答案 C解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，由平面图形中r 的求解过程类比空间图形中R 的求解过程可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为V ＝V 四面体S －ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，所以R＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.故选C. 9．(2018·鹰潭模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[π]＝3. S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝3S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21， …依此规律，那么S 10等于( )A ．210B ．230C ．220D ．240答案 A解析 ∵[x ]表示不超过x 的最大整数，∴S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝1×3＝3，S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝2×5＝10，S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝3×7＝21，…S n ＝[n 2]＋[n 2＋1]＋[n 2＋2]＋…＋[n 2＋2n －1]＋[n 2＋2n ]＝n ×(2n ＋1)，∴S 10＝10×21＝210.故选A.10．(2017·龙泉驿区模拟)对于问题：“已知两个正数x ，y 满足x＋y ＝2，求1x ＋4y 的最小值”，给出如下一种解法：∵x ＋y ＝2，∴1x ＋4y ＝12(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ， ∵x >0，y >0，∴y x ＋4x y ≥2y x ·4xy ＝4，∴1x ＋4y ≥12(5＋4)＝92，当且仅当⎩⎨⎧ y x ＝4x y，x ＋y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝23，y ＝43时，1x ＋4y 取最小值92.参考上述解法，已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则1A ＋9B ＋C的最小值为( )A.16πB.8πC.4πD.2π答案 A解析 A ＋B ＋C ＝π，设A ＝α，B ＋C ＝β，则α＋β＝π，α＋βπ＝1，参考题干中解法，则1A ＋9B ＋C＝1α＋9β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋9β·(α＋β)1π＝1π⎝⎛⎭⎪⎫10＋βα＋9αβ≥1π(10＋6)＝16π，当且仅当βα＝9αβ，即3α＝β时等号成立．故选A.二、填空题11．(2017·北京高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1,2,3.(1)记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是________．(2)记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．答案 (1)Q 1 (2)p 2解析 设A 1(xA 1，yA 1)，B 1(xB 1，yB 1)，线段A 1B 1的中点为E 1(x 1，y 1)，则Q 1＝yA 1＋yB 1＝2y 1.因此，要比较Q 1，Q 2，Q 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点纵坐标的大小，作图比较知Q 1最大．又p 1＝yA 1＋yB 1xA 1＋xB 1＝2y 12x 1＝y 1x 1＝y 1－0x 1－0，其几何意义为线段A 1B 1的中点E 1与坐标原点连线的斜率，因此，要比较p 1，p 2，p 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p 2最大．12．(2018·湖北八校联考)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝________.答案 2πr 4解析 在二维空间中，圆的二维测度(面积)S ＝πr 2，则其导数S ′＝2πr, 即为圆的一维测度(周长)l ＝2πr ；在三维空间中，球的三维测度(体积)V ＝43πr 3，则其导数V ′＝4πr 2，即为球的二维测度(表面积)S＝4πr 2；应用合情推理，在四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝2πr 4.13．(2017·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余的13，第3关收税金为剩余的14，第4关收税金为剩余的15，第5关收税金为剩余的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x .答案 172解析 第1关收税金：12x ；第2关收税金：13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝x 6＝x 2×3； 第3关收税金：14⎝⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝x 12＝x 3×4； ……第8关收税金：x 8×9＝x 72. 14．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2016是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k －1＝________(用k 表示)．答案 (1)5040 (2)5k (5k －1)2解析 观察知这些三角形数满足a n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *，当n ＝5k－1或n ＝5k ，k ∈N *时，对应的三角形数是5的倍数，为数列{b n }中的项，将5k －1和5k 列为一组，所以b 2016是第1008组的后面一项，即b 2016是数列{a n }中的第5×1008＝5040项；b 2k －1是第k 组的前面一项，是数列{a n }中的第5k －1项，即b 2k －1＝a 5k －1＝5k (5k －1)2. 三、解答题15．(2017·未央区校级期中)阅读以下求1＋2＋3＋…＋n 的值的过程：因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1…22－12＝2×1＋1以上各式相加得(n ＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2. 类比上述过程，求12＋22＋32＋…＋n 2的值．解 ∵23－13＝3·22－3·2＋1，33－23＝3·32－3·3＋1，…，n 3－(n －1)3＝3n 2－3n ＋1，把这n －1个等式相加得n 3－1＝3·(22＋32＋…＋n 2)－3·(2＋3＋…＋n )＋(n －1)，由此得n 3－1＝3·(12＋22＋32＋…＋n 2)－3·(1＋2＋3＋…＋n )＋(n －1)，即12＋22＋…＋n 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 3－1＋32n (n ＋1)－(n －1). 