切线长定理课件

E O CD
P
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB
（5）若PA=4、PD=2，求半径OA
外切圆的半径：交点到三
内切圆的半径：交点到三
角形任意一个定点的距离。 h 角形任意一边的垂直距离。15
分析题目已知：如
图, △ABC的内切圆
⊙O与BC 、CA、
AB 分别相交于点
A
D 、 E 、 F ，且
E
AB＝9厘米，BC
FO
＝14厘米,CA ＝13
厘米,求AF、BD、 B D CE的长。
h
C
16
A
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法
h
6
我们学过的切线，常有 六五个 性质：
1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
A
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
F
设AD= x , BE= y ,CE＝ r

∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB
A
∠OPA=∠OPB
P
O
B
A
要点归纳
切线长定理:
过圆外一点引所画的圆
P
O
的两条切线，它们的切线长
相等.这一点和圆心的连线
B
平分这两条切线的夹角.
几何语言:
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新
若△PCD的周长为18，则PA的长度为（
）
A．7 B．9 C．12
D．14
【答案】B
【分析】先根据切线长定理得到PA=PB，CA=CE，
DE=DB，再利用△PCD的周长为18得到
PC+CE+DE+PD=18，然后利用等线段代换得到
PA+PB=18，从而得到PA的长．
【点睛】本题考查了切线的性质，利用运用切线
【答案】8
【分析】根据切线长定理可知AE=CE、BE=CF，
进而可求出结果；
【详解】解：∵PA，PB分别与○O相切；
∴ PA=PB=4 （cm）
∵EC、EA分别与○O相切
∴AE=CE
同理：BF=CF
∴ C△PEF=8
故答案为：8
6．如图，○O是三角形纸片ABC的内切圆，在○O
的右侧沿着○O相切的直线MN剪下△AMN．若
∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°.
∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，
∴DC=DA.同理可得CE=EB.

有效训练
5、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP CA
OD
P
B
课堂小结
切线长 切线长 定理
三角形 内切圆
原理 作用
图形的轴对称性
提供了证线段和 角相等的新方法
辅助线
有关概念
① 分别连接圆心和切点； ② 连接两切点； ③ 连接圆心和圆外一点.
内心概念及性质
∠ACB= 80 °,则∠BOC= 110 °.
有效训练
3.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P= 50 °，
点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= 65 °或115 °.
A
A
P
F
E
O
O
B 第3题
BD
C
第4题
4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如
图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 30 .
A
➢ PB是⊙O的切线吗？
O.
P
➢ PA、PB有何关系？ B
➢ ∠APO和∠BPO有何关系？
（利用图形轴对称性解释）
新课探究
① PA=PB ② PO平分∠APB
A
连结OA、OB、
∵PA、PB与⊙O相切，点A、 B是切点
∴OA⊥AP，OB⊥BP ∴∠OAP=∠OBP=90°
O ·
1
∵OA=OB，OP=OP
（4）写出图中所有的等腰三角形.△ABP △AOB
有效训练
练一练
PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP= 5 ;
（2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .

13
14
15
【一题多变】 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,☉O为内切圆,E为切点. 求证:AO2=AE·AD.
16
素养当堂测评
17
(10分钟·16分) 1.(3分·模型观念、推理能力)如图,四边形ABCD是☉O的外切四边形,且AB=10, CD=12,则四边形ABCD的周长为( A )
9
10
【举一反三】 1.如图,☉O是△ABC的内切圆,点D,E分别为边AB,AC上的点,且DE为☉O的切线,若 △ABC的周长为25,BC的长是9,则△ADE的周长是( A )
A.7
B.8
C.9
D.16
11
A
12
【技法点拨】 切线长定理中的“一二三” 如图,PA,PB与☉O相切,切点分别是A,B,则此图中包含信息有: 1.一条角平分线:即PO平分∠APB且平分∠AOB. 2.两个等腰三角形:△PAB,△AOB是等腰三角形. 3.三个垂直:即OA⊥PA,OB⊥PB,PO⊥AB.
4
【小题快练】 1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,若PA=5,则PB=( D )
A.2
B.3
C.4
D.5
5
2.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,若∠AOB=128°,则∠P的度数为( B )
A.32°
B.52°
C.64°
D.72°
6
3.如图,PA,PB与☉O分别相切于点A,B,且AB=PA,则∠P=___6_0_°___.
7
4.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别为P,C,D,若AB=5,AC=3,则BD的长是( B )
A.1.5
B.2
C.2.5

