《切线长定理》教学课件

B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂 直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
作业
今天有任务哦！
习题4.13
下课了!
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB
牛刀小试 （2）若AB=6cm, ∠APB=60°,求⊙O的半径OA 及点P到⊙O的切线长PA
A O B
P
定理拓展
若PA、PB是⊙O的两条切 E 线，A、B为切点，直线OP交 于⊙O于点D、E，交AB于C。 O
A
C D B
P
（1）写出图中所有相等的线段 AO=BO=DO=EO，AP=BP，AC=BC （2）写出图中所有相等的弧 AD=BD，AE=BE，DAE=DBE （3）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB （5）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
折一折
A
1 2
O B
P
思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B 为切点，把圆沿着直线OP对折,你能 发现什么?
证一证
若从⊙O外的一点引两 条切线PA，PB，切点分别是 A、B，连结OA、OB、OP，你 能发现什么结论？并证明你 所发现的结论。 PA = PB， ∠OPA=∠OPB
∴OA⊥PA，OB⊥PB A
认知准备
问题1: 经过平面上一个已知点，作已知 圆的切线会有怎样的情形？
A P· · O P· · O P· B · O
问题2: 经过圆外一点P，如何做已知⊙O 的切线？
画一画
方法一：借助三角板 方法二：尺规作图

试用文字语言叙述你所发现的结论
切线长定理
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
几何语言:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
O
P
A
B
试一试
A
P
O
B
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
a＋b－c
2
ab
a＋b＋c
· O
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
思考：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：AC∥OP
P
A
C
B
D
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有相等的线段
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD

如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。 B
思考:由切线长定理
O。 C
P
可以得出哪些结论？
A
A
c b
r.
r = a+b-c
2
你能推出 这个公式吗？
C
B
a
例：直角三角形的两直角边分别是5cm， 12cm 则其内切圆的半径为
__2_c_m__。
活动三：例题讲解
想一想
A D
1.如图⊙O是△ABC的内切圆。
C
E
o
60°
D
AB
课后作业： 教材 P101-102 习题24.2 ，第6、11、14题
早/起/的/鸟/儿/有/虫/吃
两切线的夹角。
思考：切线与切线长 有何区别？
B
P O
A
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
三、教材P99 1、三角形内切圆圆心有何性质？
2、如何确定三角形内切圆的圆心？ 3、画出△ABC的内切圆
三角形内心：三角形内切圆的圆心、三条角形平 分线的交点、内心到三边的距离相等。
切线长定理
教
了解切线长定理，掌握切线长定理并能用它解决
有关的证明或计算问题；
学
培养学生操作、观察、交流讨论、合作探究能力，
目
养成积极主动的良好学习习惯；
渗透数形结合思想，提高综合运用知识分析新问
标
题，解决问题的能力。
教学重难点
重点：理解切线长定理
难点：与切线长有关的证明 或计算问题，三角形的内切 圆计算问题
B O
A
1、什么叫做圆外一点到圆 的切线长？ 2、切线长定理的内容是什么？ 3、这个定理是怎样证明的？