16．(2018·南阳模拟)我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可以类比，现在给出一个命题：若数列{a n }、{b n }是两个等差数列，它们的前n 项的和分别是S n ，T n ，则a n b n＝S 2n －1T 2n －1. (1)请你证明上述命题；(2)请你就数列{a n }、{b n }是两个各项均为正的等比数列，类比上述结论，提出正确的猜想，并加以证明．解 (1)证明：在等差数列{a n }中，a n ＝a 1＋a 2n －12(n ∈N *)，那么对于等差数列{a n }、{b n }有：a nb n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)＝12(a 1＋a 2n －1)(2n －1)12(b 1＋b 2n －1)(2n －1)＝S 2n －1T 2n －1. (2)猜想：数列{a n }、{b n }是两个各项均为正的等比数列，它们的前n 项的积分别是X n ，Y n ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a n b n 2n －1＝X 2n －1Y 2n －1. 证明：在等比数列{a n }中，a 2n ＝a 1a 2n －1＝a 2a 2n －2＝…(n ∈N *)，(a n )2n －1＝a 1a 2a 3…a 2n －1(n ∈N *)，那么对于等比数列{a n }、{b n }有⎝ ⎛⎭⎪⎫a n b n 2n －1＝a 1a 2a 3…a 2n －1b 1b 2b 3…b 2n －1＝X 2n －1Y 2n －1.。
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(·湖南长沙四县联考)i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝－1＋i ，则复数z 的实部与虚部的和是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 复数z 满足z i ＝－1＋i ，可得z ＝－1＋i i ＝(－1＋i )ii·i ＝1＋i.故复数z 的实部与虚部的和是1＋1＝2，故选C.2．(·湖北优质高中联考)已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z －z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 答案 B解析 2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.3．(·河南洛阳模拟)设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A.2－iB.2＋i C ．1 D ．－1－2i 答案 A解析 复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i.故选A.4．(·广东测试)若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i ＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－3i3＝－i.故选C. 5．(·安徽江南十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( )A.2－12B.2－1 C ．1 D.2＋12 答案 A解析 由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A.6．(·安徽十校联考)若z ＝2－i2＋i ，则|z |＝( )A.15 B ．1 C ．5 D ．25 答案 B解析 解法一：z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝35－45i ，故|z |＝1.故选B.解法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i 2＋i ＝|2－i||2＋i|＝55＝1.故选B. 7．(·河南百校联盟模拟)已知复数z 的共轭复数为z －，若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3z 2＋z －2(1－22i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则在复平面内，复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 A解析 依题意，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则3z 2＋z－2＝2a ＋b i ，故2a ＋b i ＝5－2i1－22i＝1＋2i ，故a ＝12，b ＝2，则在复平面内，复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，位于第一象限．故选A.8．(·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A.[]－1，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7 答案 C解析 由复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.故选C.9．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为( )A ．－36－12iB ．－32＋32i C.36＋12i D.32＋32i 答案 D解析 由(z －i)⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝1，可得z －i ＝132－12i＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.故选D.10．已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，z 1，z 2∈C ，定义：D (z )＝||z ||＝|a |＋|b |，D (z 1，z 2)＝||z 1－z 2||，给出下列命题：(1)对任意z ∈C ，都有D (z )>0；(2)若z 是复数z 的共轭复数，则D (z )＝D (z )恒成立； (3)若D (z 1)＝D (z 2)(z 1，z 2∈C )，则z 1＝z 2；(4)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，结论D (z 1，z 3)≤D (z 1，z 2)＋D (z 2，z 3)恒成立．其中真命题为( )A ．(1)(2)(3)(4)B ．(2)(3)(4)C ．(2)(4)D ．(2)(3) 答案 C解析 对于(1)，由定义知当z ＝0时，D (z )＝0，故(1)错误，排除A ；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D (z )＝D (z )恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值之和相等并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B ，D ，故选C.