试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
我们学过的切线，常有 六个 五个 性质：
半径；
3、切线垂直于过切点的半径；
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
。
O
P
A
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点 分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结 论？并证明你所发现的结论。
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
O
。
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
二探索
P
A
B
墙
经过圆外一点 可以有几条直 线与圆相切
地面
P
从圆外一点可以作圆的几条切线？
两条
。
A
P O
B
A
P
。
O
B
观察一下：你发现了这些 图形的什么规律？
OP平方∠APB=90
两条切线 相等
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。 B
切线长定理
附城初中
经过圆外一点作圆的切线上
B P O
什么是切线长？
B P O
切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这
点和切点之间的线段的长。
思考：切线长 和切线的区别 和联系？ B P
O
切线与切线长的区别与联系：
（1）切线是一条与圆相切的直线，不可度量； （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。

3、角平分线上的点到角两边的距离＿＿＿
1、如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线吗？为什么？
复习引入
P
O
2、如何过点P作⊙O的切线？这样的切线能作几条？
●
A
P
O
●
用尺规作图：过⊙O外一点做⊙O的切线
O
·
P
A
B
O
．
A
B
C
O
D
E
F
如图，⊙o是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，问 CE=CD吗？为什么？（HL）
（切线与切线长的区别）
1、课本P134页 例 6如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C。 （1） 与 是否相等？为什么？
（2）OP与AB有怎样的位置关系？
（学生独立完成，集体交流评价。教师引导、点拨）
谢谢大家
比一比
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
复习引入
1、切线的判定定理：经过半径的＿＿＿并且＿＿＿与这条半径的＿＿＿是圆的切线。
2.如图2，△DEF是⊙I的 三角形， ⊙I是△DEF的 圆， 点I是 △DEF的 心， 它是三角形 的交点。
教材P137第10题如图，P是⊙o外的一点，PA、PB分别与⊙o相切于点A、B，C是弧AB上的任意一点，过点C的切线分别叫ＰＡ、ＰＢ于点Ｄ、Ｅ（１）若ＰＡ＝４，求△ＰＤＥ的周长（２）若∠Ｐ＝４０°，求∠ＤＯＥ的度数
．

应用
A
.
O
P
几何语言:
B
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点 ∴PA = PB，∠OPA=∠OPB
我的宝库：
（1）切线长的定义。 （2）常用的辅助线：连接圆心和切点。 （3） 切线长定理为证明 线段相等，
角相等，提供了新的理论根据。 也为我们证明垂直关系提供了 新的理论根据。 （4）由两切线夹角的度数可求出两边与 圆交于切点的圆心角和圆周角的度数。
A
C
O.
P
B
已知：如图,PA、PB切⊙O于A、B两 点，∠P=40度，点C是圆O上异于A、B 的点，则∠ACB=（ 70º或1）10º
A
C
O
C1
P
B
1、课后习题第六题 2、每人设计一道切线长定 理应用的题请其他同学做 一做。
画一画
由圆外任意一点引圆的切线，能画出几 条？
O.
P
A
O.
P
B
经过圆外一点作圆的切线，这点和 切点之间的线段的长，叫做这点到 圆的切线长。
A
o. P
B 切线和切线长是两个不同的概念， 切线是直线，不能度量； 切线长是圆外一点与切点之间线段的 长，可以度量。
折一折
A
N
O
M
P
B
思考：已知PA、PB切⊙O 于A、B两点，
小试牛刀
1.已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B 为切点，若AP=4，∠APB=60°，则 ∠1=( 30°),PB=( 4 )
A
.
1
O
P
B
再试牛刀
2.已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别 是A、B，∠APO=30°，PA=4,求AB的长？