切线长定理的再一个推论
总结词
切线长定理的再一个推论是，若两圆在 同一直线上相切，则它们的切线互相平 行。
VS
详细描述
这个推论是切线长定理的进一步应用。当 两圆在同一直线上相切时，它们的切线不 仅长度相等，而且平行。这个推论在解决 涉及直线和圆的问题时非常有用，特别是 在几何证明和解析几何中。通过掌握这个 推论，学生可以更好地理解几何图形的性 质和关系，提高解决几何问题的能力。
切线长定理的另一个推论
总结词
切线长定理的另一个推论是，若两圆相切于同一点，则该点的切线与两圆心的连线垂直 。
详细描述
这个推论说明了当两圆在同一点相切时，该点的切线与两圆心的连线之间此，该点的切
线与两圆心的连线互相垂直。这个推论在证明几何定理和解决几何问题时非常有用。
切线长定理在数学、物理、工程等领 域有着广泛的应用，通过学习和掌握 这个定理，我们可以更好地理解和应 用相关领域的知识。
通过本次课件的学习，我们深入了解 了切线长定理的证明过程和实际应用 ，掌握了利用切线长定理解决实际问 题的技巧和方法。
展望
随着数学和其他学科的发展，切线长定理的应用范围将会更加广泛，我 们可以通过不断学习和探索，深入了解这个定理的更多应用和推广。
切线长定理的证明方法二
利用三角形的全等定理进行证明。首先，作辅助线连接圆心和切点，将切线分为两段。然后，根据三角形的全等定理，证明三 角形全等，从而得到切线长的平方等于半径的平方和。
切线长定理的证明方法三
利用向量进行证明。首先，根据向量的数量积公式，向量的数 量积等于两向量的模长乘以其夹角的余弦值。然后，利用切线 的性质，切线和半径垂直，从而夹角为90度。结合数量积公式 ，可以证明切线长的平方等于半径的平方和。

22cm
知识小结
直角三角形的外接圆与内切圆
1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，半径为___________.
2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，半径r=___________.
a
b
c
斜边中点
斜边的一半
三角形内部
课前训练
1、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA的长.
练习
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点， 连结PO，则 度。
P
B
O
A
二、填空
25
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ ）
A
A 16cm
D 8cm
C 12cm
B 14cm
D
C
B
E
A
P
例2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆的切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作⊙O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝10cm， 求△PED的周长。
数学探究
思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？ 为什么？
（2）填空：AB+CD AD+BC（>,<,=)
=
DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
练习四 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。

连接AB以后，还能得到哪些信息？
2.如图，⊙O内切于△ABC,交点分别为D、E、F，你能得到哪些信息？
(1)AB⊥OD,BC⊥OF, AC⊥OE.(2)AO、BO、CO分别平分∠A 、∠B和∠C.
1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.
拓展延伸
解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，则OB平分∠EBF，DC平分∠FCG.∵AB∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF =90°.
1. 如图，△ABC中，∠ABC=50°， ∠ACB=75°，点 O是△ABC的内心，求∠BOC的度数。
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形；
△ABP △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.
.
例2
解：设AF=x,则AE=x, CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4.因此，AF=4，BD=5，CE=9.
基础巩固
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为( )A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
2. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的 面积。(提示：设△ABC的内心为O,连接OA，OB，OC.)

切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂 直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
A
思考：已知⊙O切线PA、PB， E A、B为切点，把圆沿着直线OP 对折,你能发现什么?
O
M B
D
P
连结OA、OB ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) 试用文字语言叙述 你所发现的结论 ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 连结切点A、B，又有什么新结论？ PA = PB PA、PB与⊙O分 ∠OPA=∠OPB 别相切于点A、B OP⊥AB且AM=BM AD=BD
切线长定理为证明线段相等、角相等、弧相等、 垂直关系等提供了理论依据。
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相 等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦.
切线长问题辅助线添加方法 （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
本节内容
2.5.3
制作者：铜仁市万山区大坪中学 田 令
1、什么是圆的切线？ ①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 问题1: 经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会 有怎样的情形？
C P O · O · D
O ·
P
P
问题2: 经过圆外一点P，如何作已知⊙O的切线？可 以作几条？
B
Hale Waihona Puke 例2. 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点， CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD. 求证： CO∥BD.
分析 连接AB，因为AD为直径，那么∠ABD = 90° ，即BD⊥AB.因此要证CO∥BD，只要证 CO⊥AB即可. 证明 连接AB. ∵ CA，CB是⊙O的切线，点A，B为切点， ∴ CA = CB， ∠ACO =∠BCO. ∴ CO⊥AB. ∵ AD是⊙O的直径， ∴ ∠ABD= 90°， 即 BD⊥AB. ∴ CO∥BD.