二、填空题11．(·江苏高考)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．答案10解析 解法一：∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， ∴|z |＝(－1)2＋32＝10. 解法二：|z |＝|1＋i||1＋2i| ＝2×5＝10.12．(·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．答案 2解析 由(1＋i)(1－b i)＝a 得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以ab ＝2.13．(·北京高考)设a ∈R .若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.答案 －1解析 (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，∵a ∈R ，该复数在复平面内对应的点位于实轴上， ∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.14．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z 是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．则z ＝________.答案 －1－2i 或－2－i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， 则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2i. 又z ＋3＝a ＋3＋b i 实部与虚部互为相反数，z ＋5z 是实数，根据题意有⎩⎨⎧b ⎝⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.三、解答题15．(·徐汇区校级模拟)已知z 是复数，z ＋2i 与z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应点在第一象限．(1)求z 的值；(2)求实数a 的取值范围． 解 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，又z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＋2＝0，解得y ＝－2. ∴z2－i ＝x －2i 2－i ＝(x －2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2x ＋2)＋(x －4)i 5， ∵z 2－i 为实数，∴x －45＝0，解得x ＝4. ∴z ＝4－2i.(2)∵复数(z ＋a i)2＝[4＋(a －2)i]2＝16－(a －2)2＋8(a －2)i ＝(12＋4a －a 2)＋(8a －16)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －16>0，解得2<a <6， 即实数a 的取值范围是(2,6)．16．(·孝感期末)已知复数z ＝(m －1)＋(2m ＋1)i(m ∈R )． (1)若z 为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m 的取值范围及|z |的最小值．解 (1)∵z ＝(m －1)＋(2m ＋1)i(m ∈R )为纯虚数， ∴m －1＝0且2m ＋1≠0，∴m ＝1. (2)z 在复平面内的对应点为(m －1,2m ＋1)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －1<0，2m ＋1>0，∴－12<m <1， 即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.而|z |＝(m －1)2＋(2m ＋1)2＝5m 2＋2m ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋152＋95， 当m ＝－15∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1时，|z |min ＝95＝355.。
2019届高考数学一轮复习第十一篇复数、算法、推理与证明第2节算法初步训练理新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第十一篇复数、算法、推理与证明第2节算法初步训练理新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2节算法初步【选题明细表】知识点、方法题号顺序结构、条件结构2,5,12循环结构1，3，4,6，7，8,10，13基本算法语句11程序框图的补充及综合9，14基础巩固（时间:30分钟)1。
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为( B ）（A)15 (B)105（C)245 (D)945解析：逐次计算的结果是T=3，S=3，i=2；T=5，S=15，i=3；T=7，S=105，i=4，此时输出的结果为S=105。
故选B.2。
执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈［—1,3]，则输出的s∈（ A )(A)［-3,4］(B)［—5,2］（C）[—4，3］(D)［-2，5］解析:当—1≤t<1时,s=3t,则s∈[—3,3）.当1≤t≤3时，s=4t-t2.函数在［1,2]上单调递增,在[2，3]上单调递减.所以s∈［3，4］。
综上知s∈［-3,4］。
故选A。
3.(2017·郴州市二模)秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为( C ）（A）35 （B)20 （C)18 (D）9解析:输入n，x的值分别为3,2,v初始化赋值为1,则i=2,满足循环控制条件，执行循环体得v=4，i=1;仍然满足循环控制条件,继续执行循环体得v=9，i=0，还满足循环控制条件，再执行循环体得v=18,i=—1，此时不满足进行循环控制条件,退出循环,输出的v值为18.故选C。