课堂小结
A
F D O·
CE
B
归纳总结
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切
圆的半径
r＝
a＋b－c 2
或r＝a＋abb＋c
(
r＝
2S a＋b＋c
一般三角形
).
随堂演练
1. 下列说法正确的是( C ) A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
过点F作☉O的切线分别交PA,PB于点D,E,如果PA=10,求△PED的 周长.
解:∵DA,DF分别切☉O于点A,F,
∴DA=DF. 同理EF=EB,PB=PA=10.
∴△PED的周长为PD+PE+DE =PD+PE+DF+EF =PD+PE+DA+EB =(PD+DA)+(PE+EB)
=PA+PB=20.
4.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，如 果AP＝4，∠APB＝40°，则∠APO＝ 20°，PB＝ 4 .
A
O B
第4题
A
P
F
E
O
BD
C
第5题
5.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D，E，F三点，如图， 已知AF＝3，BD+CE＝12，则△ABC的周长是 30 .
6. 如图,过☉O外一点P作圆的切线PA,PB,F是劣弧AB上任意一点,
（3）图中所有的相等的线段： PA=PB，AC =BC，OA =OB.
（4）图中所有的全等三角形: △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.

只要证明OC1CD，即LOCD = 90°即可，由LOCD LOCB + LBCD，已知LBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了，但LOCB与LBAC既没有共同的顶点，又不在同一个三角形中，故可延长CO交O0于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可Q LBAC =LBEC.而LBCELBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了，但LOCB与LBAC既没有共同的顶点，又不在同一个三角形中，故可延由LOCD LOCB + LBCD，已知LBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了长CO交O0于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可Q LBAC =LBEC.而LBCE与LBEC都是同一个三角形的内角，因此只要证明LCBE = 90°就行了x这是很角形的内角，因此只要证明LCBE = 90°就行了x这是很
例 如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O的半径.
分析：
A
O
设 ⊙O的半径为r，连接OD，OE，OF
由切线的性质及切线长定理可得四边形OECF为正方形.
从而CF=CE=OE=OF=r，所以AF=10-r，BE=24-r，
再由切线长定理可得，AD=AF=10-r，BD=BE=24-r，
∠BIC
2.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点.C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别与PA，PB相交于D，E两点，若PA = PB =5 cm，求△PDE的周长.
O
P
A
B
C
D
E
解：∵PA，PB，DE是圆的切线∴PA=PB，DC=DA，CE=BE，

活动五、归纳、小结、反思
1、通过本节课的学习，你有什么收获？ 2、在运用切线长定理进行计算时，应该注意 哪些问题？ 3、本节课用到哪些数学方法？
意图:让学生对本节所学内容进行系 统回顾，加深理解记忆。
作业延展:
设计意图：让学生课后复习温故本节的学 习的内容，对相应的数学学习方法，数学 知识进行巩固。
说课流程
教材分析 教法分析 学法分析 教学过程
• 教材分析：
地位作用
本节课要研究的切线长定理，是
在学了直线与圆的位置关系；切线的 定义、性质以及判定之后进行的；它 既是前面知识的应用，又是后面学习 的基础，在证明线段相等、角相等、 线段成比例等起着重要的作用。
• 教材分析：
了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利 用它进行有关的计算。
教学目标
经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过 程，培养学生推理能力和阐述自己的观点的 能力。
引发学生对数学的好奇心与求知欲，在数学学 习活动中获得成功的体验，并培养学生良好的 学习习惯和严谨的思维品质。
• 教材分析：
教学重点
掌握切线长定理，利用定理进行 相关的计算和证明。
教学难点
灵活运用切线长定理解决实际问 题
教学过程：
（一）旧知联想、创设情境
1、直线和圆有几种位置关系，分别是什么？ 2、什么是直线与圆相切？ 3、切线的判定定理、性质定理内容是什么？ 4、过圆上一点作圆的切线，能作几条？过圆外 一点作圆的切线能作几条？
设计意图以提问的情势创设情境，使学生对旧知识 产生设疑，把学生带入下一环节—发现问题，探求 新知
∴PA=PB，∠1=∠2
A
师生归纳：文字语言、 符号语言。
O
1
⌒⌒