若延长PO交 于点C，连结CA、 ， 若延长 交⊙O于点 ，连结 、CB，你 于点 又能得出什么新的结论?并给出证明. 又能得出什么新的结论?并给出证明.
B
CA=CB C
。
P
O
A 证明： PA，PB是 的切线, 是切点, 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点, ∴PA = PB , ∠APO=∠BPO. ∠ 又∵PC=PC. ∴ △PCA ≌ △PCB , ∴AC=BC.
O
。 M
P
A 证明： PA，PB是 的切线, 是切点, 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点, ∴PA = PB , ∠APO=∠BPO. ∠ ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线, PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线, 是等腰三角形 为顶角的平分线 垂直平分AB. ∴OP垂直平分 垂直平分
连接OA、 、 解:(1)连接 、OB、OE, 连接 分别是⊙ 的切线 的切线,A、 、 ∵PA、PB分别是⊙O的切线 、B、 、 分别是 E为切点 为切点. 为切点 P ∴OA⊥PA,OB⊥PB,OE⊥DC. ⊥ ⊥ ⊥ ∴DA=DE,CB=CE, ∴DC=DE+CE=DA+CB. 的周长=PC+PD+DC=PC+PD+DA+CB ∴△PCD的周长 的周长 =PA+PB=7+7=14(cm) . D ·O E C B A
O
知识拓展 已知：如图 的切线， 已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别 、 是 的切线 上一点， 点作⊙ 的切线 的切线， 是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线， 、 ， 为 上一点 点作 交PA、PB于E、F点，已知 、 于 、 点 已知PA=12cm，∠P=70°, ， ° 的周长和∠ 的大小。 求：△PEF的周长和∠EOF的大小。 的周长和 的大小

A
D
P
·O
E
C B
例题3
、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆 ⊙O分别相切于点L、M、N、P，
求证： AD+BC=AB+CD 证明：由切线长定理得
C N
பைடு நூலகம்
∴AL=AP，LB=学M科B网 ,NC=MCD， DN=DP
M O
P
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
请证明你所发现的结论。 B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
O
P
学 科网
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
AL
B
想一想
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
。
要我们构建基本图形。 O
P
学 科网
B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
思考
如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I
D
内切圆和内心的定义:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF， D
F
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
O·
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC B

活动五、归纳、小结、反思
1、通过本节课的学习，你有什么收获？ 2、在运用切线长定理进行计算时，应该注意 哪些问题？ 3、本节课用到哪些数学方法？
意图:让学生对本节所学内容进行系 统回顾，加深理解记忆。
作业延展:
设计意图：让学生课后复习温故本节的学 习的内容，对相应的数学学习方法，数学 知识进行巩固。
说课流程
教材分析 教法分析 学法分析 教学过程
• 教材分析：
地位作用
本节课要研究的切线长定理，是
在学了直线与圆的位置关系；切线的 定义、性质以及判定之后进行的；它 既是前面知识的应用，又是后面学习 的基础，在证明线段相等、角相等、 线段成比例等起着重要的作用。
• 教材分析：
了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利 用它进行有关的计算。
教学目标
经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过 程，培养学生推理能力和阐述自己的观点的 能力。
引发学生对数学的好奇心与求知欲，在数学学 习活动中获得成功的体验，并培养学生良好的 学习习惯和严谨的思维品质。
• 教材分析：
教学重点
掌握切线长定理，利用定理进行 相关的计算和证明。
教学难点
灵活运用切线长定理解决实际问 题
教学过程：
（一）旧知联想、创设情境
1、直线和圆有几种位置关系，分别是什么？ 2、什么是直线与圆相切？ 3、切线的判定定理、性质定理内容是什么？ 4、过圆上一点作圆的切线，能作几条？过圆外 一点作圆的切线能作几条？
设计意图以提问的情势创设情境，使学生对旧知识 产生设疑，把学生带入下一环节—发现问题，探求 新知
∴PA=PB，∠1=∠2
A
师生归纳：文字语言、 符号语言。
O
1
⌒⌒