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2015·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )A. B. C. D.67378949答案 B解析 当输入n ＝3时，输出S ＝＋＋＝11×313×515×712＝.故选B.(1－13＋13－15＋15－17)372．(2015·全国卷Ⅱ)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝( )A．0 B．2 C．4 D．14答案 B解析 开始：a＝14，b＝18，第一次循环：a＝14，b＝4；第二次循环：a＝10，b＝4；第三次循环：a＝6，b＝4；第四次循环：a＝2，b＝4；第五次循环：a＝2，b＝2.此时，a＝b，退出循环，输出a＝2.故选B.3．(2018·江西赣州十四县联考)如图所示的程序框图，若输入x，k，b，p的值分别为1，－2,9,3，则输出的x值为( )A．－29B ．－5C ．7D ．19答案 D解析 程序执行过程如下：n ＝1，x ＝－2×1＋9＝7；n ＝2，x ＝－2×7＋9＝－5；n ＝3，x ＝－2×(－5)＋9＝19；n ＝4>3，终止循环，输出x ＝19.故选D.4．执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋＋＋…＋1213110B ．1＋＋＋…＋12！13！110！C ．1＋＋＋…＋1213111D ．1＋＋＋…＋12！13！111！答案 B解析 T ＝1，S ＝1，k ＝2；T ＝，S ＝1＋，k ＝3；1212T ＝，S ＝1＋＋，k ＝4；12×31212×3T ＝，S ＝1＋＋＋，k ＝5；……；14！12！13！14！T ＝，S ＝1＋＋＋…＋，k ＝11>10，输出S ，故110！12！13！110！选B.5．(2017·广东潮州二模)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11答案 B解析 i ＝1，s ＝1×≤0.1，否；13i ＝3，s ＝×＝≤0.1，否；133515i ＝5，s ＝×＝≤0.1，否；155717i ＝7，s ＝×＝≤0.1，否；177919i ＝9，s ＝×＝≤0.1，是，19911111输出i ＝9，故选B.6．(2016·全国卷Ⅲ)执行下面的程序框图，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 第一次循环：a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝6，n ＝1；第二次循环：a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝10，n ＝2；第三次循环：a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝16，n ＝3；第四次循环：a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝20，n ＝4.结束循环，输出n 的值为4，故选B.7．执行如图所示的程序框图，则输出的S ＝( )A. B. C ．－ D ．032332答案 A解析 由程序框图得S ＝sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin π32π33π34π35π3＋sin ＋…＋sin.由正弦函数的周期性，得S ＝sin ＝，故6π37π32017π3π332选A.8．我们可以用随机数法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为( )A ．3.119B ．3.126C ．3.132D ．3.151答案 B解析 在空间直角坐标系Oxyz 中，不等式组Error!表示的区域是棱长为1的正方体区域，相应区域的体积为13＝1；不等式组Error!表示的区域是棱长为1的正方体区域内的球18形区域，相应区域的体积为××13＝，因此≈，即184π3π6π65211000π≈3.126，故选B.9．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝12.执行如图所示的程序框图，若输出的结果S >，则判断框1f ′(x )20162017中可以填入的关于n 的判断条件是( )A ．n ≤2016?B ．n ≤2017?C ．n >2016?D ．n >2017?答案 B解析 f ′(x )＝3ax 2＋x ，则f ′(－1)＝3a －1＝0，解得a ＝，g (x )＝＝＝＝－，g (n )＝－，则131f ′(x )1x 2＋x 1x (x ＋1)1x 1x ＋11n 1n ＋1S ＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，因为输出的结果1212131n 1n ＋11n ＋1n n ＋1S >，分析可知判断框中可以填入的判断条件是“n ≤2017？”，20162017故选B.10．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为( )A ．log 210－1B ．2log 23－1C. D ．692答案 B解析 S ＝3，i ＝1，i ≤7成立；S ＝3＋log 2，i ＝2，i ≤7成立；21S ＝3＋log 2＋log 2＝3＋log 2＝3＋log 2，2132(21×32)3i ＝3，i ≤7成立；S ＝3＋log 2＋log 2＝3＋log 2＝3＋log 2，i ＝4，i343(3×43)4≤7成立；……；S ＝3＋log 2，i ＝8，i ≤7不成立，退出循环，8S ＝log 2(3＋log 2)＝log 2＝log 2＝2log 23－1，故选B.8(3＋32)9211．(2018·河南模拟)下边程序框图的功能是求出的值，则框图中①、②两处应分别填写的是( )16＋16＋16＋16＋16A ．i ≥1，a B ．i ≥1，a －6C ．i >1，a D ．i >1，a －6答案 D解析 程序框图是计算的值，则利用累积加，则16＋16＋16＋16＋16第一个处理框应为i >1，然后计算i 是自减1个，i ＝i －1，第二空输出结果a －6.故选D.12．(2017·湖南三模)给出30个数：1,2,4,7,11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )A．i≤30？；p＝p＋i－1 B．i≤31？；p＝p＋i＋1C．i≤31？；p＝p＋i D．i≤30？；p＝p＋i答案 D解析 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30，即①中应填写“i≤30？”；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1即1＋1＝2；第3个数比第2个数大2即2＋2＝4；第4个数比第3个数大3即4＋3＝7；故②中应填写p＝p＋i.故选D.二、填空题13．定义n！＝1×2×3×…×n，如图是求10！的程序框图，其中k为整数，则k＝________.答案 11解析 因为10！＝1×2×…×10，所以判断框内的条件为“i<11？”，故k＝11.14．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的程序框图表示用秦九韶算法求5次多项式f(x)＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0当x＝x0(x0是任意实数)时的值的过程，若输入a0＝2，a1＝－5，a2＝6，a3＝－4，a4＝7，a5＝2，x0＝3，则输出的v的值为________．答案 986解析 执行程序框图，输入a0＝2，a1＝－5，a2＝6，a3＝－4，a4＝7，a5＝2，x0＝3，经过第1次循环得v＝13，n＝2；经过第2次循环得v＝35，n＝3；经过第3次循环得v＝111，n＝4；经过第4次循环得v＝328，n＝5；经过第5次循环得v＝986，n＝6，退出循环．故输出的v的值为986.15．(2018·黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图，在样本的20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]的人数依次为A1，A2，A3，A4.