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2、实际问题转化为数学问题：
a 已知三角形的两个角和一条边，求另一条边。 A.
B.
.C
B.
a
.C
想一想?
二、定理的猜想
在一个直角三角形 ABC中
问题
a a sin A c sin A c b b sin B c sin B c c c sin C 1 c sin C c
思考题: 在ABC中的两边a , b及角A
它们之间满足什么关系式有 一解, 两解, 无解.
A O b
ACB ' 900 , B B '
B B`
C
b =2R sinB a b c ＝ ＝ ＝2R. sinA sinB sinC
b sin B sin B 2R
'
a b c 对任意三角形都成立 . sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
2 2 2
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、等腰直角三角形
D、不能确定
课时小结
a b c 一个 定理 ——正弦定理 sin A sinB sinC
二种 方法 —— 平面几何法 向量法
二个 应用 —— 已知两角和一边（只有一解） 已知两边和其中一边的对角
（有一解，两解，无解）
P144
习题5.9 1, 2, 4
a sin C 2 sin 45 c 2 2 sin A sin 30
2.在ABC中 (1)已知b 3 , c 1, B 60 , 求a, 和A，C;
(2)已知a 2 3 , b 2 2 , B 45 , 求A。
(3)已知a 20, b 28, A 1200 , 解这个三角形.
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
C
b
a
B
D
c
A
正弦定理:
a b c sin A sin B sin C
（1）文字叙述 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. （2）结构特点 和谐美、对称美. （3）方程的观点
正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
a b c sin A sin B sin C
A c
b
C
a
B
（1）你有何结论?
（2）上述结论是否可推广到任意三角形?若成立，如何证明？
三、定理的证明
平面几何法
在ABC中, 已知BC a, AC b, AB c, 作三角形的外接圆 , O为圆心, 连结AO并延长交圆于 B ' , 设AB ' 2 R, 则
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
在锐角三角形中 B
两边同取与 j的数量积, 得 j AC CB j AB j AC j CB j AB （根据向量的数量积的 定义）
j
A
c
b
a
证明：过点 A作单位向量 j垂直 于 AC，
90 ， j与AC的夹角为
0
0 0
0
0
0
0
0
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a;
(2)已知c 10, A 45 , C 30 , 求b, S ABC.
(3)已知A 300 , B C 600 , a 2, 求c.
点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角,
sin Aa sin Bb a 2 解: A sin B 2 sin Bsin A c 2 21 b 90 2 2 2 sin B b sin 2 2 A a 4 2 2 3 sin B a 4 3 2 B 30 或150 ( 舍去) 3 6 2 4 正弦定理应用二： a sin C B 60 4 C 105 c或120 2 32 42 3 6 2 sin A 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进 a sin C 23 8 3 4 C 75 或15 c 8 而可求其它的边和角。（要注意可能有两解） 3 2 sin A 2
A、1:2:3
C、1: 3 :2
B、3:2:1
D、2:
3 :1
练习2、在 ABC中，若 3a=2bsinA，则B＝( C ) 2 5 A、 B、 C、 或 D、 或
3 6 3
3
6
6
练习3.在ABC中, 若 sin A sin B sin C , 则ABC的形状是( B)
5 6 5 2 19
正弦定理应用一： 已知两角和任意一边，求其余两边和一角
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°， 求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°， a b 解: 求B和c。 A sin B sin 变式2：在△ABC中，已知a＝2 4 2 ，b＝2 2 ，A＝45°， 2 3 3 a b b sin A 2 1 解 : 求B和c。 sin B角为
j
A C
具体证明过程 马上完成!
学以致用 如图：若测得a＝48.1m，B＝43 ° ，
C＝69 °，求AB。
A.
B.
a
.C
解：A＝180 °－（43 °＋69 °）＝68 °
在 ABC中，由正弦定理得：
a AB = sinA sinC
sinC 48.1· sin69° ∴AB= a· = ≈48.4(m)
1 5( 6 2 ) 10 sin45 2 25( 3 1)
( 3)已知A 30 , B C 60 , a 2, 求c.
解:
A 30 , B C 60
B C 150 C 45
a c 又 , sin A sin C
点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形 时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边 对大角定理等三角形有关性质.
2.在ABC中 (1)已知b 3 , c 1, B 60 , 求a, 和A，C;
b c 解： , sin B sinC
c sin B 1 sin60 1 sinC b 2 3
sinA sin68 °
You try
例1.在ABC中， 已知c 10, A 45, C 30. 求角B和边b.
解：
B 180 ( A C ) 105 b c ∵ sin B sin C
c sin B 10 sin105 b sin 30 sin C
b c , B 60 , C B , C为锐角， C 30，A 90
a
c 2 b2 2
( 2)已知a 2 3 , b 2 2 , B 45 , 求A.
2 3 sin 45 3 a sin B 解： A sin 2 b 2 2 a b, A C (大边对大角)
b c 解： , sin B sinC
B 180 ( A C ) 180 (45 30 ) 105 ,
c sin B 10 sin105 b 5( 6 sinC sin 30 1 S ABC bc sin A 2
2)
1.问题的引入:
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 . 高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？
一、创设情境
1、问题的给出： 如图，要测量小河两岸A，B两个码头的距离。可在小河 一侧如在B所在一侧，选择C，为了算出AB的长，可先测出 BC的长a，再用经纬仪分别测出B，C的值，那么，根据a, B， C的值，能否算出AB的长。 A.
同理, 过C点作 j垂直于CB，可得 c b , 在锐角三角形中 sinC sin B a b c 也有 sin A sin B sinC
由向量加法的三角形法则
AC CB AB
在钝角三角形中
设A 900 过点A作与AC垂直的单位向量 j , 则 j与AB的夹角为
A 90
A 60 或120
(3)已知a 20, b 28, A 120 , 解这个三角形.
b sin A 28 s in120 解： sin B a 20
7 3 1 10
本题无解.
自我提高！
练习1、在 ABC中，若A：B：C=1：2：3，则 a:b:c＝( C )
(1)当 ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢? C 如图:作AB上的高是CD,根椐 E 三角形的定义,得到 b a CD a sin B, CD b sin A A B 所以 a sin B b sin A D a b c
得到 sin A sin B
b c 同理, AE BC .有 作 sin B sin C a b c sin A sin B sin C
此时的解是唯一的.
(1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a;
a b 解： ) (1 , s in A s in B b s in A 12 s in 300 a s in B s in 1200
4 3
（ ）已知c 10, A 45 , C 30 , 求b, S ABC . 2
j与CB的夹角为 90 C ，
C
j AC cos 90 j CB cos(90 C ) j AB cos(90 A)
即a sinC c sin A a c sin A sinC
90 j与AB的夹角为 A .