如图是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．若图中输出的S＝18，则判断框应填________．答案 i <5？(或i ≤4？)解析 由于i 从2开始，也就是统计大于或等于160的所有人数，于是就要计算A 2＋A 3＋A 4，因此，判断框应填i <5？或i ≤4？.16．(2018·北京昌平质量抽测)执行如图所示的程序框图，当①是i <6时，输出的S 值为________；当①是i <2018时，输出的S 值为________．答案 5 2017解析 当①是i <6时，当i ＝1时，a 1＝cos ＋1＝1，S ＝1；π2当i ＝2时，a 2＝cos ＋1＝0，S ＝1；2π2当i ＝3时，a 3＝cos ＋1＝1，S ＝1＋1＝2；3π2当i ＝4时，a 4＝cos ＋1＝2，S ＝2＋2＝4；4π2当i ＝5时，a 5＝cos ＋1＝1，S ＝4＋1＝5；5π2当i ＝6时，a 6＝cos ＋1＝0，S ＝5＋0＝5.6π2此时不满足条件，输出S ＝5.当①是i <2018时，因为a i ＝cos ＋1的周期为4，所以i π2a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4，所以S ＝a 1＋a 2＋…＋a 2018＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2017＋a 2018＝504×4＋a 1＋a 2＝2017.。
（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第1讲算法初步学案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第1讲算法初步学案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第1讲算法初步板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 算法的框图及结构1．算法算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确程序或有限的步骤．这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．2．程序框图程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．通常，程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来．3．三种基本逻辑结构考点2 算法语句的格式及框图1．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能2．条件语句的格式及框图（1)IF－THEN格式(2）IF－THEN－ELSE格式3．循环语句的格式及框图(1）UNTIL语句(2)WHILE语句［必会结论］1．注意区分处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算,而输入框只是表示一个算法输入的信息．2．循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环"，是循环结构必不可少的一部分．3．注意区分当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环,后判断，条件满足时终止循环”,而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的,它们恰好相反．[考点自测］1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”）(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．( ）（2）一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构．（）（3）算法可以无限操作下去. （)（4)条件结构的出口有两个，但在执行时,只有一个出口是有效的. ( )（5)▱是赋值框,有计算功能．（）（6)当型循环是给定条件不成立时执行循环体，反复进行,直到条件成立为止。
（北京专用）2019版高考数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入夯基提能作业本文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（北京专用）2019版高考数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入夯基提能作业本文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一节数系的扩充与复数的引入A组基础题组1。
(2017北京东城期末）在复平面内,复数z=i(1+i)（i为虚数单位),那么|z｜= （）A。
1 B。
C。
D。
22。
(2017北京海淀期末）复数i（2—i)（i为虚数单位)在复平面内对应的点的坐标为( ) A。
(-2，1）B。
（2，-1）C。
（1，2) D.（-1，2)3.已知复数z满足z(1+i)=1（其中i为虚数单位）,则z的共轭复数是( ）A. B. C。
D.4.已知i是虚数单位，则复数=（)A。
1—i B。
-1+i C。
1+i D.—1—i5。
已知复数z满足z（1-i）=4（i为虚数单位），则z=( ）A.1+B.-2-2iC.-1—iD.1—i6。
（2016北京朝阳二模）复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于（)C.第三象限D。
第四象限7.若复数z=+a（i为虚数单位)在复平面上对应的点在第二象限,则实数a可以是（) A。
-4 B。
—3C.1D.28。
若（1+i）+(2—3i)=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a,b的值分别为( ）A。
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2016·安庆高三月考)用数学归纳法证明2n >n 2(n ≥5，n ∈N *)，第一步应验证( )A ．n ＝4B ．n ＝5C ．n ＝6D ．n ＝7 答案 B解析 根据数学归纳法的步骤，首先要验证n 取第一个值时命题成立，又n ≥5，故第一步验证n ＝5.故选B.2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 答案 B解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2.故选B. 3．(2018·沈阳调研)用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明n ＝k ＋1时，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析 假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．故选A.4．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6 答案 C解析 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，∴f (1)，f (2)，f (3)都能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明如下：当n ＝1,2时，由以上得证．假设当n ＝k (k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k ＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k ＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)，∴f (k ＋1)能被36整除．∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 的值为36.5．(2017·泉州模拟)用数学归纳法证明n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N *)时，若记f (n )＝n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)，则f (k ＋1)－f (k )等于( )A ．3k －1B ．3k ＋1C ．8kD ．9k 答案 C解析 因为f (k )＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)，f (k ＋1)＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋(3k )＋(3k ＋1)，则f (k ＋1)－f (k )＝3k －1＋3k ＋3k ＋1－k ＝8k .故选C.6．(2018·太原质检)平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为 ( )A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22 D ．n 2＋n ＋1答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．故选C. 7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N (n,3)＝12n 2＋12n ； 正方形数N (n,4)＝n 2； 五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ； 六边形数N (n,6)＝2n 2－n .可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝( ) A ．500 B ．1000 C ．1500 D ．2000 答案 B解析 由已知得，N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32n ，N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ，N (n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ，N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n ，根据归纳推理可得，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n .所以N (10,24)＝24－22×102＋4－242×10＝1100－100＝1000，故答案为1000.选B.8．若数列{a n }满足a n ＋5a n ＋1＝36n ＋18，n ∈N *，且a 1＝4，猜想其通项公式为( )A ．3n ＋1B ．4nC ．5n －1D ．6n －2 答案 D解析 由a 1＝4求得a 2＝10，a 3＝16，经检验a n ＝6n －2.故选D. 二、填空题9．设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝______. 答案 12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n解析 S n ＋1＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1S n ＋1－S n ＝12＋1＋12＋2＋12＋3＋…＋12＋2.10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则用n 表示的f (n )＝________.答案 3n 2－3n ＋1解析 由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6， 推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋[f (n －2)－f (n －3)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，∴f (n )＝3n 2－3n ＋1.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n－1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝______.答案 nn ＋1解析 由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12； 由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34. 猜想S n ＝nn ＋1.12．(2018·云南名校联考)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．答案 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22解析 由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22. 三、解答题13．(2017·河南期末)设等差数列{a n }的公差d >0，且a 1>0，记T n＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1.(1)用a 1，d 分别表示T 1，T 2，T 3，并猜想T n ； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 解 (1)T 1＝1a 1a 2＝1a 1(a 1＋d )；T 2＝1a 1a 2＋1a 2a 3＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 3＝2a 1a 3＝2a 1(a 1＋2d )；T 3＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 4＝1d⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 4＝3a 1a 4＝3a 1(a 1＋3d )； 由此可猜想T n ＝na 1(a 1＋nd ).(2)证明：①当n ＝1时，T 1＝1a 1(a 1＋d )，结论成立，②假设当n ＝k 时(k ∈N *)时结论成立，即T k ＝ka 1(a 1＋kd )，则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝T k ＋1a k ＋1a k ＋2＝k a 1(a 1＋kd )＋1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝k [a 1＋(k ＋1)d ]＋a 1a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝(a 1＋kd )(k ＋1)a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝k ＋1a 1[a 1＋(k ＋1)d ].即n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，T n ＝1a 1(a 1＋nd )对于一切n ∈N *恒成立．14．(2017·扬州模拟)在数列{a n }中，a n ＝cos π3×2n －2(n ∈N *)． (1)试将a n ＋1表示为a n 的函数关系式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1－2n ·n ！(n ∈N *)，猜想a n 与b n 的大小关系，并证明你的结论．解 (1)a n ＝cos π3×2n －2＝cos 2π3×2n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3×2n －12－1， ∴a n ＝2a 2n ＋1－1，∴a n ＋1＝±a n ＋12，又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1>0，∴a n ＋1＝a n ＋12.(2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1>b 1， 当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2，当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3<b 3. 猜想：当n ≥3时，a n <b n ， 下面用数学归纳法证明：①当n ＝3时，由上知，a 3<b 3，结论成立． ②假设n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k <b k 成立， 即a k <1－2k ·k ！，则当n ＝k ＋1，a k ＋1＝a k ＋12<2－2k ·k ！2＝1－1k ·k ！，b k ＋1＝1－2(k ＋1)·(k ＋1)！，要证a k ＋1<b k ＋1，即证明⎝⎛⎭⎪⎫1－1k ·k ！2<⎝⎛⎭⎪⎫1－2(k ＋1)·(k ＋1)！2， 即证明1－1k ·k ！<1－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2， 即证明1k ·k ！－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2>0， 即证明 (k －1)2k (k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2>0，显然成立． ∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n <b n 成立．综上可得，当n ＝1时，a 1>b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2； 当n ≥3，n ∈N *时，a n <b n .15．(2018·上饶模拟)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n 且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．解 (1)设a n 的首项为a 1，∵a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝12，a 2·a 5＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.∵n ＝1时，b 1＝T 1＝1－12b 1，∴b 1＝23. n ≥2时，T n ＝1－12b n ①，T n －1＝1－12b n －1②， ①－②得b n ＝13b n －1数列是等比数列． ∴b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n . (2)S n ＝1＋(2n －1)2n ＝n 2，S n ＋1＝(n ＋1)2， 以下比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，1b 4>S 5，猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k>S k ＋1，即3k2>(k ＋1)2，那么，n ＝k ＋1时， 1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k 2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3 ＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1. 综合①②，当n ≥4时，1b n>S n ＋1.16．(2018·合肥模拟)函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x n ＋1<3； (2)求数列{x n }的通项公式．解 (1)证明：用数学归纳法证明2≤x n <x n ＋1<3. ①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为 y －5＝f (2)－52－4(x －4)，令y ＝0，解得x 2＝114，所以2≤x 1<x 2<3. ②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3. 直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4(x －4)，令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1.由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3，x k ＋2－x k＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2. 所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3. (2)由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n2＋x n .设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，即1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n＋14是首项为－34，公比为5的等比数列，因此1b n＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1.故数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1.。
